人腦建構(gòu)的數(shù)學，是真還是（可以）假？
+編者按
前文提到：欣賞數(shù)學之美需要了解的過程和鑒別的能力，如果你從不曾走進數(shù)學的世界，用心領(lǐng)會和感悟那數(shù)字、圖形、邏輯的出神入化，又怎么會覺得它美妙呢？！而數(shù)學的另一個特點，則是數(shù)學之真。來看數(shù)學家袁亞湘院士如何詮釋數(shù)學的真諦吧！
撰文 | 袁亞湘
數(shù)學的另一個特點是真。
數(shù)學的本質(zhì)就是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋找真理。我們之所以稱數(shù)學的證明是嚴格的，是因為這些證明都是基于已有的結(jié)果、通過嚴謹?shù)倪壿嬐评淼玫降摹喞锸慷嗟抡f過，“要了解某事，必須追根溯源”。但是，從哲學的觀點看，對任何結(jié)論的刨根問底，最終總會歸于一些無法證明的、最基本的假設，也就是公理。公理通常是一些顯而易見、符合人們直覺的假設，它也是數(shù)學的基石。
目前，中小學生接觸到的幾何都是歐幾里得（希臘文：Ευκλειδη? ，約公元前330年-公元前275年）幾何，其主要內(nèi)容大多源自歐幾里得的名著《幾何原本》。歐幾里得在書中給出了五條公設，這些公設是不能被證明但假定它們都是正確的。1899年，數(shù)學家希爾伯特出版了著名的《幾何基礎》，他在該書中對歐幾里得幾何及有關(guān)幾何的公理進行了系統(tǒng)而深入的研究，為歐幾里得幾何提供了完善的公理體系。基于歐幾里得的五條公設，通過整理和嚴格化處理，希爾伯特給出了歐幾里得幾何的五組公理。
希爾伯特（1862-1943）與1899年版《幾何基礎》
在這五組公理中，平行公理看起來不像公理而更像一個定理。歷史上不少數(shù)學家試圖利用其它的四條公理去推導平行公理，但都沒有成功。希爾伯特證明了平行公理與前四組公理之間是相互獨立的。即利用其它四組公理既不能證明平行公理的正確性，也不能說明它是錯誤的。
你還記得平行公理嗎？
事實上，如果把平行公理用不同的假設替換，就會得到不同的幾何，我們稱其為非歐幾何。特別是：如果把平行公理換成“過直線外一點，存在至少兩條直線與其平行”，則會得到羅巴切夫斯基幾何（也稱雙曲幾何）；而把平行公理替換成“過直線外一點，不存在直線與之平行”則會得到黎曼幾何（也稱球面幾何）。羅巴切夫斯基是俄羅斯數(shù)學家，非歐幾何的早期發(fā)現(xiàn)人之一，曾任喀山大學（也是列寧的母校）校長。黎曼是德國數(shù)學家，目前數(shù)學領(lǐng)域公認的、最負盛名且懸而未決的世界難題“黎曼猜想”就是由他提出的。
羅巴切夫斯基紀念像（1792-1856）及雙曲幾何示意圖
黎曼幾何以及在此基礎上發(fā)展的微分幾何對愛因斯坦提出廣義相對論具有重要的啟發(fā)作用，也為廣義相對論的研究和發(fā)展提供了有力的工具。
數(shù)學的真也體現(xiàn)在它的嚴密邏輯。正所謂：無邏輯，不數(shù)學。這也解釋了為什么古希臘的數(shù)學家大多都是哲學家，古希臘哲學乃至西方哲學，都建立在嚴密的邏輯演繹推理之上，哲學家是用數(shù)學的思維方法去論證哲學問題。
愛因斯坦曾說過：“純數(shù)學是邏輯的詩歌”。愛因斯坦和數(shù)學有著千絲萬縷的關(guān)系。他和很多數(shù)學家保持通信聯(lián)系，其中之一是意大利數(shù)學家列維·奇維塔。奇維塔還曾幫助愛因斯坦修正他文稿中的一些錯誤。為此，愛因斯坦對奇維塔大為贊嘆：“我欣賞他優(yōu)美的推導方法：比起我們不得不用腳艱難地走，騎上數(shù)學的駿馬在原野奔跑是多好??！”有人認為，愛因斯坦不僅是個物理學家，也是一個數(shù)學家。事實上，很多理論物理學家也是頂尖的數(shù)學家。愛因斯坦和數(shù)學還有一個特別的緣分，他的生日是3月14日，如今的國際數(shù)學節(jié)。
愛因斯坦（1879-1955）與列維·奇維塔（1873-1941）
在數(shù)學上，邏輯關(guān)系是通過集合來刻畫和解釋的。例如，若命題甲為真，則記為集合A，命題乙為真，記為集合B。則集合A和B的交集就是命題甲和乙同時為真。舉個日常生活中的例子：定義集合A是由班上所有語文考滿分的同學組成，集合B由班上所有數(shù)學考滿分的同學組成，則集合A和B的交集就是班上所有語文、數(shù)學同時考滿分的同學，而集合A和B的并集則是班上語文、數(shù)學中至少一門考了滿分的同學。這些都是集合論的內(nèi)容。而集合論的創(chuàng)始人則是出生在俄國圣彼得堡的德國數(shù)學家康托。
康托（1845-1918）及他所創(chuàng)立的集合論
二十世紀初，數(shù)學家羅素發(fā)現(xiàn)樸素集合論存在悖論。羅素悖論用通俗易懂的語言來描述即是廣為人知的“理發(fā)師悖論”：在某個城市里有一位理發(fā)師，他宣稱“為城里所有不給自己刮臉的人刮臉，且只為他們刮臉”?，F(xiàn)在的問題是該理發(fā)師是否要給他自己刮臉？如果理發(fā)師不給自己刮臉，那么根據(jù)定義，他屬于“不給自己刮臉”的人，所以他應該給自己刮臉；如果理發(fā)師給自己刮臉，那么他就不屬于“不給自己刮臉”的人，由于他只給“不給自己刮臉的人”刮臉，所以他不能給自己刮臉。無論哪種情況都會導致矛盾。
羅素悖論所引發(fā)的思考，刮臉只是一個具象
羅素悖論的發(fā)現(xiàn)促進了人們對集合論基礎的深入研究，推動了公理化集合論的發(fā)展。集合論最有代表性的公理體系是由策梅洛提出、經(jīng)弗蘭克爾完善和補充后形成的ZF公理系統(tǒng)。
策梅洛（1987-1953）與弗蘭克爾（1891-1965）
數(shù)學的真還表現(xiàn)在它的所有證明都非常嚴格，容不得任何含糊不清。法國數(shù)學家韋伊曾說過：“嚴格之于數(shù)學家，有如道德之于人” ，可見數(shù)學中嚴格的重要性。韋伊是布爾巴基學派的創(chuàng)始人及早期領(lǐng)導者，他在數(shù)論和代數(shù)幾何方面都有奠基性的工作。他的妹妹是著名的哲學家西門娜·韋伊。兄妹倆在各自的領(lǐng)域都成就斐然。
韋依（1906-1988）
也許有讀者會有疑問，既然所有的數(shù)學結(jié)論都建立在不能證明的公理上，那是否說明數(shù)學不是科學，而是一種信仰？數(shù)學毫無疑問是科學，它不僅是最“科學”的科學，而且也是一種哲學。數(shù)學正是從哲學的高度認識到，嚴謹?shù)耐评硪欢ㄒ诟镜慕Y(jié)論，而這些結(jié)論應當是已經(jīng)被證實的，或者作為公理默認正確的。數(shù)學中的一些基本公理正是數(shù)學大廈堅實的地基。
不過，承認無法證明的公理體系，這自然是一種信仰。數(shù)學在給定的公理體系下追求真理，不斷揭示新的關(guān)系、探索新的問題、尋找新的解決方法。從某種意義上講，這就是一種信仰。
注：本文節(jié)選自《數(shù)學漫談》一書，作者袁亞湘，賽先生獲授權(quán)轉(zhuǎn)載，略作編輯。
