畢達哥拉斯在鐵匠鋪稱錘子？看似 “科學(xué)” 的故事哪里錯了
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編者按
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關(guān)于畢達哥拉斯，有著這樣一個廣為流傳的故事：有一天，畢達哥拉斯路過一家鐵匠鋪，聽到鐵錘打擊鐵砧的聲音，辨聽出了四度、五度和八度三種和諧音。他猜想，是由于鐵錘重量的不同導(dǎo)致了聲音的不同，于是通過稱量不同鐵錘的重量確認了這種關(guān)系。他發(fā)現(xiàn)：和諧悅耳的敲擊聲是由重量為12、9、8、6磅的鐵錘兩兩搭配時發(fā)出的。
有的文章甚至進一步發(fā)揮，說畢達哥拉斯禁不住激動地呼喊：“啊！阿波羅的和弦永遠在振動！”
與這個故事一起流傳的，還有下面這樣一幅版畫。
很可惜，這個故事文學(xué)上雖然生動，但科學(xué)上卻是錯的，應(yīng)該是一個訛傳。
遺憾的是，無論在中文還是英文網(wǎng)站，懷疑這個傳說的文章是少數(shù)，大多數(shù)文章未加懷疑地接受并傳播，隨便搜索一下就能查到十幾篇，題目包括：數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯、數(shù)學(xué)之父畢達哥拉斯、希臘數(shù)學(xué)作為自由學(xué)術(shù)的典范、和諧概念的意義、古希臘數(shù)秘術(shù)、科學(xué)家的故事、從數(shù)學(xué)中探究音樂美、感受數(shù)學(xué)之美、閑話數(shù)學(xué)與音樂、魅力數(shù)學(xué)、音樂中的數(shù)學(xué)、畢達哥拉斯琴弦實驗、音律中的數(shù)學(xué)原理、正兒八經(jīng)學(xué)樂理、九年義務(wù)教育沒系統(tǒng)教給你的一項能力、音樂背后的數(shù)學(xué)、把數(shù)學(xué)學(xué)成了宗教、原創(chuàng)通識課、音樂冷知識、好聽的音樂是怎么來的等等。內(nèi)容涵蓋了科學(xué)史專家論文、經(jīng)典課程教學(xué)筆記、數(shù)學(xué)通俗圖書、音樂知識視頻、科普文章等，有的甚至還經(jīng)過了名校一級教師的科學(xué)性把關(guān)。
另外我還看到，至少有兩本立意新穎、視角獨特、其他內(nèi)容都很好的書，里面包含了這個傳說，可謂是一個訛傳壞了一鍋湯。不僅如此，這個故事的結(jié)論還出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)教師的培訓(xùn)教材，成為某些培訓(xùn)機構(gòu)的考試題，甚至成為公民科學(xué)素質(zhì)科普知識的問答題。
實際上，至少從文森佐·伽利萊（伽利略·伽利萊的父親）那時起，就有很多人不斷質(zhì)疑這個傳說，但遺憾的是這么多年來，始終還是相信的人多。有的中學(xué)科學(xué)教師甚至明知這個傳說不是真的，但仍然認為這是一個很好的教學(xué)故事。因此，筆者覺得有必要寫一篇文章，講清楚這個傳說在科學(xué)上究竟錯在哪里。
為此，我們首先要討論一下，音樂的和諧是怎么回事。
音樂的和諧是怎么回事
音樂和諧與否或好聽與否是一種主觀感受，但我們可以通過已有的聲學(xué)原理，探尋這種主觀感受背后的客觀原因。
首先，我從手機應(yīng)用商店中下載安裝了一個可播放不同頻率正弦波的應(yīng)用軟件。（讀者可以用關(guān)鍵詞Oscillator在手機應(yīng)用商店搜索，可以獲得多種類似的免費應(yīng)用軟件。）
在下面這個視頻中，我們依次播放 220、330、440、550、660 和 880 赫茲的正弦波，然后將 440、550、660 和 880 赫茲的正弦波一起播放，大家可以聽一聽是否和諧。
上面這些音的頻率都是110赫茲的整倍數(shù)，與現(xiàn)代音樂中音符的對應(yīng)如下：
為了照顧不太熟悉樂理的讀者，我們這里把音符、頻率與唱名之間的關(guān)系做個簡單的介紹?，F(xiàn)代鋼琴和大多數(shù)音樂團體都使用440赫茲作為音符A（有時標(biāo)注為A4）的頻率基準，其他音符的頻率都由此按比例生成。我們平常唱歌時，任何音符都可以唱成 “哆”，比如在A大調(diào)中把A唱成 “哆”，把 “哆” 的頻率加倍，唱出來還是 “哆” 只不過是高了八度的 “哆”。同理把頻率減半，則降低八度，而音符和唱名不變。
如果一個音符的頻率與 “哆” 的頻率比值接近3:2，則這個音符聽上去是 “嗦”，比如我們上面表中的 330 與 660 赫茲（分別對應(yīng)220和440赫茲）。如果一個音符的頻率與 “哆” 的頻率比值接近5:4，那么這個音符聽上去就是 “咪”，比如上面中的 550 赫茲（對應(yīng)440赫茲）。
視頻中，我們將 440、550、660 和 880 赫茲的正弦波一起播放，這樣一個 “哆咪嗦哆” 的音符序列是一個很多音樂作品中都會使用的和弦，這是一個非常和諧好聽的頻率組合。
為什么這種幾個整倍數(shù)頻率關(guān)系的聲音組合在一起，人們會覺得好聽，或者說至少不難聽呢？準確的原因并不清楚，但我們可以猜測，原因之一也許是從自然感知而令人習(xí)以為常的。實際上，自然界中本來就存在著把這樣一種頻率組合放在一起的情形，例如，一頭牛悠揚長鳴 “哞——” 的聲音中，就存在基頻（基音的頻率，決定整個音的音高）以及基頻的2、3、4、5、6 等整數(shù)倍頻的成分。同樣，如果我們一展歌喉，拉個長音 “啊——”，也會得到如下圖所示的頻譜。
像牛叫這種單一音高穩(wěn)定持續(xù)的聲音，比起世間其他紛擾嘈雜的聲音，對人神經(jīng)系統(tǒng)的刺激應(yīng)該相對比較和緩，因而多數(shù)人不會感覺難聽。
回到音樂，當(dāng)若干個聲音的頻率之間存在簡單的整倍數(shù)關(guān)系時，這些聲音組合起來，大多數(shù)人聽上去是和諧的。
畢達哥拉斯傳說中的問題
在畢達哥拉斯與鐵匠鋪和錘子的傳說中（包括上文插入的的版畫），有 16、12、9、8、6、4 等數(shù)字，如果這些數(shù)字指的是頻率的相對值，則沒有問題。這些數(shù)字之間存在簡單整數(shù)比：16/12 = 12/9 = 8/6 = 4/3 ，前面提到的 440 和 330 赫茲就是這種頻率比值，這種組合起來的聲音聽上去的確是和諧的。
如果這些數(shù)字指的是琴弦的長度，也是說得通的。因為對于一根琴弦來說，在張力不變的情況下，其振動頻率與長度成反比，這些長度成簡單整數(shù)比的琴弦，振動頻率也是簡單整數(shù)比，也是和諧的。類似的情況如版畫中右下圖，這些數(shù)字指的是直管樂器的長度，而直管樂器的空氣柱振動頻率與長度成反比，這些長度成簡單整數(shù)比的直管，其振動頻率也是簡單整數(shù)比，也沒有問題。
問題在于在這個傳說和版畫的前三幅圖中，這些數(shù)字指的是錘子的重量、鐘或水杯的重量及琴弦的張力，這些參量與物體的振動頻率之間雖然相關(guān)，但卻不是正比或反比關(guān)系。因此，當(dāng)這些參量存在簡單整數(shù)比關(guān)系時，對應(yīng)物體的振動頻率不是簡單整數(shù)比，發(fā)出的聲音不會和諧。下面我們具體分析幾個例子。
琴弦的張力與振動頻率
我們首先分析一個比較簡單的例子，版畫中左下圖描繪畢達哥拉斯用琴弦試驗，琴弦用不同重量的重物拉緊，琴弦的張力等于重物的重量。
琴弦的振動頻率由下面的公式給出，它與琴弦的長度 L、弦的張力 T 以及弦的粗細（即單位長度的質(zhì)量，公式中的希臘字母μ）有關(guān)。
不難看出，在其他條件固定時，琴弦振動的頻率與長度成反比，越短的弦發(fā)出的聲音越尖銳。
雖然琴弦的振動頻率也與張力 T 相關(guān)，拉得越緊的弦越尖銳，但它們之間有個平方根。這樣一來，即使兩根弦的張力之間存在簡單整數(shù)比，它們振動的頻率也不是簡單整數(shù)比。
我們用掛了16和12單位重量重物的兩根弦來具體說明。當(dāng)弦的粗細以及長度相同的時候，張力比較大的弦振動頻率比較高，這兩根弦的張力比值為是一個簡單整數(shù)比（16/12=4/3），版畫的作者大概期待這兩根弦的頻率也是這個比值，但實際上卻不是。這兩根弦的振動頻率比值為（4/3）的平方根，亦即：sqrt(4/3)=1.1547，不是簡單整數(shù)比，因此，這兩個頻率的聲音組合起來是不和諧的。
如果張力為 12 的那根弦振動頻率為 440 赫茲，則張力為 16 的那根弦振動頻率為 440x1.1547 = 508 赫茲，在鋼琴上壓根沒有這個音符，它的頻率在 B 和 C 兩個鍵之間的 “縫” 里。如果把 440 赫茲唱成 “哆”，則 508 赫茲聽上去有點像 “來”，實際上要比 “來” 高半度的一半左右。我用手機生成了這樣兩個頻率，大家可以在下面的視頻中聽一聽，比較一下。
錘子的重量與振動頻率
金屬實心物體受到激勵會振動，從而發(fā)聲。通常情況下，一個物體會存在多個振動模式，每一種振動模式會有不同的頻率。一般而言，這些振動模式的振動頻率與傳說中錘子的重量（或體積）沒有簡單的正比或反比關(guān)系。因此，傳說中所謂 “和諧悅耳的敲擊聲是由重量為12、9、8、6磅的鐵錘兩兩搭配發(fā)出的” 這種情況幾乎不會出現(xiàn)。
如果我們硬要人為地希望這種情況出現(xiàn)：使某一個振動模式的頻率與錘子重量成正比或反比，則需要專門設(shè)計錘子的形狀，比如把錘子設(shè)計成圓柱體，這樣的錘子看上去更像鋼釬或者金箍棒，這種金箍棒的某些縱向振動模式與其長度成反比。如果畢達哥拉斯去的鐵匠鋪是用這種金箍棒打鐵，那么他倒是有可能通過稱重認識到和諧背后的數(shù)字原因，但鐵匠師傅們大概會被累死。而且這種振動模式必須沿著棒的軸線搗才能激勵出來，如果橫著敲，就會激勵出橫向振動模式，其頻率不再與長度成反比，而是與長度的平方成反比。
如果不限制錘子的三維尺寸，甚至可能出現(xiàn)有的情況下大錘子比小錘子頻率低、而有的情況下大錘子比小錘子頻率高的情形。這就更無法通過稱量不同鐵錘的重量認識聲音和諧背后的數(shù)量關(guān)系了。
關(guān)于鐘與水杯
版畫的右上圖顯示了幾個鐘，這是個值得聊一聊的話題。
在中國，已知最早的編鐘是在湖北隨州葉家山古墓出土的，年代為西周早期，距今3000多年。
而2500余年前的曾侯乙編鐘，則更加宏偉輝煌。曾侯乙編鐘在每個八度已經(jīng)有了完整的十二音，可以旋宮轉(zhuǎn)調(diào)（由于宮音在十二律上的位置移動而造成的調(diào)式轉(zhuǎn)換）。
編鐘是用青銅鑄造出來的，鑄造出來后，需要經(jīng)過鏟銼調(diào)音，才能獲得需要的音高。根據(jù)曾侯乙編鐘的銘文，考古學(xué)家們確認，調(diào)音是 “以弦定律”。也就是說，古代工匠們是利用琴弦的長度來確定兩個音符的頻率比例的。
因此，古人應(yīng)該是先通過人聲、管樂器與弦樂器等，師法自然，逐步認識了音律以及音符之間的和諧關(guān)系，然后才有可能制作出編鐘，而不會反著來。
版畫中還出現(xiàn)了水杯，水杯中水的質(zhì)量確實會影響振動的頻率，但這個影響同樣不是簡單的正比或者反比關(guān)系。如果將水杯簡化為簡諧振子（物理學(xué)中特定的重復(fù)運動質(zhì)點，例如懸掛在彈簧上的質(zhì)塊的振動），則振動的頻率與質(zhì)量的平方根成反比。前面我們已經(jīng)討論過，這樣一個平方根關(guān)系會破壞簡單整數(shù)比，從而無法產(chǎn)生和諧的頻率比。
很好的教學(xué)故事？
通過前面的分析，我們已經(jīng)知道畢達哥拉斯這個傳說在科學(xué)上是站不住腳的。這個故事和版畫出現(xiàn)于畢達哥拉斯死后至少幾百年，雖然寫這個故事的人努力讓故事符合當(dāng)時人們的常識，可是如果常識不會出錯，我們就不需要伽利略、牛頓、愛因斯坦和楊振寧了。
歷史上的傳說有很多是沒有史實根據(jù)的，對于非史實傳說，并不需要一概排斥，而應(yīng)該具體問題具體分析。
有些傳說雖然沒有史實根據(jù)，但本身并沒有科學(xué)性錯誤，這種傳說是可以作為教學(xué)故事的。比如伽利略從比薩斜塔上向下拋球，牛頓被蘋果砸頭等。
另有一些本身是以宗教神話等面目、而不是以科學(xué)故事的面目出現(xiàn)的，這些也不會給受眾帶來誤導(dǎo)。比如女媧補天、亞當(dāng)肋骨塑造夏娃、芝麻開門等等。
而一些傳說明明有科學(xué)錯誤，卻以科學(xué)故事的面目進行傳播，這是最成問題的。這類傳說包括愛迪生救媽媽之類，還有本文所述畢達哥拉斯在鐵匠鋪稱錘子的故事。希望大家今后在介紹這個故事時，至少應(yīng)該說明這個故事是有科學(xué)錯誤的，以避免進一步傳播誤導(dǎo)性信息。
此外，筆者還看到這個傳說的若干修改版本，大概修改者也意識到無法從鐵錘重量得出聲音和諧，于是修改成畢達哥拉斯從打鐵節(jié)奏獲得和諧的靈感，然后再回家發(fā)現(xiàn)音高上的和諧等等。筆者沒有在其他出處看到過這個觀察打鐵節(jié)奏的說法，這種說法應(yīng)該是近些年來的一些附會。
還有一個版本說：畢達哥拉斯聽到不同重量的鐵塊發(fā)出不同聲調(diào)的音，受到啟發(fā)，回家還繼續(xù)在琴弦上做實驗，發(fā)現(xiàn)相同的弦在不同的負重（即不同的張力）下，會發(fā)出不同的音高；而且他發(fā)現(xiàn)，如果兩者負重之比是2：1時，音高則相差正好八度，兩者負重之比是3:2時，音高則相差五度，負重之比是4：3時，音高相差四度。這個版本用了另一個科學(xué)錯誤來代替原來版本的科學(xué)錯誤：正如我們前面所指出的，琴弦的張力和頻率之間存在一個平方根的關(guān)系，而不是簡單的正反比關(guān)系。比如當(dāng)張力之比為2:1時，頻率之比為（根號2）：1，即1.414 : 1，這種情況下音高相差不是八度。
故事的其他版本：黃金分割比
畢達哥拉斯在鐵匠鋪的傳說還有一個版本，說他聽到打鐵聲音和諧（或者節(jié)奏好聽）后經(jīng)過稱重研究，發(fā)現(xiàn)了黃金分割比。這種說法同樣沒有可信出處，至少很多研究者復(fù)述的傳說中沒有提及黃金分割比的事情。
音樂中不同音符的和諧，源于它們頻率之間的比值為簡單整數(shù)比，和黃金分割并沒有關(guān)系。如果我們故意用黃金分割比（1.618 = 1/0.618）生成兩個頻率的聲音，合在一起并不好聽。比如把第一個音的頻率設(shè)定為 440 赫茲，即 A 大調(diào)的 “哆”，則第二個音的頻率為 440 x 1.618 = 712 赫茲。這個音在鋼琴鍵盤上不存在，處在兩個琴鍵的 “縫” 里，聽上去有點像 “啦”，但又比 “啦” 低。我們用手機生成這兩個頻率的正弦波，大家可以在下面的視頻中聽一聽，比較一下。
怎樣盡量避免科普內(nèi)容出現(xiàn)科學(xué)性錯誤？
科學(xué)內(nèi)容的準確是科學(xué)傳播文章的生命，現(xiàn)在的科普文章經(jīng)常會在互聯(lián)網(wǎng)上來回轉(zhuǎn)載，有時還會被其他作者參考改寫，甚至直接復(fù)制粘貼。因此一篇文章不慎出錯，往往會造成 “流毒甚廣” 的尷尬局面。畢達哥拉斯這個傳說的傳播者，很多都是熱心的科普作者，可是出了錯，還要其他熱心作者花力氣寫文章指出錯誤，澄清相關(guān)科學(xué)概念。
筆者自己的文章也出過錯，而更多的是所謂 “near miss”，也就是說幾乎出錯，但幸運地在發(fā)表前被改正了。人非圣賢孰能無過，寫文章出錯很難絕對避免，關(guān)鍵是怎樣盡量減少出錯。對此，筆者愿意與大家分享一下自己的看法。
首先對網(wǎng)上搜到的東西一定要自己理解消化，去偽存真。我們經(jīng)常會有一種潛意識，以為網(wǎng)上搜到的東西就是對的。這就需要我們用一種顯意識來克服這種潛意識，時時對科學(xué)問題的正確性保持警覺，對自己文章講的東西要自己真的理解明白，有一說一。
另外，在寫作心態(tài)上，應(yīng)盡量減少非科學(xué)的成分。科普工作是件好事，其中利他成分遠大于利己成分，值得而且應(yīng)該做好。但如果把科學(xué)傳播工作過分神圣化，把自己想象成盜火者啟蒙者，把受眾想象成矇昧之眾，這是不行的。在這種虛假優(yōu)越感的非科學(xué)心態(tài)干擾下，寫作者容易誤以為自己寫的都對，寫錯了讀者也不懂，因而不肯花功夫確保其內(nèi)容的嚴謹性。
所以，對科學(xué)保持敬畏，對讀者保持敬畏，這是減少科學(xué)傳播內(nèi)容出錯的必要條件。以上所思，謹與大家共勉。
制版編輯 | 盧卡斯
