概率之本質(zhì)—從主觀概率到量子貝葉斯 | 張?zhí)烊貙?/h3>
2017/07/26
導(dǎo)讀
薛定諤的貓究竟是死是活？
?圖片來(lái)源：pixabay
前面兩篇中所介紹的大數(shù)定律和中心極限定理，都是基于多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的經(jīng)典概率觀點(diǎn)，屬于概率論中的頻率學(xué)派。事實(shí)上，概率和統(tǒng)計(jì)中還有另一個(gè)極端的派別——貝葉斯學(xué)派。兩派的爭(zhēng)論焦點(diǎn)涉及到“什么是概率？概率從何而來(lái)？”等本質(zhì)問(wèn)題。
撰文 | 張?zhí)烊?/strong>
責(zé)編 | 呂浩然
概率論專欄
2017-03-16 上帝教人擲骰子——“神童”帕斯卡與概率論
2017-03-31 似是而非的答案：概率論悖論
2017-04-18 別相信直覺：概率論幫助偵破“財(cái)務(wù)造假”
2017-05-15 賭徒謬誤：賭博與大數(shù)定律
2017-06-24 無(wú)所不在的概率分布鐘型曲線
● ● ●
歷史回顧
托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes， 1702－1761）雖為英國(guó)的一位古人，卻在當(dāng)代科技界“紅”了起來(lái)，原因歸結(jié)于我們?cè)?jīng)在第二篇中介紹過(guò)的貝葉斯定理。這個(gè)定理現(xiàn)在被廣泛應(yīng)用于與人工智能密切相關(guān)的機(jī)器學(xué)習(xí)中。
當(dāng)年，貝葉斯研究過(guò)“白球黑球”的概率問(wèn)題。概率問(wèn)題可以正向計(jì)算，也能反推回去。下面舉正向計(jì)算的例子，比如，暗盒里有10個(gè)球，黑白兩種顏色。如果我們知道10個(gè)球中5白5黑，那么，如果我問(wèn)你，從中隨機(jī)取出一個(gè)球，這個(gè)球是黑球的概率是多大？問(wèn)題不難回答，當(dāng)然是50%！如果10個(gè)球是6白4黑呢？取出一個(gè)球?yàn)楹诘母怕蕬?yīng)該是40%。
再考慮復(fù)雜一點(diǎn)的情形：如果10個(gè)球中2白8黑，現(xiàn)在隨機(jī)取2個(gè)球，得到1黑1白的概率是多少呢？10個(gè)球取出2個(gè)的可能性總數(shù)為10*9=90種，1黑1白的情況有16種，所求概率為16/90，約等于17.5%。因此，只需進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的排列組合運(yùn)算，我們便可以在10個(gè)球的各種分布情形下，計(jì)算取出n個(gè)球，其中m個(gè)是黑球的概率。這些都是正向計(jì)算。
不過(guò)，貝葉斯當(dāng)時(shí)更感興趣的是反過(guò)來(lái)的問(wèn)題（可稱之為逆概率問(wèn)題）：假設(shè)我們預(yù)先并不知道盒子里黑球白球數(shù)目的比例，只知道總共是10個(gè)球，那么，如果我隨機(jī)地拿出3個(gè)球，發(fā)現(xiàn)是2黑1白。是否可以通過(guò)這個(gè)試驗(yàn)樣本（2黑1白），猜測(cè)盒子里白球黑球的比例呢？這就是逆概率問(wèn)題。
可以從最簡(jiǎn)單的拋硬幣試驗(yàn)來(lái)說(shuō)明“逆概率”問(wèn)題。假設(shè)我們不知道硬幣是不是兩面“公平”的，也就是說(shuō)，不了解這枚硬幣的物理偏向性，這時(shí)候，得到正面的概率p不一定等于50%。那么，逆概率問(wèn)題便是企圖從某個(gè)（或數(shù)個(gè)）試驗(yàn)樣本來(lái)猜測(cè)p的數(shù)值。
為了解決逆概率問(wèn)題，貝葉斯在他的論文中提供了一種方法，即貝葉斯定理：
后驗(yàn)概率 = 觀測(cè)數(shù)據(jù)決定的調(diào)整因子×先驗(yàn)概率
上述公式的意義，指的是對(duì)未知概率首先有一個(gè)“先驗(yàn)”猜測(cè)，然后結(jié)合觀測(cè)數(shù)據(jù)，修正先驗(yàn)，得到更為合理的“后驗(yàn)”概率。“先驗(yàn)”和“后驗(yàn)”是相對(duì)而言的，前一次算出的后驗(yàn)概率，可作為下一次的先驗(yàn)概率，與新的觀察數(shù)據(jù)相結(jié)合，再得到新的后驗(yàn)概率。因此，運(yùn)用貝葉斯公式，有可能對(duì)某種未知的不確定性逐次修正概率模型并得到最終結(jié)果，即解決逆概率問(wèn)題。
有關(guān)貝葉斯定理的論文，直到貝葉斯死后的1763年，才由朋友代為發(fā)表。后來(lái)，拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace,1749-1827）證明了貝葉斯定理的更普遍的版本，并將之用于天體力學(xué)和醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)中。
頻率學(xué)派和貝葉斯學(xué)派：客觀主觀之爭(zhēng)
也許貝葉斯當(dāng)初對(duì)他自己這個(gè)定理的意義認(rèn)識(shí)不足，恐怕也沒有料到由此可以啟發(fā)人們以一種全新的思考方式來(lái)看待概率和統(tǒng)計(jì)，并繼而發(fā)展成所謂的“貝葉斯學(xué)派”【1，2】。
貝葉斯學(xué)派，是相對(duì)于“頻率學(xué)派”而言的，二者更像是一種哲學(xué)爭(zhēng)論。頻率學(xué)派將概率定義為事件多次重復(fù)后發(fā)生的頻率之極限。但是，這只是代表我們使用概率這個(gè)名詞的某一種情況。很多時(shí)候，概率無(wú)法通過(guò)多次試驗(yàn)來(lái)得到，比如說(shuō)，今天北京下雨的概率，或者，加州某年某月某日地震的概率，這些是無(wú)法用多次重復(fù)來(lái)驗(yàn)證的。再比如說(shuō)，某個(gè)國(guó)家研制的導(dǎo)彈，命中1000公里外目標(biāo)的概率，理論上可以重復(fù)，但事實(shí)上并不會(huì)用多次重復(fù)來(lái)得到這個(gè)概率，因?yàn)榛ㄙM(fèi)太昂貴了。
從上面所舉的幾個(gè)實(shí)例可見，概率一詞所描述的是對(duì)“不確定性” 的度量。這種度量既有客觀因素，也有主觀因素。有時(shí)候，不確定性是物體的固有屬性，是獨(dú)立于主觀因素的客觀存在。比如硬幣或骰子，它的物理偏向性如何？某一面出現(xiàn)的概率是多少？是否“公平”？這些都是在物體的制造過(guò)程中決定了的，原則上可用頻率派多次實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)探索它的概率。但在某些情形，“不確定性”的客觀意義并不顯而易見，例如在清華對(duì)北大的某次籃球賽中，某人預(yù)言清華隊(duì)“贏”的概率，是他的個(gè)人觀點(diǎn)結(jié)合兩個(gè)球隊(duì)實(shí)力得出的主觀猜測(cè)，這時(shí)候，使用貝葉斯定理逐次更新概率模型的方法更為合適。
那么，概率到底是客觀的，還是主觀的？這便涉及到了“概率之本質(zhì)”的哲學(xué)問(wèn)題，因此，頻率派和貝葉斯派的爭(zhēng)論焦點(diǎn)實(shí)際上是哲學(xué)意義上的。如果僅就科學(xué)研究的意義上，兩個(gè)學(xué)派的統(tǒng)計(jì)學(xué)家基本上都承認(rèn)大數(shù)定律和中心極限定理，也都使用貝葉斯公式，只是兩派使用這些定理的方式和場(chǎng)合不完全一樣，各有利弊而已。
英國(guó)數(shù)學(xué)家及哲學(xué)家弗蘭克·拉姆齊（Frank Ramsey，1903-1930）在他1926年的論文中首次建議將主觀置信度作為概率的一種解釋，他認(rèn)為這種解釋可以作為頻率解釋的一個(gè)補(bǔ)充或代替。
?圖1：貝葉斯和拉姆齊
概率有時(shí)候是主觀的，比如以賽馬為例，大多數(shù)觀眾并不具備對(duì)馬匹和騎師等因素的全面知識(shí)，而只是憑主觀因素對(duì)賽馬結(jié)果下賭注，他們認(rèn)可的某個(gè)馬匹的獲勝概率反映的是他們的個(gè)人信念，因而是主觀概率。
科學(xué)有別于哲學(xué)，盡管物理世界是客觀存在的，解決問(wèn)題的科學(xué)方法卻總是人為的，難免摻進(jìn)主觀的因素，自覺或不自覺地，明顯的或隱含的。不管哪個(gè)派別，主觀性都在所難免。作為數(shù)學(xué)的應(yīng)用，必須具體問(wèn)題具體分析，哪種方法有效便使用哪一種，主觀還是客觀之說(shuō)法，只不過(guò)是凌駕于科學(xué)之上的“哲人”們對(duì)理論的不同詮釋，對(duì)解決具體問(wèn)題無(wú)濟(jì)于事。
頻率派強(qiáng)調(diào)概率的客觀性，一般用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率極限來(lái)描述概率；而貝葉斯派則將對(duì)不確定性的主觀置信度作為概率的一種解釋，并認(rèn)為：根據(jù)新的信息，可以通過(guò)貝葉斯公式不斷地導(dǎo)出或者更新現(xiàn)有的置信度。
在歷史上，貝葉斯統(tǒng)計(jì)長(zhǎng)期受到排斥，受到當(dāng)時(shí)主流的數(shù)學(xué)家們的拒絕。然而，隨著科學(xué)的進(jìn)步，貝葉斯統(tǒng)計(jì)在實(shí)際應(yīng)用上取得的成功慢慢改變了人們的觀點(diǎn)。貝葉斯統(tǒng)計(jì)慢慢地受到人們的重視，人們認(rèn)為它的思路更為符合科學(xué)研究的過(guò)程以及人腦的思維模式。目前貝葉斯概率已經(jīng)成為一個(gè)熱門研究課題，在機(jī)器學(xué)習(xí)中大展宏圖，在物理學(xué)中也有應(yīng)用。以下簡(jiǎn)單介紹量子力學(xué)詮釋中的“量貝模型”，看看貝葉斯方法如何啟發(fā)人們從不同的視角來(lái)思考問(wèn)題。
量子貝葉斯模型
盡管量子力學(xué)在應(yīng)用方面已經(jīng)取得了巨大的成就，但人們一直被種種詭異的量子現(xiàn)象所困擾，即使在頂尖物理學(xué)家之間，也難以達(dá)成共識(shí)，可謂眾說(shuō)紛紜。其中主流派的觀點(diǎn)，也就是大多數(shù)教科書上的解釋，被稱之為“哥本哈根詮釋”。
量子理論與經(jīng)典理論的不同之處以及哥本哈根詮釋，都可以借助“薛定諤的貓”來(lái)理解。
從日常生活經(jīng)驗(yàn)，一只貓要么死，要么活，不可能“既死又活”。但量子力學(xué)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果卻告訴我們，微觀粒子的狀態(tài)似乎是“死活”并存的（即波粒二象性），但我們又無(wú)法探索這種狀態(tài)的詳情，因?yàn)橐坏?shí)施測(cè)量，便沒有了既死又活的貓，結(jié)果只看到死貓或活貓。于是，哥本哈根詮釋解釋說(shuō)：在進(jìn)行測(cè)量之前，粒子的波函數(shù)為疊加態(tài)，一旦進(jìn)行測(cè)量，便干預(yù)了量子態(tài)，發(fā)生“波函數(shù)塌縮”，按照一定的概率塌縮到“死”“活”狀態(tài)之一。塌縮概率可根據(jù)波函數(shù)的平方來(lái)計(jì)算，這種特殊的疊加態(tài)及塌縮，便是量子力學(xué)奇妙現(xiàn)象之根源，但哥本哈根詮釋并未真正解決“既死又活”的薛定諤貓的量子悖論。更多有關(guān)量子及量子糾纏的內(nèi)容，請(qǐng)參考筆者在科學(xué)網(wǎng)和《物理》的系列文章【3】。
貝葉斯派的主觀概率思想與量子力學(xué)的哥本哈根詮釋在某些方面有異曲同工之妙，因此，在本世紀(jì)初，有三位學(xué)者發(fā)表了一篇題為《作為貝葉斯概率的量子概率》的短論文【4】，探索一種量子力學(xué)的新詮釋。三人都是經(jīng)驗(yàn)豐富的量子信息理論專家，他們將量子理論與貝葉斯派的概率觀點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，建立了“量子貝葉斯模型”，或簡(jiǎn)稱為“量貝模型”（QBism）。
量貝模型與哥本哈根詮釋有關(guān)，但又有所不同。哥本哈根詮釋認(rèn)為波函數(shù)是客觀存在，人為的“測(cè)量”干擾并破環(huán)了這個(gè)客觀存在，使得量子疊加態(tài)“塌縮”，從而造成悖論。量貝模型則認(rèn)為波函數(shù)并非客觀實(shí)在，只是觀察者所使用的數(shù)學(xué)工具。波函數(shù)不存在，也就沒有什么“量子疊加態(tài)”，如此便能避免詮釋所產(chǎn)生的悖論。
根據(jù)量子貝葉斯模型的詮釋，概率的發(fā)生并不是由物質(zhì)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)決定的，而是與觀察者對(duì)量子系統(tǒng)不確定性的置信度有關(guān)。他們將與概率有關(guān)的波函數(shù)定義為某種主觀信念，觀察者得到新的信息之后，根據(jù)貝葉斯定理的數(shù)學(xué)法則得到后驗(yàn)概率，不斷地修正觀察者本人的主觀信念。
量貝模型認(rèn)為：波函數(shù)是主觀的，但量子系統(tǒng)卻是獨(dú)立于觀察者而客觀存在的。每個(gè)觀察者使用不同測(cè)量技術(shù)，修正他們的主觀概率，對(duì)量子世界作出判定。在觀察者測(cè)量的過(guò)程中，真實(shí)的量子系統(tǒng)并不會(huì)發(fā)生奇怪的變化，變化的只是觀察者選定的波函數(shù)。對(duì)同樣的量子系統(tǒng)，不同觀察者可能得出全然不同的結(jié)論。觀察者彼此交流，修正各自的波函數(shù)來(lái)解釋新獲得的知識(shí)，于是，就逐步對(duì)該量子系統(tǒng)有了更全面的認(rèn)識(shí)。這也是貝葉斯方法的思維方式。
根據(jù)量貝模型，盒子里的“薛定諤貓”并沒有處于什么“既死又活”的恐怖狀態(tài)。但盒子外的觀察者對(duì)里面的“貓態(tài)”認(rèn)識(shí)不夠，不足以準(zhǔn)確確定它的“死活”，便主觀想象它處于一種死活二者并存的疊加態(tài)，并使用波函數(shù)的數(shù)學(xué)工具來(lái)描述和更新觀察者自己的這種主觀信念。
舉一個(gè)通俗例子來(lái)說(shuō)明此類主觀想像的“疊加態(tài)”。在2016年美國(guó)總統(tǒng)大選中，特朗普和希拉里都有“勝敗”的可能性，但結(jié)果難以預(yù)測(cè)。對(duì)某個(gè)特朗普的支持者而言，在不知道特朗普最后到底是“勝”還是“敗”之前，只能憑著他個(gè)人的主觀置信度來(lái)估計(jì)特朗普“勝敗”概率（比如52%：48%），這就像認(rèn)為特朗普是處于某種“勝敗”并存的疊加態(tài)中。這種疊加態(tài)的概率分配是這個(gè)人主觀的，其他人可能會(huì)有不同概率分配的主觀疊加態(tài)。
量貝模型創(chuàng)建者希望能用概率論來(lái)重新構(gòu)建量子力學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)理論。這個(gè)目標(biāo)尚未達(dá)成，結(jié)論如何，還需拭目以待。但貝葉斯方法為量子詮釋提供了一種新視角【5】。之后介紹機(jī)器學(xué)習(xí)時(shí)，還將更詳細(xì)討論貝葉斯方法，下一篇將著重介紹隨機(jī)過(guò)程。
參考文獻(xiàn)：
【1】維基百科：貝葉斯概率
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E6%A6%82%E7%8E%87
【2】Edwin Thompson Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science. Cambridge University Press, (2003).
【3】張?zhí)烊? 走近量子糾纏系列之三：量子糾纏態(tài)[J]. 物理, 2014, 43(09): 627-630.
http://www.wuli.ac.cn/CN/abstract/abstract61515.shtml
【4】C. M. Caves, C. A. Fuchs and R. Schack, “Quantum Probabilities as Bayesian Probabilities,” Phys. Rev. A65, 022305 (2002).
【5】Hans Christian Von Baeyer，QBism: The Future of Quantum Physics，Harvard University Press，10/3/2016。
制版編輯：呂浩然丨
評(píng)論
暫無(wú)評(píng)論內(nèi)容
?圖片來(lái)源：pixabay
前面兩篇中所介紹的大數(shù)定律和中心極限定理，都是基于多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的經(jīng)典概率觀點(diǎn)，屬于概率論中的頻率學(xué)派。事實(shí)上，概率和統(tǒng)計(jì)中還有另一個(gè)極端的派別——貝葉斯學(xué)派。兩派的爭(zhēng)論焦點(diǎn)涉及到“什么是概率？概率從何而來(lái)？”等本質(zhì)問(wèn)題。
撰文 | 張?zhí)烊?/strong>
責(zé)編 | 呂浩然
概率論專欄
2017-03-16 上帝教人擲骰子——“神童”帕斯卡與概率論
2017-03-31 似是而非的答案：概率論悖論
2017-04-18 別相信直覺：概率論幫助偵破“財(cái)務(wù)造假”
2017-05-15 賭徒謬誤：賭博與大數(shù)定律
2017-06-24 無(wú)所不在的概率分布鐘型曲線
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歷史回顧
托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes， 1702－1761）雖為英國(guó)的一位古人，卻在當(dāng)代科技界“紅”了起來(lái)，原因歸結(jié)于我們?cè)?jīng)在第二篇中介紹過(guò)的貝葉斯定理。這個(gè)定理現(xiàn)在被廣泛應(yīng)用于與人工智能密切相關(guān)的機(jī)器學(xué)習(xí)中。
當(dāng)年，貝葉斯研究過(guò)“白球黑球”的概率問(wèn)題。概率問(wèn)題可以正向計(jì)算，也能反推回去。下面舉正向計(jì)算的例子，比如，暗盒里有10個(gè)球，黑白兩種顏色。如果我們知道10個(gè)球中5白5黑，那么，如果我問(wèn)你，從中隨機(jī)取出一個(gè)球，這個(gè)球是黑球的概率是多大？問(wèn)題不難回答，當(dāng)然是50%！如果10個(gè)球是6白4黑呢？取出一個(gè)球?yàn)楹诘母怕蕬?yīng)該是40%。
再考慮復(fù)雜一點(diǎn)的情形：如果10個(gè)球中2白8黑，現(xiàn)在隨機(jī)取2個(gè)球，得到1黑1白的概率是多少呢？10個(gè)球取出2個(gè)的可能性總數(shù)為10*9=90種，1黑1白的情況有16種，所求概率為16/90，約等于17.5%。因此，只需進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的排列組合運(yùn)算，我們便可以在10個(gè)球的各種分布情形下，計(jì)算取出n個(gè)球，其中m個(gè)是黑球的概率。這些都是正向計(jì)算。
不過(guò)，貝葉斯當(dāng)時(shí)更感興趣的是反過(guò)來(lái)的問(wèn)題（可稱之為逆概率問(wèn)題）：假設(shè)我們預(yù)先并不知道盒子里黑球白球數(shù)目的比例，只知道總共是10個(gè)球，那么，如果我隨機(jī)地拿出3個(gè)球，發(fā)現(xiàn)是2黑1白。是否可以通過(guò)這個(gè)試驗(yàn)樣本（2黑1白），猜測(cè)盒子里白球黑球的比例呢？這就是逆概率問(wèn)題。
可以從最簡(jiǎn)單的拋硬幣試驗(yàn)來(lái)說(shuō)明“逆概率”問(wèn)題。假設(shè)我們不知道硬幣是不是兩面“公平”的，也就是說(shuō)，不了解這枚硬幣的物理偏向性，這時(shí)候，得到正面的概率p不一定等于50%。那么，逆概率問(wèn)題便是企圖從某個(gè)（或數(shù)個(gè)）試驗(yàn)樣本來(lái)猜測(cè)p的數(shù)值。
為了解決逆概率問(wèn)題，貝葉斯在他的論文中提供了一種方法，即貝葉斯定理：
后驗(yàn)概率 = 觀測(cè)數(shù)據(jù)決定的調(diào)整因子×先驗(yàn)概率
上述公式的意義，指的是對(duì)未知概率首先有一個(gè)“先驗(yàn)”猜測(cè)，然后結(jié)合觀測(cè)數(shù)據(jù)，修正先驗(yàn)，得到更為合理的“后驗(yàn)”概率。“先驗(yàn)”和“后驗(yàn)”是相對(duì)而言的，前一次算出的后驗(yàn)概率，可作為下一次的先驗(yàn)概率，與新的觀察數(shù)據(jù)相結(jié)合，再得到新的后驗(yàn)概率。因此，運(yùn)用貝葉斯公式，有可能對(duì)某種未知的不確定性逐次修正概率模型并得到最終結(jié)果，即解決逆概率問(wèn)題。
有關(guān)貝葉斯定理的論文，直到貝葉斯死后的1763年，才由朋友代為發(fā)表。后來(lái)，拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace,1749-1827）證明了貝葉斯定理的更普遍的版本，并將之用于天體力學(xué)和醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)中。
頻率學(xué)派和貝葉斯學(xué)派：客觀主觀之爭(zhēng)
也許貝葉斯當(dāng)初對(duì)他自己這個(gè)定理的意義認(rèn)識(shí)不足，恐怕也沒有料到由此可以啟發(fā)人們以一種全新的思考方式來(lái)看待概率和統(tǒng)計(jì)，并繼而發(fā)展成所謂的“貝葉斯學(xué)派”【1，2】。
貝葉斯學(xué)派，是相對(duì)于“頻率學(xué)派”而言的，二者更像是一種哲學(xué)爭(zhēng)論。頻率學(xué)派將概率定義為事件多次重復(fù)后發(fā)生的頻率之極限。但是，這只是代表我們使用概率這個(gè)名詞的某一種情況。很多時(shí)候，概率無(wú)法通過(guò)多次試驗(yàn)來(lái)得到，比如說(shuō)，今天北京下雨的概率，或者，加州某年某月某日地震的概率，這些是無(wú)法用多次重復(fù)來(lái)驗(yàn)證的。再比如說(shuō)，某個(gè)國(guó)家研制的導(dǎo)彈，命中1000公里外目標(biāo)的概率，理論上可以重復(fù)，但事實(shí)上并不會(huì)用多次重復(fù)來(lái)得到這個(gè)概率，因?yàn)榛ㄙM(fèi)太昂貴了。
從上面所舉的幾個(gè)實(shí)例可見，概率一詞所描述的是對(duì)“不確定性” 的度量。這種度量既有客觀因素，也有主觀因素。有時(shí)候，不確定性是物體的固有屬性，是獨(dú)立于主觀因素的客觀存在。比如硬幣或骰子，它的物理偏向性如何？某一面出現(xiàn)的概率是多少？是否“公平”？這些都是在物體的制造過(guò)程中決定了的，原則上可用頻率派多次實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)探索它的概率。但在某些情形，“不確定性”的客觀意義并不顯而易見，例如在清華對(duì)北大的某次籃球賽中，某人預(yù)言清華隊(duì)“贏”的概率，是他的個(gè)人觀點(diǎn)結(jié)合兩個(gè)球隊(duì)實(shí)力得出的主觀猜測(cè)，這時(shí)候，使用貝葉斯定理逐次更新概率模型的方法更為合適。
那么，概率到底是客觀的，還是主觀的？這便涉及到了“概率之本質(zhì)”的哲學(xué)問(wèn)題，因此，頻率派和貝葉斯派的爭(zhēng)論焦點(diǎn)實(shí)際上是哲學(xué)意義上的。如果僅就科學(xué)研究的意義上，兩個(gè)學(xué)派的統(tǒng)計(jì)學(xué)家基本上都承認(rèn)大數(shù)定律和中心極限定理，也都使用貝葉斯公式，只是兩派使用這些定理的方式和場(chǎng)合不完全一樣，各有利弊而已。
英國(guó)數(shù)學(xué)家及哲學(xué)家弗蘭克·拉姆齊（Frank Ramsey，1903-1930）在他1926年的論文中首次建議將主觀置信度作為概率的一種解釋，他認(rèn)為這種解釋可以作為頻率解釋的一個(gè)補(bǔ)充或代替。
?圖1：貝葉斯和拉姆齊
概率有時(shí)候是主觀的，比如以賽馬為例，大多數(shù)觀眾并不具備對(duì)馬匹和騎師等因素的全面知識(shí)，而只是憑主觀因素對(duì)賽馬結(jié)果下賭注，他們認(rèn)可的某個(gè)馬匹的獲勝概率反映的是他們的個(gè)人信念，因而是主觀概率。
科學(xué)有別于哲學(xué)，盡管物理世界是客觀存在的，解決問(wèn)題的科學(xué)方法卻總是人為的，難免摻進(jìn)主觀的因素，自覺或不自覺地，明顯的或隱含的。不管哪個(gè)派別，主觀性都在所難免。作為數(shù)學(xué)的應(yīng)用，必須具體問(wèn)題具體分析，哪種方法有效便使用哪一種，主觀還是客觀之說(shuō)法，只不過(guò)是凌駕于科學(xué)之上的“哲人”們對(duì)理論的不同詮釋，對(duì)解決具體問(wèn)題無(wú)濟(jì)于事。
頻率派強(qiáng)調(diào)概率的客觀性，一般用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率極限來(lái)描述概率；而貝葉斯派則將對(duì)不確定性的主觀置信度作為概率的一種解釋，并認(rèn)為：根據(jù)新的信息，可以通過(guò)貝葉斯公式不斷地導(dǎo)出或者更新現(xiàn)有的置信度。
在歷史上，貝葉斯統(tǒng)計(jì)長(zhǎng)期受到排斥，受到當(dāng)時(shí)主流的數(shù)學(xué)家們的拒絕。然而，隨著科學(xué)的進(jìn)步，貝葉斯統(tǒng)計(jì)在實(shí)際應(yīng)用上取得的成功慢慢改變了人們的觀點(diǎn)。貝葉斯統(tǒng)計(jì)慢慢地受到人們的重視，人們認(rèn)為它的思路更為符合科學(xué)研究的過(guò)程以及人腦的思維模式。目前貝葉斯概率已經(jīng)成為一個(gè)熱門研究課題，在機(jī)器學(xué)習(xí)中大展宏圖，在物理學(xué)中也有應(yīng)用。以下簡(jiǎn)單介紹量子力學(xué)詮釋中的“量貝模型”，看看貝葉斯方法如何啟發(fā)人們從不同的視角來(lái)思考問(wèn)題。
量子貝葉斯模型
盡管量子力學(xué)在應(yīng)用方面已經(jīng)取得了巨大的成就，但人們一直被種種詭異的量子現(xiàn)象所困擾，即使在頂尖物理學(xué)家之間，也難以達(dá)成共識(shí)，可謂眾說(shuō)紛紜。其中主流派的觀點(diǎn)，也就是大多數(shù)教科書上的解釋，被稱之為“哥本哈根詮釋”。
量子理論與經(jīng)典理論的不同之處以及哥本哈根詮釋，都可以借助“薛定諤的貓”來(lái)理解。
從日常生活經(jīng)驗(yàn)，一只貓要么死，要么活，不可能“既死又活”。但量子力學(xué)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果卻告訴我們，微觀粒子的狀態(tài)似乎是“死活”并存的（即波粒二象性），但我們又無(wú)法探索這種狀態(tài)的詳情，因?yàn)橐坏?shí)施測(cè)量，便沒有了既死又活的貓，結(jié)果只看到死貓或活貓。于是，哥本哈根詮釋解釋說(shuō)：在進(jìn)行測(cè)量之前，粒子的波函數(shù)為疊加態(tài)，一旦進(jìn)行測(cè)量，便干預(yù)了量子態(tài)，發(fā)生“波函數(shù)塌縮”，按照一定的概率塌縮到“死”“活”狀態(tài)之一。塌縮概率可根據(jù)波函數(shù)的平方來(lái)計(jì)算，這種特殊的疊加態(tài)及塌縮，便是量子力學(xué)奇妙現(xiàn)象之根源，但哥本哈根詮釋并未真正解決“既死又活”的薛定諤貓的量子悖論。更多有關(guān)量子及量子糾纏的內(nèi)容，請(qǐng)參考筆者在科學(xué)網(wǎng)和《物理》的系列文章【3】。
貝葉斯派的主觀概率思想與量子力學(xué)的哥本哈根詮釋在某些方面有異曲同工之妙，因此，在本世紀(jì)初，有三位學(xué)者發(fā)表了一篇題為《作為貝葉斯概率的量子概率》的短論文【4】，探索一種量子力學(xué)的新詮釋。三人都是經(jīng)驗(yàn)豐富的量子信息理論專家，他們將量子理論與貝葉斯派的概率觀點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，建立了“量子貝葉斯模型”，或簡(jiǎn)稱為“量貝模型”（QBism）。
量貝模型與哥本哈根詮釋有關(guān)，但又有所不同。哥本哈根詮釋認(rèn)為波函數(shù)是客觀存在，人為的“測(cè)量”干擾并破環(huán)了這個(gè)客觀存在，使得量子疊加態(tài)“塌縮”，從而造成悖論。量貝模型則認(rèn)為波函數(shù)并非客觀實(shí)在，只是觀察者所使用的數(shù)學(xué)工具。波函數(shù)不存在，也就沒有什么“量子疊加態(tài)”，如此便能避免詮釋所產(chǎn)生的悖論。
根據(jù)量子貝葉斯模型的詮釋，概率的發(fā)生并不是由物質(zhì)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)決定的，而是與觀察者對(duì)量子系統(tǒng)不確定性的置信度有關(guān)。他們將與概率有關(guān)的波函數(shù)定義為某種主觀信念，觀察者得到新的信息之后，根據(jù)貝葉斯定理的數(shù)學(xué)法則得到后驗(yàn)概率，不斷地修正觀察者本人的主觀信念。
量貝模型認(rèn)為：波函數(shù)是主觀的，但量子系統(tǒng)卻是獨(dú)立于觀察者而客觀存在的。每個(gè)觀察者使用不同測(cè)量技術(shù)，修正他們的主觀概率，對(duì)量子世界作出判定。在觀察者測(cè)量的過(guò)程中，真實(shí)的量子系統(tǒng)并不會(huì)發(fā)生奇怪的變化，變化的只是觀察者選定的波函數(shù)。對(duì)同樣的量子系統(tǒng)，不同觀察者可能得出全然不同的結(jié)論。觀察者彼此交流，修正各自的波函數(shù)來(lái)解釋新獲得的知識(shí)，于是，就逐步對(duì)該量子系統(tǒng)有了更全面的認(rèn)識(shí)。這也是貝葉斯方法的思維方式。
根據(jù)量貝模型，盒子里的“薛定諤貓”并沒有處于什么“既死又活”的恐怖狀態(tài)。但盒子外的觀察者對(duì)里面的“貓態(tài)”認(rèn)識(shí)不夠，不足以準(zhǔn)確確定它的“死活”，便主觀想象它處于一種死活二者并存的疊加態(tài)，并使用波函數(shù)的數(shù)學(xué)工具來(lái)描述和更新觀察者自己的這種主觀信念。
舉一個(gè)通俗例子來(lái)說(shuō)明此類主觀想像的“疊加態(tài)”。在2016年美國(guó)總統(tǒng)大選中，特朗普和希拉里都有“勝敗”的可能性，但結(jié)果難以預(yù)測(cè)。對(duì)某個(gè)特朗普的支持者而言，在不知道特朗普最后到底是“勝”還是“敗”之前，只能憑著他個(gè)人的主觀置信度來(lái)估計(jì)特朗普“勝敗”概率（比如52%：48%），這就像認(rèn)為特朗普是處于某種“勝敗”并存的疊加態(tài)中。這種疊加態(tài)的概率分配是這個(gè)人主觀的，其他人可能會(huì)有不同概率分配的主觀疊加態(tài)。
量貝模型創(chuàng)建者希望能用概率論來(lái)重新構(gòu)建量子力學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)理論。這個(gè)目標(biāo)尚未達(dá)成，結(jié)論如何，還需拭目以待。但貝葉斯方法為量子詮釋提供了一種新視角【5】。之后介紹機(jī)器學(xué)習(xí)時(shí)，還將更詳細(xì)討論貝葉斯方法，下一篇將著重介紹隨機(jī)過(guò)程。
參考文獻(xiàn)：
【1】維基百科：貝葉斯概率
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E6%A6%82%E7%8E%87
【2】Edwin Thompson Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science. Cambridge University Press, (2003).
【3】張?zhí)烊? 走近量子糾纏系列之三：量子糾纏態(tài)[J]. 物理, 2014, 43(09): 627-630.
http://www.wuli.ac.cn/CN/abstract/abstract61515.shtml
【4】C. M. Caves, C. A. Fuchs and R. Schack, “Quantum Probabilities as Bayesian Probabilities,” Phys. Rev. A65, 022305 (2002).
【5】Hans Christian Von Baeyer，QBism: The Future of Quantum Physics，Harvard University Press，10/3/2016。
制版編輯：呂浩然丨
