上帝教人擲骰子——“神童”帕斯卡與概率論 | 張?zhí)烊貙?/h3>
2017/03/15
導(dǎo)讀
趣談概率和統(tǒng)計(jì)，從人們熟悉的骰子說(shuō)起。
油畫(huà)《Blaise Pascal》。來(lái)源：Wiki
編者按：
概率和統(tǒng)計(jì)作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要分支，早已滲透到人們的工作和生活當(dāng)中，小到人人都可以買(mǎi)到的彩票，大到如今熱度不減的各種大數(shù)據(jù)，其中都蘊(yùn)含了概率與統(tǒng)計(jì)的諸多內(nèi)容。然而對(duì)于公眾來(lái)說(shuō)，因涉及到復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算等問(wèn)題，概率與統(tǒng)計(jì)可能比彩票和大數(shù)據(jù)更難理解。
此次，《知識(shí)分子》將刊載科普作家張?zhí)烊仃P(guān)于概率和統(tǒng)計(jì)的系列專欄文章——趣談概率和統(tǒng)計(jì)，旨在盡可能地跳出讓很多人“望而生畏”的數(shù)學(xué)公式，用平鋪直述的話語(yǔ)將概率與統(tǒng)計(jì)中一些生澀的概念轉(zhuǎn)為公眾更容易理解的實(shí)際案例，讓公眾了解事物背后關(guān)于概率與統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題。
而今天這篇開(kāi)欄文章，就以我們熟知的骰子起始。
撰文 | 張?zhí)烊?（美國(guó)德州大學(xué)奧斯汀分校理論物理博士）
責(zé)編 | 呂浩然
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骰（編者注：讀作tóu，二聲）子，算是一種最古老的賭具，據(jù)說(shuō)人類(lèi)在五千年前就開(kāi)始使用它。骰子最早由埃及人發(fā)明，但在四大文明古國(guó)的歷史中大概都有獨(dú)自發(fā)明類(lèi)似物件的記載。不過(guò)，人類(lèi)將這骰子甩來(lái)拋去擲了幾千年，卻沒(méi)有明白其中深藏的數(shù)學(xué)奧秘，直到距今四百多年前……
十七世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)界
十七世紀(jì)，從意大利開(kāi)始的文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)已經(jīng)席卷整個(gè)歐洲，也波及到了法國(guó)，帶來(lái)了科學(xué)與藝術(shù)的蓬勃發(fā)展和革命。法國(guó)乃數(shù)學(xué)之邦，該領(lǐng)域人才濟(jì)濟(jì)，群星璀璨。
如今我們熟悉的笛卡爾，就是那位以“我思故我在”而聞名的先賢，人稱現(xiàn)代哲學(xué)之父及解析幾何的奠基人，便于1596年出生在法國(guó)北部。
?圖1：梅森學(xué)院的部分?jǐn)?shù)學(xué)家
勒內(nèi)·笛卡爾（René Descartes，1596－1650）的家鄉(xiāng)是一個(gè)美麗的花園小城。他的父親是當(dāng)?shù)氐囊粋€(gè)議員，母親在他1歲多時(shí)因肺結(jié)核去世，并將這個(gè)當(dāng)時(shí)被列為不治之癥的疾病傳染給了他，因此，這個(gè)貴族家庭對(duì)體弱多病的笛卡爾寵愛(ài)有加。
而布萊茲?帕斯卡（Blaise Pascal，1623－1662）誕生在法國(guó)中部一個(gè)叫克萊蒙費(fèi)朗的小城市中的一個(gè)小貴族家庭。帕斯卡比笛卡爾小了27歲，但兩位數(shù)學(xué)家的童年卻有不少共同之處：母親早逝、父親富有、身體羸弱、智力過(guò)人。
不僅僅是童年生活，兩位學(xué)者的學(xué)術(shù)生涯也有不少共同點(diǎn)：都是興趣廣泛、博學(xué)多思。他們除了在許多科學(xué)領(lǐng)域作出杰出貢獻(xiàn)之外，在人文和哲學(xué)方面也都取得了非凡的成就。并且，在成名之后，笛卡爾和帕斯卡兩人都不約而同地選擇了半隱居式的生活。
帕斯卡于39歲時(shí)在巴黎英年早逝，笛卡爾活得也不長(zhǎng)，這位“現(xiàn)代哲學(xué)之父”之死也頗具傳奇性。笛卡爾原本是企圖追求“安寧和平靜”的隱居生活，平生習(xí)慣“睡懶覺(jué)”，躲在暖和的被窩里思考數(shù)學(xué)和哲學(xué)問(wèn)題。據(jù)說(shuō)他的解析幾何坐標(biāo)概念之靈感就是在作了“三個(gè)奇怪的夢(mèng)”之后得來(lái)的。
然而，晚年的笛卡爾卻被瑞典的克里斯汀女王看中，要笛卡爾給她講哲學(xué)晨課。女王喜歡早起，可憐的半老不老的笛卡爾只好違背他多年的作息習(xí)慣，每天早上五點(diǎn)爬起來(lái)給女王上課，最后終是適應(yīng)不了北歐嚴(yán)酷多雪的冬天，于 1650年罹患肺炎，一命嗚呼了！
談及十七世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)，不可不提當(dāng)年那位舉足輕重的人物：馬蘭·梅森（Marin Mersenne，1588－1648）【1】。梅森也是一位數(shù)學(xué)家，但他的貢獻(xiàn)主要不是在學(xué)術(shù)方面，這方面能列得出來(lái)的只有一個(gè)“梅森素?cái)?shù)”，而他的主演貢獻(xiàn)還在于“組團(tuán)”，也就是人們熟知的“梅森學(xué)院”。
梅森出身于法國(guó)的農(nóng)民家庭，不是貴族的他卻成了許多愛(ài)好科學(xué)的貴族間的聯(lián)系紐帶。梅森少時(shí)畢業(yè)于耶穌會(huì)學(xué)校，是笛卡爾的同校學(xué)長(zhǎng)，于1611年進(jìn)入修道院，成為天主教的一名教士。1626年，他把自己在巴黎的修道室，辦成了科學(xué)家們的聚會(huì)場(chǎng)所和交流信息中心，稱為“梅森學(xué)院”。這個(gè)聯(lián)系和組織人才的“科學(xué)沙龍”，實(shí)際上是后來(lái)開(kāi)明君王路易十四所創(chuàng)建并給予豐富贊助的“巴黎皇家科學(xué)院”的前身。因此，梅森為法國(guó)科學(xué)（特別是數(shù)學(xué)）的發(fā)展作出了巨大的貢獻(xiàn)。
?圖2：1666年，柯?tīng)栘悹栂蚵芬资囊]皇家科學(xué)院成員【2】。
梅森見(jiàn)多識(shí)廣、才華不凡，又性格隨和、平易近人，在其身邊聚集了一批優(yōu)秀的學(xué)者定期到修道室聚會(huì)。此外，當(dāng)時(shí)的梅森科學(xué)沙龍，還經(jīng)常以通信的方式互相聯(lián)系，或單獨(dú)與梅森聯(lián)系，報(bào)告、交流新的研究成果和思想，因此人們稱它為“移動(dòng)的科學(xué)刊物”。梅森去世后的遺產(chǎn)中留下了與78位學(xué)者的珍貴信函，其中包括笛卡爾、伽利略、費(fèi)馬、托里拆利、惠更斯等歐洲各國(guó)多個(gè)領(lǐng)域的科學(xué)家。例如，笛卡爾有20多年隱居荷蘭，在那兒完成了他的哲學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生理學(xué)等領(lǐng)域的許多主要著作，在此期間只有梅森定期與他保持通信聯(lián)系。
生活在法國(guó)南部的著名律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家皮埃爾·費(fèi)馬（Pierre de Fermat，1601－1665）也是通過(guò)書(shū)信的方式與梅森及其他數(shù)學(xué)同行保持聯(lián)系，他的不少數(shù)學(xué)成果都是在這些書(shū)信中誕生的。
還有荷蘭人克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens，1629－1695），他也是著名的物理學(xué)家、天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家。他曾經(jīng)師從笛卡爾，后來(lái)又通過(guò)書(shū)信交流成為梅森學(xué)院重要成員。梅森去世后，巴黎皇家科學(xué)院成立，惠更斯首任院長(zhǎng)，滯留巴黎近二十年。
神童帕斯卡
才華橫溢的帕斯卡參加到梅森學(xué)院聚會(huì)時(shí)年僅十四歲，而當(dāng)時(shí)的笛卡爾卻已經(jīng)過(guò)了不惑之年。然而，身世相仿的兩人關(guān)系卻并不融洽，反倒似有些嫉妒的陰影摻雜其中。
帕斯卡在他11歲那年創(chuàng)作了一篇有關(guān)身體振動(dòng)發(fā)出聲音的文章，使得懂?dāng)?shù)學(xué)的父親提高了警惕，禁止兒子15歲前繼續(xù)深研數(shù)學(xué)知識(shí)，以免他荒廢拉丁文和希臘文的學(xué)習(xí)。但有一天，12歲的帕斯卡用一塊木炭在地板上畫(huà)圖，發(fā)現(xiàn)了歐幾里德幾何的第32命題——三角形的內(nèi)角和等于兩直角。從那時(shí)起，父親改變了對(duì)兒子的想法，讓小帕斯卡繼續(xù)獨(dú)自琢磨幾何問(wèn)題，并隨后帶他旁聽(tīng)梅森修道院每周一次的聚會(huì)【3】。
?圖3：帕斯卡研究幾何和物理
帕斯卡16歲時(shí)寫(xiě)了一篇被稱作神秘六邊形的短篇論文“圓錐曲線專論”。文章中證明了一個(gè)圓錐曲線內(nèi)接六邊形的三對(duì)對(duì)邊延長(zhǎng)線的交點(diǎn)共線，這個(gè)結(jié)論現(xiàn)在被稱為“帕斯卡定理” （見(jiàn)圖3a）。文章寄給梅森神父后得到眾學(xué)者的極大贊賞，只有笛卡爾除外。
彼時(shí)的笛卡爾不常親臨巴黎的聚會(huì)，但看了帕斯卡的手稿后，一開(kāi)始拒絕相信這個(gè)手稿出自一個(gè)16歲少年之手，認(rèn)為是他的父親所寫(xiě)。后來(lái)，盡管梅森再三保證這是小帕斯卡的文章，笛卡爾仍然不屑一顧地聳聳肩膀，表明沒(méi)什么大不了的。但實(shí)際上，帕斯卡定理對(duì)射影幾何早期的發(fā)展起到了很大的推動(dòng)作用，向人們展示了射影幾何深刻、優(yōu)美、直觀的一面。
帕斯卡也喜歡研究物理問(wèn)題，針對(duì)真空及大氣壓的性質(zhì)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。十七世紀(jì)40年代，伽里略的弟子托里拆利（Evangelista Torricelli，1608-1647）發(fā)明了用水銀柱測(cè)量氣壓的方法，確定大氣壓強(qiáng)使得水銀柱上升約76厘米。實(shí)驗(yàn)結(jié)果激發(fā)了當(dāng)時(shí)的物理學(xué)家們思考和討論大氣壓力及空氣重量的問(wèn)題。
年輕的帕斯卡首先重復(fù)了托里拆利的試驗(yàn)，繼而進(jìn)一步猜測(cè)：如果將氣壓計(jì)放在一個(gè)高高的塔頂上，水銀柱上升的高度會(huì)因空氣更為稀薄而比76厘米要低，而空氣再稀薄下去便是“真空”。帕斯卡計(jì)劃用實(shí)驗(yàn)來(lái)證實(shí)他的這些想法。1647年，正好笛卡爾難得地來(lái)到巴黎并拜訪了這位小天才，據(jù)說(shuō)這是兩人唯一的一次會(huì)晤。笛卡爾同意帕斯卡的部分觀點(diǎn)，但卻對(duì)真空是否存在問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)和研究不以為然，笛卡爾認(rèn)為真空不存在，也不能用實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證，之后還對(duì)其他人嘲笑帕斯卡，說(shuō)他 “頭腦中的真空太多了！（has too much vacuum in his head.）”【4】。不過(guò)，在那次會(huì)面中，年輕的帕斯卡也不服輸，更不畏懼笛卡爾的權(quán)威，批駁了笛卡爾的某些哲學(xué)觀念，帕斯卡認(rèn)為：“心有其原因，原因不知道（We know the truth not only by the reason, but by the heart.）”【5】。
就在二人會(huì)晤的第二年，1648年9月19日，帕斯卡的姐夫在多姆山上按照帕斯卡的設(shè)計(jì)進(jìn)行了氣壓計(jì)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)證明在山腳和山頂水銀柱的高度相差一個(gè)不小的數(shù)目：3.15英寸！帕斯卡自己則在巴黎的一個(gè)52米高的塔頂上重復(fù)了類(lèi)似的實(shí)驗(yàn)（見(jiàn)圖3b）。實(shí)驗(yàn)成功地證實(shí)了帕斯卡關(guān)于水銀柱高度隨著海拔高度的增加而減少的猜測(cè)，震動(dòng)了科學(xué)界。后人為紀(jì)念帕斯卡的貢獻(xiàn)，將氣壓的單位用“帕”（帕斯卡的名字）來(lái)命名。
?圖4：帕斯卡原理和帕斯卡計(jì)算器
之后幾年，帕斯卡做了一系列物理實(shí)驗(yàn)，研究液體壓強(qiáng)的規(guī)律，不斷取得新發(fā)現(xiàn)，并有多項(xiàng)重大發(fā)明。帕斯卡總結(jié)了這些實(shí)驗(yàn)，于1654年發(fā)表論文《論液體的平衡》，并提出了著名的帕斯卡定律：密閉液體任一部分的壓強(qiáng)，將大小不變地向液體的各個(gè)方向傳遞。如圖4a所示，左邊是面積A1較小的活塞，右邊液面的面積是左邊的10倍（A2 =10 A1 ），如果在左邊的活塞上施加一個(gè)不太大的力F1，因?yàn)閴簭?qiáng)P可以大小不變地通過(guò)液體從左邊傳遞到右邊（P1 = P2），就將在右邊液面得到一個(gè)比F1大10倍的升力（ F2 = P2A2= 10 F1 ）。這個(gè)如今看來(lái)十分簡(jiǎn)單的原理成為液壓起重機(jī)以及所有液壓機(jī)械的工作基礎(chǔ)。
說(shuō)到重大發(fā)明，不可忽略帕斯卡設(shè)計(jì)的計(jì)算器，那是帕斯卡在未滿19歲時(shí)為了減輕他父親重復(fù)計(jì)算稅務(wù)收支而創(chuàng)造的一項(xiàng)發(fā)明。雖然巨大笨重、難以使用，且只能作加減法，但卻可以列為最早確立計(jì)算機(jī)器概念的機(jī)械計(jì)算器之一，也算得上如今人們手中的計(jì)算機(jī)之老祖宗了（圖4b）。
不僅如此，帕斯卡對(duì)數(shù)學(xué)還有一個(gè)大的貢獻(xiàn)：與費(fèi)馬一起開(kāi)拓了概率論這一數(shù)學(xué)分支。
概率論的誕生
十七世紀(jì)歐洲的貴族盛行賭博之風(fēng)，法國(guó)有一位叫德·梅雷的貴族，在擲骰子的游戲之余，也思考一點(diǎn)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，苦思不得其解時(shí)，便向帕斯卡請(qǐng)教。
1654年，他向帕斯卡請(qǐng)教了一個(gè)親身經(jīng)歷的“分賭注問(wèn)題”。故事大概如此：梅雷和賭友各自出32枚金幣，共64枚金幣作為賭注，雙方以擲骰子為賭博方式： 如果結(jié)果出現(xiàn)“6”， 則梅雷贏1分；如果結(jié)果出現(xiàn)“4”，則對(duì)方贏1分。雙方誰(shuí)先得到10分，誰(shuí)就贏得全部賭注。賭博如此進(jìn)行了一段時(shí)間，梅雷已得8分，對(duì)方也得了7分。但這時(shí)，梅雷接到緊急命令，要立即陪國(guó)王接見(jiàn)外賓，只好中斷賭博。那么問(wèn)題就來(lái)了：這64枚金幣的賭注應(yīng)該如何分配才合理呢？
這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上在十五、十六世紀(jì)時(shí)就已經(jīng)被提出，稱之為“點(diǎn)數(shù)分配問(wèn)題”。意思是說(shuō)，當(dāng)一場(chǎng)賭博半途中斷的情況下，應(yīng)該如何分配賭注？人們提出各種方案，但未曾得到公認(rèn)的合理答案。
就上面梅雷和賭友的例子。將賭注原數(shù)退回顯然不合理，沒(méi)有考慮賭博中斷時(shí)的輸贏情況，相當(dāng)于白賭了一場(chǎng)；將全部賭注歸于當(dāng)時(shí)的贏家也不公平，比如當(dāng)時(shí)：梅雷比對(duì)方多得一分，但他還差2分才贏，而對(duì)方差3分，如果繼續(xù)賭下去的話，對(duì)方也有贏的可能性。
帕斯卡對(duì)這個(gè)問(wèn)題十分感興趣。直觀而言，上述兩種方案顯然都不合理，賭博中斷時(shí)的梅雷應(yīng)該多得一些，但究竟應(yīng)該如何分配呢？也有人建議以當(dāng)時(shí)兩人比分的比例來(lái)計(jì)算：梅雷8分，對(duì)方7分，那么梅雷得全部賭注的8/15，對(duì)方得7/15。這種分法也有問(wèn)題，比如說(shuō)，如果甲乙雙方只賭了一局就中斷了，甲贏得1分，乙得0分。按此分法，甲將拿走全部賭注，顯然也是不合理的。
帕斯卡直覺(jué)地意識(shí)到，中斷賭博時(shí)賭注的分配比例應(yīng)與當(dāng)時(shí)的輸贏狀態(tài)與雙方約定的最終判據(jù)之距離有關(guān)。比如說(shuō)，梅雷已經(jīng)得了8分，距離10分的判據(jù)差2分，賭友7分，還差3分到10分。因此，帕斯卡認(rèn)為需要研究從中斷賭博那個(gè)“點(diǎn)”開(kāi)始，如果繼續(xù)賭博的各種可能性。為了盡快地解決這個(gè)問(wèn)題，帕斯卡以通信的方式與住在法國(guó)南部的費(fèi)馬（Pierre de Fermat）討論【6】。費(fèi)馬不愧是研究純數(shù)學(xué)的數(shù)論專家，很快列出了“梅雷問(wèn)題”中賭博繼續(xù)下去的各種結(jié)果。
?圖5：費(fèi)馬和帕斯卡對(duì)點(diǎn)數(shù)分配問(wèn)題的思路
梅雷原來(lái)的問(wèn)題是擲骰子賭“6點(diǎn)”或“4點(diǎn)”的問(wèn)題，但可以簡(jiǎn)化成拋硬幣的問(wèn)題：甲乙兩人拋硬幣，甲賭“正”，乙賭“反”，贏家得1分，各下賭注$10，先到達(dá)10分者獲取所有賭注。如果賭博在“甲8分、乙7分”時(shí)中斷，問(wèn)應(yīng)該如何分配這$20賭注？圖5a顯示了費(fèi)馬的分析過(guò)程：從賭博的中斷點(diǎn)出發(fā)，還至多需要拋4次硬幣來(lái)決定甲乙最后的輸贏。
這4次隨機(jī)拋丟或產(chǎn)生16種等概率的可能結(jié)果，如圖5a中最右側(cè)所列。因?yàn)椤凹宗A”需要結(jié)果中出現(xiàn)2次“正”，“乙贏”需要結(jié)果中出現(xiàn)3次“反”，所以，在16種結(jié)果中，有11種是“甲贏”，5種是“乙贏”。換言之，如果賭博沒(méi)有中斷，而是從中斷點(diǎn)的狀態(tài)繼續(xù)到底的話，可以如此算出甲贏的概率是11/16，乙贏的概率是5/16。賭博的中斷使得雙方按照這種比例失去了最后贏得全部賭注的機(jī)會(huì)，但按此比例來(lái)分配賭注應(yīng)該是合理的方法。所以，根據(jù)費(fèi)馬的分析思路，甲方應(yīng)該得$20×11/16=$13.75，乙方則得剩余的，或$20×5/16=$6.25。
帕斯卡十分贊賞費(fèi)馬思路之清晰，費(fèi)馬所得的結(jié)果也驗(yàn)證了帕斯卡自己得到的結(jié)論，雖然他用的是完全不一樣的方法。帕斯卡在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中提出了離散隨機(jī)變量“期望值”的概念。期望值是用概率加權(quán)后得到的“期望”的平均值。如圖5b所示，帕斯卡計(jì)算出從甲方的觀點(diǎn)，“期望”能得到的賭注分配為$13.75，與費(fèi)馬計(jì)算的結(jié)果一致。
期望是概率論中的重要概念，期望值則是概率分布的重要特征之一。它常被用在與賭博相關(guān)的計(jì)算中【7】。例如，賭場(chǎng)輪盤(pán)上有38個(gè)數(shù)字，每一個(gè)數(shù)字被選中的概率都是1/38。賭注（比如$1）押在其中一個(gè)數(shù)字上，如果押中，顧客得到35倍的獎(jiǎng)金（$35），否則賭注被賭場(chǎng)所得。藉此，我們可以計(jì)算顧客“贏”的期望值。
?圖6：輪盤(pán)對(duì)賭徒而言的期望值
圖6顯示了計(jì)算結(jié)果是一個(gè)負(fù)數(shù)：約等于-0.0526美元。也就是說(shuō)，平均起來(lái)顧客每賭1美元就會(huì)輸?shù)?美分，所以，賭場(chǎng)永遠(yuǎn)不會(huì)虧！
從研究擲骰子開(kāi)始，帕斯卡不僅僅引入了期望的概念，還發(fā)現(xiàn)了帕斯卡三角形（即楊輝三角），雖然楊輝早于帕斯卡好幾百年，但是帕斯卡將此三角形與概率、期望、二項(xiàng)式定理、組合公式等等聯(lián)系在一起，與費(fèi)馬一起為現(xiàn)代概率理論奠定了基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)學(xué)作出了不凡的貢獻(xiàn)。1657年，荷蘭科學(xué)家惠更斯在帕斯卡和費(fèi)馬工作的基礎(chǔ)上，寫(xiě)成了《論賭博中的計(jì)算》一書(shū)，被認(rèn)為是關(guān)于概率論的最早的系統(tǒng)論著，但人們?nèi)匀粚⒏怕收摰恼Q生日定為帕斯卡和費(fèi)馬開(kāi)始通信的那一天——1654年7月29日。
?圖7：帕斯卡三角
參考文獻(xiàn)：
【1】Marin Mersenne, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Marin_Mersenne
【2】引自維基百科French Academy of Sciences詞條。<original="https://pic4.zhimg.com/b814e84218fd2c3e83de751dd7337b9b_r.jpg">
【3】Blaise Pascal, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
【4】http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Pascal.html
【5】http://www.leaderu.com/apologetics/pascalmethodology.html
【6】Keith Devlin, The Unfinished Game: Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern, Basic Books, 2008. “FERMAT AND PASCAL ON PROBABILITY” https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/pascal.pdf
【7】Edward Packel, The Mathematics of Games and Gambling, Mathematical Association of America, 2006. 
制版編輯：呂浩然 |
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此次，《知識(shí)分子》將刊載科普作家張?zhí)烊仃P(guān)于概率和統(tǒng)計(jì)的系列專欄文章——趣談概率和統(tǒng)計(jì)，旨在盡可能地跳出讓很多人“望而生畏”的數(shù)學(xué)公式，用平鋪直述的話語(yǔ)將概率與統(tǒng)計(jì)中一些生澀的概念轉(zhuǎn)為公眾更容易理解的實(shí)際案例，讓公眾了解事物背后關(guān)于概率與統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題。
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責(zé)編 | 呂浩然
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骰（編者注：讀作tóu，二聲）子，算是一種最古老的賭具，據(jù)說(shuō)人類(lèi)在五千年前就開(kāi)始使用它。骰子最早由埃及人發(fā)明，但在四大文明古國(guó)的歷史中大概都有獨(dú)自發(fā)明類(lèi)似物件的記載。不過(guò)，人類(lèi)將這骰子甩來(lái)拋去擲了幾千年，卻沒(méi)有明白其中深藏的數(shù)學(xué)奧秘，直到距今四百多年前……
十七世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)界
十七世紀(jì)，從意大利開(kāi)始的文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)已經(jīng)席卷整個(gè)歐洲，也波及到了法國(guó)，帶來(lái)了科學(xué)與藝術(shù)的蓬勃發(fā)展和革命。法國(guó)乃數(shù)學(xué)之邦，該領(lǐng)域人才濟(jì)濟(jì)，群星璀璨。
如今我們熟悉的笛卡爾，就是那位以“我思故我在”而聞名的先賢，人稱現(xiàn)代哲學(xué)之父及解析幾何的奠基人，便于1596年出生在法國(guó)北部。
?圖1：梅森學(xué)院的部分?jǐn)?shù)學(xué)家
勒內(nèi)·笛卡爾（René Descartes，1596－1650）的家鄉(xiāng)是一個(gè)美麗的花園小城。他的父親是當(dāng)?shù)氐囊粋€(gè)議員，母親在他1歲多時(shí)因肺結(jié)核去世，并將這個(gè)當(dāng)時(shí)被列為不治之癥的疾病傳染給了他，因此，這個(gè)貴族家庭對(duì)體弱多病的笛卡爾寵愛(ài)有加。
而布萊茲?帕斯卡（Blaise Pascal，1623－1662）誕生在法國(guó)中部一個(gè)叫克萊蒙費(fèi)朗的小城市中的一個(gè)小貴族家庭。帕斯卡比笛卡爾小了27歲，但兩位數(shù)學(xué)家的童年卻有不少共同之處：母親早逝、父親富有、身體羸弱、智力過(guò)人。
不僅僅是童年生活，兩位學(xué)者的學(xué)術(shù)生涯也有不少共同點(diǎn)：都是興趣廣泛、博學(xué)多思。他們除了在許多科學(xué)領(lǐng)域作出杰出貢獻(xiàn)之外，在人文和哲學(xué)方面也都取得了非凡的成就。并且，在成名之后，笛卡爾和帕斯卡兩人都不約而同地選擇了半隱居式的生活。
帕斯卡于39歲時(shí)在巴黎英年早逝，笛卡爾活得也不長(zhǎng)，這位“現(xiàn)代哲學(xué)之父”之死也頗具傳奇性。笛卡爾原本是企圖追求“安寧和平靜”的隱居生活，平生習(xí)慣“睡懶覺(jué)”，躲在暖和的被窩里思考數(shù)學(xué)和哲學(xué)問(wèn)題。據(jù)說(shuō)他的解析幾何坐標(biāo)概念之靈感就是在作了“三個(gè)奇怪的夢(mèng)”之后得來(lái)的。
然而，晚年的笛卡爾卻被瑞典的克里斯汀女王看中，要笛卡爾給她講哲學(xué)晨課。女王喜歡早起，可憐的半老不老的笛卡爾只好違背他多年的作息習(xí)慣，每天早上五點(diǎn)爬起來(lái)給女王上課，最后終是適應(yīng)不了北歐嚴(yán)酷多雪的冬天，于 1650年罹患肺炎，一命嗚呼了！
談及十七世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)，不可不提當(dāng)年那位舉足輕重的人物：馬蘭·梅森（Marin Mersenne，1588－1648）【1】。梅森也是一位數(shù)學(xué)家，但他的貢獻(xiàn)主要不是在學(xué)術(shù)方面，這方面能列得出來(lái)的只有一個(gè)“梅森素?cái)?shù)”，而他的主演貢獻(xiàn)還在于“組團(tuán)”，也就是人們熟知的“梅森學(xué)院”。
梅森出身于法國(guó)的農(nóng)民家庭，不是貴族的他卻成了許多愛(ài)好科學(xué)的貴族間的聯(lián)系紐帶。梅森少時(shí)畢業(yè)于耶穌會(huì)學(xué)校，是笛卡爾的同校學(xué)長(zhǎng)，于1611年進(jìn)入修道院，成為天主教的一名教士。1626年，他把自己在巴黎的修道室，辦成了科學(xué)家們的聚會(huì)場(chǎng)所和交流信息中心，稱為“梅森學(xué)院”。這個(gè)聯(lián)系和組織人才的“科學(xué)沙龍”，實(shí)際上是后來(lái)開(kāi)明君王路易十四所創(chuàng)建并給予豐富贊助的“巴黎皇家科學(xué)院”的前身。因此，梅森為法國(guó)科學(xué)（特別是數(shù)學(xué)）的發(fā)展作出了巨大的貢獻(xiàn)。
?圖2：1666年，柯?tīng)栘悹栂蚵芬资囊]皇家科學(xué)院成員【2】。
梅森見(jiàn)多識(shí)廣、才華不凡，又性格隨和、平易近人，在其身邊聚集了一批優(yōu)秀的學(xué)者定期到修道室聚會(huì)。此外，當(dāng)時(shí)的梅森科學(xué)沙龍，還經(jīng)常以通信的方式互相聯(lián)系，或單獨(dú)與梅森聯(lián)系，報(bào)告、交流新的研究成果和思想，因此人們稱它為“移動(dòng)的科學(xué)刊物”。梅森去世后的遺產(chǎn)中留下了與78位學(xué)者的珍貴信函，其中包括笛卡爾、伽利略、費(fèi)馬、托里拆利、惠更斯等歐洲各國(guó)多個(gè)領(lǐng)域的科學(xué)家。例如，笛卡爾有20多年隱居荷蘭，在那兒完成了他的哲學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生理學(xué)等領(lǐng)域的許多主要著作，在此期間只有梅森定期與他保持通信聯(lián)系。
生活在法國(guó)南部的著名律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家皮埃爾·費(fèi)馬（Pierre de Fermat，1601－1665）也是通過(guò)書(shū)信的方式與梅森及其他數(shù)學(xué)同行保持聯(lián)系，他的不少數(shù)學(xué)成果都是在這些書(shū)信中誕生的。
還有荷蘭人克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens，1629－1695），他也是著名的物理學(xué)家、天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家。他曾經(jīng)師從笛卡爾，后來(lái)又通過(guò)書(shū)信交流成為梅森學(xué)院重要成員。梅森去世后，巴黎皇家科學(xué)院成立，惠更斯首任院長(zhǎng)，滯留巴黎近二十年。
神童帕斯卡
才華橫溢的帕斯卡參加到梅森學(xué)院聚會(huì)時(shí)年僅十四歲，而當(dāng)時(shí)的笛卡爾卻已經(jīng)過(guò)了不惑之年。然而，身世相仿的兩人關(guān)系卻并不融洽，反倒似有些嫉妒的陰影摻雜其中。
帕斯卡在他11歲那年創(chuàng)作了一篇有關(guān)身體振動(dòng)發(fā)出聲音的文章，使得懂?dāng)?shù)學(xué)的父親提高了警惕，禁止兒子15歲前繼續(xù)深研數(shù)學(xué)知識(shí)，以免他荒廢拉丁文和希臘文的學(xué)習(xí)。但有一天，12歲的帕斯卡用一塊木炭在地板上畫(huà)圖，發(fā)現(xiàn)了歐幾里德幾何的第32命題——三角形的內(nèi)角和等于兩直角。從那時(shí)起，父親改變了對(duì)兒子的想法，讓小帕斯卡繼續(xù)獨(dú)自琢磨幾何問(wèn)題，并隨后帶他旁聽(tīng)梅森修道院每周一次的聚會(huì)【3】。
?圖3：帕斯卡研究幾何和物理
帕斯卡16歲時(shí)寫(xiě)了一篇被稱作神秘六邊形的短篇論文“圓錐曲線專論”。文章中證明了一個(gè)圓錐曲線內(nèi)接六邊形的三對(duì)對(duì)邊延長(zhǎng)線的交點(diǎn)共線，這個(gè)結(jié)論現(xiàn)在被稱為“帕斯卡定理” （見(jiàn)圖3a）。文章寄給梅森神父后得到眾學(xué)者的極大贊賞，只有笛卡爾除外。
彼時(shí)的笛卡爾不常親臨巴黎的聚會(huì)，但看了帕斯卡的手稿后，一開(kāi)始拒絕相信這個(gè)手稿出自一個(gè)16歲少年之手，認(rèn)為是他的父親所寫(xiě)。后來(lái)，盡管梅森再三保證這是小帕斯卡的文章，笛卡爾仍然不屑一顧地聳聳肩膀，表明沒(méi)什么大不了的。但實(shí)際上，帕斯卡定理對(duì)射影幾何早期的發(fā)展起到了很大的推動(dòng)作用，向人們展示了射影幾何深刻、優(yōu)美、直觀的一面。
帕斯卡也喜歡研究物理問(wèn)題，針對(duì)真空及大氣壓的性質(zhì)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。十七世紀(jì)40年代，伽里略的弟子托里拆利（Evangelista Torricelli，1608-1647）發(fā)明了用水銀柱測(cè)量氣壓的方法，確定大氣壓強(qiáng)使得水銀柱上升約76厘米。實(shí)驗(yàn)結(jié)果激發(fā)了當(dāng)時(shí)的物理學(xué)家們思考和討論大氣壓力及空氣重量的問(wèn)題。
年輕的帕斯卡首先重復(fù)了托里拆利的試驗(yàn)，繼而進(jìn)一步猜測(cè)：如果將氣壓計(jì)放在一個(gè)高高的塔頂上，水銀柱上升的高度會(huì)因空氣更為稀薄而比76厘米要低，而空氣再稀薄下去便是“真空”。帕斯卡計(jì)劃用實(shí)驗(yàn)來(lái)證實(shí)他的這些想法。1647年，正好笛卡爾難得地來(lái)到巴黎并拜訪了這位小天才，據(jù)說(shuō)這是兩人唯一的一次會(huì)晤。笛卡爾同意帕斯卡的部分觀點(diǎn)，但卻對(duì)真空是否存在問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)和研究不以為然，笛卡爾認(rèn)為真空不存在，也不能用實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證，之后還對(duì)其他人嘲笑帕斯卡，說(shuō)他 “頭腦中的真空太多了！（has too much vacuum in his head.）”【4】。不過(guò)，在那次會(huì)面中，年輕的帕斯卡也不服輸，更不畏懼笛卡爾的權(quán)威，批駁了笛卡爾的某些哲學(xué)觀念，帕斯卡認(rèn)為：“心有其原因，原因不知道（We know the truth not only by the reason, but by the heart.）”【5】。
就在二人會(huì)晤的第二年，1648年9月19日，帕斯卡的姐夫在多姆山上按照帕斯卡的設(shè)計(jì)進(jìn)行了氣壓計(jì)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)證明在山腳和山頂水銀柱的高度相差一個(gè)不小的數(shù)目：3.15英寸！帕斯卡自己則在巴黎的一個(gè)52米高的塔頂上重復(fù)了類(lèi)似的實(shí)驗(yàn)（見(jiàn)圖3b）。實(shí)驗(yàn)成功地證實(shí)了帕斯卡關(guān)于水銀柱高度隨著海拔高度的增加而減少的猜測(cè)，震動(dòng)了科學(xué)界。后人為紀(jì)念帕斯卡的貢獻(xiàn)，將氣壓的單位用“帕”（帕斯卡的名字）來(lái)命名。
?圖4：帕斯卡原理和帕斯卡計(jì)算器
之后幾年，帕斯卡做了一系列物理實(shí)驗(yàn)，研究液體壓強(qiáng)的規(guī)律，不斷取得新發(fā)現(xiàn)，并有多項(xiàng)重大發(fā)明。帕斯卡總結(jié)了這些實(shí)驗(yàn)，于1654年發(fā)表論文《論液體的平衡》，并提出了著名的帕斯卡定律：密閉液體任一部分的壓強(qiáng)，將大小不變地向液體的各個(gè)方向傳遞。如圖4a所示，左邊是面積A1較小的活塞，右邊液面的面積是左邊的10倍（A2 =10 A1 ），如果在左邊的活塞上施加一個(gè)不太大的力F1，因?yàn)閴簭?qiáng)P可以大小不變地通過(guò)液體從左邊傳遞到右邊（P1 = P2），就將在右邊液面得到一個(gè)比F1大10倍的升力（ F2 = P2A2= 10 F1 ）。這個(gè)如今看來(lái)十分簡(jiǎn)單的原理成為液壓起重機(jī)以及所有液壓機(jī)械的工作基礎(chǔ)。
說(shuō)到重大發(fā)明，不可忽略帕斯卡設(shè)計(jì)的計(jì)算器，那是帕斯卡在未滿19歲時(shí)為了減輕他父親重復(fù)計(jì)算稅務(wù)收支而創(chuàng)造的一項(xiàng)發(fā)明。雖然巨大笨重、難以使用，且只能作加減法，但卻可以列為最早確立計(jì)算機(jī)器概念的機(jī)械計(jì)算器之一，也算得上如今人們手中的計(jì)算機(jī)之老祖宗了（圖4b）。
不僅如此，帕斯卡對(duì)數(shù)學(xué)還有一個(gè)大的貢獻(xiàn)：與費(fèi)馬一起開(kāi)拓了概率論這一數(shù)學(xué)分支。
概率論的誕生
十七世紀(jì)歐洲的貴族盛行賭博之風(fēng)，法國(guó)有一位叫德·梅雷的貴族，在擲骰子的游戲之余，也思考一點(diǎn)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，苦思不得其解時(shí)，便向帕斯卡請(qǐng)教。
1654年，他向帕斯卡請(qǐng)教了一個(gè)親身經(jīng)歷的“分賭注問(wèn)題”。故事大概如此：梅雷和賭友各自出32枚金幣，共64枚金幣作為賭注，雙方以擲骰子為賭博方式： 如果結(jié)果出現(xiàn)“6”， 則梅雷贏1分；如果結(jié)果出現(xiàn)“4”，則對(duì)方贏1分。雙方誰(shuí)先得到10分，誰(shuí)就贏得全部賭注。賭博如此進(jìn)行了一段時(shí)間，梅雷已得8分，對(duì)方也得了7分。但這時(shí)，梅雷接到緊急命令，要立即陪國(guó)王接見(jiàn)外賓，只好中斷賭博。那么問(wèn)題就來(lái)了：這64枚金幣的賭注應(yīng)該如何分配才合理呢？
這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上在十五、十六世紀(jì)時(shí)就已經(jīng)被提出，稱之為“點(diǎn)數(shù)分配問(wèn)題”。意思是說(shuō)，當(dāng)一場(chǎng)賭博半途中斷的情況下，應(yīng)該如何分配賭注？人們提出各種方案，但未曾得到公認(rèn)的合理答案。
就上面梅雷和賭友的例子。將賭注原數(shù)退回顯然不合理，沒(méi)有考慮賭博中斷時(shí)的輸贏情況，相當(dāng)于白賭了一場(chǎng)；將全部賭注歸于當(dāng)時(shí)的贏家也不公平，比如當(dāng)時(shí)：梅雷比對(duì)方多得一分，但他還差2分才贏，而對(duì)方差3分，如果繼續(xù)賭下去的話，對(duì)方也有贏的可能性。
帕斯卡對(duì)這個(gè)問(wèn)題十分感興趣。直觀而言，上述兩種方案顯然都不合理，賭博中斷時(shí)的梅雷應(yīng)該多得一些，但究竟應(yīng)該如何分配呢？也有人建議以當(dāng)時(shí)兩人比分的比例來(lái)計(jì)算：梅雷8分，對(duì)方7分，那么梅雷得全部賭注的8/15，對(duì)方得7/15。這種分法也有問(wèn)題，比如說(shuō)，如果甲乙雙方只賭了一局就中斷了，甲贏得1分，乙得0分。按此分法，甲將拿走全部賭注，顯然也是不合理的。
帕斯卡直覺(jué)地意識(shí)到，中斷賭博時(shí)賭注的分配比例應(yīng)與當(dāng)時(shí)的輸贏狀態(tài)與雙方約定的最終判據(jù)之距離有關(guān)。比如說(shuō)，梅雷已經(jīng)得了8分，距離10分的判據(jù)差2分，賭友7分，還差3分到10分。因此，帕斯卡認(rèn)為需要研究從中斷賭博那個(gè)“點(diǎn)”開(kāi)始，如果繼續(xù)賭博的各種可能性。為了盡快地解決這個(gè)問(wèn)題，帕斯卡以通信的方式與住在法國(guó)南部的費(fèi)馬（Pierre de Fermat）討論【6】。費(fèi)馬不愧是研究純數(shù)學(xué)的數(shù)論專家，很快列出了“梅雷問(wèn)題”中賭博繼續(xù)下去的各種結(jié)果。
?圖5：費(fèi)馬和帕斯卡對(duì)點(diǎn)數(shù)分配問(wèn)題的思路
梅雷原來(lái)的問(wèn)題是擲骰子賭“6點(diǎn)”或“4點(diǎn)”的問(wèn)題，但可以簡(jiǎn)化成拋硬幣的問(wèn)題：甲乙兩人拋硬幣，甲賭“正”，乙賭“反”，贏家得1分，各下賭注$10，先到達(dá)10分者獲取所有賭注。如果賭博在“甲8分、乙7分”時(shí)中斷，問(wèn)應(yīng)該如何分配這$20賭注？圖5a顯示了費(fèi)馬的分析過(guò)程：從賭博的中斷點(diǎn)出發(fā)，還至多需要拋4次硬幣來(lái)決定甲乙最后的輸贏。
這4次隨機(jī)拋丟或產(chǎn)生16種等概率的可能結(jié)果，如圖5a中最右側(cè)所列。因?yàn)椤凹宗A”需要結(jié)果中出現(xiàn)2次“正”，“乙贏”需要結(jié)果中出現(xiàn)3次“反”，所以，在16種結(jié)果中，有11種是“甲贏”，5種是“乙贏”。換言之，如果賭博沒(méi)有中斷，而是從中斷點(diǎn)的狀態(tài)繼續(xù)到底的話，可以如此算出甲贏的概率是11/16，乙贏的概率是5/16。賭博的中斷使得雙方按照這種比例失去了最后贏得全部賭注的機(jī)會(huì)，但按此比例來(lái)分配賭注應(yīng)該是合理的方法。所以，根據(jù)費(fèi)馬的分析思路，甲方應(yīng)該得$20×11/16=$13.75，乙方則得剩余的，或$20×5/16=$6.25。
帕斯卡十分贊賞費(fèi)馬思路之清晰，費(fèi)馬所得的結(jié)果也驗(yàn)證了帕斯卡自己得到的結(jié)論，雖然他用的是完全不一樣的方法。帕斯卡在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中提出了離散隨機(jī)變量“期望值”的概念。期望值是用概率加權(quán)后得到的“期望”的平均值。如圖5b所示，帕斯卡計(jì)算出從甲方的觀點(diǎn)，“期望”能得到的賭注分配為$13.75，與費(fèi)馬計(jì)算的結(jié)果一致。
期望是概率論中的重要概念，期望值則是概率分布的重要特征之一。它常被用在與賭博相關(guān)的計(jì)算中【7】。例如，賭場(chǎng)輪盤(pán)上有38個(gè)數(shù)字，每一個(gè)數(shù)字被選中的概率都是1/38。賭注（比如$1）押在其中一個(gè)數(shù)字上，如果押中，顧客得到35倍的獎(jiǎng)金（$35），否則賭注被賭場(chǎng)所得。藉此，我們可以計(jì)算顧客“贏”的期望值。
?圖6：輪盤(pán)對(duì)賭徒而言的期望值
圖6顯示了計(jì)算結(jié)果是一個(gè)負(fù)數(shù)：約等于-0.0526美元。也就是說(shuō)，平均起來(lái)顧客每賭1美元就會(huì)輸?shù)?美分，所以，賭場(chǎng)永遠(yuǎn)不會(huì)虧！
從研究擲骰子開(kāi)始，帕斯卡不僅僅引入了期望的概念，還發(fā)現(xiàn)了帕斯卡三角形（即楊輝三角），雖然楊輝早于帕斯卡好幾百年，但是帕斯卡將此三角形與概率、期望、二項(xiàng)式定理、組合公式等等聯(lián)系在一起，與費(fèi)馬一起為現(xiàn)代概率理論奠定了基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)學(xué)作出了不凡的貢獻(xiàn)。1657年，荷蘭科學(xué)家惠更斯在帕斯卡和費(fèi)馬工作的基礎(chǔ)上，寫(xiě)成了《論賭博中的計(jì)算》一書(shū)，被認(rèn)為是關(guān)于概率論的最早的系統(tǒng)論著，但人們?nèi)匀粚⒏怕收摰恼Q生日定為帕斯卡和費(fèi)馬開(kāi)始通信的那一天——1654年7月29日。
?圖7：帕斯卡三角
參考文獻(xiàn)：
【1】Marin Mersenne, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Marin_Mersenne
【2】引自維基百科French Academy of Sciences詞條。<original="https://pic4.zhimg.com/b814e84218fd2c3e83de751dd7337b9b_r.jpg">
【3】Blaise Pascal, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
【4】http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Pascal.html
【5】http://www.leaderu.com/apologetics/pascalmethodology.html
【6】Keith Devlin, The Unfinished Game: Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern, Basic Books, 2008. “FERMAT AND PASCAL ON PROBABILITY” https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/pascal.pdf
【7】Edward Packel, The Mathematics of Games and Gambling, Mathematical Association of America, 2006.
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