數(shù)學(xué)抽象化，對物理學(xué)的發(fā)展有何影響？
近代科學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的唇齒相依，是一般知道也認(rèn)同的?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)思維邏輯源自希臘的《幾何原本》，之后發(fā)展出愈益繁復(fù)或細(xì)致的計(jì)量衡形方法，在人類發(fā)展近代科學(xué)中，現(xiàn)代數(shù)學(xué)原本扮演著數(shù)量描述的關(guān)鍵角色，但是整體而論，還是一個(gè)從屬的定位，不過隨著近代科學(xué)理論發(fā)展日益深邃玄奧，現(xiàn)代數(shù)學(xué)逐漸起了一種主導(dǎo)的作用，不只是對于客觀現(xiàn)實(shí)做一個(gè)數(shù)值描述，更成為了主導(dǎo)客觀現(xiàn)實(shí)意義定義的思維體系。
前述想法是由月前看到的一篇書評所得，當(dāng)然也符合近些年來我對于科學(xué)理論中數(shù)學(xué)發(fā)展的一些認(rèn)知。這篇書評介紹的《公理學(xué)：數(shù)學(xué)思想和高等現(xiàn)代主義》認(rèn)為，數(shù)學(xué)家遵循歐幾里德《幾何原本》的一些公理，以及千百年一直未變的證明模式，但是當(dāng)前現(xiàn)代數(shù)學(xué)卻進(jìn)行巨大的變化，特別是在上世紀(jì)，簡單來說，這個(gè)巨變就是抽象化的日益深入，挑戰(zhàn)著數(shù)學(xué)的一些根本信念。
這本《公理學(xué)》的作者認(rèn)為，這個(gè)數(shù)學(xué)革命是主宰二十世紀(jì)藝術(shù)與社會科學(xué)現(xiàn)代主義運(yùn)動的核心，數(shù)學(xué)家對于抽象化的推動，反映于經(jīng)濟(jì)、社會、心理和政治科學(xué)的大趨勢，也受到大趨勢影響而在美國勃興。一些科學(xué)家認(rèn)為他們發(fā)展的抽象化數(shù)學(xué)，已由純粹解釋自然世界解放出來，就好像藝術(shù)的抽象表現(xiàn)主義，讓繪畫脫出真實(shí)世界是一樣的。
引導(dǎo)近代科學(xué)起步的代表人物牛頓，由歐幾里德《幾何原本》邏輯推理進(jìn)而發(fā)展出影響深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)原理，是近代科學(xué)歷史的一個(gè)共識。事實(shí)上，幾個(gè)世紀(jì)以來，近代西方知識思想的發(fā)展，由政治學(xué)到哲學(xué)倫理學(xué)，也都受到《幾何原本》邏輯推理的影響。但是現(xiàn)代數(shù)學(xué)由原本來自現(xiàn)實(shí)的公理出發(fā)進(jìn)而邏輯推理的發(fā)展，后來發(fā)展出不同的面貌，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家脫離過去歐幾里德《幾何原本》推理的現(xiàn)實(shí)局限，創(chuàng)生出他們自己所需要的公理，也早發(fā)展出非歐幾何。
二十世紀(jì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的抽象化受到許多歷史與人物影響，特別是在二十世紀(jì)，數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)的抽象與普遍化，并非乖違于真實(shí)世界，而是數(shù)學(xué)思維的如何能應(yīng)用于實(shí)際問題；數(shù)學(xué)不只是量測和計(jì)算，更能夠展現(xiàn)出相關(guān)概念的隱藏結(jié)構(gòu)。這樣的思維發(fā)展就不只是如何運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，而是要發(fā)明新的數(shù)學(xué)概念，《公理學(xué)》這本書認(rèn)為，二十世紀(jì)賽局理論的出現(xiàn)，以及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)和政治學(xué)中的大行其道，正是明顯例子。
當(dāng)然二十世紀(jì)近代科學(xué)核心的理論物理學(xué)，與現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的抽象化大趨勢，更是糾葛深遠(yuǎn)。現(xiàn)代數(shù)學(xué)中討論物體位相幾何的拓樸學(xué)，便與理論物理學(xué)有許多交流或借鑒的發(fā)展，目前在理論物理學(xué)中所謂“拓?fù)湮镔|(zhì)”，或是可能與之相關(guān)的“超級量子計(jì)算”，以及理論物理中討論重力量子理論的弦論的可能推展，都已經(jīng)是數(shù)學(xué)抽象化大趨勢中的熱門話題。
上世紀(jì)提出一個(gè)美妙數(shù)學(xué)概念，影響整個(gè)理論物理發(fā)展基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的大物理學(xué)家楊振寧，對于數(shù)學(xué)與物理的關(guān)聯(lián)與分野，一直有著深刻的思考和評斷。他認(rèn)為，要解決物理基本理論中許多復(fù)雜的困難問題，必須引進(jìn)一些跟數(shù)學(xué)有密切關(guān)系的新觀念，但是對于一些理論物理學(xué)家，純粹為了解釋物理學(xué)中觀察到的規(guī)則性，勉強(qiáng)與起因于對稱觀念的數(shù)學(xué)規(guī)則性相匹配的發(fā)展，一直持批判的態(tài)度。他認(rèn)為理論物理的數(shù)學(xué)“猜想”，應(yīng)該由物理現(xiàn)象入手，不然就會流于無的放矢，這也是他對于當(dāng)前一些熱門物理理論不看好的原因。
有一些批評認(rèn)為，楊振寧最重要的工作“楊-米爾斯規(guī)范場論”，也是由純粹數(shù)學(xué)概念出發(fā)的，但那是建基于有穩(wěn)固實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)的馬克士電磁方程以及同位旋守恒律，后來才能在物理科學(xué)中燦然大起。多年之后，楊振寧發(fā)現(xiàn)普遍的規(guī)范場和數(shù)學(xué)上的纖維叢關(guān)系密切，十分驚訝于纖維叢能在完全不涉及物理世界的情況下發(fā)展出來，曾經(jīng)就教于大數(shù)學(xué)家陳省身，數(shù)學(xué)家如何可能夠憑空想出這些概念，陳省身的回答，“這些概念不是憑空想出來的，是自然的也是實(shí)在的”，令他印象深刻。
上一個(gè)世紀(jì)，在“楊-米爾斯規(guī)范場論”基礎(chǔ)上，進(jìn)而形塑出解釋物質(zhì)基本結(jié)構(gòu)的“標(biāo)準(zhǔn)模型”，但是由于理論中有著未能規(guī)范重力的缺失，也是成為促使近代物理理論愈益向著更為抽象化發(fā)展的動力。公認(rèn)在這方面有著卓越貢獻(xiàn)的,是提出“弦論”的理論物理學(xué)家威騰（Edward Witten），甚至有人拿他與愛因斯坦相提并論。十多年前威騰在《自然》雜志發(fā)表了一篇短文“解開弦論”，他說：“弦論可以說是唯一能整合重力和量子力學(xué)的辦法，但是弦論的核心概念又是什么？”
“愛因斯坦早在發(fā)展出廣義相對論的方程式以前，就了解了它的核心概念。相對來說，弦論卻是在長達(dá)四十年的時(shí)間，一點(diǎn)一滴地發(fā)掘出來,沒有人真正了解其中詳情，因此每一項(xiàng)新的發(fā)展，都有如一個(gè)意外。我們依然不知道這些概念從何而來，往何而去?！?/span>
“或許有一天我們會了解弦論是什么。但是就算我們能了解，而且這個(gè)理論是走在正確方向，我們是否有能力去認(rèn)識它在自然間的作用？我十分希望會是如此?！?/span>
“在現(xiàn)實(shí)上，這都取決于許多未知數(shù)，包括了答案的本質(zhì)，我們有多么聰明，以及我們能由實(shí)驗(yàn)獲得的證據(jù)?！?/span>
當(dāng)然這種探究物質(zhì)奧秘的努力并沒有停止，發(fā)展出愈加玄奧抽象化的數(shù)學(xué)，展現(xiàn)出諸如“魏爾費(fèi)米子”（即“外爾費(fèi)米子”）、“量子自旋液體”等許多難以理解的“拓?fù)湮镔|(zhì)”，以及讓人津津樂道對“量子計(jì)算”的向往，威騰也成為唯一獲得數(shù)學(xué)最高榮譽(yù)菲爾茲獎的物理學(xué)家。
數(shù)學(xué)抽象化會帶來如何“真實(shí)的一個(gè)世界？《紅樓夢》說的好：“假作真時(shí)真亦假，無為有處有還無?！?/span>
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注：本文原標(biāo)題為“數(shù)學(xué)抽象化何所為”，首發(fā)于2023年3月出版的《經(jīng)典》雜志，《賽先生》獲作者授權(quán)轉(zhuǎn)載。
制版編輯 | 小毛
