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“一個被認為多年隱沒在數(shù)學界之外的人，博觀約取，厚積薄發(fā)，最終在本世紀的數(shù)論難題——‘孿生素數(shù)猜想’上獲得重大突破?！?/span>

他就是華裔數(shù)學家張益唐教授。

演講場次：2019.11.16科學峰會主旨演講6：數(shù)學

演講嘉賓：張益唐，加州大學圣塔芭芭拉分校數(shù)學系教授

演講主題：The Landau-Siegel Zero Problem in Number Theory

張益唐：謝謝大家！也感謝未來論壇給我提供這么一個機會做一次科普。我今天要講的問題在數(shù)論中很有名，就叫Landau—Siegel零點問題，這是一個什么問題呢？

要講這個問題，我們就要回顧很有名的黎曼假設(shè)，而黎曼假設(shè)又涉及到什么東西呢——黎曼ζ函數(shù)。有這樣一個極數(shù)定義來定義黎曼ζ函數(shù)，但是我們需要用一點數(shù)學知識來解釋這個極數(shù)。就是說，它不是在任何地方對任何變量S都是有定義的，只有當S的實部大于1的話有定義，而實部要是小于等于1，我們學一點微積分就知道，這個極數(shù)是一個發(fā)散的極數(shù)，所以它只是在一定范圍內(nèi)是這樣一個原始定義，但是黎曼是解析數(shù)論的開創(chuàng)者，是他證明這個函數(shù)是可以有一個解析延拓到整個全平面，即對所有的S，這個函數(shù)都是有定義的，在S等于1的地方有一個簡單的極點，就是不解析，而且留數(shù)是等于1，而且它滿足一個很特殊的函數(shù)方程，是把S，ζ（S）和ζ（1-S）改過來，而對于黎曼ζ函數(shù)，是歐拉在黎曼更早以前研究這個函數(shù)，但是他們只是把S看成是實變量，那個時候基本上沒有復變函數(shù)的概念。黎曼ζ函數(shù)與素數(shù)有直接聯(lián)系，當實部大于1時，它是一系列自然數(shù)的和，同時又是素數(shù)的乘積，這里這個P實際包括了所有的素數(shù)，這樣就通過對黎曼ζ函數(shù)的研究會得到很多素數(shù)方面的信息。這里有一個基本的例子，即所謂的素數(shù)定理，那是在1986年第一次被證明的，就是通過對黎曼ζ函數(shù)的研究而得到的。

在素數(shù)定理中，當X趨于無窮的時候，不超過X的素數(shù)個數(shù)作為它的主階來講，是X除以ln x這么多個素數(shù)，這結(jié)果寫成極限的形式就是這樣一個表達式。該表達式是在1986年首先被解決的，數(shù)學家們通過研究黎曼ζ函數(shù)的解析性質(zhì)，證明黎曼ζ函數(shù)當實部正好等于1的時候不等于0。以上結(jié)論可以證明素數(shù)定理，而且這方面關(guān)于素數(shù)更精確的信息在于進一步對黎曼ζ函數(shù)零點的研究。

最著名的黎曼假設(shè)認為所有的這些非實的零點都在ζ（S）上，它的實部都等于二分之一，這實際上等價于：如果實部大于二分之一的話，這個函數(shù)不等于0。這里我介紹一下黎曼ζ函數(shù)的現(xiàn)況，這是非常有名的，很遺憾目前對于零點所知道的知識還是非常少的，我們現(xiàn)在遠遠不能得出大于二分之一就能證明它不等于0的結(jié)論，我們得到非0區(qū)域的結(jié)果是什么地方不等于0呢？實際上這比黎曼假設(shè)弱得多，為什么弱得多？我們可以追溯到更早，還是歐拉的預言，因為黎曼假設(shè)研究就很大程度上等價于素數(shù)分布，如果在素數(shù)分布方面有一個什么結(jié)果反過來也能推到黎曼假設(shè)這一方面去，而在這個問題上，我們對素數(shù)知道的還很少，這是在黎曼之前大概100年時歐拉做過的一個很悲觀的預言。

?黎曼猜想

大家知道歐拉，他給出了存在無窮多的素數(shù)的第二個證明。剛才歐拉乘積公式證明了存在無窮多個素數(shù)，第一個證明者是歐幾里得，這中間差了2000年，歐拉出名的一點是因為哥德巴赫給他寫過一封信，哥德巴赫猜想是信里提出來的，歐拉說我相信哥德巴赫猜想應該是對的，但是我現(xiàn)在還沒有能力證明，他說素數(shù)的奧秘可能要等100萬年才能全弄清楚，是不是黎曼假設(shè)也要等100萬年呢？但是目前很遺憾我們只能講，跟黎曼假設(shè)比，我們對解析數(shù)論的全部知識是遠遠不夠的，像一輛馬車和一架航空飛機的差距那么大。

這里先把黎曼猜想函數(shù)放在一邊，它是一類更廣泛的特殊情況，也是最簡單的一個情況，另外還有一類就叫狄利克雷L函數(shù)。這套函數(shù)的引進比黎曼還早了一點。首先我們要對這個函數(shù)定義一個特征，在整數(shù)環(huán)上取的是復數(shù)的值，而且并不全為0，它滿足這樣條件，它有一個周期性，它對于任何兩個素數(shù)乘積有可乘性，另外如果N和D不互素的話就等于0，那么狄利克雷L函數(shù)是這樣定義這一特征的，跟黎曼ζ函數(shù)很像，如果你把分子換成1的話就是黎曼ζ函數(shù)，也有解析、延拓，也有函數(shù)方程，跟黎曼ζ函數(shù)很像。在數(shù)論里面還有一大堆的問題，特別要提到哥德巴赫猜想，他的解析部分需要歸到狄利克雷L函數(shù)在傳統(tǒng)意義上對零點分布的研究，而且這方面也有同樣的對于黎曼ζ函數(shù)相關(guān)猜想，叫廣義黎曼猜想。

他就是說對任何一個特征，它本身是復變量S的一個函數(shù)，如果S實部大于二分之一不等于0。而現(xiàn)在我們有很多很多特征，還沒有一個人能夠證明這些東西的某一個單獨特征。

從19世紀末，數(shù)學已經(jīng)在解析數(shù)論有很大發(fā)展，他們發(fā)展一整套工具去研究這些函數(shù)的零點，重要結(jié)果也有，而且這些結(jié)果也是極大用在比如說像哥德巴赫猜想，還有一連串關(guān)于素數(shù)分布問題上。但是如果要跟廣義黎曼假設(shè)原始要求的結(jié)果相比，這些結(jié)果都是非常非常弱的，現(xiàn)在我們所能做的ζ函數(shù)和L函數(shù)不等于零，只有當實部在一定意義下很接近1的時候才能證明它不等于0。雖然這差了二分之一，但這個差異卻是十萬八千里。我要強調(diào)一下，所有我們要用的，他歸根到底都是一個初等的不等式，就是這樣一個東西，這個東西可以直接證明，他可以等于某一個東西的平方，所以大于等于0，最后一定要用不等式才能夠得出我們所要的一些結(jié)果。所以現(xiàn)在什么時候能證明黎曼假設(shè)乃至更一般的廣義黎曼假設(shè)還是很遙遠的事情。

但是很多數(shù)論問題，分布問題，也確實需要引起重視。只要函數(shù)實部接近1時不等于0也就夠了，這里就留了一個特殊的問題。這一類特殊的L函數(shù)，在log D的10個特征中，只取了三個可能值，或者是0或者是1或者是負1，這個函數(shù)實部接近1的時候，或者就是實零點，接近1的時候很難得到我們所要的結(jié)果。在接近1時，1減去一個常數(shù)除以Log D，如果D很大，你要證明他不等于0，現(xiàn)在遠遠做不到，但是現(xiàn)在如果可以證明存在零點，他最多只有一個，如果有的話，這就被稱為Landau—Siegel零點。

因為這兩名數(shù)學家最早研究這個零點。我們只考慮D很大的時候，這個1減去這個東西實在是很接近1的事情，所以如果這個Landau—Siegel 零點真存在的話，廣義黎曼假設(shè)就錯了，所以事實上，我們說的這個Landau—Siegel 零點問題就是證明這樣一個零點不存在。這里我插一段話，我沒有提到很著名的Siegel零點，但那個Siegel零點，就像張壽武教授講的數(shù)論不可算的問題一樣，Siegel定理本身是不可算的，本質(zhì)上是說了這一定范圍之內(nèi)，其實比這個要求還是要弱得多，在一定意義下，一定范圍之內(nèi)最多只有一個零點，不可能有兩點，但沒有證明零點不存在。于是我們研究零點問題，我們希望能夠證明一個零點都不存在。

這個問題這里就順便提一下，類似非實特征，一大堆那些L函數(shù)，至少在這個意義上實部特別接近1的時候已經(jīng)解決了，不會等于0。但是實特征是實零點的情況，很接近1，這個現(xiàn)在還是open的，我們使用了所有的經(jīng)典辦法，前面跳過了不等式，但是用在這個問題上一點用都沒有，根本沒法解決。有一種說法，這個問題在數(shù)論中就是瓶頸，如果解決的話會帶來一連串推論，不僅是在解析方面，而且是在代數(shù)分論里會產(chǎn)生很大影響，可以說是一項革命。自從20世紀初有很多數(shù)論專家都想做這個問題但是沒有成功，這里不提這位數(shù)學家的名字了，他甚至預言Landau—Siegel 零點問題的解決比原黎曼ζ函數(shù)的猜想更難。

?陳景潤一九六六年解析“哥德巴赫猜想”的論文手稿

在我們很多研究方面，因為我們不知道他到底存在不存在，于是數(shù)論學家只好討論兩種情況，如果存在會得出什么結(jié)論，如果不存在會得出什么結(jié)論？這里順便提一下，我們知道陳景潤1+2非常有名的，他的原始證明是一個不可算的東西，一個充分大的偶數(shù)能夠表成一個素數(shù)和不超過兩個素數(shù)的乘積集合，這是陳景潤定理。在數(shù)學里頭就叫存在一個數(shù)X，大于等于X，就一定可以表示兩個素數(shù)之和，這個X到底有多大，用陳景潤原來的辦法算不出來了，因為他用到Siegel的定理，而那個Siegel定理可能有例外，但最多有一個例外，即便有一個例外也沒有關(guān)系，比這個例外更大還是一個素數(shù)，不超過兩個素數(shù)乘積之和，所以他算不出1+2。反而前幾年一個日本人才是把這個問題繞過去，現(xiàn)在能夠算出來的。另外我就說存在無窮多個素數(shù)對之差，不超過多少，這里頭其實也有一個有效和無效性的問題，我原來那個證明嚴格講，實際上也有不可算問題在里頭。在我之前有一個英國數(shù)學家用另外一個辦法，如果一個零點存在的話，這也是對的，所以這個問題現(xiàn)在也算是解決了。

這是我們下面要講的，有一種說法，這個Siegel零點問題可以劃成兩個宇宙，第一個宇宙存在Siegel零點，第二個宇宙不存在Siegel零點，現(xiàn)在我們的問題是不知道我們到底生活在哪一個宇宙里。如果我們生活在第一個宇宙，那會出來什么樣的結(jié)果？如果在第二個宇宙里頭又會出來什么樣結(jié)果？那在下面我們可能要問，如果是一個零點真得存在，那也不得了，黎曼假設(shè)被證明是錯的，在這個宇宙里頭到底會怎么樣？

這種情況下我們也會得到很多很多的推論，而且非常強，有些推論強得有點過頭了。像這種現(xiàn)象，就是基于下面這一個事實，就是ζ(2S)除以ζ(S)，它有一個簡單零點是在S等于1的時候產(chǎn)生的，如果L的這個S也有一個零點，是在1這個地方，也就是Landau—Siegel 零點存在的話，這個東西和這個函數(shù)就非常像，而這個函數(shù)在別的地方會等于0，它會有極點，因為分母是0，這個函數(shù)在全平面都是解析的，于是這個差別就會產(chǎn)生很多很多有意思的事情。如果他這一個函數(shù)為零點，那么在確定范圍里頭，甚至就說ζ(s)倒數(shù)反而沒有零點，所以一定范圍里頭原來黎曼假設(shè)反而是對的，他這里有一個壞零點靠近1，ζ(s)大于二分之一都沒有零點，原來黎曼假設(shè)可能都對了。

面列一連串推論，我們現(xiàn)在來給出一些例子，如果零點是存在的，其實那么多年我們夢寐以求想做的是證明它不存在，它的第一假定是存在無窮多個零點，不過這也是在一定意義下Siegel零點才存在，這跟前面我說Siegel最多只有一個，意義、范圍、參數(shù)都不一樣，都有零點。那推論會是什么樣，孿生素數(shù)猜想是對的，由此，這個可以推出孿生素數(shù)。如果假定只有一個Siegel零點存在，那在對一堆L函數(shù)，對它們來講在一個區(qū)域里頭，連廣義黎曼假設(shè)都是對的，但是這都是要有條件的。

再回到Landau Siegel零點問題，如果說它可以推出一連串，某種意義上比原來黎曼假設(shè)更強的結(jié)果，我們希望能夠通過由這些更強的結(jié)果某種程度來講是過分強的結(jié)果，得出矛盾，而這矛盾是Landau-Siegel零點，某種意義下它確實是不存在的。這里我們剛才提到了有很多技巧可以用上，然后最后我介紹一下，因為我在這方面有些嘗試，目前來看，應該是有一些函數(shù)還是會很有意義的一些進步。這個進步弄到最后是什么樣，我就把Landau-Siegel零點，用他關(guān)系到的去估計一個離散的對零點的集合和對異族推理出來函數(shù)，這個sin是特征，cos是IOS的零點，就是說如果存在一個Landau-Siegel零點成立的話，我最后能夠得出這個不等式來，而這個不等式我不用說了，明顯是錯的，于是這里就能夠出矛盾。從這個角度來講，我們由Landau Siegel零點的存在性，我們就得到了一個矛盾。目前來講，我能夠做一個報告，至少一個弱形式這個問題方面還是有可能做出來，但是整個technical的東西是非常非常復雜的。

我想我就先講到這兒，謝謝大家。

本文根據(jù)演講內(nèi)容整理而成，以視頻內(nèi)容為準。

注：本文轉(zhuǎn)載自未來論壇。