喝醉的酒鬼會漫無目的地游蕩，花粉也會 | 張?zhí)烊貙?/h3>
2018/03/14
導(dǎo)讀
花粉的“酒鬼漫步”——布朗運(yùn)動
?花粉也會“喝醉”，圖片來源：pixabay
編者按：
上一篇我們探討了概率與統(tǒng)計中一個重要的概念——隨機(jī)過程。
概率及隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到包括金融、氣象、物理、信息及計算機(jī)等各門學(xué)科的研究中。在此基礎(chǔ)上，波爾茲曼、麥克斯韋、吉布斯等物理學(xué)家們建立了統(tǒng)計力學(xué)，維納及香農(nóng)等建立了信息論。
而布朗運(yùn)動就是隨機(jī)過程中的一個典型事例，并由此促進(jìn)了統(tǒng)計物理及其它相應(yīng)學(xué)科的發(fā)展。
撰文 | 張?zhí)烊?strong style="max-width: 100%;font-family: 微軟雅黑;box-sizing: border-box !important;word-wrap: break-word !important;"> （美國德州大學(xué)奧斯汀分校理論物理博士）
責(zé)編 | 呂浩然
概率論專欄
2017-03-16 上帝教人擲骰子——“神童”帕斯卡與概率論
2017-03-31 似是而非的答案：概率論悖論
2017-04-18 別相信直覺：概率論幫助偵破“財務(wù)造假”
2017-05-15 賭徒謬誤：賭博與大數(shù)定律
2017-06-24 無所不在的概率分布鐘型曲線
2017-07-26 概率之本質(zhì)—從主觀概率到量子貝葉斯
2017-08-14 酒鬼漫步的數(shù)學(xué)——隨機(jī)過程
● ● ●
花粉的啟示——布朗運(yùn)動
1905年是愛因斯坦的奇跡年，這個26歲的伯爾尼專利局小職員發(fā)表了5篇論文，箭箭中的、篇篇驚人，為現(xiàn)代物理學(xué)的三個不同領(lǐng)域作出了劃時代的貢獻(xiàn)：光電效應(yīng)開創(chuàng)了量子時代，狹義相對論顛覆了經(jīng)典時空觀，對布朗運(yùn)動的研究則促進(jìn)分子論的發(fā)展。
這三項成就中，或許是因為光電效應(yīng)和狹義相對論太過耀眼，人們常常低估了愛因斯坦對布朗運(yùn)動的研究，就連他本人也是如此，經(jīng)常提及前兩項而忽略后者。
回溯歷史，當(dāng)年愛因斯坦有關(guān)布朗運(yùn)動的論文（包括他的博士論文）對現(xiàn)代物理學(xué)的貢獻(xiàn)毫不遜色于其它兩篇。查詢愛因斯坦文章被引用的次數(shù)[1]：最多的是EPR佯謬（15168次），第二位便是布朗運(yùn)動（8950次），然后才是光電效應(yīng)（4626次）及相對論（注：以上引用次數(shù)截至2015年）。
那么，什么是布朗運(yùn)動？1826年，羅伯特·布朗（Robert Brown，1773 - 1858）在用顯微鏡觀察時發(fā)現(xiàn)：懸浮在水中的花粉微粒不停地做凌亂不規(guī)則的運(yùn)動，一些學(xué)者以為那是某種生命現(xiàn)象，但后來發(fā)現(xiàn)，液體或氣體中各種不同的、與生物毫不相干的懸浮微粒，都存在這種無規(guī)則運(yùn)動。直到十九世紀(jì)70年代末，才有人提出這種運(yùn)動的原因并非外界而是出自液體自身，是微小顆粒受到周圍分子的不平衡碰撞而導(dǎo)致的運(yùn)動（圖1）。
?圖1：布朗運(yùn)動的雜亂軌跡及其成因
今天，站在巨人肩膀上的我們把原子和分子的概念當(dāng)作理所當(dāng)然，在百多年前卻不是這樣。盡管道爾頓（John Dalton，1766 - 1844）1808年在他的書中就描述了他想象中物質(zhì)的原子、分子結(jié)構(gòu)，但是這種在當(dāng)時看不見摸不著的東西有多少人會相信呢？一直到道爾頓之后過了八、九十年，著名的奧地利物理學(xué)家玻爾茲曼（Boltzmann，1844 - 1906）還在為捍衛(wèi)原子理論與“唯能論”的代表人物作斗爭。
在十九世紀(jì)70年代，玻爾茲曼超前地用分子運(yùn)動來解釋熱力學(xué)系統(tǒng)的宏觀現(xiàn)象。以玻爾茲曼為代表的原子論支持者認(rèn)為：物質(zhì)由分子、原子組成，而唯能論者則把能量看作是最基本的實體并視為世界本源。玻爾茲曼有杰出的口才，但提出唯能論的德國化學(xué)家奧斯特瓦爾德（Friedrich Wilhelm Ostwald，1853 - 1932）也非等閑之輩，他機(jī)敏過人、應(yīng)答如流，且有在科學(xué)界頗具影響力卻又堅決不相信“原子”的恩斯特·馬赫（Ernst Mach，1838 - 1916）作后盾。
然而，原子論的支持者看起來卻寥寥無幾，且大多數(shù)都是些不耍嘴皮的實干家，并不參加辯論。因此，玻爾茲曼認(rèn)為自己是在孤軍奮戰(zhàn)，精神痛苦悶悶不樂。盡管在這場曠日持久的爭論中，玻爾茲曼最終取勝，但卻感覺元?dú)獯髠?，最后走上自殺之路?/p>
原子論的反對者們當(dāng)年常用的一句話是：“你見過一個真實的原子嗎？”為此，大多數(shù)物理學(xué)家都在試圖用更多的實驗事實來證明原子的存在。1900年，奧地利物理學(xué)家埃克斯納（Franz S. Exner，1849 - 1926）反復(fù)測定了布朗微粒在1分鐘內(nèi)的位移，證實了微粒的速度隨粒度（顆粒的大?。?/span>增大而降低，隨溫度升高而增加，由此將布朗運(yùn)動與液體分子的熱運(yùn)動聯(lián)系起來。
這下好了！雖然分子、原子太小，難以觀察，但它們所推動的布朗運(yùn)動看得見！愛因斯坦接受了這種將布朗運(yùn)動歸結(jié)為液體分子撞擊結(jié)果的理論，并希望通過分析布朗運(yùn)動，作出定量的理論描述，以證明原子和分子在液體中真正存在，這也是促使愛因斯坦研究布朗運(yùn)動的動力。
布朗運(yùn)動和分子熱物理[2]
假設(shè)布朗運(yùn)動是因液體分子與懸浮顆粒的碰撞造成的，那么，懸浮顆粒的隨機(jī)運(yùn)動便可直接反映液體或氣體分子的運(yùn)動。
分子的尺寸太小，不可能在當(dāng)時的實驗條件下被直接觀察到，但尺寸比分子大得多的布朗粒子的運(yùn)動卻能在顯微鏡下觀察。此外，雖然原子分子論在當(dāng)時仍然疑云重重，但科學(xué)家們已經(jīng)為這個假說作了大量的工作，比如在分子動力理論方面，有克勞修斯、麥克斯韋及玻爾茲曼等人剛剛開啟、建立的統(tǒng)計力學(xué)；在熱力學(xué)及化學(xué)領(lǐng)域中阿伏伽德羅常數(shù)、波爾茲曼常數(shù)等已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)和使用；特別是后來發(fā)現(xiàn)的有關(guān)分子運(yùn)動的麥克斯韋–玻爾茲曼速度分布，是物理學(xué)史上第一個概率統(tǒng)計定律，它解釋了包括壓強(qiáng)和擴(kuò)散在內(nèi)的許多基本氣體性質(zhì)，形成了分子運(yùn)動論的基礎(chǔ)。
?圖2：一維布朗運(yùn)動的分布函數(shù)隨時間變化
液體內(nèi)大量的分子不停地作雜亂的運(yùn)動，不斷地從四面八方撞擊懸浮顆粒，在任一時刻，每個顆粒受到周圍分子碰撞的次數(shù)約有1021次/秒。如此頻繁的碰撞，造成了布朗粒子的無規(guī)運(yùn)動，這種大量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動不太可能靠經(jīng)典的適用于單粒子體系的牛頓定律所解決，而必須使用統(tǒng)計和概率的方法。
現(xiàn)實中的布朗運(yùn)動是發(fā)生在3維空間的，但作為數(shù)學(xué)模型，不妨研究最簡單的1維情形。
圖2所示便是1維布朗微粒的位置X隨時間變化而形成的軌跡。假設(shè)在初始時間t=0時，所有的小顆粒都集中在x=0的點(diǎn)，然后由于液體分子的碰撞，顆粒便隨機(jī)地向x的正負(fù)方向移動，其圖景類似于一滴墨汁滴入水中后的擴(kuò)散現(xiàn)象。
如果你把視線集中在某一顆粒子上，就可以看到這個顆粒的運(yùn)動方向在不斷改變，不斷地作雜亂無規(guī)的跳躍。但作為整體來看，有些顆粒向上運(yùn)動，有些顆粒向下運(yùn)動，由于對稱性的原因，向正負(fù)兩個方向運(yùn)動的概率是相等的，因此所有顆粒的正負(fù)位移相抵消，平均值仍然為零。
然而，平均位移為零不等于靜止不動，對每個粒子而言，它們一直都在不停地運(yùn)動，并且隨著時間增大，運(yùn)動軌跡的“包絡(luò)”離0點(diǎn)越來越遠(yuǎn)，整體看起來越來越發(fā)散。那么，如何描述這種集體的擴(kuò)散運(yùn)動呢？位移的平均值為零是因為正負(fù)效應(yīng)相抵消，如果將位移求平方之后再求平均，便不會互相抵消，可以用以衡量顆粒運(yùn)動的集體行為，這便是愛因斯坦當(dāng)年用以研究布朗運(yùn)動的“均方位移”。事實上，均方位移不僅可以描述布朗粒子的集體行為，也可以描述單個微粒長時間隨機(jī)運(yùn)動的統(tǒng)計效應(yīng)。
愛因斯坦依據(jù)分子運(yùn)動論的原理導(dǎo)出了均方位移與時間平方根的正比關(guān)系（見圖2中右圖中的公式），其中的比例常數(shù)D被稱為擴(kuò)散系數(shù)，表明作布朗運(yùn)動的微粒擴(kuò)散的速率。愛因斯坦的理論圓滿地回答了布朗運(yùn)動的本質(zhì)問題（即無規(guī)則碰撞），還得出了分子運(yùn)動論中重要的愛因斯坦-斯莫盧霍夫斯基關(guān)系（第二個名字來自于另一位獨(dú)立研究布朗運(yùn)動的波蘭物理學(xué)家Smoluchowski），該公式將通過布朗運(yùn)動宏觀可測的擴(kuò)散系數(shù)D與分子運(yùn)動的微觀參數(shù)聯(lián)系起來：
D = μPkBT
其中 μP是粒子的遷移率，kB是玻爾茲曼常數(shù)，T是絕對溫度。
擴(kuò)散系數(shù)可以更進(jìn)一步與阿伏伽德羅常數(shù)聯(lián)系起來：
D = RT/(6πηNAr)
R是氣體常數(shù)，T為溫度，η是介質(zhì)粘度，NA是阿伏伽德羅常數(shù)，r是布朗粒子的半徑。之后，法國物理學(xué)家讓·佩蘭（Jean Perrin，1870 - 1942）于1908年用實驗測試了阿伏伽德羅常數(shù)，在證實了愛因斯坦理論的同時，也驗證了分子和原子真實存在，為分子的真實存在提供了一個直觀的、令人信服的證據(jù)，佩蘭也因此獲得了1926年諾貝爾物理學(xué)獎。
維納過程與無規(guī)行走
愛因斯坦突破性地將概率統(tǒng)計的數(shù)學(xué)觀念用以研究布朗運(yùn)動，其目的是為了探索布朗運(yùn)動中隱藏著的、深奧的物理學(xué)本質(zhì)。而為布朗運(yùn)動建立嚴(yán)格數(shù)學(xué)模型的則是著名的控制論創(chuàng)立者，美國應(yīng)用數(shù)學(xué)家諾伯特·維納（Norbert Wiener，1894 - 1964）。因此，布朗運(yùn)動在數(shù)學(xué)上被稱為維納過程。
維納是生于美國的猶太人，從青少年時代開始便是一個引人注目的科學(xué)明星。他18歲獲得哈佛大學(xué)的博士學(xué)位，之后又在歐洲得到數(shù)位名師的指導(dǎo)，其中包括數(shù)學(xué)家哈代、哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家羅素、數(shù)學(xué)家希爾伯特等。隨后，維納又被哈佛返聘回到美國。
二戰(zhàn)時期槍炮控制方面工作引發(fā)了維納進(jìn)行通訊理論和反饋的研究，加之他從小對生物學(xué)的興趣，造就了這位信息論先驅(qū)及控制論之父。他的著作《 控制論：或關(guān)于在動物和機(jī)器中控制和通信的科學(xué)》一書，促成了控制論的誕生。
維納在MIT工作時仔細(xì)深入地從數(shù)學(xué)上分析研究了理想化的布朗運(yùn)動，即維納過程。他發(fā)現(xiàn)在電子線路中電流的一種類似布朗運(yùn)動的不規(guī)則“散粒效應(yīng)”，這個問題在維納的時代尚未成為電子線路的障礙，但20年后卻成為電氣工程師一個必不可少的工具，因為當(dāng)電流被放大到某一倍數(shù)時，就顯示出明顯的散粒隨機(jī)噪聲，有了維納過程的數(shù)學(xué)模型，工程師們才能找到適當(dāng)?shù)霓k法來避免它。
?圖3：維納和布朗運(yùn)動
通信和控制系統(tǒng)所接收的信息帶有某種隨機(jī)的性質(zhì)，維納的控制論也是建立在統(tǒng)計理論的基礎(chǔ)上。從原點(diǎn)出發(fā)的維納過程W(t)（W(0)=0）有如下幾點(diǎn)性質(zhì)（圖3b）：
W(t)是無規(guī)行走的極限過程 維納過程是上一篇酒鬼漫步中介紹的無規(guī)行走（隨機(jī)游走）的極限過程。通俗地說，無規(guī)行走是按照空間格點(diǎn)一格一格的走，假設(shè)格點(diǎn)間距離為d，而維納過程則是d趨于0時無規(guī)行走過程的極限。 W(t)是齊次的獨(dú)立增量過程 隨機(jī)變量的增量分布只與時間差有關(guān)，而與時間間隔的起始點(diǎn)s無關(guān)，此謂“齊次”；任一時間區(qū)間上的概率分布獨(dú)立于其它時間區(qū)間上的概率分布，此謂“獨(dú)立”。 W(t)是馬爾可夫過程 該過程未來狀態(tài)只依賴于當(dāng)前的隨機(jī)變量值W(t)。 W(t)是“鞅”過程（martingale） 已知本次和過去的所有觀測值，則下一次觀測值的條件期望等于本次觀測值。或者說：當(dāng)前的狀態(tài)是未來的最佳估計。 W(t)關(guān)于時間 t 處處連續(xù)，處處不可微分。這個結(jié)論看起來與圖3中所畫的不一樣，但是理論上格點(diǎn)距離d應(yīng)該趨近于0。 W(t)的常返性 W(t)與隨機(jī)漫步一樣，一維和二維的維納過程是常返的，也就是說幾乎一定會回到起始的原點(diǎn)。當(dāng)維度高于或等于三維時，維納過程不再是常返的。如同上一篇中介紹的數(shù)學(xué)家角谷靜夫的總結(jié)：“醉鬼總能找到回家的路，喝醉的小鳥則可能永遠(yuǎn)也回不了家?！?/a> W(t)是一種分形 與格點(diǎn)距離d有限的隨機(jī)漫步不同的是，維納過程的圖案擁有尺度不變性，即具有分形特征。分形是一種自相似結(jié)構(gòu)，無論放大或縮小，在所有尺度下都顯得相似，都具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)。盡管數(shù)學(xué)上的分形是理想的極限情形，但自然界中許多事物卻可以用此模型來近似地描述，常見的例子有海岸線、雪花、花菜、樹枝結(jié)構(gòu)等等。
從花粉的啟示，到愛因斯坦的深研，布朗運(yùn)動所開啟的篇章已經(jīng)應(yīng)用于各處。下一篇，我們將介紹在統(tǒng)計物理和信息論中都起著重要作用的一個特殊角色：熵。
參考資料：
【1】https://scholar.google.com/citations?user=qc6CJjYAAAAJ
【2】郝柏林. 布朗運(yùn)動理論一百年[J]. 物理, 2011, 40(01): 0.
制版編輯： 呂浩然｜
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?花粉也會“喝醉”，圖片來源：pixabay
編者按：
上一篇我們探討了概率與統(tǒng)計中一個重要的概念——隨機(jī)過程。
概率及隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到包括金融、氣象、物理、信息及計算機(jī)等各門學(xué)科的研究中。在此基礎(chǔ)上，波爾茲曼、麥克斯韋、吉布斯等物理學(xué)家們建立了統(tǒng)計力學(xué)，維納及香農(nóng)等建立了信息論。
而布朗運(yùn)動就是隨機(jī)過程中的一個典型事例，并由此促進(jìn)了統(tǒng)計物理及其它相應(yīng)學(xué)科的發(fā)展。
撰文 | 張?zhí)烊?strong style="max-width: 100%;font-family: 微軟雅黑;box-sizing: border-box !important;word-wrap: break-word !important;"> （美國德州大學(xué)奧斯汀分校理論物理博士）
責(zé)編 | 呂浩然
概率論專欄
2017-03-16 上帝教人擲骰子——“神童”帕斯卡與概率論
2017-03-31 似是而非的答案：概率論悖論
2017-04-18 別相信直覺：概率論幫助偵破“財務(wù)造假”
2017-05-15 賭徒謬誤：賭博與大數(shù)定律
2017-06-24 無所不在的概率分布鐘型曲線
2017-07-26 概率之本質(zhì)—從主觀概率到量子貝葉斯
2017-08-14 酒鬼漫步的數(shù)學(xué)——隨機(jī)過程
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1905年是愛因斯坦的奇跡年，這個26歲的伯爾尼專利局小職員發(fā)表了5篇論文，箭箭中的、篇篇驚人，為現(xiàn)代物理學(xué)的三個不同領(lǐng)域作出了劃時代的貢獻(xiàn)：光電效應(yīng)開創(chuàng)了量子時代，狹義相對論顛覆了經(jīng)典時空觀，對布朗運(yùn)動的研究則促進(jìn)分子論的發(fā)展。
這三項成就中，或許是因為光電效應(yīng)和狹義相對論太過耀眼，人們常常低估了愛因斯坦對布朗運(yùn)動的研究，就連他本人也是如此，經(jīng)常提及前兩項而忽略后者。
回溯歷史，當(dāng)年愛因斯坦有關(guān)布朗運(yùn)動的論文（包括他的博士論文）對現(xiàn)代物理學(xué)的貢獻(xiàn)毫不遜色于其它兩篇。查詢愛因斯坦文章被引用的次數(shù)[1]：最多的是EPR佯謬（15168次），第二位便是布朗運(yùn)動（8950次），然后才是光電效應(yīng)（4626次）及相對論（注：以上引用次數(shù)截至2015年）。
那么，什么是布朗運(yùn)動？1826年，羅伯特·布朗（Robert Brown，1773 - 1858）在用顯微鏡觀察時發(fā)現(xiàn)：懸浮在水中的花粉微粒不停地做凌亂不規(guī)則的運(yùn)動，一些學(xué)者以為那是某種生命現(xiàn)象，但后來發(fā)現(xiàn)，液體或氣體中各種不同的、與生物毫不相干的懸浮微粒，都存在這種無規(guī)則運(yùn)動。直到十九世紀(jì)70年代末，才有人提出這種運(yùn)動的原因并非外界而是出自液體自身，是微小顆粒受到周圍分子的不平衡碰撞而導(dǎo)致的運(yùn)動（圖1）。
?圖1：布朗運(yùn)動的雜亂軌跡及其成因
今天，站在巨人肩膀上的我們把原子和分子的概念當(dāng)作理所當(dāng)然，在百多年前卻不是這樣。盡管道爾頓（John Dalton，1766 - 1844）1808年在他的書中就描述了他想象中物質(zhì)的原子、分子結(jié)構(gòu)，但是這種在當(dāng)時看不見摸不著的東西有多少人會相信呢？一直到道爾頓之后過了八、九十年，著名的奧地利物理學(xué)家玻爾茲曼（Boltzmann，1844 - 1906）還在為捍衛(wèi)原子理論與“唯能論”的代表人物作斗爭。
在十九世紀(jì)70年代，玻爾茲曼超前地用分子運(yùn)動來解釋熱力學(xué)系統(tǒng)的宏觀現(xiàn)象。以玻爾茲曼為代表的原子論支持者認(rèn)為：物質(zhì)由分子、原子組成，而唯能論者則把能量看作是最基本的實體并視為世界本源。玻爾茲曼有杰出的口才，但提出唯能論的德國化學(xué)家奧斯特瓦爾德（Friedrich Wilhelm Ostwald，1853 - 1932）也非等閑之輩，他機(jī)敏過人、應(yīng)答如流，且有在科學(xué)界頗具影響力卻又堅決不相信“原子”的恩斯特·馬赫（Ernst Mach，1838 - 1916）作后盾。
然而，原子論的支持者看起來卻寥寥無幾，且大多數(shù)都是些不耍嘴皮的實干家，并不參加辯論。因此，玻爾茲曼認(rèn)為自己是在孤軍奮戰(zhàn)，精神痛苦悶悶不樂。盡管在這場曠日持久的爭論中，玻爾茲曼最終取勝，但卻感覺元?dú)獯髠?，最后走上自殺之路?/p>
原子論的反對者們當(dāng)年常用的一句話是：“你見過一個真實的原子嗎？”為此，大多數(shù)物理學(xué)家都在試圖用更多的實驗事實來證明原子的存在。1900年，奧地利物理學(xué)家埃克斯納（Franz S. Exner，1849 - 1926）反復(fù)測定了布朗微粒在1分鐘內(nèi)的位移，證實了微粒的速度隨粒度（顆粒的大?。?/span>增大而降低，隨溫度升高而增加，由此將布朗運(yùn)動與液體分子的熱運(yùn)動聯(lián)系起來。
這下好了！雖然分子、原子太小，難以觀察，但它們所推動的布朗運(yùn)動看得見！愛因斯坦接受了這種將布朗運(yùn)動歸結(jié)為液體分子撞擊結(jié)果的理論，并希望通過分析布朗運(yùn)動，作出定量的理論描述，以證明原子和分子在液體中真正存在，這也是促使愛因斯坦研究布朗運(yùn)動的動力。
假設(shè)布朗運(yùn)動是因液體分子與懸浮顆粒的碰撞造成的，那么，懸浮顆粒的隨機(jī)運(yùn)動便可直接反映液體或氣體分子的運(yùn)動。
分子的尺寸太小，不可能在當(dāng)時的實驗條件下被直接觀察到，但尺寸比分子大得多的布朗粒子的運(yùn)動卻能在顯微鏡下觀察。此外，雖然原子分子論在當(dāng)時仍然疑云重重，但科學(xué)家們已經(jīng)為這個假說作了大量的工作，比如在分子動力理論方面，有克勞修斯、麥克斯韋及玻爾茲曼等人剛剛開啟、建立的統(tǒng)計力學(xué)；在熱力學(xué)及化學(xué)領(lǐng)域中阿伏伽德羅常數(shù)、波爾茲曼常數(shù)等已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)和使用；特別是后來發(fā)現(xiàn)的有關(guān)分子運(yùn)動的麥克斯韋–玻爾茲曼速度分布，是物理學(xué)史上第一個概率統(tǒng)計定律，它解釋了包括壓強(qiáng)和擴(kuò)散在內(nèi)的許多基本氣體性質(zhì)，形成了分子運(yùn)動論的基礎(chǔ)。
?圖2：一維布朗運(yùn)動的分布函數(shù)隨時間變化
液體內(nèi)大量的分子不停地作雜亂的運(yùn)動，不斷地從四面八方撞擊懸浮顆粒，在任一時刻，每個顆粒受到周圍分子碰撞的次數(shù)約有1021次/秒。如此頻繁的碰撞，造成了布朗粒子的無規(guī)運(yùn)動，這種大量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動不太可能靠經(jīng)典的適用于單粒子體系的牛頓定律所解決，而必須使用統(tǒng)計和概率的方法。
現(xiàn)實中的布朗運(yùn)動是發(fā)生在3維空間的，但作為數(shù)學(xué)模型，不妨研究最簡單的1維情形。
圖2所示便是1維布朗微粒的位置X隨時間變化而形成的軌跡。假設(shè)在初始時間t=0時，所有的小顆粒都集中在x=0的點(diǎn)，然后由于液體分子的碰撞，顆粒便隨機(jī)地向x的正負(fù)方向移動，其圖景類似于一滴墨汁滴入水中后的擴(kuò)散現(xiàn)象。
如果你把視線集中在某一顆粒子上，就可以看到這個顆粒的運(yùn)動方向在不斷改變，不斷地作雜亂無規(guī)的跳躍。但作為整體來看，有些顆粒向上運(yùn)動，有些顆粒向下運(yùn)動，由于對稱性的原因，向正負(fù)兩個方向運(yùn)動的概率是相等的，因此所有顆粒的正負(fù)位移相抵消，平均值仍然為零。
然而，平均位移為零不等于靜止不動，對每個粒子而言，它們一直都在不停地運(yùn)動，并且隨著時間增大，運(yùn)動軌跡的“包絡(luò)”離0點(diǎn)越來越遠(yuǎn)，整體看起來越來越發(fā)散。那么，如何描述這種集體的擴(kuò)散運(yùn)動呢？位移的平均值為零是因為正負(fù)效應(yīng)相抵消，如果將位移求平方之后再求平均，便不會互相抵消，可以用以衡量顆粒運(yùn)動的集體行為，這便是愛因斯坦當(dāng)年用以研究布朗運(yùn)動的“均方位移”。事實上，均方位移不僅可以描述布朗粒子的集體行為，也可以描述單個微粒長時間隨機(jī)運(yùn)動的統(tǒng)計效應(yīng)。
愛因斯坦依據(jù)分子運(yùn)動論的原理導(dǎo)出了均方位移與時間平方根的正比關(guān)系（見圖2中右圖中的公式），其中的比例常數(shù)D被稱為擴(kuò)散系數(shù)，表明作布朗運(yùn)動的微粒擴(kuò)散的速率。愛因斯坦的理論圓滿地回答了布朗運(yùn)動的本質(zhì)問題（即無規(guī)則碰撞），還得出了分子運(yùn)動論中重要的愛因斯坦-斯莫盧霍夫斯基關(guān)系（第二個名字來自于另一位獨(dú)立研究布朗運(yùn)動的波蘭物理學(xué)家Smoluchowski），該公式將通過布朗運(yùn)動宏觀可測的擴(kuò)散系數(shù)D與分子運(yùn)動的微觀參數(shù)聯(lián)系起來：
D = μPkBT
其中 μP是粒子的遷移率，kB是玻爾茲曼常數(shù)，T是絕對溫度。
擴(kuò)散系數(shù)可以更進(jìn)一步與阿伏伽德羅常數(shù)聯(lián)系起來：
D = RT/(6πηNAr)
R是氣體常數(shù)，T為溫度，η是介質(zhì)粘度，NA是阿伏伽德羅常數(shù)，r是布朗粒子的半徑。之后，法國物理學(xué)家讓·佩蘭（Jean Perrin，1870 - 1942）于1908年用實驗測試了阿伏伽德羅常數(shù)，在證實了愛因斯坦理論的同時，也驗證了分子和原子真實存在，為分子的真實存在提供了一個直觀的、令人信服的證據(jù)，佩蘭也因此獲得了1926年諾貝爾物理學(xué)獎。
愛因斯坦突破性地將概率統(tǒng)計的數(shù)學(xué)觀念用以研究布朗運(yùn)動，其目的是為了探索布朗運(yùn)動中隱藏著的、深奧的物理學(xué)本質(zhì)。而為布朗運(yùn)動建立嚴(yán)格數(shù)學(xué)模型的則是著名的控制論創(chuàng)立者，美國應(yīng)用數(shù)學(xué)家諾伯特·維納（Norbert Wiener，1894 - 1964）。因此，布朗運(yùn)動在數(shù)學(xué)上被稱為維納過程。
維納是生于美國的猶太人，從青少年時代開始便是一個引人注目的科學(xué)明星。他18歲獲得哈佛大學(xué)的博士學(xué)位，之后又在歐洲得到數(shù)位名師的指導(dǎo)，其中包括數(shù)學(xué)家哈代、哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家羅素、數(shù)學(xué)家希爾伯特等。隨后，維納又被哈佛返聘回到美國。
二戰(zhàn)時期槍炮控制方面工作引發(fā)了維納進(jìn)行通訊理論和反饋的研究，加之他從小對生物學(xué)的興趣，造就了這位信息論先驅(qū)及控制論之父。他的著作《 控制論：或關(guān)于在動物和機(jī)器中控制和通信的科學(xué)》一書，促成了控制論的誕生。
維納在MIT工作時仔細(xì)深入地從數(shù)學(xué)上分析研究了理想化的布朗運(yùn)動，即維納過程。他發(fā)現(xiàn)在電子線路中電流的一種類似布朗運(yùn)動的不規(guī)則“散粒效應(yīng)”，這個問題在維納的時代尚未成為電子線路的障礙，但20年后卻成為電氣工程師一個必不可少的工具，因為當(dāng)電流被放大到某一倍數(shù)時，就顯示出明顯的散粒隨機(jī)噪聲，有了維納過程的數(shù)學(xué)模型，工程師們才能找到適當(dāng)?shù)霓k法來避免它。
?圖3：維納和布朗運(yùn)動
通信和控制系統(tǒng)所接收的信息帶有某種隨機(jī)的性質(zhì)，維納的控制論也是建立在統(tǒng)計理論的基礎(chǔ)上。從原點(diǎn)出發(fā)的維納過程W(t)（W(0)=0）有如下幾點(diǎn)性質(zhì)（圖3b）：
從花粉的啟示，到愛因斯坦的深研，布朗運(yùn)動所開啟的篇章已經(jīng)應(yīng)用于各處。下一篇，我們將介紹在統(tǒng)計物理和信息論中都起著重要作用的一個特殊角色：熵。
參考資料：
【1】https://scholar.google.com/citations?user=qc6CJjYAAAAJ
【2】郝柏林. 布朗運(yùn)動理論一百年[J]. 物理, 2011, 40(01): 0.
制版編輯： 呂浩然｜
