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風(fēng)靡世界的猜詞游戲，有人迷上了它背后的數(shù)學(xué)

2022/05/05
導(dǎo)讀


撰文｜antares

編輯｜馬修


前段時間，以黃綠色塊矩陣圖為交互界面的猜詞游戲Wordle風(fēng)靡社交網(wǎng)絡(luò)，隨后又誕生了各種變體游戲，比如中文成語變種、英語四詞變種。如今風(fēng)潮退去，讓我們一起來看看“留在沙灘上的貝殼”。

Wordle游戲的規(guī)則非常簡單，它要求玩家在6次之內(nèi)猜出一個由5個字母組成的單詞。每次輸入單詞時，如果輸入的字母在目標(biāo)單詞中，但是位置不對，那么格子會顯示成黃色；如果輸入的字母在目標(biāo)單詞中，且位置正確，那么格子會顯示成綠色；如果都不對，則會顯示成灰色。玩家需要根據(jù)每次猜詞后的反饋來調(diào)整自己的猜詞策略，最終猜出單詞。

雖然玩Wordle的大多數(shù)人都是自己乖乖猜詞，但心思活絡(luò)的人很自然就會想到：有沒有可能借助計算機，弄出一個神奇的算法幫自己猜詞呢？

玩Wordle時，一般人會先使用一兩個固定的詞打底，然后再猜符合之前提示的詞，不斷縮小范圍直到猜出正確答案。通常情況下，這種思路行得通。但是，如果你遇到過下圖中的情況，就會發(fā)現(xiàn)這種單純的策略并不合適。

下圖這種局面，在第4次猜測的時候，不能像圖中這樣，更換首字母來猜測，而是應(yīng)該把所有可能的首字母列出來，找一兩個詞涵蓋最多的首字母可能性，然后根據(jù)反饋盡可能多地排除掉不可能的首字母，確認(rèn)出首字母后，才能保證第6次有可能猜中。

一次開局驚艷、結(jié)果失敗的Wordle游戲

我們需要更高級的策略。在討論算法之前，我們先來看一下手頭可以使用的素材。

Wordle所使用的單詞表，可以在它的json代碼里直接看到。單詞表有兩個，一個是從游戲上線第1天開始之后的2000多天，全部正確答案的列表；另一個，是這些正確答案以外可以合法猜測的單詞列表，共10000多個。

兩個詞表加起來的12972個單詞，正好就是CSW19（Collins Scrabble Words，2019）中所有的五字母單詞?！癈ollins Scrabble Words”是英語國家中Scrabble錦標(biāo)賽（猜詞比賽）普遍使用的詞表，在英文的單詞類游戲里相當(dāng)權(quán)威。當(dāng)然，在我們討論Wordle猜詞策略的時候，是不能使用正確答案列表的，否則就可以根據(jù)日期直接翻出答案了。以下的討論，都應(yīng)當(dāng)基于我們手上只有CSW19詞表的假設(shè)來進(jìn)行。

有了詞表之后，初等的想法就是根據(jù)字母頻率來選擇單詞。字母在詞表里出現(xiàn)的次數(shù)越多，確定或排除之后就越好縮小范圍。如果你在網(wǎng)上搜索一下，絕大多數(shù)講Wordle猜詞策略的文章，都是按照這個思路推薦的。所以，元音或常見字母多的adieu或是aisle就是很好的第一猜測。當(dāng)然，這個算法相當(dāng)簡陋，但不需要電腦就可以做。

接下來，讓我們用數(shù)學(xué)化一點的思維，繼續(xù)對這個想法進(jìn)行分析。

從直覺上講，猜一個詞之后，顏色的提示根據(jù)黃綠灰3種顏色的不同，會有3^5=243種可能的組合。那么剩余的詞表，也會按照上一個詞的顏色提示拆成243個更小的詞表。要是這些拆分后的小詞表里，有一個包含的單詞數(shù)量特別大，萬一正確答案就在這個詞表里，那么接下來就會很難猜。反之，拆分得越均勻，就說明不管正確答案在哪個詞表里，都會相對好猜，這個第一次猜測的詞也就越有效。

那么，怎樣算是“拆分得均勻”呢？數(shù)學(xué)上的做法是使用信息熵，其定義是：每個事件發(fā)生概率的對數(shù)的期望值，單位為比特。信息熵滿足可加性，對一個猜測來說，“出現(xiàn)243種反饋的哪一種”這一隨機事件的信息熵越大，“正解位于剩余詞表中哪一個”的期望信息熵越小。而當(dāng)信息熵等于0的時候，就表明詞表只剩下一個詞，答案可以完全確定了。因此，每一步都應(yīng)當(dāng)尋找讓“出現(xiàn)243種反饋的哪一種”這一隨機事件的信息熵最大的猜測詞。這一算法的細(xì)節(jié)，可以參考3blue1brown關(guān)于wordle的視頻，他以這套思路為算法策略，模擬出的平均猜測次數(shù)是4.124。

但是，這個策略是不是最優(yōu)的呢？事實上，它所考慮的僅僅是每一步的局部最優(yōu)策略，而局部最優(yōu)的組合不一定是整體最優(yōu)——就如同磨刀不誤砍柴工的道理。它甚至不能先驗地回答這樣的問題：該策略能否保證在6次之內(nèi)猜出任何Wordle的答案？滑鐵盧大學(xué)的前研究助理教授Laurent Poirrier在他的博客（blog）上對此進(jìn)行了一系列的討論。我們下面展開講講。

嗯？稍等一下。什么叫“保證在6次之內(nèi)猜出任何答案”？

我們可以先設(shè)想一下如何描述一個“解Wordle的策略”。如果有人聲稱自己有Wordle的必勝法，該怎么要求他證明？

甲：我有一套Wordle的必勝法。乙：那你把每一步該猜什么詞寫下來吧。甲：但根據(jù)反饋不同，每步猜的詞也不同啊。乙：第一個詞總是要在什么信息都沒有的情況下猜的，你把第一個詞寫下來吧。甲：好，我寫了。乙：第一個詞輸入以后有243種可能的反饋。對于每種可能的反饋，你的第二個詞分別是什么，寫下來吧。甲：好，我寫。啊，不過有些反饋（比如綠綠綠綠綠）這個游戲就結(jié)束了，還有些反饋（比如第一個詞猜apple，反饋是黑綠綠綠綠）根本沒詞可以滿足，那些就不寫了。乙：沒問題。在每種可能性下你猜完了第二個詞，然后你又有243種可能的反饋，對于每種反饋，你第三個詞會猜什么？

如此類推。對圖論熟悉的讀者立刻可以看出來，這樣寫下來的詞會構(gòu)成一個圖論里叫做樹的結(jié)構(gòu)，也就是所謂“決策樹”。每一個“猜測”都相當(dāng)于是沿著決策樹往下走一層，這會縮小可能的詞表，直到可能詞表只剩下一個為止。

決策樹原本是一個運籌學(xué)分類算法里的概念，用來描述決策的流程，在機器學(xué)習(xí)中它則是分類算法的一種模型。在Wordle猜詞游戲這個場景里，我們的目的，是通過確定每個節(jié)點所猜的詞，來構(gòu)造一個“深度”盡可能少的決策樹。

Wordle決策樹 圖源：https://www.poirrier.ca/notes/wordle/#decision-trees


可以看出來，決策樹的最大層數(shù)（“深度”）表明了最差情況下的猜測次數(shù)。倘若存在一個深度5的決策樹，就說明按照這套策略，在6次猜測之內(nèi)（第1次猜測叫做深度0）一定可以猜中答案。同時，對于任何答案，也都可以“按圖索驥”地計算出，這個答案需要幾次可以被猜中。倘若需要求算“平均次數(shù)”是多少，也可以用這種方法算出來。

如何確定這種決策樹存在或是證明其不存在呢？當(dāng)然是靠試錯和枚舉。

具體說來，第一層有一個詞，這個詞有12972種可能性。第一個詞確定之后，第二層的詞有最多243個詞表，每一個詞表又有12971種可能性……如果枚舉完前5層所有可能的情況，就能找到一棵完整的樹，那就說明一定有一個可行策略可以保證6次內(nèi)猜中，如果沒有，那就說明6次不夠。

當(dāng)然，5層的決策樹，每層243個分支的話，最多會有243^5條分支，再考慮到每個分支下所猜測的詞最多有12972種可能性，計算量就會爆表了。不過，在適當(dāng)?shù)摹凹糁Α焙驼{(diào)整試錯優(yōu)先級的做法之下，所需要的時間可以大幅減少。

直覺上，我們會認(rèn)為，倘若一個猜測能在最差的反饋下盡量減少可能詞表的大小，那這個猜測就會更有效率。滑鐵盧大學(xué)的Laurent Poirrier采用了243種情況下剩余詞表的平方和作為這個衡量標(biāo)準(zhǔn)，平方和越小的選項就越會優(yōu)先枚舉。

按照這一策略，Laurent Poirrier成功花了50個CPU小時的時間找到了一個5層的決策樹，第一個詞是spaer。也就是說，Wordle確實可以保證在6次之內(nèi)猜中（12972個詞中的）所有可能的答案。進(jìn)一步的分析，幫助Laurent Poirrier找到了平均（假設(shè)詞表中所有單詞以同樣概率為正解）猜測次數(shù)意義下的最優(yōu)算法，平均猜測是4.07771次，最多6次猜中。

之后，Laurent Poirrier試圖用同樣的方法，尋找4層的決策樹或證明其不存在，也就是說想看看5次猜測能否保證猜對。結(jié)果，他把自己在亞馬遜云上的計算時長燒空了也沒算出來。

在尋找可行的解法時，只要找到一個正解算法就可以停了——例如，在尋找6次保證能猜中的算法時，他將搜索空間分成了10組同時進(jìn)行，編號為9的那組的第一個詞就是發(fā)現(xiàn)有一個可行解的spaer，之后的詞也就不用試了。反之，如果燒了非常多的計算時長也沒有找到，就說明枚舉了非常多的決策樹，但沒有一個可行的。換句話說，5次保證猜對的算法很可能不存在——當(dāng)然了，這并不是一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。

那么有沒有什么辦法，可以不需要枚舉所有可能性就證明這種算法不存在呢？山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村。沒過兩天，就有名叫Alex Peattie的另一個人，換了個角度進(jìn)行嘗試。他在自己的Blog上簡潔而靈巧地證明了5次猜測是不夠的。

這套證明的核心是基于這樣一點：找詞表中有19個結(jié)尾是ills，只有首字母不同的單詞：bills, cills, dills, fills, gills, hills, jills, kills, lills, mills,nills, pills, rills, sills, tills, vills, wills, yills, zills

換言之，幾乎所有的輔音字母都可以配上-ills形成一個英語單詞。問題在于，即使預(yù)先就告訴你正確答案在這19個詞當(dāng)中，5次猜測仍然不夠用。

事實上，想要保證在第5次猜中的話，前4次的猜測就必須包含19個可能首字母中的18個，根據(jù)簡單分析，每個單詞只有5個字母，4個單詞20個字母，這樣減去18，只有2個字母的余地，那么我們可以知道，至少有兩個詞要完全由這19個首字母之中的五個組成，并且還不能有相同字母。

由于這19個首字母中并不包含“a e i o u”五個元音字母，y也只能用一次，因此，只有兩組詞符合這些條件。

另人非常意外的是，竟然真的有兩組存在——誰能想到竟然真的有crwth這種單詞呢？確定之后，再去遍歷嘗試，能否用兩次猜測排除掉剩余9個字母中的8個，答案是不行，因此就可以證明5次猜測不能保證猜中正確答案。

關(guān)于Wordle還有一些其他的進(jìn)階討論。例如，倘若已知正解在那個2000多的詞表里，則是最多5次猜中。在困難模式下，也就是每次猜的詞，必須符合此前的所有提示的模式下，則需要7次才能保證猜中，平均需要4.52629次。對于詞表甚至字母表都不同的變體（比如中文成語版本），找出多少步能保證猜中則是一個NP問題（Non-deterministic Polynomial，即多項式復(fù)雜程度的非確定性問題）。

游戲快樂，燒腦快樂。

參考文獻(xiàn)：
【1】https://www.poirrier.ca/notes/wordle-optimal/#computational-complexity【2】https://alexpeattie.com/blog/establishing-minimum-guesses-wordle/

制版｜小圭月
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《賽先生》微信公眾號創(chuàng)刊于2014年7月，創(chuàng)始人為饒毅、魯白、謝宇三位學(xué)者，成為國內(nèi)首個由知名科學(xué)家創(chuàng)辦并擔(dān)任主編的科學(xué)傳播新媒體平臺，共同致力于讓科學(xué)文化在中國本土扎根。
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