日本數(shù)學(xué)家伊藤清（Kiyoshi Ito，1915年9月7日-2008年11月10日），因在概率論方面的奠基性工作被授予1987年的沃爾夫獎(jiǎng)。
日本數(shù)學(xué)家伊藤清教授因在概率論方面的奠基性工作而獲得了1987年的沃爾夫獎(jiǎng)，并于1998年獲得京都獎(jiǎng)，2006年獲得首屆高斯獎(jiǎng)。 伊藤清的工作集中于概率論，特別是隨機(jī)分析領(lǐng)域，他被譽(yù)為“現(xiàn)代隨機(jī)分析之父”，因他命名的理論有伊藤引理、伊藤積分、伊藤過程等。他的研究不僅推動(dòng)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，還對(duì)物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。 在其思想文集《世界是概率的》一書中，伊藤清回顧了自己早年是如何開始研究數(shù)學(xué)，尤其是深入研究概率論的。那是在我上小學(xué)一二年級(jí)時(shí)候的事情。我的朋友 I 有一個(gè)在高等女子中學(xué)（相當(dāng)于現(xiàn)在的初中）讀書的姐姐。她的成績(jī)非常優(yōu)秀，是我崇敬的對(duì)象?；蛟S我也曾向她請(qǐng)教過復(fù)雜漢字的讀法等學(xué)習(xí)方面的內(nèi)容吧，不過我一點(diǎn)印象也沒有。但她對(duì)我說(shuō)過的一句話，在 55 年后的今天，依然清晰地刻在我的心中。有一次她問我哲學(xué)是什么，我自然回答“不曉得”，而后她給我看了字典，說(shuō)：“哲學(xué)是一門研究宇宙的原理與法則的學(xué)問?！?/span>我不認(rèn)為當(dāng)時(shí)只有小學(xué)一二年級(jí)的自己可以讀懂這些字，更不要提理解這句話的意思了，但這些都沒有妨礙它成為我一生都無(wú)法忘卻的一句話。進(jìn)入（舊制）中學(xué)之后，雖然我知道了這句話中每個(gè)字的寫法，但第一次寫下這句話，卻是在寫這篇文章的時(shí)候。
當(dāng)時(shí)的中學(xué)課程中并沒有開設(shè)哲學(xué)這個(gè)科目，可上了高中（舊制八高）后，哲學(xué)則成為學(xué)生們之間的潮流文化。笛卡爾、康德、叔本華、馬克思、唯心論、唯物論、觀念論等哲學(xué)之談不絕于耳。文科生中不乏有研讀康德《純粹理性批判》德語(yǔ)原版書的熱忱之士。我也難免卷入這哲學(xué)的旋渦中，與別人激烈地進(jìn)行討論。但坦白講，哲學(xué)青年之間的討論太過主觀和注重精神層面，有些形而上。作為理科生，我感覺這類東西無(wú)法真正滿足我的內(nèi)心。我下意識(shí)地覺得，I 的姐姐所說(shuō)的“研究宇宙的原理與法則的學(xué)問”，是一種更加客觀的哲學(xué)，那樣的哲學(xué)才是我想學(xué)習(xí)的。我第一次觸碰到類似“研究宇宙的原理、法則的學(xué)問”，是我在高中三年級(jí)和大學(xué)（東京大學(xué)理學(xué)部數(shù)學(xué)專業(yè)）學(xué)習(xí)“牛頓力學(xué)與微積分的關(guān)聯(lián)”的時(shí)候。落體運(yùn)動(dòng)、拋體運(yùn)動(dòng)、天體運(yùn)動(dòng)，全部可以依據(jù)牛頓三大運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，通過解微分方程確定下來(lái)。我感慨萬(wàn)千，這不就是“研究宇宙的原理與法則的學(xué)問”嗎？宇宙雖然是包括自然界、人類世界等森羅萬(wàn)象的總稱，但直觀上的宇宙總是讓我們想到繁星閃爍的無(wú)窮空間。如果說(shuō)無(wú)數(shù)星體的運(yùn)動(dòng)都遵從牛頓的微分方程，那微分方程就是 “宇宙的原理與法則”吧。后來(lái)，當(dāng)了解到流體力學(xué)、電磁學(xué)也可以用偏微方程來(lái)描述，我便確信數(shù)學(xué)就是我在追尋的“研究宇宙的原理、法則的學(xué)問”。然而，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的主流是抽象的純粹數(shù)學(xué)，即研究數(shù)學(xué)概念的邏輯結(jié)構(gòu)。像 18 世紀(jì)、19 世紀(jì)那樣，去研究宇宙的原理與法則的數(shù)學(xué)，則是數(shù)學(xué)界的支流。雖然我對(duì)純粹數(shù)學(xué)也有興趣，但是總覺得純粹數(shù)學(xué)無(wú)法帶給我牛頓力學(xué)曾給予我的那種感動(dòng)。當(dāng)時(shí)的熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)，像理論物理學(xué)的其他領(lǐng)域一樣，還沒有從數(shù)學(xué)上得到系統(tǒng)性整理。這是因?yàn)榕c這些領(lǐng)域密切相關(guān)的數(shù)學(xué)手段——概率論尚未得到充分發(fā)展。我大學(xué)畢業(yè)時(shí)，概率論終于具備了大致的數(shù)學(xué)形態(tài)，我也對(duì)這方面的研究產(chǎn)生了濃厚的興趣。我隱約感覺，這個(gè)領(lǐng)域能夠?qū)崿F(xiàn) I 的姐姐所說(shuō)的“哲學(xué)”。就這樣，隨機(jī)過程論成了我的研究方向。幸運(yùn)的是，這一理論后來(lái)引起了數(shù)學(xué)家的普遍關(guān)注，在 40 年間獲得飛躍性發(fā)展，而我也在這個(gè)過程中享受著研究的樂趣。我大學(xué)畢業(yè)不久后，就走上了隨機(jī)微分方程的研究道路，我想這也是 I 的姐姐那句話的指引吧。數(shù)學(xué)分為純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。純粹數(shù)學(xué)的著力點(diǎn)在于研究數(shù)學(xué)概念的邏輯結(jié)構(gòu)。應(yīng)用數(shù)學(xué)，我認(rèn)為是為了描述“宇宙的原理、法則”而構(gòu)建出的數(shù)學(xué)。在我的研究過程中，我愈發(fā)感受到這一點(diǎn)，并覺得應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)該稱為“數(shù)理科學(xué)”或者“數(shù)理解析學(xué)”。仔細(xì)想來(lái)，“研究宇宙的原理與法則”這種客觀的態(tài)度，并不屬于哲學(xué)家，而屬于數(shù)理解析學(xué)研究者。哲學(xué)的考察包括主觀、客觀，是一種內(nèi)面性的東西。我高中時(shí)期遇到的那些哲學(xué)青年，他們的哲學(xué)就是這種意義上的哲學(xué)。I 的姐姐告訴我的那種“哲學(xué)”，與其說(shuō)是哲學(xué)，不如說(shuō)是“數(shù)理解析學(xué)”。我從“哲學(xué)”“純粹數(shù)學(xué)”之間跋涉而來(lái)，終于找到了“數(shù)理解析學(xué)”之路?，F(xiàn)在，我在京都大學(xué)的數(shù)理解析研究所工作，想必這也是 I 的姐姐那句話在我心底生根的結(jié)果吧。與 I 的姐姐的那次對(duì)話后，我們就沒有再見過面。根據(jù)我的年齡來(lái)計(jì)算，她應(yīng)該已近古稀之年。最近，我參加了一次中學(xué)的同學(xué)會(huì)，偶然得知她是同學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng) W 的妻子。時(shí)隔 55 年，我們?cè)陔娫捴性俅螌?duì)話，彼此都產(chǎn)生了一種莫名的懷念之情。那個(gè)時(shí)候，她給我看的辭典是《言?！贰Ｎ艺襾?lái)當(dāng)年那一版《言?！?，翻看“哲學(xué)”詞條的釋義，結(jié)果發(fā)現(xiàn)辭典中并沒有“研究宇宙的原理與法則的學(xué)問”的描述。如此想來(lái)，那應(yīng)該是她用自己的話給出的解釋，而我就是跟隨那句話的指引，一直在研究的道路上前行，真是令人無(wú)限感慨。1938 年，我從東京大學(xué)理學(xué)部數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)。從這一年到我獲得名古屋大學(xué)助教職位的 1943 年，我居住在東京，就職于大藏省內(nèi)閣統(tǒng)計(jì)局。我的數(shù)學(xué)研究正是起步于這 5 年。
乍一看雜亂無(wú)章的現(xiàn)象中蘊(yùn)藏著統(tǒng)計(jì)法則這一事實(shí)，自學(xué)生時(shí)代就十分吸引我，我有一種模糊的感覺，這類問題要靠概率論這一數(shù)學(xué)分支來(lái)解決。于是，我從大三便開始閱讀概率論相關(guān)的論文和著作，在此過程中，漸漸掌握了統(tǒng)計(jì)法則中的數(shù)學(xué)本質(zhì)。只是當(dāng)時(shí)的研究對(duì)于隨機(jī)變量這個(gè)基本概念只做了直觀說(shuō)明，并沒有給出明確的定義，難免給人一種不足的感覺。基于嚴(yán)密的定義創(chuàng)建數(shù)學(xué)體系在現(xiàn)在看來(lái)是理所應(yīng)當(dāng)?shù)模@一理念覆蓋整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域還是最近的事。即使是微積分學(xué)，也是在 19 世紀(jì)末嚴(yán)密定義了實(shí)數(shù)之后，才稱得上是一個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系。我有幸學(xué)習(xí)了這一體系下的微積分學(xué)課程。但是，當(dāng)時(shí)概率論相關(guān)的論文和著作，并不是在這樣的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的角度下完成的。按微積分學(xué)的發(fā)展來(lái)類比的話，這些論文和著作還停留在 19 世紀(jì)。我在煩惱該如何定義隨機(jī)變量這一概率論的基礎(chǔ)概念時(shí)，發(fā)現(xiàn)了蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫所著的《概率論基礎(chǔ)概念》一書。其實(shí)，在大一時(shí)我就曾在丸善書店看到過這本書，但當(dāng)時(shí)我對(duì)它毫無(wú)興趣。大學(xué)畢業(yè)后再次與這本書相遇時(shí)，我便知道它能滿足我的求知欲，于是一口氣把它讀完了。書中將隨機(jī)變量定義為概率空間中的函數(shù)，通過引入測(cè)度論嘗試將概率論體系化。站在這個(gè)全新的角度后，一直以來(lái)朦朧不清的東西就如撥云見日一般明朗起來(lái)，由此我也確信概率論確實(shí)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903年4月25日－1987年10月20日），對(duì)概率論公理化所作出的貢獻(xiàn)巨大。圖源：維基百科打好基礎(chǔ)后，接下來(lái)便是概率論的內(nèi)容了。當(dāng)時(shí)大部分的研究將重點(diǎn)放在了統(tǒng)計(jì)法則的數(shù)學(xué)分析上，研究獨(dú)立隨機(jī)變量序列的行為。拿微積分學(xué)來(lái)說(shuō)，這部分內(nèi)容就好比級(jí)數(shù)理論。當(dāng)然概率論的內(nèi)容更難，也更豐富，但與當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)中的其他分支比起來(lái)還是略顯單薄，讓人難以全情投入。我對(duì)概率論的內(nèi)容真正產(chǎn)生興趣是在拜讀了法國(guó)數(shù)學(xué)家保羅·皮埃爾·萊維（Paul Pierre Lévy）在 1937 年提出的關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量之和的理論之后。該理論是向隨機(jī)過程（概率論中的一個(gè)概念，相當(dāng)于微積分學(xué)中的函數(shù)）的正式研究邁進(jìn)的一大步，我從中找到了新概率論真正的本質(zhì)，決定傾盡全部深入研究。
法國(guó)數(shù)學(xué)家萊維（Paul Lévy，1886年9月15日-1971年12月15日），是概率論和隨機(jī)過程理論的開創(chuàng)者之一。圖源：維基百科如同大多數(shù)開拓者所做的工作那樣，萊維的理論中有很多地方也是憑直覺來(lái)敘述的，晦澀難懂。我使用美國(guó)數(shù)學(xué)家杜布（Doob）引入的正則化這個(gè)概念，試圖將萊維的理論以柯爾莫哥洛夫式的嚴(yán)密的敘述風(fēng)格來(lái)改寫。經(jīng)過諸多嘗試，我最終實(shí)現(xiàn)了這個(gè)目標(biāo)。這就是我最初發(fā)表的論文，現(xiàn)在大家已經(jīng)習(xí)慣用我的方法來(lái)敘述萊維的理論了。
美國(guó)數(shù)學(xué)家杜布（Joseph Doob，1910年2月27日-2004年6月7日）的研究主要包括概率論、復(fù)函數(shù)、遍歷理論和公理勢(shì)理論等。圖源：美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)萊維的理論雖是針對(duì)獨(dú)立增量過程的研究，但以此為起點(diǎn)，我也開始逐漸研究一般化的馬爾可夫過程。在這些研究中，柯爾莫哥洛夫的研究與偏微分方程有很深的關(guān)聯(lián)，這一點(diǎn)著實(shí)吸引著我。我想將這個(gè)研究，按萊維對(duì)獨(dú)立增量過程的理解，整理成自己可以接受的形式。在思考過程中，我找到了隨機(jī)微分方程這一方式。這是我后面研究的出發(fā)點(diǎn)，也是我現(xiàn)在仍在研究的內(nèi)容。論文在最初發(fā)表時(shí)并未受到太多關(guān)注，但從十幾年前開始，不斷有研究者為這個(gè)理論的發(fā)展做出貢獻(xiàn)，現(xiàn)在它已成為概率論中非常重要的部分。我一直貫徹著按自己的做法解決自己想研究的問題這樣的態(tài)度，只因自己的性格就是如此，所以沒少走彎路，也時(shí)常苦于無(wú)法很快拿出成果。在摸索的過程中支撐著我的，便是我的恩師彌永昌吉先生。日本數(shù)學(xué)家彌永昌吉（Shokichi Iyanaga ，1906年4月2日－2006年6月1日）對(duì)培養(yǎng)日本數(shù)學(xué)界年輕一代有著重要貢獻(xiàn)，他對(duì)主要學(xué)生有菲爾茲獎(jiǎng)得主小平邦彥、首屆高斯獎(jiǎng)得主伊藤清、巖澤理論的巖澤健吉等。圖源：維基百科
彌永老師雖致力于數(shù)論的研究，但也擁有縱貫數(shù)學(xué)整體的廣闊視野。在研究還未成型的階段，即使我只將腹案告訴彌永老師，老師也會(huì)悉心聽取，并給我很好的啟發(fā)。有時(shí)他還會(huì)勉勵(lì)我說(shuō)：“你有自己想要解決的問題，有自己想創(chuàng)立的體系，這一點(diǎn)非常好?！比羰菦]有這些飽含溫情的話語(yǔ)，我恐怕已然受挫。借此機(jī)會(huì)，我也想向恩師表達(dá)最誠(chéng)摯的謝意。
本書為日本數(shù)學(xué)家、沃爾夫獎(jiǎng)、高斯獎(jiǎng)、京都獎(jiǎng)得主伊藤清的數(shù)學(xué)思想文集。書中梳理了他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、走上數(shù)學(xué)研究道路的經(jīng)歷，收錄了他關(guān)于“數(shù)學(xué)與科學(xué)”“直觀與邏輯”“純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)”“數(shù)學(xué)的科學(xué)性與藝術(shù)性”等方面的思考，同時(shí)也完整記錄了他創(chuàng)立著名的“伊藤引理”的過程與感悟。本書是了解伊藤清數(shù)學(xué)思想的珍貴資料，也可作為了解概率論相關(guān)概念與發(fā)展的讀本。本書已在“賽先生小店”上架，歡迎點(diǎn)擊圖片購(gòu)買。
