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圖片來自Pixabay

撰文 | 葛  顥（北京大學(xué)北京國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心副教授）

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這是我父親和我寫的一本新書，是我們參與、觀察和思考奧數(shù)多年的成果。

這是一本寫給家長(zhǎng)的書，希望給家長(zhǎng)們帶去對(duì)于奧數(shù)較為全面客觀的認(rèn)識(shí)，使得他們?cè)谧鞒鱿嚓P(guān)決策的時(shí)候可以更加合理和理性。

這里面有對(duì)什么是奧數(shù)、什么不是奧數(shù)、奧數(shù)有什么用的介紹，也有對(duì)于全民奧數(shù)的抨擊和反思，更有對(duì)于種種與奧數(shù)相關(guān)的怪現(xiàn)狀背后的社會(huì)根源的分析和推演。

這本書不是簡(jiǎn)單粗暴的“操作手冊(cè)”或者“治療方案”，而是更像一本講解科學(xué)或醫(yī)學(xué)原理的書。明白和掌握了這些原理，依然可能在作出具體決策的時(shí)候產(chǎn)生困惑，但是至少可以大大降低盲目性，大大提高決策的合理性。這就是本書的價(jià)值。

隨著奧數(shù)熱度的上升，在一些非正規(guī)出版社出版的教材中，在一些不具備奧數(shù)培訓(xùn)能力的老師的課堂上，難免會(huì)出現(xiàn)一些“假冒偽劣”的奧數(shù)題，需要大家加以區(qū)分。

首先，“腦筋急轉(zhuǎn)彎”的試題不是奧數(shù)。

例如，“北京大學(xué)本科讀多少時(shí)間？”四年嗎？不對(duì)，答案是“兩秒”。有趣是很有趣，但這與奧數(shù)無關(guān)，把這種題放在數(shù)學(xué)試卷中，那是“逗你玩”。

其次，個(gè)別胡編亂造的“教材”和考題更不是奧數(shù)。

個(gè)別胡編亂造的“教材”和考題不是奧數(shù)，這本來是不言自明的，不過常常有人用這些類型的題來非議奧數(shù)，例如2009年央視《實(shí)話實(shí)說》的一期節(jié)目中，有學(xué)者問奧數(shù)老師：“十一個(gè)蘋果三個(gè)孩子分，每一個(gè)人都要拿雙數(shù)，怎么分？”老師想了一會(huì)兒，有點(diǎn)尷尬地說：“此題無解?！?/p>

眾人一陣哄笑，那潛臺(tái)詞就是：“你看，奧數(shù)學(xué)的都是什么玩意兒！”這樣的批駁是不嚴(yán)肅的，這些只能說明奧數(shù)的培訓(xùn)學(xué)習(xí)及考試中存在嚴(yán)重亂象，絲毫也不能證明奧數(shù)本身有錯(cuò)，就如同不能拿被污染了的牛奶來論證牛奶有毒一樣。

第三，奧數(shù)并不是要求超前學(xué)。

比較有爭(zhēng)議和容易混淆的是所謂的“超前內(nèi)容”。 我們甚至看到，有些所謂的小學(xué)奧數(shù)競(jìng)賽題必須要用到初中的數(shù)學(xué)知識(shí)才能解答，而對(duì)于具備了初中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)生來講，那些題目其實(shí)很簡(jiǎn)單，既不巧妙，也沒有更為直觀的解題方法，那些都不能稱為奧數(shù)。

奧數(shù)教育，尤其是小學(xué)的奧數(shù)教育，并不提倡“提前學(xué)”，因?yàn)?

（1）那些知識(shí)到時(shí)間老師就會(huì)教，“提前學(xué)”是一種重復(fù)學(xué)，總體看是一種浪費(fèi)。

（2）教育專家編制的教學(xué)大綱是根據(jù)知識(shí)的連貫性及先后順序，根據(jù)大多數(shù)學(xué)生在不同年齡段所能接受和理解的程度來安排的，“提前學(xué)”違背了教學(xué)的規(guī)律，拔苗助長(zhǎng)，容易對(duì)學(xué)生造成傷害。

（3）即使有部分“提前學(xué)”的知識(shí)相對(duì)獨(dú)立而不是連貫的，是低年齡段的學(xué)生也能接受理解的，但要知道，教學(xué)大綱也是根據(jù)學(xué)生能夠投入的合理時(shí)間來安排的，“提前學(xué)”無疑擠占了學(xué)生合理的支出時(shí)間，犧牲了學(xué)生其他方面的學(xué)習(xí)和鍛煉。

總體來講，“提前學(xué)”、“提前考”違反了教育的客觀規(guī)律，它們不屬于奧數(shù)。

上述的這些“假冒偽劣”奧數(shù)的亂象，引發(fā)了很多對(duì)奧數(shù)本身的批評(píng)，但這恰恰是不對(duì)的，這些問題都不是出自奧數(shù)本身，都不是奧數(shù)的錯(cuò)。

奧數(shù)并不是數(shù)學(xué)的一個(gè)分類，奧數(shù)依然是數(shù)學(xué)，在中小學(xué)的各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中，所涉及的絕大部分都還是平時(shí)數(shù)學(xué)課堂上所教的知識(shí)，其間并沒有很明確的定義與界線。

但是奧數(shù)又明顯有別于普通的數(shù)學(xué)，兩者區(qū)別在哪兒呢？我們可以大致地描述一下。

第一，奧數(shù)在我國(guó)曾經(jīng)被稱為“趣味數(shù)學(xué)”。

因?yàn)閵W數(shù)題中，尤其是在小學(xué)奧數(shù)題中，許多都帶有很強(qiáng)的趣味性和游戲性。這類奧數(shù)題，題面看似簡(jiǎn)單，幾乎人人都能看明白；題意生動(dòng)有趣，但很有迷惑性；求解的方法很多，絕大多數(shù)人只會(huì)用笨辦法做，麻煩、費(fèi)時(shí)，而正確快捷的解答方法往往簡(jiǎn)單巧妙。

例1.如圖，甲、乙兩人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行，兩地距離是11千米。甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走5千米，甲帶著一條小狗，狗每小時(shí)跑12千米。這只狗同時(shí)同甲一起出發(fā)，當(dāng)它碰到乙后便轉(zhuǎn)回頭跑向甲；碰到甲又掉頭跑向乙……如此下去，直到甲、乙兩人相遇。問：小狗一共跑了多少千米？

這也是小學(xué)數(shù)學(xué)里的行程問題，凡學(xué)過行程問題的人都能看懂題意。中央電視臺(tái)曾經(jīng)有一檔節(jié)目專門討論奧數(shù)問題，其間主持人就舉出這個(gè)例題，他的本意是想通過這個(gè)例題來說明奧數(shù)題是多么荒誕和不可思議。

確實(shí)有些不可思議，想想看，這狗得來回跑多少趟呀！按常規(guī)，我們應(yīng)該一趟一趟地進(jìn)行計(jì)算，先計(jì)算狗第一次和乙碰面的時(shí)間和位置，然后再計(jì)算狗回頭和甲碰面的時(shí)間和位置，循此往下，直至甲、乙碰面，將狗跑的各段路程相加，得出結(jié)果。

這將是非常復(fù)雜的計(jì)算過程，沒有學(xué)過奧數(shù)的人基本就傻眼了。據(jù)說這還是一位外國(guó)朋友當(dāng)年給蘇步青教授做的題目，敢用來考大數(shù)學(xué)家，可見這道題該有多難，現(xiàn)在竟用如此難題考小學(xué)生，又該是多么荒誕。

其實(shí)這道題非常簡(jiǎn)單，完全在學(xué)生所學(xué)知識(shí)的范圍內(nèi)。甲、乙兩人和狗在這個(gè)過程中所花的時(shí)間是完全一樣的，只要先計(jì)算出甲、乙兩人從出發(fā)到碰面所花的時(shí)間就行，而這對(duì)于學(xué)過行程問題的小學(xué)生來說是很簡(jiǎn)單的，甲、乙兩人步行1小時(shí)就會(huì)相遇。已知了狗的速度，再求得狗所花的時(shí)間，那么狗跑的路程不就可以很簡(jiǎn)單地計(jì)算出來了嗎？很快就能算出狗跑了12千米。

沒見過這類題目的孩子，一開始肯定不會(huì)做，但一經(jīng)講解，就恍然大悟：“唉，我怎么沒想到！”這是一道典型的奧數(shù)題，起初的“難”與后來的“易”對(duì)比強(qiáng)烈，真是很奇妙，很有趣。這個(gè)題目考查的就是能否很快抓住問題的實(shí)質(zhì)，將學(xué)過的知識(shí)靈活運(yùn)用。

做這樣的奧數(shù)題，我們不只是學(xué)到一個(gè)游戲的取勝技巧，更重要的是學(xué)會(huì)如何分析問題、解決問題，同時(shí)也利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。趣味性強(qiáng)是小學(xué)階段奧數(shù)的顯著特點(diǎn)。

第二，奧數(shù)依然是數(shù)學(xué)，是課堂數(shù)學(xué)的拓展。

世界上最權(quán)威的分類法大概把數(shù)學(xué)分成了幾十個(gè)大類，一百多個(gè)小類。從小學(xué)高年級(jí)的一元一次方程開始算起，一直到高中畢業(yè)，在七八年的時(shí)間里，我們所涉及的數(shù)學(xué)類別也就是平面幾何、三角函數(shù)、線性方程（組）、解析幾何、立體幾何、集合論、不等式、數(shù)列等等。作為數(shù)學(xué)教育，當(dāng)然應(yīng)該以這些內(nèi)容為主，因?yàn)樗鼈兪菙?shù)學(xué)的核心方法和領(lǐng)域，但是這些內(nèi)容就連初等數(shù)學(xué)的范疇也沒有完全覆蓋。

奧數(shù)中有我們平常數(shù)學(xué)課上所不講、也沒有時(shí)間去講的一些數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)內(nèi)容，比如圖論、組合數(shù)學(xué)、數(shù)論等等，還有很重要的數(shù)學(xué)思想，比如構(gòu)造思想、特殊化思想、化歸思想等等。

這些領(lǐng)域的基本方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用是不需要專門的數(shù)學(xué)工具的，其中所使用的數(shù)學(xué)方法和思路是平時(shí)課堂教學(xué)中較少涉及的，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生來說，涉獵這類知識(shí)，有利于培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，拓展他們的思維，增強(qiáng)思維的條理性，它們是對(duì)課堂教學(xué)的補(bǔ)充與擴(kuò)展。

在奧數(shù)里面，特別是小學(xué)中低年級(jí)奧數(shù)中，還有很多內(nèi)容是來自中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著的方法和思想，比如“盈虧問題”，比如“雞兔同籠”；還有如小學(xué)高年級(jí)或中學(xué)奧數(shù)中要介紹的“中國(guó)剩余定理”等等。其中凝聚了中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的超凡智慧，并且與西方的數(shù)學(xué)方程思想很不一樣，獨(dú)辟蹊徑，自成一派，這也是中華優(yōu)秀文化遺產(chǎn)的一部分。但這些內(nèi)容在常規(guī)的數(shù)學(xué)教學(xué)中也很少講解。

第三，奧數(shù)題普遍比較難。

既然是為競(jìng)賽服務(wù)，當(dāng)然應(yīng)該有難度才行，它們是普通課堂內(nèi)容的深化和提高，不同的試題有多種不同的視角，需要有較深入的分析才可解答，這類考題可以考查學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度。

既然奧數(shù)是課堂數(shù)學(xué)的拓展，奧數(shù)競(jìng)賽是考查和選拔學(xué)生的重要手段，那么么，“難”就是必然的，這種“難”，不是基礎(chǔ)知識(shí)都還沒完全搞懂的“難”，更不是因?yàn)檫€沒有學(xué)過相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的“難”，而是雖然已經(jīng)學(xué)過并搞懂了基礎(chǔ)知識(shí)，但由于題目的巧妙、迷惑、曲折，使你很難發(fā)現(xiàn)很難想到的那種“難”。

現(xiàn)在我們可以大致地歸納一下：奧數(shù)就是有趣味的數(shù)學(xué)、有較大難度的數(shù)學(xué)、有好方法解決的數(shù)學(xué)、用來競(jìng)賽選拔的數(shù)學(xué)。

有專家學(xué)者對(duì)奧數(shù)的概念作了重要補(bǔ)充，據(jù)說他們經(jīng)過研究，只有5%左右的學(xué)生——學(xué)有余力，對(duì)數(shù)學(xué)興趣很濃且有數(shù)學(xué)天賦的學(xué)生——適合學(xué)習(xí)奧數(shù)，所以奧數(shù)是只適合“少部分學(xué)有余力的學(xué)生”學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)。

這個(gè)說法應(yīng)該沒錯(cuò)，奧數(shù)確實(shí)比較難，也需要投入更多的時(shí)間，少數(shù)學(xué)有余力的學(xué)生，因?yàn)樗麄兝斫饽芰?qiáng)，學(xué)習(xí)的效率高，有多余的時(shí)間和精力可以投入奧數(shù)學(xué)習(xí)。

但是我們認(rèn)為有必要對(duì)專家學(xué)者的補(bǔ)充再補(bǔ)充一下：奧數(shù)的難度其實(shí)是有難有易、有深有淺的，需要投入的時(shí)間也是可多可少可以酌情掌握的，最適合的才是最好的。

作為家長(zhǎng)，應(yīng)該請(qǐng)懂奧數(shù)的人幫助判斷教材的難易，了解不同培訓(xùn)班的教學(xué)進(jìn)度，然后根據(jù)自家孩子的情況，決定選學(xué)什么深度、什么進(jìn)度的奧數(shù)。

這就像體操運(yùn)動(dòng)，少數(shù)有天賦的孩子可以學(xué)吊環(huán)、鞍馬、平衡木、高低杠等高難度運(yùn)動(dòng)，一般的孩子可以練習(xí)倒立、劈叉、簡(jiǎn)易的自由體操等等，“運(yùn)動(dòng)細(xì)胞”特別缺乏的孩子，學(xué)學(xué)廣播體操，做做前滾翻后滾翻也是會(huì)有收益的。

奧數(shù)也是一樣，所以從這個(gè)意義上講，只要掌握得好，奧數(shù)也是適合相當(dāng)一部分學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)。

以上文章節(jié)選自《奧數(shù)，我的孩子要不要學(xué)——寫給困惑中的中國(guó)家長(zhǎng)》（華東師范大學(xué)出版社出版）一書，《知識(shí)分子》獲作者授權(quán)刊發(fā)。