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撰文 | 湯濤 姚楠

（本文轉(zhuǎn)載自《數(shù)學(xué)文化》第一卷第2期）

在人的一生中，機(jī)遇與際遇如同兩個(gè)孿生兄弟，如影相隨。有時(shí)候，一個(gè)偶然的機(jī)遇會(huì)讓人生的際遇改變；有時(shí)候，人生的際遇又會(huì)讓失去的機(jī)遇重生。

也許，一個(gè)人曾經(jīng)無(wú)數(shù)次地與機(jī)遇擦肩而過(guò)，無(wú)數(shù)次地與機(jī)遇失之交臂，但只要有一次握住了機(jī)遇的手，整個(gè)的人生際遇就會(huì)從此改變。

有限元對(duì)于馮康來(lái)說(shuō)就是改變了他人生際遇的一次機(jī)遇。沒(méi)有有限元，馮康的名字在今天就不會(huì)被人們一次次地提起。

沒(méi)有有限元，馮康也就不會(huì)傲然地站在世界級(jí)數(shù)學(xué)大師之列。

盡管有限元的發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含了一個(gè)又一個(gè)曲折的故事，盡管有限元的開(kāi)發(fā)凝結(jié)了太多太多科學(xué)工作者的心血與智慧，盡管有限元的發(fā)展引發(fā)了學(xué)術(shù)界的爭(zhēng)議與個(gè)人的恩怨，然而，當(dāng)我們逐步抽絲剝繭，試圖還原有限元發(fā)現(xiàn)前后的真實(shí)故事，我們發(fā)現(xiàn)，原來(lái)所有的一切都無(wú)法遮擋馮康的光芒。

馮康以他獨(dú)有的數(shù)學(xué)高度與思想，不但發(fā)現(xiàn)并找到了這片數(shù)學(xué)王國(guó)的“美麗花園”，并且還給出了關(guān)于有限元方法充足的理論根據(jù)。馮康的高度與深度是同時(shí)代的許多研究者所無(wú)法超越的，他也因此贏得了國(guó)際聲望與多位世界級(jí)數(shù)學(xué)大師的尊敬。

重拾有限元的故事，我們依舊要回到那令馮康激情燃燒的火紅年代……

“黃河的水嘩啦啦地流，流過(guò)一個(gè)美麗的地方，流過(guò)一道神奇的峽谷……”大多數(shù)人對(duì)于劉家峽的記憶都始于小學(xué)的語(yǔ)文課本。2008年，一首迅速唱紅的歌曲《美麗的劉家峽》再度勾起人們對(duì)于這顆“黃河明珠”的向往與回憶。

今天，當(dāng)我們乘船沿著黃河溯流而上，行至甘肅省永靖縣內(nèi)，豁然見(jiàn)到兩岸奇峰對(duì)峙、壁立千仞、風(fēng)景奇?zhèn)延^。九曲黃河水陡然在這里轉(zhuǎn)了一個(gè)九十度的急彎，向西奔流入峽。這里就是著名的劉家峽。

從空中俯瞰劉家峽水電站的景色

人們記住劉家峽不僅僅是因?yàn)樗?yáng)剛與陰柔兼?zhèn)涞钠嫣鼐坝^，更因?yàn)樗俗屧S多中國(guó)人倍感自豪與驕傲的火紅記憶。

劉家峽水電站是中國(guó)第一座超過(guò)百萬(wàn)千瓦級(jí)的大型水電站，也是中國(guó)第一個(gè)自己設(shè)計(jì)、施工、建造的超過(guò)百米的大型混凝土壩。從1958年9月27日劉家峽大壩紅紅火火地破土動(dòng)工，到1966年10月劉家峽大壩順利實(shí)現(xiàn)截流成功。1968年10月水庫(kù)正式蓄水，1969年4月1日第一臺(tái)機(jī)組發(fā)電……這一連串令人驕傲的事件曾經(jīng)許久地激蕩在人們的心中。

然而，人們也許還并不知道，這個(gè)令人驕傲的宏偉工程在建設(shè)中也不是一帆風(fēng)順的。50年代末至60年代初，劉家峽大壩遇到了一系列設(shè)計(jì)計(jì)算和建設(shè)方面的難題，造成大壩工程進(jìn)展緩慢。

在中科院計(jì)算所，三室二組的主要任務(wù)之一就是承擔(dān)水壩工程的計(jì)算問(wèn)題。

三室二組最早進(jìn)行水壩計(jì)算的是李旺堯。1958年李旺堯下放勞動(dòng)，未完成的計(jì)算由黃鴻慈接手。在劉家峽大壩工程計(jì)算之前，黃鴻慈已經(jīng)進(jìn)行過(guò)廣東河源新豐江水壩、云南威信扎西壩等水壩工程的計(jì)算。他運(yùn)用以往的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)與蔡中雄、詹重禧（在計(jì)算所進(jìn)修）一起編寫了兩個(gè)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)程序。其數(shù)學(xué)模型主要是重調(diào)和方程。據(jù)崔俊芝介紹，黃鴻慈等人編寫的十三點(diǎn)差分格式應(yīng)力函數(shù)計(jì)算程序質(zhì)量非常高，已經(jīng)達(dá)到了指令級(jí)程序的最優(yōu)化。這兩個(gè)程序?yàn)槠浜蠖M其他同事進(jìn)行水壩計(jì)算奠定了良好的基礎(chǔ)。

1963年，中科院對(duì)各科研單位提出了系統(tǒng)研究的要求，即以完成國(guó)家重大需求任務(wù)為目標(biāo)，開(kāi)展系統(tǒng)研究，解決國(guó)家發(fā)展中困難的科學(xué)問(wèn)題。中科院提出的口號(hào)是“以任務(wù)帶學(xué)科”。在當(dāng)時(shí)的三室中，黃鴻慈應(yīng)當(dāng)說(shuō)是既有超強(qiáng)的理論能力又有實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)的骨干，深得馮康的欣賞，他也因此受命擔(dān)當(dāng)由馮康倡導(dǎo)成立的第七研究組的組長(zhǎng)。黃鴻慈調(diào)任七組之后，二組接替他進(jìn)行水壩計(jì)算任務(wù)的就是剛剛由西北工業(yè)大學(xué)分配來(lái)的年輕人崔俊芝。

1963年2月，剛剛過(guò)了農(nóng)歷新年，劉家峽大壩設(shè)計(jì)組的副組長(zhǎng)朱昭鈞工程師找到了計(jì)算所三室，請(qǐng)求幫助解決劉家峽大壩的應(yīng)力分析問(wèn)題。研究室把這項(xiàng)計(jì)算任務(wù)交給了崔俊芝。

朱工首先向崔俊芝介紹了他們采用的弓冠量分配計(jì)算方法，崔俊芝很快發(fā)現(xiàn)用這種方法形成的系數(shù)矩陣是病態(tài)的，于是他轉(zhuǎn)而使用主元素消去法去求解弓冠量方法導(dǎo)出的病態(tài)線性方程組。病態(tài)問(wèn)題雖然解決了，但是對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行應(yīng)力校核，發(fā)現(xiàn)局部應(yīng)力總是不平衡。于是，崔俊芝對(duì)弓冠量計(jì)算方法產(chǎn)生了懷疑。接著，崔俊芝在蔡中熊的幫助下利用黃鴻慈等人編寫的應(yīng)力函數(shù)法標(biāo)準(zhǔn)程序進(jìn)行了計(jì)算，但算出來(lái)的結(jié)果仍然不能做到局部區(qū)域應(yīng)力平衡。

崔俊芝今天回憶起來(lái)仍然認(rèn)為，當(dāng)時(shí)之所以計(jì)算的結(jié)果不理想，是因?yàn)椴捎檬c(diǎn)差分格式的應(yīng)力函數(shù)計(jì)算程序來(lái)進(jìn)行水壩應(yīng)力分析。得不到滿意的結(jié)果的主要原因是全部采用了正方形網(wǎng)格，水壩的邊界不可能與網(wǎng)格線重合。黃鴻慈回憶說(shuō)，內(nèi)節(jié)點(diǎn)用差分逼近，邊界節(jié)點(diǎn)不得不使用外推插值處理，這種不統(tǒng)一、不協(xié)調(diào)的處理方式也是造成計(jì)算結(jié)果不理想的原因。

除了計(jì)算方法之外，計(jì)算機(jī)儲(chǔ)存量的限制也是造成計(jì)算難題的重要原因，當(dāng)時(shí)的計(jì)算機(jī)全部數(shù)據(jù)與程序加起來(lái)不能超過(guò)2048個(gè)內(nèi)存單元。崔俊芝稱那是一個(gè)很艱苦的程序設(shè)計(jì)年代，因?yàn)楫?dāng)時(shí)編程序都用機(jī)器原碼，輸入都用紙帶穿孔。

1950年代編寫程序相當(dāng)?shù)匦量唷](méi)有匯編，沒(méi)有C，也沒(méi)有C++。當(dāng)時(shí)的那種編程并不是今天這樣的“寫”程序，也不是在自己家里或是辦公桌上就可以做的，而是要用機(jī)器語(yǔ)言來(lái)編，要到保安極強(qiáng)的機(jī)房里換上白大褂去工作的！也就是說(shuō)，編出程序除了寫在紙上，更重要的是穿成紙帶，即在紙帶上打出一系列的小孔（修改程序就是給紙孔打補(bǔ)?。?/span>。程序員需要先將計(jì)算機(jī)的指令換算成二進(jìn)制數(shù)字，然后把二進(jìn)制數(shù)字組成這些小孔，每個(gè)小孔代表一個(gè)信號(hào)；數(shù)十個(gè)小孔構(gòu)成一條指令，驅(qū)使計(jì)算機(jī)做一個(gè)動(dòng)作！這個(gè)方法一直延續(xù)到1980年初，筆者之一曾于1983年在北京大學(xué)的機(jī)房里穿過(guò)幾個(gè)月的孔，在龐大的機(jī)房里體驗(yàn)過(guò)那時(shí)編程的艱辛。

正當(dāng)崔俊芝對(duì)于水壩計(jì)算問(wèn)題一籌莫展的時(shí)候，馮康在計(jì)算所的一次學(xué)術(shù)報(bào)告上重點(diǎn)講述了一篇文章，這篇文章讓崔俊芝茅塞頓開(kāi)。經(jīng)過(guò)了漫長(zhǎng)的黑暗摸索，崔俊芝終于看到了光亮與希望。

作為三室全面的業(yè)務(wù)指導(dǎo)，馮康經(jīng)常要在三室或者全所范圍內(nèi)作學(xué)術(shù)報(bào)告，分享一些他近期研究以及讀書的心得。在一次報(bào)告中，馮康提到的是Synge的一篇文章，并提出把微分方程寫成變分形式，用變分的原理來(lái)推導(dǎo)差分格式。

馮康提到的那篇文章是Prager和Synge于1947年發(fā)表在美國(guó)《應(yīng)用數(shù)學(xué)季刊》上的一篇文章。Synge在應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)方面作過(guò)很多杰出的工作，也是錢偉長(zhǎng)院士在多倫多大學(xué)讀博士時(shí)的導(dǎo)師。他本人后來(lái)當(dāng)選為英國(guó)皇家協(xié)會(huì)院士。他的二女兒CathleenMorawetz是柯朗數(shù)學(xué)研究所的著名教授，曾任美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，并當(dāng)選為美國(guó)科學(xué)院院士。他的叔父約翰?辛格（JohnM.Synge）是愛(ài)爾蘭著名詩(shī)人，也是英國(guó)皇家協(xié)會(huì)院士，代表作品包括《西方世界的花花公子》和《騎馬下海的人》。他的另外一個(gè)遠(yuǎn)親曾獲1952年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。所以這也是一個(gè)傳奇的文化世家。

馮康的這次報(bào)告給了黃鴻慈和崔俊芝等人很大的啟發(fā)，他提出的用變分原理進(jìn)行差分計(jì)算的思想為許多年輕學(xué)者提供了新的研究方向。

有限元計(jì)算大壩的三維網(wǎng)格。1960 年代的網(wǎng)格僅僅是二維的。

1963年夏天，在馮康的帶領(lǐng)下，三室的同事們掀起了鉆研與探討差分方法的熱潮。他們從中科院的圖書館借來(lái)美國(guó)的Forsythe和Warsow二人于1960年寫的一本書，叫做《偏微分方程的差分方法》。書中有兩個(gè)關(guān)于橢圓方程計(jì)算的章節(jié)，講到了變分差分格式。三室的同事們?nèi)琊囁瓶实貭?zhēng)相閱讀這本書，由于當(dāng)時(shí)沒(méi)有復(fù)印機(jī)，他們就自己抄公式、刻鋼板，進(jìn)行油印。

1963年水壩問(wèn)題的計(jì)算已經(jīng)由二組上升成為三室亟待解決的攻堅(jiān)難題。

在馮康的籌劃部署下，二組的水壩計(jì)算組分成三個(gè)小組，從三個(gè)不同方向?qū)λ畨斡?jì)算進(jìn)行系統(tǒng)研究。

三個(gè)小組的劃分如下：二組副組長(zhǎng)林忠楷帶領(lǐng)一個(gè)小組，把大壩的基礎(chǔ)砍掉，用應(yīng)力函數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算；二組組長(zhǎng)魏道政帶領(lǐng)一個(gè)小組，從平衡方程出發(fā)，把應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系代進(jìn)拉梅方程進(jìn)行計(jì)算，崔俊芝在這個(gè)小組。剩下的一個(gè)小組由蔡中熊帶領(lǐng)，王藎賢在這個(gè)小組，從變分原理出發(fā)，直接用位移差商代替位移導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。三個(gè)小組要定期交流，并將結(jié)果向馮康匯報(bào)。

1963年10月，魏道政突發(fā)急性肝炎，住進(jìn)了北京郊區(qū)潭柘寺醫(yī)院。崔俊芝只好帶著由魏道政指導(dǎo)畢業(yè)設(shè)計(jì)的科大64屆畢業(yè)生魏學(xué)玲繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算。為了盡可能地保證在壩體內(nèi)部任意局部區(qū)域上的應(yīng)力平衡性，崔俊芝與魏學(xué)玲采用了基于拉梅方程的積分守恒的差分格式，內(nèi)部采取不等距矩形網(wǎng)格，邊上采用三角形網(wǎng)格，使所有計(jì)算節(jié)點(diǎn)都落在壩體內(nèi)部或邊界上。二人分工合作，終于在1964年春天來(lái)臨的時(shí)候算出了一組新的結(jié)果——利用積分守恒格式的計(jì)算結(jié)果。經(jīng)過(guò)細(xì)致地應(yīng)力校核，其結(jié)果不僅在邊界節(jié)點(diǎn)附近應(yīng)力是基本平衡的，且在壩體內(nèi)部任意局部區(qū)域上的應(yīng)力也是基本平衡的。

當(dāng)崔俊芝把這樣的計(jì)算結(jié)果交給劉家峽水壩工程設(shè)計(jì)組的人員時(shí)，他們露出了滿意的笑容。

在獲得用戶滿意的計(jì)算結(jié)果之后，崔俊芝對(duì)原來(lái)由他和魏學(xué)玲合作編制的程序進(jìn)行了重大的修改，采用標(biāo)準(zhǔn)化的信息格式，編制出了第一個(gè)平面應(yīng)力分析標(biāo)準(zhǔn)程序（104計(jì)算機(jī)版本）；同年，崔俊芝還編制了平面應(yīng)力分析標(biāo)準(zhǔn)程序（119計(jì)算機(jī)版本）。利用這兩個(gè)程序，崔俊芝為劉家峽工程計(jì)算了多個(gè)（不少于十個(gè)）設(shè)計(jì)方案。

與此同時(shí)，崔俊芝和王藎賢一起，把基于積分守恒格式的差分格式和基于變分原理的差分格式一一進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)在邊界節(jié)點(diǎn)上其差分格式是一致的；它們正是后來(lái)“有限元法”得到的邊界節(jié)點(diǎn)上的差分格式；對(duì)于內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的差分格式也進(jìn)行了組合優(yōu)化，形成了當(dāng)時(shí)認(rèn)為是最好的差分格式。以這些差分格式為基礎(chǔ)，崔俊芝、王藎賢、趙靜芳三人合作編制了另一個(gè)平面應(yīng)力分析標(biāo)準(zhǔn)程序（109-乙計(jì)算機(jī)版本）。利用這個(gè)程序，他們?yōu)槎鄠€(gè)不同類型的結(jié)構(gòu)工程進(jìn)行了平面應(yīng)力分析。

1964年“五?一”節(jié)，對(duì)于三室的同事來(lái)說(shuō)心里是暖洋洋的，經(jīng)過(guò)多年的刻苦攻關(guān)、廢寢忘食，水壩計(jì)算的系統(tǒng)研究終于有了結(jié)果，劉家峽大壩的應(yīng)力分析已經(jīng)使用戶滿意?！拔?一”過(guò)后不久，在計(jì)算所302房間，馮康、黃鴻慈、崔俊芝等人激動(dòng)地向劉家峽大壩工程設(shè)計(jì)組的負(fù)責(zé)人員進(jìn)行了匯報(bào)。

破解劉家峽大壩應(yīng)力分析的計(jì)算難題是計(jì)算所三室對(duì)社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)建設(shè)的一大貢獻(xiàn)。1966年10月劉家峽大壩截流成功時(shí)，三室有關(guān)人員曾收到一份落款為“中共中央、國(guó)務(wù)院、中央軍委、中央文革小組”的明碼電報(bào)，祝賀和表彰計(jì)算所三室在劉家峽水電工程建設(shè)中的突出貢獻(xiàn)。

人們?cè)疽詾?，破解了劉家峽水壩的計(jì)算難題，事情就應(yīng)該畫上了一個(gè)圓滿的句號(hào)。誰(shuí)知，時(shí)隔不久，由劉家峽大壩的計(jì)算更引發(fā)了另一個(gè)美麗的結(jié)局。

馮康在指導(dǎo)與總結(jié)劉家峽水壩計(jì)算的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)了一整套求解偏微分方程邊值問(wèn)題的計(jì)算方法，一個(gè)用變分原理進(jìn)行差分計(jì)算的方法。即通過(guò)剖分插值，構(gòu)建分片多項(xiàng)式的函數(shù)空間，來(lái)求解偏微分方程。這就是著名的有限元方法。雖然馮康當(dāng)時(shí)把它叫做基于變分原理的差分方法。這一方法的發(fā)現(xiàn)在計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域中引起了強(qiáng)烈的震動(dòng)。

早在1962年2月，黃鴻慈在《計(jì)算機(jī)動(dòng)態(tài)》的《計(jì)算數(shù)學(xué)》?？邪l(fā)表了一篇題為“求解重調(diào)和方程最小特征值問(wèn)題的一種差分方法”的論文，文中提出一種求解四階微分方程的C1-元（即導(dǎo)數(shù)連續(xù)的分片多項(xiàng)式空間）方法。這篇文章被稱為“具有早期有限元的思想”，后來(lái)也成為有限元方法報(bào)獎(jiǎng)的四篇文章之一。當(dāng)時(shí)，馮康對(duì)黃鴻慈的這篇文章大加贊賞，黃還因此被提升為助理研究員，獲得了晉升兩級(jí)工資的嘉獎(jiǎng)。

1964年10月，為迎接即將在哈爾濱舉行的全國(guó)計(jì)算機(jī)會(huì)議，三室先召開(kāi)了一個(gè)預(yù)備會(huì)議。會(huì)上，黃鴻慈和崔俊芝分別作了關(guān)于理論和計(jì)算方面的報(bào)告。黃鴻慈的報(bào)告主要講了拉普拉斯（Laplace）方程和平面彈性問(wèn)題的離散方法的誤差估計(jì)，但是在較強(qiáng)的解的光滑性條件下完成的。黃對(duì)這個(gè)結(jié)果很滿意，還專門向馮康單獨(dú)匯報(bào)了這個(gè)結(jié)果并征求他的意見(jiàn)。令黃費(fèi)解的是，馮康聽(tīng)后表現(xiàn)得很冷淡，并沒(méi)有象兩年前給他提工資那次那樣熱情。一年后，黃鴻慈了解到，其實(shí)馮康當(dāng)時(shí)正有一個(gè)從廣義函數(shù)出發(fā)的收斂性證明，也是他那篇偉大的開(kāi)創(chuàng)性文章中講述的工作。只不過(guò)這一次馮康并沒(méi)有和黃交流。

1965年5月，全國(guó)計(jì)算機(jī)會(huì)議在哈爾濱召開(kāi)。由于當(dāng)時(shí)黃鴻慈已經(jīng)去河南信陽(yáng)“四清”勞動(dòng)，他沒(méi)有機(jī)會(huì)聽(tīng)到馮康那篇精彩的報(bào)告。后來(lái)馮康的報(bào)告又以論文的形式發(fā)表在1965年第4期《應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)》期刊上，題為“基于變分原理的差分格式”。而根據(jù)張克明等三室領(lǐng)導(dǎo)決定，黃和崔俊芝兩人需要把1964年10月在三室作的報(bào)告刪改合并，發(fā)表于1966年第1期的同一個(gè)期刊上，題為“求解平面彈性問(wèn)題的差分方法”，論文的合作者還有王藎賢、趙靜芳、林宗楷。

馮康 1965 年論文的英譯版

黃鴻慈、王藎賢、崔俊芝等人的文章給出了有限元方法的誤差估計(jì)，這是文獻(xiàn)可查的非常早的誤差估計(jì)結(jié)果，但是在較強(qiáng)的解的光滑性假定下獲得的。而馮康在其論文中，用高深的數(shù)學(xué)理論，在極其廣泛的條件下證明了方法的收斂性和穩(wěn)定性，建立起有限元方法嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論框架，為有限元方法的實(shí)際應(yīng)用提供了可靠的理論基礎(chǔ)。這篇論文被公認(rèn)為是中國(guó)學(xué)者先于西方創(chuàng)造有限元方法理論的標(biāo)志。

由于黃鴻慈的文章沒(méi)有單獨(dú)發(fā)表，他也懷疑是馮康從中作梗，因此也為馮康與黃鴻慈多年后的恩恩怨怨埋下了伏筆。馮康的這篇文章與黃鴻慈等人的文章最終成為了有限元報(bào)獎(jiǎng)的重要材料。

如同任何科學(xué)技術(shù)的創(chuàng)新都是社會(huì)和科技發(fā)展的必然結(jié)果一樣，在那樣一個(gè)令人激情燃燒的年代，在一個(gè)國(guó)家呼喚計(jì)算數(shù)學(xué)飛速發(fā)展的年代，馮康團(tuán)隊(duì)與他們的有限元方法呼之欲出。馮康在許多場(chǎng)合都反復(fù)提到他的那篇文章是在水壩計(jì)算的基礎(chǔ)上寫出來(lái)的，有限元方法的提出是集體智慧的結(jié)晶。

是的，應(yīng)當(dāng)說(shuō)，如果沒(méi)有三室同事水壩計(jì)算的大量實(shí)踐，馮康就不會(huì)發(fā)展有限元方法的系統(tǒng)理論。然而，如果沒(méi)有馮康的數(shù)學(xué)境界與思想高度，也不會(huì)有有限元方法的發(fā)現(xiàn)和理論化。馮康的貢獻(xiàn)不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)理論的證明，而是一個(gè)方法從數(shù)學(xué)角度的重新發(fā)現(xiàn)，并且使得這個(gè)方法得以更廣泛地應(yīng)用。

許多國(guó)際著名科學(xué)家對(duì)馮康的這一成果都給予極高贊譽(yù)和充分的肯定，也把這一成果擺到了它應(yīng)該占有的地位上。

正如我們?cè)诠适碌拈_(kāi)篇提到的，法國(guó)著名科學(xué)家、法國(guó)科學(xué)院院長(zhǎng)里翁斯（J.L.Lions）院士贊揚(yáng)馮康是在對(duì)外隔絕的環(huán)境下獨(dú)立創(chuàng)始了有限元方法，位列世界最早。曾任美國(guó)總統(tǒng)科學(xué)顧問(wèn)及美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)的彼得?拉克斯（P.Lax）院士后來(lái)在紀(jì)念馮康的文章中也寫道：馮康獨(dú)立于西方并行地創(chuàng)造了有限元方法的理論，在方法的實(shí)現(xiàn)及理論基礎(chǔ)的創(chuàng)立兩方面都做出了貢獻(xiàn)。

法國(guó)科學(xué)院院長(zhǎng)里翁斯對(duì)馮康的工作給予高度評(píng)價(jià)    

中國(guó)的國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人在講話中多次提到有限元的成就。

2002年5月28日，時(shí)任國(guó)家主席的江澤民在兩院院士大會(huì)上發(fā)表了重要講話，他說(shuō)到：在當(dāng)代世界科技發(fā)展的史冊(cè)上，我國(guó)科技工作者也書寫了光輝的篇章。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域創(chuàng)立的多復(fù)變函數(shù)的調(diào)和分析，有限元方法和辛幾何算法，示性類及示嵌類的研究和數(shù)學(xué)機(jī)械化與證明理論，關(guān)于哥德巴赫猜想的研究，在國(guó)際上都引起了強(qiáng)烈反響。

2008年12月15日，胡錦濤主席在紀(jì)念中國(guó)科協(xié)成立50周年大會(huì)上發(fā)表講話也別提到了有限元方法，并在新中國(guó)成立以后的眾多科學(xué)成果中將其列在第一位。

有限元方法的發(fā)現(xiàn)和其數(shù)學(xué)理論讓馮康攀上了數(shù)學(xué)研究的第一個(gè)巔峰。

提到二十世紀(jì)對(duì)人類具有重大影響的發(fā)明，人們自然會(huì)聯(lián)想到飛機(jī)、電視、衛(wèi)星、電子計(jì)算機(jī)、無(wú)線通訊技術(shù)等等這些與人們近在咫尺、息息相關(guān)的發(fā)明創(chuàng)造，事實(shí)上，人們可能并不知道，在工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域還有一個(gè)直接關(guān)系到國(guó)計(jì)民生的重大發(fā)明，那就是有限元方法。

有限元方法對(duì)于數(shù)學(xué)界、物理學(xué)界、工程界的人士來(lái)說(shuō)是再熟悉不過(guò)的，而對(duì)于普通人來(lái)說(shuō)卻顯得陌生而遙遠(yuǎn)。其實(shí)，人們可以不知道有限元，卻一定知道今天的飛機(jī)可以造得龐大而又安全；人們可以不知道有限元，卻一定知道今天的大壩可以造得堅(jiān)固而又偉岸；人們可以不知道有限元，卻一定知道今天的手機(jī)可以讓溝通變得暢快而又簡(jiǎn)單……有限元間接地與人們的生活發(fā)生著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。

有限元方法的早期發(fā)展有著較漫長(zhǎng)的歷史。

結(jié)構(gòu)力學(xué)家在對(duì)飛機(jī)結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析的研究中，最早導(dǎo)致有限元方法及其技術(shù)的誕生。飛機(jī)在載荷變化很大的環(huán)境下工作，會(huì)經(jīng)受復(fù)雜的應(yīng)力變化。這時(shí)，結(jié)構(gòu)的承載能力、斷裂疲勞壽命、結(jié)構(gòu)的可靠性和耐久性，都需要有合理的分析。這些分析，直接影響設(shè)計(jì)與制造的成本。在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前，這些問(wèn)題的解答主要依賴各種形式的結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)。由于這些實(shí)驗(yàn)基本上是采用和飛機(jī)的大小差不多尺寸的模擬，因此實(shí)驗(yàn)規(guī)模之大，花費(fèi)之高是可想而知的。一架好端端的飛機(jī)在巨大的全機(jī)靜力試驗(yàn)廠房?jī)?nèi)，通過(guò)液壓傳動(dòng)的協(xié)調(diào)加載設(shè)備，在一聲巨響之下，將其拉得支離破碎，真是非?？上?。

1950年代中，美國(guó)飛機(jī)設(shè)計(jì)工程師M.J.Turner與大學(xué)教授R.J.Clough合作在1956年的《航空科學(xué)雜志》上提出了飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析的直接剛度法，同時(shí)歐洲的Argyris教授創(chuàng)導(dǎo)了飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析矩陣分析方法，他們被認(rèn)為是當(dāng)代有限元法誕生的起點(diǎn)。但作為一種求解數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的近似方法，這一方法的原型甚至可以從大數(shù)學(xué)家柯朗（R.Courant）1940年代發(fā)表的論文中找到。但是由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)尚未發(fā)明，柯朗的方法因計(jì)算量太大并未引起科技界的重視。

按力學(xué)應(yīng)力平衡方法裝配起來(lái)的有限元系統(tǒng)，被當(dāng)作為復(fù)雜結(jié)構(gòu)應(yīng)力-應(yīng)變分析的一個(gè)近似的數(shù)學(xué)模型，是有限元化繁為簡(jiǎn)指導(dǎo)思想的根本。由于幾何形狀簡(jiǎn)單，受力變形單純，每一單元的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系可根據(jù)有限的幾個(gè)節(jié)點(diǎn)位移直接地表達(dá)出來(lái)。這種按力平衡原理組合可等價(jià)為單元?jiǎng)偠染仃嚨哪撤N疊加，于是一個(gè)復(fù)雜的應(yīng)力-應(yīng)變問(wèn)題能夠歸結(jié)為一個(gè)線性代數(shù)方程組問(wèn)題。也正是這個(gè)原因，力學(xué)家們一開(kāi)始把有限元方法叫做直接剛度法或矩陣方法。

這是結(jié)構(gòu)力學(xué)家發(fā)明的有限元法的思維路線。而真正對(duì)有限元方法有所突破，并使得有限元方法得以大范圍、廣泛應(yīng)用的卻是計(jì)算數(shù)學(xué)家們的貢獻(xiàn)。特別是中國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)于有限元方法的創(chuàng)導(dǎo)和發(fā)展具有不可磨滅的貢獻(xiàn)。

2005 年， 拉克斯從挪威王子手中接過(guò)約百萬(wàn)美元的數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)， 阿貝爾獎(jiǎng)。拉克斯對(duì)馮康的貢獻(xiàn)非常贊賞。

中科院計(jì)算所三室成立的主要任務(wù)是研究計(jì)算數(shù)學(xué)，計(jì)算數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，研究的內(nèi)容包括算法設(shè)計(jì)和算法分析。在三室，一組、二組和三組的主要研究工作是求解連續(xù)的偏微分方程問(wèn)題，既把連續(xù)的偏微分方程轉(zhuǎn)換為離散的數(shù)值代數(shù)問(wèn)題。這樣可以把極少可能找到解析解的連續(xù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散的有限維問(wèn)題，進(jìn)而計(jì)算得到近似解。這個(gè)過(guò)程叫數(shù)值偏微分方程方法。

微分方程的定解問(wèn)題就是在滿足某些定解條件下求解微分方程的解。在空間區(qū)域的邊界上要滿足的條件稱為邊值條件。如果問(wèn)題與時(shí)間有關(guān)，在初始時(shí)刻所要滿足的條件，稱為初值條件。不含時(shí)間而只帶邊值條件的定解問(wèn)題，稱為邊值問(wèn)題（比如水壩應(yīng)力分析問(wèn)題）。與時(shí)間有關(guān)而只帶初值條件的定解問(wèn)題，稱為初值問(wèn)題。同時(shí)帶有兩種定解條件的問(wèn)題，稱為初邊值混合問(wèn)題（如天氣預(yù)報(bào)問(wèn)題、石油勘測(cè)問(wèn)題等）。

大多數(shù)微分方程問(wèn)題往往求不出解析解，或者其解析解不易找到。所以要采用可行的數(shù)值解法。在1950年代以前，最主要的數(shù)值求解方法是有限差分方法，簡(jiǎn)稱差分方法。它的基本思想是把問(wèn)題的定義域進(jìn)行矩形剖分，然后在網(wǎng)格點(diǎn)上以用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商替代控制方程中的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問(wèn)題變?yōu)榇鷶?shù)問(wèn)題的近似數(shù)值方法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡(jiǎn)單。此外，還要研究差分格式的解的存在性和唯一性、求解方法、解的數(shù)值穩(wěn)定性、差分格式的解與原問(wèn)題的真解的誤差估計(jì)，以及差分格式的解當(dāng)網(wǎng)格尺寸充分小時(shí)是否趨于真解（即收斂性）等等。

在有限差分理論方面起到先驅(qū)作用的學(xué)者包括計(jì)算機(jī)之父馮?諾伊曼（vonNeumann），他給出了基于傅立葉級(jí)數(shù)的穩(wěn)定性分析方法。沃爾夫獎(jiǎng)獲得者彼得?拉克斯（PeterLax）提出了等價(jià)性定理，建立了差分方法穩(wěn)定性和收斂性的內(nèi)在聯(lián)系。還有俄國(guó)數(shù)學(xué)家薩馬斯基（A.A.Smarskii）院士系統(tǒng)地發(fā)展了有限差分理論。另外，馬爾丘克院士（G.I.Marchuk）提出了交替方向法，使高維度空間的差分方程求解變得更有效，后者于1980年代曾任蘇聯(lián)部長(zhǎng)會(huì)議副主席和蘇聯(lián)科學(xué)院院長(zhǎng)。

有限差分方法直觀、理論成熟，精度容易預(yù)測(cè)。但是對(duì)區(qū)域的規(guī)則性要求較高，對(duì)于不規(guī)則區(qū)域處理繁瑣。這些缺點(diǎn)已被證明可以用有限元方法來(lái)彌補(bǔ)。對(duì)于有限元方法，其基本思路可用下面六點(diǎn)說(shuō)明：第一、根據(jù)變分原理建立與微分方程初邊值問(wèn)題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元的出發(fā)點(diǎn)。第二、區(qū)域剖分。根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問(wèn)題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干個(gè)相互聯(lián)接但又不重疊的單元。第三，確定單元基函數(shù)。根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的函數(shù)作為單元基函數(shù)。第四，單元分析。將各個(gè)單元中待求解的函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合進(jìn)行逼近；再將近似函數(shù)帶入積分表達(dá)式，并在單元上進(jìn)行數(shù)值積分，可以獲得含有待定函數(shù)節(jié)點(diǎn)近似值的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。第五，總體合成。將區(qū)域中所有單元的有限元方程進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。第六，求解有限元方程。由于最后得到的是代數(shù)方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值代數(shù)方法，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。這個(gè)方法最重要的優(yōu)點(diǎn)之一是上述的第二步，其單元可以不是矩形，這樣就可以應(yīng)付任意形狀的多邊形區(qū)域。在實(shí)際計(jì)算中，有限元方法可以應(yīng)用于任何的求解區(qū)域。

這些有限元方法的敘述，是我們今天在計(jì)算方法的教科書中常見(jiàn)的內(nèi)容。

計(jì)算所三室的數(shù)學(xué)家們當(dāng)時(shí)面臨解決大壩受力問(wèn)題，從不同的角度也達(dá)到了有限元法的統(tǒng)一形式。馮康和他的團(tuán)隊(duì)考慮的是一組描寫物理力學(xué)問(wèn)題的連續(xù)的偏微分方程的近似解，將這些偏微分方程用泛函分析的方法轉(zhuǎn)化為求解能量極小的變分問(wèn)題。再將所有可能的場(chǎng)變量局部近似，在場(chǎng)內(nèi)每個(gè)簡(jiǎn)單的三角形或四邊形區(qū)域上，假定場(chǎng)變量具有低階多項(xiàng)式的近似表達(dá)式。這樣，無(wú)窮自由度的問(wèn)題就可以近似成有限自由度的Ritz-Galerkin問(wèn)題。如前面描述的，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，馮康和同事們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的計(jì)算方法對(duì)許多問(wèn)題的求解并不適用，難以滿足工程應(yīng)用的實(shí)際需求。他注意到同一個(gè)物理問(wèn)題可以有多個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)形式，而這些數(shù)學(xué)形式在理論上是等價(jià)的。過(guò)去人們?cè)谇笸季S的驅(qū)使下，往往只注意早已廣為人知的微分方程形式，而不注意其它形式。計(jì)算數(shù)學(xué)家往往也只研究已有的計(jì)算方法，或從微分方程形式去構(gòu)造一些新的差分格式。但馮康并不滿足于此。

求異思維使馮康決心創(chuàng)建和發(fā)展新的計(jì)算方法。既然一個(gè)物理問(wèn)題可以有多個(gè)等價(jià)的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，為什么非從微分方程形式出發(fā)呢？他注意到了久被忽視的變分形式。為了克服傳統(tǒng)計(jì)算方法難以處理幾何形狀與材料的復(fù)雜性，難以保持物理問(wèn)題的主要特征，馮康開(kāi)辟了橢圓型方程計(jì)算方法的系統(tǒng)研究。在大量計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)系統(tǒng)的理論分析及總結(jié)提高，把變分原理與剖分逼近有機(jī)結(jié)合，既保持了物理問(wèn)題的主要特征，又以“分整為零、裁彎取直、以簡(jiǎn)馭繁，化難為易”的新思路，妥善解決了幾何形狀和材料的復(fù)雜性問(wèn)題，創(chuàng)造了一整套從變分原理出發(fā)求解偏分方程問(wèn)題的數(shù)值方法。

馮康曾用簡(jiǎn)單形象的比喻形容有限元方法：求解微分方程的定解問(wèn)題好象是大海撈針，成功的可能是微乎其微；但有限元離散后，尋求近似解就好象是碗里撈針，顯而易見(jiàn)容易多了。

需要提出的是以馮康為首的中國(guó)科學(xué)院的研究集體在用計(jì)算機(jī)做水壩應(yīng)力——應(yīng)變分析的過(guò)程中，克服了傳統(tǒng)方法的種種缺陷，創(chuàng)造性地提出基于變分原理的差分方法。當(dāng)時(shí)中國(guó)和西方的交流幾乎中斷，這個(gè)方法和西方稱為有限元的方法完全一樣。他們不僅提出了方法，而且更重要的是在世界上最先給出了這一方法的可靠性理論，開(kāi)辟了有限元數(shù)學(xué)的新篇章。馮康的論文是國(guó)際公認(rèn)的最早有關(guān)有限元理論的奠基性工作；在對(duì)函數(shù)解析性質(zhì)要求非常一般的情形下，給出了方法的穩(wěn)定性和收斂性證明。需要指出的是，很多介紹馮康工作的文章中都提出馮康1965年的經(jīng)典性文章（后由李波翻譯的英文版本Difference Scheme Based on Variational Principle全文可見(jiàn)http://lsec.cc.cn/fengkangprize/article.html）給出了近似解的誤差估計(jì)，但這是不符合實(shí)際的。馮康的論文并沒(méi)有給出誤差估計(jì)，這方面的工作由捷克的M.Zlamal于1968年給出（On the Finite Element Method，德國(guó)出版的《數(shù)值數(shù)學(xué)》，第12卷，394-409頁(yè)）。Zlamal(1924-1997)時(shí)任捷克布爾諾（Brno）科技大學(xué)教授。Zlamal的文章用到J.Céa于1964年用法文發(fā)表的一個(gè)重要不等式以及P.G.Ciarlet1966年的博士論文。

由中國(guó)數(shù)學(xué)家馮康等開(kāi)創(chuàng)的這一研究，在其后的數(shù)十年中，捷克/美國(guó)（代表人物I.Babuska）、美國(guó)（代表人物J.Douglas和J.Bramble）、法國(guó)（代表人物P.Ciarlet和P.Raviat）、意大利（代表人物F.Brezzi）等許多學(xué)者廣泛參與，最終確定有限元的逼近性質(zhì)、逼近精度、有限元尺寸和多項(xiàng)式階次的關(guān)系，使有限元方法實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍。在這些分析中，廣義函數(shù)論、索波列夫空間理論、偏微分方程的希爾伯特空間方法等現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論都起著重要的作用。順便說(shuō)一下，前面提到的法國(guó)人P.Ciarlet2003年以后一直在香港城市大學(xué)工作，他是法國(guó)科學(xué)院院士，今年更錦上添花地成為中國(guó)科學(xué)院外籍院士。他于1970年代末寫的有限元專著，成了研究有限元理論的學(xué)者們必讀的參考書。

法國(guó)科學(xué)院院士、 中國(guó)科學(xué)院外籍院士、
香港城市大學(xué)教授 P. G. Ciarlet

時(shí)至半個(gè)世紀(jì)后的今天，有限元方法的理論不僅在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域被廣為接受，即使在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域也得到認(rèn)可。2002年，在北京舉行的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上，美國(guó)的D.Arnold作了一個(gè)小時(shí)的大會(huì)報(bào)告。在2006年西班牙馬德里舉行的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上，意大利的A.Quarteroni也作了一個(gè)小時(shí)的大會(huì)報(bào)告。兩個(gè)人都是有限元方面的專家。在純數(shù)學(xué)統(tǒng)治下的數(shù)學(xué)家大會(huì)上，連續(xù)兩屆有兩個(gè)一個(gè)小時(shí)的報(bào)告，足見(jiàn)有限元這一研究方向受到的重視程度。