阿蒂亞的思路與方法到底有沒有可取之處？
「這條路如果最終能夠走通，Atiyah的文章就是具有歷史意義的了?！?/span>
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撰文 | 葉揚(yáng)波
這幾天大家都非常關(guān)心Atiyah證明黎曼猜想的事情。作為一名數(shù)論工作者，我自然也非常關(guān)心，而且反復(fù)閱讀了Atiyah的兩篇論文?，F(xiàn)在所有的人都在說他的證明不對(duì)，我想要進(jìn)一步弄清楚（1）他是用什么思路什么方法來研究黎曼猜想的，（2）他的所謂證明是否嚴(yán)格，（3）即使他的證明是錯(cuò)的，他的思路方法是否有可取之處?，F(xiàn)在談?wù)勎业目捶ǎ匝a(bǔ)充大家的熱議。
首先給大家科普一下黎曼猜想。微積分里咱們學(xué)過，1/1，1/2，1/3，... 這些分?jǐn)?shù)無窮地加下去是無窮大。但是當(dāng)s>1的時(shí)候，如果給每一個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)取s次方，(1/1)^s, (1/2)^s, (1/3)^s, ... 無窮地加下去會(huì)得到一個(gè)有限的和。這個(gè)和叫做黎曼ζ-函數(shù)，記作ζ(s)。
如果你還學(xué)過復(fù)變函數(shù)論，就知道ζ(s)里的s不一定非取s>1不可，取實(shí)部Re(s)>1也可以，而且ζ(s)還可以解析延拓到整個(gè)復(fù)平面C上。可以證明這個(gè)函數(shù)在帶形區(qū)域0<Re(s)<1中有無窮多個(gè)零點(diǎn)，它們叫做非平凡零點(diǎn)。黎曼猜想是說所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部Re(s)=1/2。
黎曼ζ-函數(shù)（圖源：youtube）
要是上面提到的這兩門課你都沒有學(xué)過，說明你的數(shù)學(xué)學(xué)的太少了。那好，現(xiàn)在咱們回到前面提到的三個(gè)問題。
問題（2）最容易回答，老先生的文章的確有許多漏洞。比如最關(guān)鍵的Todd函數(shù)T(s)他說在任意凸區(qū)域內(nèi)是多項(xiàng)式，我覺得他應(yīng)該說T(s)在凸區(qū)域內(nèi)是局部多項(xiàng)式。他又說T(s)把直線Re(s)=1/2映射到自己，可是又說T(s)在這條直線上的極限為137.035999... 他說T(s)在這條直線上是單調(diào)增，可是他明明剛說過T(s)在凸區(qū)域1/4<Re(s)<3/4, |Im(s)|<a上是（局部）多項(xiàng)式。這樣的邏輯混亂使得這個(gè)Todd函數(shù)是否存在都令人懷疑，尤其是T(s)的定義也是給的不明不白的。
更加致命的錯(cuò)誤可能是用T(s)來證明黎曼猜想。老先生用T(s)和黎曼ζ-函數(shù)作了一個(gè)復(fù)合函數(shù)，宣稱該復(fù)合函數(shù)恒等于零，用這個(gè)矛盾推出黎曼猜想成立?？墒沁@個(gè)證明過程中沒有用到ζ(s)的任何性質(zhì)與定義，也就是說你可以把ζ(s)換成任何其他函數(shù)也能證明出來類似的定理。這就有點(diǎn)天方夜譚了。
Atiyah的證明是建立在實(shí)數(shù)域R上的von Neumann代數(shù)A和有理數(shù)域Q上的Hirzebruch代數(shù)A(Q)上的。這兩個(gè)代數(shù)超級(jí)巨大，比如A是2x2復(fù)矩陣代數(shù)與自身的無窮張量積的弱閉包。2x2復(fù)矩陣有兩個(gè)映射到復(fù)數(shù)域C，為矩陣映到其兩個(gè)特征值。老爺子把這兩個(gè)映射擴(kuò)充到A的中心C(A)上，用這兩個(gè)映射一來一回定義T(s)。可是矩陣代數(shù)的中心不是都由相同對(duì)角元素的對(duì)角矩陣組成的嗎？這兩個(gè)特征值是一樣的對(duì)不對(duì)？就算兩個(gè)特征值不一樣，你憑什么說哪個(gè)是第一個(gè)哪個(gè)是第二個(gè)？尤其是還要來一個(gè)無窮張量積，全裹和到一塊兒去了，這樣定義出來的T(s)實(shí)在令人費(fèi)解。
回到問題（1），大家已經(jīng)看出來了，Atiyah的理論是建立在巨大無比的兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)上的。這兩個(gè)巨大的代數(shù)一個(gè)在R上，一個(gè)在Q上，它們之間的關(guān)系包含了所有的數(shù)論信息。而以這兩個(gè)代數(shù)中的元素作為線性算子，它們的特征值為所謂的證明提供了核心的基礎(chǔ)框架。不管證明對(duì)不對(duì)，上面這幾句話概括了Atiyah的思路與方法。
那么問題（3）來了，到底Atiyah的思路與方法有沒有可取之處？
近年來數(shù)論界對(duì)黎曼猜想的研究，公認(rèn)的一個(gè)進(jìn)展是發(fā)現(xiàn)了黎曼ζ-函數(shù)的非平凡零點(diǎn)與重原子能級(jí)有同樣的統(tǒng)計(jì)分布。重原子能級(jí)是量子力學(xué)中Hamiltonian算子的特征值。這個(gè)發(fā)現(xiàn)一度被認(rèn)為是自黎曼猜想之后人類對(duì)黎曼ζ-函數(shù)的第二個(gè)重大發(fā)現(xiàn)。但是幾年之后一位學(xué)者在德國的一家圖書館翻閱黎曼數(shù)學(xué)手稿，赫然發(fā)現(xiàn)黎曼在計(jì)算黎曼ζ-函數(shù)零點(diǎn)的手稿的紙背，寫有大量關(guān)于原子能級(jí)的計(jì)算。這一下真相大白，原來黎曼早就意識(shí)到了非平凡零點(diǎn)與重原子能級(jí)之間的可能聯(lián)系。
從此數(shù)論學(xué)家們的目標(biāo)就是要找到這樣一個(gè)算子，使得它的特征值是黎曼ζ-函數(shù)的非平凡零點(diǎn)。然后通過研究這個(gè)算子，就像對(duì)稱算子特征值均為實(shí)數(shù)一樣，證明所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部均為1/2，從而證明黎曼猜想。而這個(gè)思路在有限域上的函數(shù)域上已經(jīng)被證明了。
在這個(gè)意義下來說，Atiyah的思路是對(duì)的。算子有了，特征值也出現(xiàn)了。是不是他用的von Neumann算子代數(shù)和Hirzebruch算子代數(shù)真的包含了大家夢(mèng)寐以求可以用來證明黎曼猜想的那個(gè)算子，或者可以在其之上構(gòu)建出這樣一個(gè)算子，我想在這未來的幾年里一定會(huì)研究輩出。大家翹首以待吧，或者最好親身加入這個(gè)研究的行列。這條路如果最終能夠走通，Atiyah的文章就是具有歷史意義的了。
作者簡介 葉揚(yáng)波博士于清華大學(xué)本科畢業(yè)，后來在美國哥倫比亞大學(xué)取得博士學(xué)位，專業(yè)方向?yàn)閿?shù)論與醫(yī)學(xué)成像。葉教授現(xiàn)在任職美國愛荷華大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，并兼職山東大學(xué)長江講座教授，山東大學(xué)齊魯醫(yī)學(xué)院高等醫(yī)學(xué)研究院研究員。
