引力來自量子信息嗎？
撰文 | 祁曉亮（斯坦福大學(xué)）
自從愛因斯坦提出廣義相對論以來，如何發(fā)展出一個跟量子力學(xué)相容的引力理論一直是一個未解之謎。既然其他相互作用力都能被納入量子力學(xué)的框架下，為什么引力就不行呢？雖然我們并不知道答案，但是有一些跡象表明這種困難不僅僅是技術(shù)上的，而是有著根本的物理原因。
在1970年代，Bekenstein和Hawking[1-4]指出，為了使熱力學(xué)第二定律成立，黑洞就必須得有熵——否則的話一個物體扔到黑洞里，熵就憑空減少了。他們推導(dǎo)出了黑洞的熵公式 S=A/4G，也就是說熵正比于黑洞的視界面積A, 而比例系數(shù)由牛頓引力常量G決定（這里取c= ?=1）。因?yàn)楹诙匆坏┬纬删筒粫僮兂善渌矬w，根據(jù)熱力學(xué)第二定律，在同樣大小的一個球形區(qū)域里，其他任何物質(zhì)態(tài)的熵都不能超過黑洞[5,6]。也就是說，一個球形區(qū)域里面能夠容納的最大熵，正比于它的面積。
這是一個非常反常識的結(jié)論，因?yàn)殪厥且粋€物質(zhì)態(tài)中微觀自由度的度量。在一個有局域性的理論，比如量子場論里面，一個區(qū)域里的最大熵一定是正比于體積而不是面積的。因此如果你相信黑洞熵的公式，它馬上告訴我們量子引力理論一定不能是一個局域性的場論，而必定要是一個全新的東西。
全息原理
基于上述關(guān)于黑洞熵的結(jié)果，’t Hooft[7]和Susskind[5]提出了全息原理，意思是說我們看起來是三維的空間，實(shí)際上是二維的。我們可以把全息原理類比于今天的虛擬現(xiàn)實(shí)（VR）技術(shù)。當(dāng)我們戴上VR眼鏡的時候，手機(jī)屏幕上的二維圖像通過我們的視覺系統(tǒng)的加工，讓我們覺得看到了一個三維的虛擬世界。但是這樣一個虛擬世界能夠包含多少信息呢？假設(shè)一個一直戴著VR眼鏡的物理學(xué)家，對他看到的景象進(jìn)行仔細(xì)的研究，他就會發(fā)現(xiàn)里面包含的信息量（熵）總是不會超過手機(jī)屏幕上的像素?cái)?shù)目——也就是說，熵的上限是正比于面積而不是體積。
這樣的世界圖像讓我想到柏拉圖的洞穴之喻。在全息原理的觀點(diǎn)中，二維屏幕上的圖像才是洞穴外的真實(shí)世界，而我們看到的三維世界則是洞穴中人在墻上看到的影子。有趣的是，影子竟然比現(xiàn)實(shí)還高一維度！
什么樣的量子引力理論才能滿足全息原理呢？因?yàn)楸仨毜梅艞壎ㄓ蛐?，建立這樣的理論是一個很困難的任務(wù)。一個重要的突破是1997年Juan Maldacena提出的AdS/CFT對偶[8]，又名全息對偶。AdS代表反德西特空間（Anti de Sitter space），也就是負(fù)曲率空間的引力理論，而CFT代表共形場論（conformal field theory）。在物理學(xué)中，“對偶”的意思是有兩個看起來不一樣的物理理論，但它們的性質(zhì)卻是一一對應(yīng)的。這就好像兩種語言中的兩句話，聽起來完全不同，但是按照詞典翻譯一下發(fā)現(xiàn)其實(shí)是同樣的意思。
在全息對偶中，CFT是定義在一個沒有引力的空間中的量子場論，而與之對偶的AdS空間的引力理論要高出一個空間維度[8-10]。例如如果引力理論定義在三維空間，對偶的量子場論就定義在二維空間?？梢哉J(rèn)為量子場論定義在引力理論的空間的漸近邊界上，所以通常把量子場論稱為邊界理論，而把對偶的引力理論稱之為體態(tài)（bulk）理論。這個多出來的空間維度對偶于共形場論中的能量尺度。能量尺度越低的自由度離邊界越遠(yuǎn)（如圖1）。
在邊界理論中，不同的量子態(tài)具有不同的量子糾纏性質(zhì)，它們也就對應(yīng)于體態(tài)中的不同幾何。例如，共形場論的基態(tài)對應(yīng)于反德西特空間，RT曲面的面積增長比A的體積要慢，這是因?yàn)榍嬖绞巧钊塍w態(tài)內(nèi)部的部分，面積元越小。相比之下，邊界上有限溫度的熱平衡態(tài)對應(yīng)于體態(tài)的引力理論中有一個黑洞。在這種情況下，RT曲面就被夾在邊界和黑洞的視界之間，平行于邊界，因此它的面積就正比于邊界區(qū)域A的體積。溫度越高，對應(yīng)的體態(tài)的黑洞越大，RT曲面就越接近于邊界，它的面積也越大。這跟一個熱平衡態(tài)的熵的性質(zhì)是吻合的。
RT公式和它的推廣[12,13]暗示著量子糾纏是建造時空幾何的材料[14,15]。為了尋找滿足全息原理的量子引力理論，第一步是找到量子糾纏性質(zhì)滿足RT公式的量子態(tài)。這對于量子態(tài)是一個很不尋常的要求。比如，為了滿足RT公式，邊界上一個區(qū)域A跟另外兩個區(qū)域B和C的關(guān)聯(lián)度（可以由互信息（mutual information）來量度）一定要大于AB關(guān)聯(lián)度和AC關(guān)聯(lián)度之和[16]。這個條件表明了非局域的關(guān)聯(lián)，對于一般的量子態(tài)并不成立。
來自量子糾錯的定域性
如果我們相信全息對偶是嚴(yán)格成立的，那么引力理論中的每個態(tài)都唯一對應(yīng)于邊界量子場論中的一個量子態(tài)。作為一個例子，我們可以考慮體態(tài)內(nèi)部一個位置x附近的一個電子，它的量子波函數(shù)局限在那個點(diǎn)附近，離邊界很遠(yuǎn)（圖2a）。這個電子的自旋有上下兩個狀態(tài)，可以攜帶一個比特的量子信息。按照全息對偶，我們一定可以在邊界上操縱這個電子自旋——因?yàn)樗袘B(tài)都對應(yīng)這邊界上的態(tài)。比如說自旋的z方向分量應(yīng)該對應(yīng)于邊界上某個特定的算符，原則上說我們可以在邊界理論里測量這個算符，從而測量體態(tài)里這個電子的自旋。可是這看起來跟體態(tài)的定域性是矛盾的：如果體態(tài)理論滿足相對論的話，應(yīng)該沒有辦法超越光速，那怎么可能通過在邊界上的操作，來即時操控和邊界有一定距離的自旋呢？
圖 2. 量子糾錯與從邊界操控體態(tài)中的量子比特 的對比。(a) 體態(tài)中一個點(diǎn)x的一個量子比特不能馬上被邊界上的小區(qū)域（例如A）探測到，因?yàn)樾盘杺鞑バ枰獣r間。但是從邊界上的一個大區(qū)域（例如B）就可以直接操縱它。(b) 一個量子糾錯碼的示意圖。一個量子比特被存儲到五個量子比特中。如果其中兩個出錯，信息仍然可以從其他三個中讀出。
在2014年的一篇論文中，Ahmed Almheiri，董希和Daniel Harlow (ADH)[17]對這個悖論給出了一個優(yōu)美的解決方案。在他們的工作之前，人們已經(jīng)知道如何在全息對偶中把體態(tài)中的局域算符（比如翻轉(zhuǎn)一個x點(diǎn)的電子自旋）對應(yīng)到邊界上一個子區(qū)域中，而不是用到整個邊界。這個技術(shù)叫做局部重構(gòu)（local reconstruction）[18,19]。運(yùn)用這個技術(shù)，ADH指出，從邊界上即時操控體態(tài)的一個電子自旋確實(shí)是可能的，但是前提是你必須能夠操控邊界上一個足夠大的區(qū)域，例如圖2a中的B區(qū)域。如果你只能操控邊界上一個小一些的區(qū)域（例如圖2a中的A），那么你就無法操縱體態(tài)中的那個自旋。換言之，對于只能操縱邊界上一個小區(qū)域的觀測者來說，體態(tài)的自旋是無法操縱的，所以它“看起來”離得很遠(yuǎn)。因此在這個世界中，定域性和速度上限——光速——都不是嚴(yán)格成立的，而只是適用于能力有限、無法同時操控宇宙中一大塊地方的觀測者。（我們“正好”就是這樣的觀測者?。┖苡腥さ氖?，ADH意識到，上面描述的機(jī)制不是新的，正好就是量子信息理論中研究過的量子糾錯碼（quantum error correction code）。
量子糾錯的核心機(jī)制和經(jīng)典計(jì)算機(jī)的糾錯是類似的，就是把量子信息以一種冗余的方式儲存在一個更大的系統(tǒng)里，以保證如果系統(tǒng)的一部分出了錯誤，還能從未出錯的剩余部分中把信息提取出來。我們可以把全息對偶看成是一種量子編碼。在剛才所講的體態(tài)電子自旋的例子中，電子自旋的兩個狀態(tài)|↑?,|↓?被全息對偶對應(yīng)于邊界上的兩個量子態(tài)。這兩個態(tài)是對體態(tài)中的這個量子比特的編碼（encoding）。我們可以把邊界上的量子場論想象成一個量子計(jì)算機(jī)。因?yàn)檫吔缟弦粋€小區(qū)域的觀測者無法看到或者影響體態(tài)中的電子，那也就意味著在量子計(jì)算機(jī)的這個小區(qū)域出了什么錯誤（比如一個量子比特丟失了或者發(fā)生了退相干）都不會破壞掉體態(tài)自旋中儲存的量子信息。這樣，體態(tài)引力理論的定域性實(shí)際上來自于全息對偶作為一個“量子編碼”的量子糾錯性質(zhì)。這個量子糾錯性質(zhì)跟RT公式也是密切相關(guān)的[20]。粗略地說，RT公式給出的糾纏熵，對于實(shí)現(xiàn)量子糾錯性質(zhì)是一種必要的資源。
張量網(wǎng)絡(luò)
基于這個對于定域性的新理解，我們?nèi)绾芜M(jìn)一步取得進(jìn)展呢？RT公式和量子糾錯所描述的性質(zhì)，究竟是只對一些非常特別的理論成立，還是對于很多量子多體系統(tǒng)普遍成立的性質(zhì)呢？決定這些性質(zhì)的關(guān)鍵要素有哪些？和物理中很多其他問題一樣，如果真實(shí)情況太難研究，我們就先構(gòu)造一些簡化的玩具模型來幫助我們增進(jìn)理解。
2009年Brian Swingle提出可以用一類稱為張量網(wǎng)絡(luò)（tensor network）的模型來闡釋全息對偶和RT公式[21]。在此之前，在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域，張量網(wǎng)絡(luò)被用來描述強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的多體波函數(shù)，已經(jīng)有很多研究[22-24]。Swingle的工作用到的一類張量網(wǎng)絡(luò)是Guifre Vidal提出的“多尺度糾纏重整化模型”（Multiscale entanglement renormalization ansatz, MERA）[24]。張量網(wǎng)絡(luò)是一種構(gòu)造多體波函數(shù)的方式。每一個“張量”是由幾個量子比特組成的少體波函數(shù)。然后通過把量子比特之間糾纏起來，把這些少體系統(tǒng)“粘合”成一個多體系統(tǒng)。
構(gòu)建張量網(wǎng)絡(luò)的過程很像把計(jì)算機(jī)聯(lián)結(jié)成互聯(lián)網(wǎng)。當(dāng)我發(fā)送一封電子郵件時，信息不是直接從我的電腦傳到收信人的電腦，而是經(jīng)過服務(wù)器的中繼。在張量網(wǎng)絡(luò)中，量子比特通過量子測量被投影到一些糾纏態(tài)，這些糾纏態(tài)作為中繼站把更多的量子比特連接成一個復(fù)雜的糾纏網(wǎng)絡(luò)（如圖3）。即使每個張量只是少數(shù)幾個量子比特的糾纏態(tài)，很多張量連接起來就可以描述復(fù)雜得多的多體糾纏結(jié)構(gòu)[25]。
圖 3 張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)和體態(tài)量子比特。(a) 張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)的構(gòu)造方式示意圖。首先制備每個鏈接上的EPR糾纏對，然后在起中繼作用的“服務(wù)器”節(jié)點(diǎn)S1,S2上做一個糾纏測量，就得到了其余量子比特ABCD的張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)。(b) 兩個區(qū)域A和B具有同樣大小，但是熵的上限不同。因?yàn)橛袃蓚€EPR對把A跟圖的其余部分相連接，A的糾纏熵較大。(c) 體態(tài)的一個量子比特通過一個張量網(wǎng)絡(luò)“編碼”到邊界上的量子態(tài)。
張量網(wǎng)絡(luò)跟全息對偶和RT公式聯(lián)系起來是很自然的，因?yàn)閺埩烤W(wǎng)絡(luò)的糾纏結(jié)構(gòu)取決于它的幾何（也就是張量之間的連接方式）。例如圖3b中的張量網(wǎng)絡(luò)，描述了一個5個量子比特的態(tài)。區(qū)域A和區(qū)域B都包含兩個量子比特，但是A比B可以有更多的糾纏熵，因?yàn)橛懈嗟牧孔蛹m纏對（Einstein-Poldolsky-Rosen pair）媒介了A和系統(tǒng)其余部分之間的糾纏。對任何一個區(qū)域而言，它的熵都小于或等于聯(lián)結(jié)它和其余區(qū)域的糾纏對的數(shù)目，乘以每個糾纏對的最大熵log?D。這里D是糾纏對中每個成員的狀態(tài)數(shù)。如果每個區(qū)域的熵都能達(dá)到這個幾何允許的最大值，就自然地給出了RT公式，但是不是每個張量網(wǎng)絡(luò)都能滿足這個要求。
目前已知的有兩類滿足RT公式的張量網(wǎng)絡(luò)，包括穩(wěn)定子碼（stabilizer code）[26,27]和高維隨機(jī)張量網(wǎng)絡(luò)[28]。粗略地講，一個隨機(jī)張量網(wǎng)絡(luò)可以看成是給定網(wǎng)絡(luò)幾何的所有張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)中隨機(jī)取出來的一個態(tài)。我們知道在希爾伯特空間中的一個隨機(jī)選取的態(tài)幾乎是最大糾纏的[29]。因?yàn)橥瑯拥脑?，隨機(jī)張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)具有這個網(wǎng)絡(luò)的幾何所允許的最高糾纏熵，也就是RT公式給出的熵。在隨機(jī)張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)中，體態(tài)中的量子算符可以看成是對張量進(jìn)行一些微擾。張量網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)性保證了這樣定義的體態(tài)量子態(tài)在邊界上一個小區(qū)域內(nèi)是無法探測到的，也就是說它具有我們之前說過的量子糾錯性質(zhì)。
隨機(jī)張量網(wǎng)絡(luò)給出了一大類可以幫助描述全息對偶的玩具模型。有趣的是，隨機(jī)張量網(wǎng)絡(luò)的糾纏熵和極小曲面的關(guān)系并不局限于反德西特空間，而是對任何空間都適用。這似乎暗示著當(dāng)我們考慮更一般的時空中的量子引力時[30-32]，也許隨機(jī)張量網(wǎng)絡(luò)還是有用的。但是隨機(jī)張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)畢竟只是玩具模型，還有很多全息對偶的性質(zhì)無法用它來刻畫。一個主要的問題是如何描述引力系統(tǒng)的動力學(xué)。張量的隨機(jī)選取使得研究動力學(xué)問題變得很困難。（在三維時空的情形，張量網(wǎng)絡(luò)跟離散化的引力作用量（Regge calculus）可以建立起聯(lián)系[33]。）
動力學(xué)和混沌
既然我們認(rèn)為時空幾何刻畫量子糾纏的結(jié)構(gòu)，那么時空幾何的動力學(xué)——愛因斯坦引力場方程——自然也應(yīng)該從量子糾纏的動力學(xué)中得出來。在一個特殊情況下，即在共形場論的真空態(tài)上考慮低能激發(fā)的情形，Van Raamsdonk和合作者從全息對偶中推導(dǎo)出了線性化的愛因斯坦方程[34,35]。這個推導(dǎo)背后的原理可以總結(jié)為圖4的三角關(guān)系。一方面，RT公式把幾何和糾纏熵聯(lián)系起來。另一方面，共形場論的共形對稱性把糾纏熵和能量聯(lián)系起來了。這樣，幾何和能量就建立了聯(lián)系，這個聯(lián)系正好給出（線性化的）愛因斯坦方程。在遠(yuǎn)離真空態(tài)的其他幾何上如何推導(dǎo)愛因斯坦方程還不清楚。
圖 4. 糾纏、幾何和能量動量的關(guān)系。RT公式把幾何和量子糾纏熵聯(lián)系起來。共形場論的性質(zhì)把基態(tài)附近的量子態(tài)的糾纏熵和能量動量漲落聯(lián)系起來。能量動量和幾何之間的聯(lián)系則是愛因斯坦方程。
雖然對于更一般的幾何我們還不知道怎么推導(dǎo)愛因斯坦方程，但體態(tài)的引力動力學(xué)的一些特別的方面在邊界上有著有趣的對應(yīng)。如果我們考慮邊界處于熱平衡態(tài)的情況，對應(yīng)的體態(tài)中就有一個黑洞。
考慮圖5中的情況，有兩個粒子a和b在黑洞的視界附近發(fā)生散射。粒子b朝邊界運(yùn)動，而a朝向黑洞。為了讓b能夠以一定的能量到達(dá)邊界，b在視界附近必須有一個高得多的能量。粒子b離視界越近，它跟a散射時的能量越高，散射也就越強(qiáng)烈，另一方面它在散射之后到達(dá)邊界的時間也就越晚。從邊界的角度來說，這意味著a和b對應(yīng)的算符的對易子隨著時間指數(shù)增長：
有趣的是，這個指數(shù)增長的速率2πT是一個完全由溫度決定的常數(shù)。從邊界的角度來看，這樣一個性質(zhì)告訴我們邊界的動力學(xué)是混沌的，因此一個單粒子算符會演化成一個復(fù)雜的多體算符[36]，因此跟越來越多的單粒子算符變得不對易。這種對易子的增長可以由非時序關(guān)聯(lián)函數(shù)來刻畫[36-38]。
更進(jìn)一步，文獻(xiàn)[39]證明了增長速率2πT是所有物理系統(tǒng)中最快的，也就是說，跟引力系統(tǒng)對偶的量子場論不僅是一個混沌的多體系統(tǒng)，而且（在某種意義上）是多體系統(tǒng)中混沌程度最高的。近年來，有一個具有“最高混沌度”性質(zhì)的模型被提出來，成了研究全息對偶的另一個重要的玩具模型，這就是Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型[40-42]。
圖 5. 黑洞視界附近的一對粒子的散射。散射振幅隨著b到達(dá)邊界的時間指數(shù)增長。
這里描述的算符的復(fù)雜度增長也跟前面討論的量子糾錯性質(zhì)是相關(guān)的。當(dāng)一個粒子掉到黑洞視界附近時，它變得越來越難從邊界上探測到，因?yàn)閺倪吔绲慕嵌葋砜此兊迷絹碓椒蔷钟颉?span style="color: rgb(64, 118, 0); box-sizing: border-box;">從這個意義上來說，正是邊界的混沌動力學(xué)保證了體態(tài)中的量子信息具有量子糾錯性質(zhì)，而藏在黑洞視界背后的信息則是被保護(hù)得最好的。這就帶來了很多新的問題：（從邊界的角度來看）粒子掉入黑洞之后撞到奇點(diǎn)的時候發(fā)生了什么？如果我們能在邊界上做任意非局域的測量，我們能獲取已經(jīng)掉入黑洞視界背后的量子信息嗎？如果可以的話，又如何對體態(tài)的時空結(jié)構(gòu)和黑洞視界附近的幾何給出一個自洽的理解呢？這些問題跟各種形式的黑洞信息悖論密切相關(guān)，包括近年被提出來的火墻悖論[43]。
對量子引力的展望
顯然我們離一個完備的量子引力理論還很遙遠(yuǎn)。但是我們已經(jīng)可以說，近年來這個領(lǐng)域的進(jìn)展已經(jīng)深刻地改變了我們對引力和時空的認(rèn)識。來自量子信息理論的概念，例如量子糾纏和量子糾錯，開始成為理解時空結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。量子力學(xué)的其他基本性質(zhì)，例如量子電路的復(fù)雜度，也開始和引力理論建立了聯(lián)系[44,45]。未來的目標(biāo)是更定量地描述時空幾何是如何從量子多體動力學(xué)中衍生出來的。
如果我們大膽地猜想一下未來的量子引力理論會是什么樣子，大概會有這樣兩種可能性。一種可能是量子力學(xué)是最基本的理論，而引力是從量子力學(xué)中衍生出來[46]。另一種可能是描述超出反德西特空間的引力需要超越量子力學(xué)，引力和量子力學(xué)是真正的基本理論的兩種不同的近似。
譯注
最近，我應(yīng)Nature Physics的邀請，對量子引力方面近年來的研究寫了一個簡單的介紹[47]。作為同一個專題在這期雜志上一起發(fā)表的上還有Brian Swingle[48]和Ehud Altman[49]的兩篇概述文章，也是關(guān)于量子糾纏、量子混沌的近期發(fā)展。非常感謝毛淑德老師的邀請，現(xiàn)在我把這篇文章譯成中文發(fā)表在《賽先生天文》上，希望能夠拋磚引玉。在翻譯過程中我對一些部分的表述方式做了一些小改動。也要感謝Nature Physics的編輯李筠向我約稿，并特別為中文版向大家提供了免注冊的原文鏈接（點(diǎn)擊“閱讀原文”跳轉(zhuǎn)）。另外順便說一下，之前有其他公眾號發(fā)表了我的文章的翻譯，但發(fā)表前我不知情。
作者簡介
祁曉亮 2007年博士畢業(yè)于清華大學(xué)高等研究院，2007-2009年在斯坦福大學(xué)做博士后研究，2009年起起任教于斯坦福大學(xué)。主要研究領(lǐng)域?yàn)橥負(fù)湮镔|(zhì)態(tài)，量子糾纏和量子引力。曾獲得新視野物理獎（New Horizons in Physics），斯洛恩獎（Sloan Fellowship）等獎項(xiàng)。
文章頭圖及封面圖片版權(quán)所屬：NASA/Sonoma State University/Aurore Simonnet.
BOOK TIME
作者以二十世紀(jì)最偉大的物理學(xué)家們的論文、信件和回憶錄為基礎(chǔ)，通過歷史調(diào)查和想象力，讓他們用自己的語言“對話”。這些或真實(shí)或略帶虛構(gòu)的故事情節(jié)既人性化又戲劇化。我們將看到玻爾和愛因斯坦的思想碰撞，海森堡和保利決定追尋奧秘，薛定諤和德布羅意如何為后人鋪平了道路，貝爾的研究為何值得重新思考，費(fèi)曼以其獨(dú)特的雄辯力向同時代的人發(fā)起挑戰(zhàn)……這些偉大人物的碰撞正如同量子“糾纏”，在時間與空間中勾勒出他們真實(shí)的生活狀態(tài)，他們對科學(xué)研究的熱情，以及他們的偉大思想。本書以獨(dú)特的敘事風(fēng)格描繪了量子物理學(xué)從理論初建到量子計(jì)算機(jī)探索這百年的發(fā)展史，故事中生動的對話、細(xì)節(jié)使得這段歷史頓時變得鮮活起來。
