別相信直覺：概率論幫助偵破“財務造假” | 張?zhí)烊貙冢ㄈ?/h3>
2017/04/17
導讀
破解高達1億美元的投資詐騙案。
?概率論還能識別“財務造假”？
導語
：
上文介紹了幾個概率中的悖論，其中提到了一個與幾何概型有關的貝特朗悖論。概率論中的悖論很多，基于經驗的直覺判斷很多時候往往并不靠譜。今天這篇將介紹的本福特定律，也是一條初看起來有些奇怪、不合直覺的定律，不過這條定律用處卻很大，甚至還能幫助偵破“財務造假”。
撰文 | 張?zhí)烊?/strong>
責編 | 呂浩然
● ● ●
概率論專欄
2017-03-16 上帝教人擲骰子——“神童”帕斯卡與概率論
2017-03-31 似是而非的答案：概率論悖論
本福特定律
弗蘭克·本福特（Frank Benford, 1883–1948）本是一個美國電氣工程師，卻在中年時迷上了一個與概率有關的課題，課題得到的結論便是現在我們所說的“本福特定律”。該定律大致意思是說，在眾多真實數據中，以“1”為首位數字的數出現的概率約占總數的三成，接近期望值1/9的3倍。
我們舉一個例子說明它。
設想某銀行有1000多個儲蓄賬戶，存款金額不等。奇怪的是，本福特定律對這些存款金額本身并不感興趣，而對這些數值的開頭第一位有效數字（非零）頗為中意。我們都知道，一個數的第一位（非零）有效數字可能是1到9之間的任何一個?，F在，如果我問，在剛才那個銀行的上千個存款數據中，第一位數字是1的概率是多大？
無需多思，大部分人都會很快地回答：應該是1/9吧。因為從1到9，9個數字排在第一位的概率是相等的，每一個數字出現的概率都是1/9，大約11%左右。
?圖1：本福特定律（首位數定律）
從這種聽起來十分正常的思維方法得出的結論卻與許多真實數據所遵循的規(guī)律不同。人們發(fā)現，很多情況下，第一個數字是1的概率要比靠直覺預料的11%大得多。數字越大，出現在第一位的概率就越小，數字9出現于第一位的概率只有4.5%左右。各個數字出現在第一位的概率遵循如圖1左圖所示的概率分布。從圖中可以看出，首位數字為1的概率可達30.1030%，而首位數字為9的概率僅為4.5757%。
事實上，本福特定律的發(fā)現者另有其人：美國天文學家西蒙·紐康（Simon Newcomb，1835 - 1909）。紐康在查閱對數表（常用對數編排而成的表格，用以計算）時發(fā)現了一個奇怪的現象：包含以1開頭的數的那幾頁比其他頁破爛得多，似乎表明計算所用的數值中，首位數是1的概率更高，因此他在1881年發(fā)表了一篇文章提到并分析了這個現象【3】，但沒有引起人們的注意，直到57年之后的1938年，本福特又重新發(fā)現這個現象。
說來令人奇怪，科學定律的發(fā)現有時候來自于一些毫不起眼、小得不能再小的現象，本福特的發(fā)現便是如此?！耙?開頭的數字比較多”，這也算是一個定律嗎？本福特發(fā)現這種現象不僅僅存在于對數表中，也存在于其它多種數據中，于是，本福特檢查了大量數據而證實了這點。【4】
本福特和紐康都從數據中總結出首位數字為n的概率公式是：
其中d取決于數據使用的進位制，對十進制數據而言，d=10。
隨后，本福特收集并研究了20229個統(tǒng)計數據，包括河流面積、人口統(tǒng)計、分子及原子重量、物理常數等多種來源的資料，并分成20組。數據來源雖然千差萬別，卻基本上符合本福特定律，見圖2所示的數據表。表中最后一行的數值，是根據本福特概率公式計算得到的每個數字出現于首位的概率，讀者可以將它與真實數據相比較。
?圖2：本福特從大量數據中得到的首位數字概率表
本福特定律適用范圍異常廣泛，自然界和日常生活中獲得的大多數數據都符合這個規(guī)律。盡管如此，此規(guī)律仍然受限于如下幾個因素：1. 這些數據必須跨度足夠大，樣本數量足夠多，數值大小相差幾個數量級；2. 人為規(guī)則的數據不滿足本福特定律，例如按照某種人為規(guī)則設計選定的電話號碼、身份證號碼、發(fā)票編號等等。為造假而人工修改過的實驗數據、彩票上的隨機數據也不符合本福特定律。
如何解釋本福特定律
盡管本福特和紐康都總結出了首位數字的對數規(guī)律，但并未給出證明，直到1995年美國學者Ted Hill才從理論上對該定律作出了解釋，并進行了嚴謹的數學證明【5】。雖然本福特定律在許多方面都得到了驗證和應用，但對于這種數字奇異現象人們依舊是迷惑不解。到底應該如何直觀理解本福特定律？為什么大多數數據的首位數字不是均勻分布而是對數分布的？
有人探求數“數”的方法，來直觀解釋本福特定律。他們的意思是說，當你計算數字時，順序總是從1開始的，如果到9就終結的話，所有數字起首的機會都相同，但9之后的兩位數10至19，以1起首的數則遠多于其它數字。
我們可以用這種方法來理解街道號碼（地址）一類的數據。一般來說，每條街道的號碼都是從1算起，街道長度有限，號碼排到某一個數就終止了。另一條街又有它自己的從1開始的號碼排列，以此類推，1開頭的號碼是要多一些的。但這種解釋也太不“數學”了！況且，這種理解無法說明另外一類數據為什么也符合本福特原則，如“物理常數”的集合、出生率、死亡率等，這些數據并不是從1開始計算到有限長度就截止的那種數據。
另一種解釋是認為本福特定律的根源是由于數據的指數增長。指數增長的序列，數值小的時候增長較慢，由最初的數字1增長到另一個數字2，需要更多時間，所以出現率就更高了。
舉個例子來說明這個道理：如果你有100美元的存款，年利率是10%，25年中，你每年的存款金額將是（只保留了整數部分）：
100、110、121、133、146、161、177、195、214、236、259、285、314、345、380、418、459、505、556、612、673、740、814、895、985
這是一個指數增長的序列。在這組數據的25個數字中，首位數字為1的有8個（32%）；2的4個；3的3個……9的只有1個（4%）。這是因為從首位為1增加到首位為2，經過了更長的時間（8年）；從首位為2，只經過了4年就變成了首位為3；而首位為9的話，下一年又變成了1。所以，指數增長規(guī)律的數列的確符合本福特定律。
讀者也許會有疑問：上面的數列選擇從100開始，1打頭的比較多，如果從別的數字開始，規(guī)律是否會改變呢？讀者可以試驗一下，得到的結果仍符合本福特法則。此外，你還可以將美元換算成人民幣（乘以6.7），得到的數據仍然會遵循本福特定律，這也說明本福特定律具有“尺度不變性”。
幫助偵破“數據造假”
由于大多數財務方面的數據都滿足本福特定律，因此，在現實生活中，它可以用作檢查財務數據是否造假！
美國華盛頓州曾偵破過一個當時最大的投資詐騙案，金額高達1億美元。詐騙主謀凱文·勞倫斯及其同伙以創(chuàng)辦高技術含量的連鎖健身俱樂部為名，向5000多個投資者籌集了大量資金。隨后，他們挪用公款以作自身享樂。為了掩飾他們的不法行為，他們將資金在海外公司和銀行間進行頻繁轉賬，并且人為做假賬，制造一種生意興隆的錯覺。
所幸，當時有一位名為Darrell Dorrell的會計師感覺不對頭，他將70000多個與支票和匯款有關的數據收集起來，將這些數據首位數字發(fā)生的概率與本福特定律相比較，發(fā)現這些數據無法通過本福特定律的檢驗。最后經過了3年的司法調查，終于拆穿了這個投資騙局【7，8】，2002年，勞倫斯被判20年牢獄。
2001年，美國最大的能源交易商安然公司（Enron Corporation）宣布破產，并傳出公司高層管理人員涉嫌做假賬的傳聞。據傳，安然高層改動過財務數據，因而他們所公布的2001-2002年每股盈利數據不符合本福特定律【6】。此外，本福特定律也被用于股票市場分析、檢驗選舉投票欺詐行為等。
?圖3：安然公司數據vs本福特定律（圖片來源：The wall street journal【6】）
概率論由研究賭博問題而誕生，又在不斷地提出及解決各種有趣的賭博問題中發(fā)展起來。且聽我們在下一篇中，介紹大數定律以及更多與賭博有關的概率問題。
趣味拾遺：
“三門問題”
除了前文提到的貝特朗悖論，他在1889年還提出了另一個“悖論”——貝特朗盒子悖論，之所以加上引號是因為實際上它并不算是一個真正的悖論，因為在邏輯上它并不矛盾。但它卻是一個與博弈論相關的、非常有趣的數學游戲。
“三門問題”有好幾個等效版本，最早的一版可追溯到19世紀的貝特朗，該問題在數學本質上也等同于馬丁·加德納（Martin Gardner，1914 - 2010）1959年提出的“三囚犯問題”【1】。不過，這些老版本默默無聞，直到上世紀九十年代，美國著名的電視游戲節(jié)目Let's Make a Deal才讓其火了一把。由此也足可見現代媒體在公眾中普及科學知識的重要性。
當年的節(jié)目主持人蒙特·霍爾（Monty Hall）善于與參賽者打心理戰(zhàn)，經常突如其來地變換游戲規(guī)則，既使得觀眾們困惑不已，又迫使參賽者“腦筋急轉彎”。三門問題及各種變通版本便是他經常使用的法寶。后來有人便將此游戲以主持人的名字命名，也稱之為蒙特·霍爾問題【2】。
三門問題大致是說在三扇門的后面，分別藏著汽車和兩只山羊。如果參賽者選中了后面有汽車的那扇門，便能贏得該汽車作為獎品。顯而易見，在這種情況下參賽者贏得汽車的概率是1/3。
?三門問題
不過，蒙特·霍爾在一次節(jié)目中卻改變了一點規(guī)則：當參賽者選擇了一扇門但尚未打開之際，知道門后情形的他說：
“等等，我現在給你第二次機會。首先，我將打開你沒有選擇的兩扇門中有山羊的一扇，你可以看到門內的山羊。然后，你有兩種選擇：改變你原來的選擇（交換），或者保留原來的選擇（不交換）。”
要不要交換？我們不從“碰運氣”而是從“概率”的角度來思考這個問題。如果不交換，保持原狀的話，得汽車的概率是1/3；如果交換的話，是否能增加抽到汽車的概率呢？答案是肯定的：改變選擇（交換）可以將參賽者贏得汽車的概率從1/3增加到2/3。
讓我們來分析一下整個游戲過程：參賽者指定3道門中的一道，在選擇交換之后可能遇到圖2顯示的三種等概率（1/3）情況。
（a）參賽者挑選有汽車的第1道門，主持人挑兩頭羊的任何一頭交換都將失敗。
（b）參賽者挑選有羊的第2道門，主持人打開第3道門，交換將贏得汽車。
（c）參賽者挑選有羊的第3道門，主持人打開第2道門，交換將贏得汽車。
?改變選擇使得參賽者獲得汽車的概率變?yōu)?/3
我們也可以換一種思維方式來理解這個問題。參賽者最初選到汽車的概率是1/3，選到羊的概率是2/3。如果參賽者先選中汽車，那么交換之后一定“輸”；如果先選中羊，換后則一定“贏”。因此，選擇“交換”而獲得汽車的概率，就是開始是選到羊的概率，為2/3。
也許三門問題的解釋仍然有些使人困惑之處，但如果將門的數目增加到10道門（主持人開啟8道有“羊”的門，留下1道），參賽者選擇“交換”使概率增加的結論便顯而易見了。
?十門問題
參考資料：
【1】Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, Scientific American, October 1959, pp. 180–182.
【2】Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; and Nydick, Robert L. (1995). "A Tale of Two Goats ... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions". Journal of Recreational Mathematics 1995, pp. 1–9.
【3】Newcomb, S (1881). "Note on the frequency of use of the different digits in natural numbers". American Journal of Mathematics. 4 (1): 39–40.
【4】Benford, F. (1938), The law of anomalous numbers, Proc. Amer.
Philosophical Soc. 78, 551–572.
【5】Hill, T. P. "A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law." Stat. Sci. 10, 354-363, 1996.。
【6】“The wall street journal”
https://www.wsj.com/articles/accountants-increasingly-use-data-analysis-to-catch-fraud-1417804886
【7】Judge Sentences Kevin L. Lawrence to 20 Years Prison in Znetix/HMC Stock Scam
http://www.dfi.wa.gov/news/press/judge-sentences-kevin-l-lawrence-20-years-prison-znetixhmc-stock-scam
【8】The Drunkard's Walk: How Randomness Rules Our Lives
By Leonard Mlodinow，pp. 84, Published by Pantheon Books
(Audio book from amazon.com:
https://www.amazon.com/Drunkards-Walk-Randomness-Rules-Lives/dp/B001BSJHRC)
制版編輯：鄧志英丨
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?概率論還能識別“財務造假”？
導語
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上文介紹了幾個概率中的悖論，其中提到了一個與幾何概型有關的貝特朗悖論。概率論中的悖論很多，基于經驗的直覺判斷很多時候往往并不靠譜。今天這篇將介紹的本福特定律，也是一條初看起來有些奇怪、不合直覺的定律，不過這條定律用處卻很大，甚至還能幫助偵破“財務造假”。
撰文 | 張?zhí)烊?/strong>
責編 | 呂浩然
● ● ●
概率論專欄
2017-03-16 上帝教人擲骰子——“神童”帕斯卡與概率論
2017-03-31 似是而非的答案：概率論悖論
本福特定律
弗蘭克·本福特（Frank Benford, 1883–1948）本是一個美國電氣工程師，卻在中年時迷上了一個與概率有關的課題，課題得到的結論便是現在我們所說的“本福特定律”。該定律大致意思是說，在眾多真實數據中，以“1”為首位數字的數出現的概率約占總數的三成，接近期望值1/9的3倍。
我們舉一個例子說明它。
設想某銀行有1000多個儲蓄賬戶，存款金額不等。奇怪的是，本福特定律對這些存款金額本身并不感興趣，而對這些數值的開頭第一位有效數字（非零）頗為中意。我們都知道，一個數的第一位（非零）有效數字可能是1到9之間的任何一個?，F在，如果我問，在剛才那個銀行的上千個存款數據中，第一位數字是1的概率是多大？
無需多思，大部分人都會很快地回答：應該是1/9吧。因為從1到9，9個數字排在第一位的概率是相等的，每一個數字出現的概率都是1/9，大約11%左右。
?圖1：本福特定律（首位數定律）
從這種聽起來十分正常的思維方法得出的結論卻與許多真實數據所遵循的規(guī)律不同。人們發(fā)現，很多情況下，第一個數字是1的概率要比靠直覺預料的11%大得多。數字越大，出現在第一位的概率就越小，數字9出現于第一位的概率只有4.5%左右。各個數字出現在第一位的概率遵循如圖1左圖所示的概率分布。從圖中可以看出，首位數字為1的概率可達30.1030%，而首位數字為9的概率僅為4.5757%。
事實上，本福特定律的發(fā)現者另有其人：美國天文學家西蒙·紐康（Simon Newcomb，1835 - 1909）。紐康在查閱對數表（常用對數編排而成的表格，用以計算）時發(fā)現了一個奇怪的現象：包含以1開頭的數的那幾頁比其他頁破爛得多，似乎表明計算所用的數值中，首位數是1的概率更高，因此他在1881年發(fā)表了一篇文章提到并分析了這個現象【3】，但沒有引起人們的注意，直到57年之后的1938年，本福特又重新發(fā)現這個現象。
說來令人奇怪，科學定律的發(fā)現有時候來自于一些毫不起眼、小得不能再小的現象，本福特的發(fā)現便是如此?！耙?開頭的數字比較多”，這也算是一個定律嗎？本福特發(fā)現這種現象不僅僅存在于對數表中，也存在于其它多種數據中，于是，本福特檢查了大量數據而證實了這點。【4】
本福特和紐康都從數據中總結出首位數字為n的概率公式是：
其中d取決于數據使用的進位制，對十進制數據而言，d=10。
隨后，本福特收集并研究了20229個統(tǒng)計數據，包括河流面積、人口統(tǒng)計、分子及原子重量、物理常數等多種來源的資料，并分成20組。數據來源雖然千差萬別，卻基本上符合本福特定律，見圖2所示的數據表。表中最后一行的數值，是根據本福特概率公式計算得到的每個數字出現于首位的概率，讀者可以將它與真實數據相比較。
?圖2：本福特從大量數據中得到的首位數字概率表
本福特定律適用范圍異常廣泛，自然界和日常生活中獲得的大多數數據都符合這個規(guī)律。盡管如此，此規(guī)律仍然受限于如下幾個因素：1. 這些數據必須跨度足夠大，樣本數量足夠多，數值大小相差幾個數量級；2. 人為規(guī)則的數據不滿足本福特定律，例如按照某種人為規(guī)則設計選定的電話號碼、身份證號碼、發(fā)票編號等等。為造假而人工修改過的實驗數據、彩票上的隨機數據也不符合本福特定律。
如何解釋本福特定律
盡管本福特和紐康都總結出了首位數字的對數規(guī)律，但并未給出證明，直到1995年美國學者Ted Hill才從理論上對該定律作出了解釋，并進行了嚴謹的數學證明【5】。雖然本福特定律在許多方面都得到了驗證和應用，但對于這種數字奇異現象人們依舊是迷惑不解。到底應該如何直觀理解本福特定律？為什么大多數數據的首位數字不是均勻分布而是對數分布的？
有人探求數“數”的方法，來直觀解釋本福特定律。他們的意思是說，當你計算數字時，順序總是從1開始的，如果到9就終結的話，所有數字起首的機會都相同，但9之后的兩位數10至19，以1起首的數則遠多于其它數字。
我們可以用這種方法來理解街道號碼（地址）一類的數據。一般來說，每條街道的號碼都是從1算起，街道長度有限，號碼排到某一個數就終止了。另一條街又有它自己的從1開始的號碼排列，以此類推，1開頭的號碼是要多一些的。但這種解釋也太不“數學”了！況且，這種理解無法說明另外一類數據為什么也符合本福特原則，如“物理常數”的集合、出生率、死亡率等，這些數據并不是從1開始計算到有限長度就截止的那種數據。
另一種解釋是認為本福特定律的根源是由于數據的指數增長。指數增長的序列，數值小的時候增長較慢，由最初的數字1增長到另一個數字2，需要更多時間，所以出現率就更高了。
舉個例子來說明這個道理：如果你有100美元的存款，年利率是10%，25年中，你每年的存款金額將是（只保留了整數部分）：
100、110、121、133、146、161、177、195、214、236、259、285、314、345、380、418、459、505、556、612、673、740、814、895、985
這是一個指數增長的序列。在這組數據的25個數字中，首位數字為1的有8個（32%）；2的4個；3的3個……9的只有1個（4%）。這是因為從首位為1增加到首位為2，經過了更長的時間（8年）；從首位為2，只經過了4年就變成了首位為3；而首位為9的話，下一年又變成了1。所以，指數增長規(guī)律的數列的確符合本福特定律。
讀者也許會有疑問：上面的數列選擇從100開始，1打頭的比較多，如果從別的數字開始，規(guī)律是否會改變呢？讀者可以試驗一下，得到的結果仍符合本福特法則。此外，你還可以將美元換算成人民幣（乘以6.7），得到的數據仍然會遵循本福特定律，這也說明本福特定律具有“尺度不變性”。
幫助偵破“數據造假”
由于大多數財務方面的數據都滿足本福特定律，因此，在現實生活中，它可以用作檢查財務數據是否造假！
美國華盛頓州曾偵破過一個當時最大的投資詐騙案，金額高達1億美元。詐騙主謀凱文·勞倫斯及其同伙以創(chuàng)辦高技術含量的連鎖健身俱樂部為名，向5000多個投資者籌集了大量資金。隨后，他們挪用公款以作自身享樂。為了掩飾他們的不法行為，他們將資金在海外公司和銀行間進行頻繁轉賬，并且人為做假賬，制造一種生意興隆的錯覺。
所幸，當時有一位名為Darrell Dorrell的會計師感覺不對頭，他將70000多個與支票和匯款有關的數據收集起來，將這些數據首位數字發(fā)生的概率與本福特定律相比較，發(fā)現這些數據無法通過本福特定律的檢驗。最后經過了3年的司法調查，終于拆穿了這個投資騙局【7，8】，2002年，勞倫斯被判20年牢獄。
2001年，美國最大的能源交易商安然公司（Enron Corporation）宣布破產，并傳出公司高層管理人員涉嫌做假賬的傳聞。據傳，安然高層改動過財務數據，因而他們所公布的2001-2002年每股盈利數據不符合本福特定律【6】。此外，本福特定律也被用于股票市場分析、檢驗選舉投票欺詐行為等。
?圖3：安然公司數據vs本福特定律（圖片來源：The wall street journal【6】）
概率論由研究賭博問題而誕生，又在不斷地提出及解決各種有趣的賭博問題中發(fā)展起來。且聽我們在下一篇中，介紹大數定律以及更多與賭博有關的概率問題。
趣味拾遺：
“三門問題”
除了前文提到的貝特朗悖論，他在1889年還提出了另一個“悖論”——貝特朗盒子悖論，之所以加上引號是因為實際上它并不算是一個真正的悖論，因為在邏輯上它并不矛盾。但它卻是一個與博弈論相關的、非常有趣的數學游戲。
“三門問題”有好幾個等效版本，最早的一版可追溯到19世紀的貝特朗，該問題在數學本質上也等同于馬丁·加德納（Martin Gardner，1914 - 2010）1959年提出的“三囚犯問題”【1】。不過，這些老版本默默無聞，直到上世紀九十年代，美國著名的電視游戲節(jié)目Let's Make a Deal才讓其火了一把。由此也足可見現代媒體在公眾中普及科學知識的重要性。
當年的節(jié)目主持人蒙特·霍爾（Monty Hall）善于與參賽者打心理戰(zhàn)，經常突如其來地變換游戲規(guī)則，既使得觀眾們困惑不已，又迫使參賽者“腦筋急轉彎”。三門問題及各種變通版本便是他經常使用的法寶。后來有人便將此游戲以主持人的名字命名，也稱之為蒙特·霍爾問題【2】。
三門問題大致是說在三扇門的后面，分別藏著汽車和兩只山羊。如果參賽者選中了后面有汽車的那扇門，便能贏得該汽車作為獎品。顯而易見，在這種情況下參賽者贏得汽車的概率是1/3。
?三門問題
不過，蒙特·霍爾在一次節(jié)目中卻改變了一點規(guī)則：當參賽者選擇了一扇門但尚未打開之際，知道門后情形的他說：
“等等，我現在給你第二次機會。首先，我將打開你沒有選擇的兩扇門中有山羊的一扇，你可以看到門內的山羊。然后，你有兩種選擇：改變你原來的選擇（交換），或者保留原來的選擇（不交換）。”
要不要交換？我們不從“碰運氣”而是從“概率”的角度來思考這個問題。如果不交換，保持原狀的話，得汽車的概率是1/3；如果交換的話，是否能增加抽到汽車的概率呢？答案是肯定的：改變選擇（交換）可以將參賽者贏得汽車的概率從1/3增加到2/3。
讓我們來分析一下整個游戲過程：參賽者指定3道門中的一道，在選擇交換之后可能遇到圖2顯示的三種等概率（1/3）情況。
（a）參賽者挑選有汽車的第1道門，主持人挑兩頭羊的任何一頭交換都將失敗。
（b）參賽者挑選有羊的第2道門，主持人打開第3道門，交換將贏得汽車。
（c）參賽者挑選有羊的第3道門，主持人打開第2道門，交換將贏得汽車。
?改變選擇使得參賽者獲得汽車的概率變?yōu)?/3
我們也可以換一種思維方式來理解這個問題。參賽者最初選到汽車的概率是1/3，選到羊的概率是2/3。如果參賽者先選中汽車，那么交換之后一定“輸”；如果先選中羊，換后則一定“贏”。因此，選擇“交換”而獲得汽車的概率，就是開始是選到羊的概率，為2/3。
也許三門問題的解釋仍然有些使人困惑之處，但如果將門的數目增加到10道門（主持人開啟8道有“羊”的門，留下1道），參賽者選擇“交換”使概率增加的結論便顯而易見了。
?十門問題
參考資料：
【1】Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, Scientific American, October 1959, pp. 180–182.
【2】Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; and Nydick, Robert L. (1995). "A Tale of Two Goats ... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions". Journal of Recreational Mathematics 1995, pp. 1–9.
【3】Newcomb, S (1881). "Note on the frequency of use of the different digits in natural numbers". American Journal of Mathematics. 4 (1): 39–40.
【4】Benford, F. (1938), The law of anomalous numbers, Proc. Amer.
Philosophical Soc. 78, 551–572.
【5】Hill, T. P. "A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law." Stat. Sci. 10, 354-363, 1996.。
【6】“The wall street journal”
https://www.wsj.com/articles/accountants-increasingly-use-data-analysis-to-catch-fraud-1417804886
【7】Judge Sentences Kevin L. Lawrence to 20 Years Prison in Znetix/HMC Stock Scam
http://www.dfi.wa.gov/news/press/judge-sentences-kevin-l-lawrence-20-years-prison-znetixhmc-stock-scam
【8】The Drunkard's Walk: How Randomness Rules Our Lives
By Leonard Mlodinow，pp. 84, Published by Pantheon Books
(Audio book from amazon.com:
https://www.amazon.com/Drunkards-Walk-Randomness-Rules-Lives/dp/B001BSJHRC)
制版編輯：鄧志英丨
