賭徒謬誤：賭博與大數(shù)定律丨張?zhí)烊貙?/h3>
2017/05/15
導(dǎo)讀
賭場背后的“數(shù)學(xué)原理”。
圖片來自Pexels
撰文 | 張?zhí)烊?（美國德州大學(xué)奧斯汀分校理論物理博士）
責(zé)編 | 呂浩然
概率論專欄
2017-03-16 上帝教人擲骰子——“神童”帕斯卡與概率論
2017-03-31 似是而非的答案：概率論悖論
2017-04-18 別相信直覺：概率論幫助偵破“財(cái)務(wù)造假”
● ● ●
先講一個(gè)賭場撈金的故事。
很多人都聽說過概率或統(tǒng)計(jì)中的蒙特卡羅（Monte-Carlo）方法，是一種在統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上利用大量數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算的方法。這其中的蒙特卡羅指的并不是人名，而是摩納哥一個(gè)著名賭場的名字。自蒙特卡羅賭場于1865年開張后，摩納哥從一個(gè)窮鄉(xiāng)僻壤的彈丸之地，一躍成為歐洲最富有的國度之一，至今已經(jīng)150年過去，這個(gè)國家仍然是以賭場和相關(guān)的旅游業(yè)為主。
約瑟夫?賈格爾（Jagger）[1]是約克郡一個(gè)棉花工廠的工程師，在工作之余經(jīng)常光顧蒙特卡羅賭場，尤其對前文提到的輪盤游戲特別感興趣。他認(rèn)為，輪盤機(jī)器在理想的情況下，每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的概率都是1/38。但是，機(jī)器怎么可能做到完美對稱呢？任何缺陷都可以改變獲獎(jiǎng)號碼的隨機(jī)性，導(dǎo)致轉(zhuǎn)盤停止的位置偏向某些數(shù)字，使這些數(shù)字更為頻繁地出現(xiàn)。那么，賭徒應(yīng)該可以利用這種偏向性來賺錢！
1873年，賈格爾下決心要改變自己的命運(yùn)：他帶上所有的積蓄來到蒙特卡羅賭場，并雇用了六個(gè)助手，每個(gè)助手把守一個(gè)輪盤機(jī)器。白天，他們記錄每個(gè)輪盤的所有數(shù)據(jù)；晚上，賈格爾便在旅館里獨(dú)自分析這些數(shù)據(jù)中的規(guī)律。六天后，前五個(gè)輪盤的數(shù)據(jù)并沒有發(fā)現(xiàn)有意義的偏離，但第六個(gè)輪盤為賈格爾帶來了驚喜：38個(gè)數(shù)字中有9個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的概率要比其余的頻繁得多！賈格爾興奮不已，第七天他前往賭場，認(rèn)定了那臺有偏向性的輪盤，大量投注這九個(gè)高概率的數(shù)字，當(dāng)天就賺了7萬。雖然后來賭場改變了策略，卻讓賈格爾獲取了一筆不菲的收入。
賈格爾是幸運(yùn)的，但更多的賭徒卻是十賭九輸。主要原因有兩個(gè)：一方面是因?yàn)樗匈€場游戲的概率設(shè)計(jì)本來就是以利于賭場為準(zhǔn)，這樣賭場才能穩(wěn)賺不賠；另一方面，利用賭徒的心態(tài)也是賭博游戲設(shè)計(jì)者們的拿手好戲。賭徒謬誤便是一種常見的、不符合概率規(guī)則的錯(cuò)誤心態(tài)，經(jīng)常被賭場利用。
賭徒謬誤（The Gambler's Fallacy）
賭徒謬誤大意是指將前后相互獨(dú)立的隨機(jī)事件當(dāng)成有關(guān)聯(lián)的事件，例如拋硬幣時(shí)，無論拋幾次，任意兩次之間都是相互獨(dú)立的，并不相互產(chǎn)生影響。
道理雖簡單易懂，但有時(shí)仍會(huì)糊涂。比如，當(dāng)你連拋了5次正面時(shí)，到了第6次，你可能會(huì)認(rèn)為這次正面出現(xiàn)的概率會(huì)更小了（< 1/2），反面出現(xiàn)的概率會(huì)更大（> 1/2）。也有人會(huì)逆向思維，認(rèn)為既然5次都是1，也可能繼續(xù)是1（也被稱為熱手謬誤）。實(shí)際上，這兩種想法都掉進(jìn)了“賭徒謬誤”的坑。也就是說，將獨(dú)立事件當(dāng)成了互相關(guān)聯(lián)事件。
圖1：賭徒謬誤
賭徒有了“賭徒謬誤”的心態(tài)，會(huì)輸?shù)酶鼞K。比如說，賭場中著名的輸后加倍下注系統(tǒng)（Martingale）便是利用此心態(tài)的實(shí)例：賭徒第一次下注1元，如輸了則下注2元，再輸則變成4元，如此類推，直到贏出為止。賭徒誤以為在連續(xù)輸了多次之后，勝出的概率會(huì)變大，所以愿意加倍又加倍地下注，殊不知其實(shí)概率是不變的，賭場的游戲機(jī)沒有記憶，不會(huì)因?yàn)槟爿斄司徒o你更多勝出的機(jī)會(huì)。
賭徒謬誤不僅見于賭徒，也經(jīng)常反映在一般人的思維方式中。中國人常說“風(fēng)水輪流轉(zhuǎn)”，這句話在很多時(shí)候或許反映了現(xiàn)實(shí)，但如果將這種習(xí)慣性的思維方法隨意地應(yīng)用到前后互相獨(dú)立的隨機(jī)事件上，便會(huì)跌入賭徒謬誤之中。
對“大數(shù)定律”的誤解
賭徒謬誤產(chǎn)生的另一個(gè)原因是對“大數(shù)定律”的誤解。
大數(shù)定律[2]指的是當(dāng)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)足夠多時(shí)，發(fā)生的頻率趨近于預(yù)期的概率。
對一枚對稱硬幣而言，正面的預(yù)期概率是1/2。當(dāng)我們進(jìn)行n次實(shí)驗(yàn)后，得到正面出現(xiàn)的次數(shù)n正，比值p正 = n正/n，叫做正面出現(xiàn)的頻率，此時(shí)p正不一定等于正面出現(xiàn)的概率（1/2）。但是，當(dāng)n逐漸增大時(shí)，頻率將會(huì)逐漸趨近1/2。也就是說，頻率取決于多次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，而概率則是一個(gè)極限值，實(shí)驗(yàn)次數(shù)越大，頻率越趨近概率，這就是大數(shù)定律。
提出并證明了大數(shù)定律最早形式的是瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利（Jakob Bernoulli ,1654－1705），雅各布也是概率論的重要奠基人之一。直到他死后的第8年，即1713年，大數(shù)定律才在《猜度術(shù)》（Ars conjectandi）中得以呈現(xiàn)，這本巨著也使概率論真正成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，其中的大數(shù)定律和以后將會(huì)提到的由狄莫弗（A.de Moivre）和拉普拉斯（P.S.Laplace）導(dǎo)出的“中心極限定理”，是概率論中極其重要的兩個(gè)極限定理。
賭徒們對大數(shù)定律的誤解主要體現(xiàn)在對“多次重復(fù)”的理解。多少次試驗(yàn)才算“足夠多”，才能到達(dá)大數(shù)定律能夠?qū)嵱玫拇髽颖緟^(qū)間？此問題的答案：理論上是無窮大，實(shí)際中難以定論。大多數(shù)情形是：還沒到“足夠多”，該賭徒便已經(jīng)財(cái)力耗盡、賭注輸光、兩手空空了！
有人喜歡買彩票，并且在每次填寫彩票時(shí)，要選擇以往中獎(jiǎng)號碼中出現(xiàn)少的數(shù)字，還振振有詞地說這樣做的依據(jù)是大數(shù)定律：某個(gè)數(shù)字過去出現(xiàn)得少，以后就會(huì)多，為什么呢？“要滿足大數(shù)定律?。 ?，可見對大數(shù)定律誤解之深。
圖2：雅各布?伯努利和大數(shù)定律
而對賭徒思維誤區(qū)的專業(yè)解釋，便是將大數(shù)定律應(yīng)用于試驗(yàn)的小樣本區(qū)間，將小樣本中某事件的概率分布看成是總體分布，以為少數(shù)樣本與大樣本區(qū)間具有同樣的期望值，把短期頻率當(dāng)成長期概率，或把無限的情況當(dāng)成有限的情況來分析。實(shí)際上，這是在錯(cuò)誤應(yīng)用大數(shù)定律時(shí)的心理偏差，因此被心理學(xué)家卡尼曼和特維爾斯基戲稱為“小數(shù)法則”。事實(shí)上，任何一段有限次的試驗(yàn)得到的頻率對于足夠多次的試驗(yàn)的頻率幾乎沒有什么影響，大數(shù)定律說的是總頻率趨近于概率值，如圖2b所示，小樣本區(qū)間試驗(yàn)的結(jié)果并不影響最后趨近的概率。
圣彼得堡悖論
與雅各布?伯努利同屬伯努利家族的尼古拉?伯努利（Nikolaus I. Bernoulli，1687年－1759年）也是一名熱衷研究賭博的數(shù)學(xué)家，他提出了著名的“圣彼得堡悖論”。為了理解這個(gè)悖論，首先從賭博游戲的期望值說起。
賭博的輸贏與期望值有關(guān)，期望值是以概率為權(quán)重的平均值。賭博的方式不一樣，“贏”的期望值也不一樣。以38個(gè)數(shù)字的輪盤為例，按照一般賭場的規(guī)矩，賭注押在其中一個(gè)數(shù)字上，如果押中，顧客得到$35，否則損失$1的賭注。顧客贏錢為正，損失為負(fù)，則顧客“贏錢”的期望值公式為：
E（顧客“贏”的期望值）= - 輸錢數(shù)*輸錢概率+贏錢數(shù)*贏錢概率
第一項(xiàng)是負(fù)值，表示是顧客“輸”掉的錢數(shù)。
由此而計(jì)算出上述假設(shè)條件下的期望值E= -1*37/38+35*1/38=-0.5。
可以看到，期望值是負(fù)數(shù)，對賭徒不利。但設(shè)想有個(gè)傻一點(diǎn)的賭場老板，將上面規(guī)則中的“贏錢數(shù)”$35改成$38的話，算出的期望值就會(huì)成為正數(shù)，這種策略就對顧客有利了，賭徒們高興了，將蜂擁而至。如果將$35改成$37呢？這時(shí)候算出來的期望值為0，意味著長遠(yuǎn)來說，賭徒和賭場打平了，雙方不輸不贏（不計(jì)開賭場的費(fèi)用），稱之為“公平交易”。
因此，期望值也是那些“理性賭徒”們決定“賭或不賭”的數(shù)學(xué)依據(jù)。
然而，根據(jù)這個(gè)數(shù)學(xué)依據(jù)作出的決策有時(shí)候完全不符合人們從經(jīng)驗(yàn)和直覺所作的判斷。這是怎么回事呢？尼古拉?伯努利便以“圣彼得堡悖論”為例對此提出質(zhì)疑[4]。
圖3：圣彼得堡問題
尼古拉設(shè)想了一種簡單的游戲方案：顧客不需要每次下賭金，但得買一張價(jià)錢固定（m元）的門票參加，游戲規(guī)則如下：
顧客只是擲（公平）硬幣，擲出正面就停止，擲出反面就繼續(xù)擲，直到擲出正面為止，見圖3a。如果游戲停止了，顧客就能得到獎(jiǎng)金，獎(jiǎng)金的數(shù)目與擲的次數(shù)有關(guān)。游戲持續(xù)次數(shù)越高，獎(jiǎng)金就越高。比如說，游戲停止時(shí)擲了n次，那么顧客可得獎(jiǎng)金數(shù)為（2n）元。
敘述得更具體一點(diǎn)：如果第一次擲出正面，游戲停止，顧客只能得2元（21），若擲出反面，就繼續(xù)擲。若第二次擲出正面，顧客得4元（22），若擲出反面，又繼續(xù)擲……依次類推，顧客若一直得到反面直到第n次才擲出正面，獎(jiǎng)金數(shù)便是（2n）元，獎(jiǎng)金數(shù)隨n增大而指數(shù)增加。
現(xiàn)在，計(jì)算這個(gè)游戲中，顧客“贏錢”的期望值，即每次期望贏得的錢乘以概率后相加。然后，再將m元的門票作為負(fù)數(shù)放進(jìn)去，得到期望值是：
從以上計(jì)算可見，無論門票m是多少（有限數(shù)），得到的期望值都是無窮大！這很詭異，因?yàn)椤捌谕禑o窮大”意味著無論收多高的門票，賭徒都會(huì)贏！這就出現(xiàn)了矛盾，因此，尼古拉認(rèn)為這是一個(gè)悖論，人們在做決策的時(shí)候，并不僅僅考慮數(shù)學(xué)期望的大小，更多的是在考慮風(fēng)險(xiǎn)。數(shù)學(xué)期望值不能完全描述風(fēng)險(xiǎn)。
為什么叫“圣彼得堡悖論”呢？因?yàn)檫@個(gè)悖論被尼古拉提出卻是被其堂弟丹尼爾?伯努利解決的，丹尼爾提出經(jīng)濟(jì)學(xué)中的效用理論來解釋這個(gè)問題，論文發(fā)表在1738年圣彼得堡召開的一次學(xué)術(shù)會(huì)議上，所以得名為圣彼得堡悖論[5]。
賭博雖然是一種惡習(xí)，由它卻引發(fā)了不少有趣的數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)了概率論的發(fā)展，由于圣彼得堡悖論的解決而建立了“效用理論”，推動(dòng)了經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展。概率論中除了大數(shù)定律之外，還有一個(gè)極其重要的“中心極限定理”，有關(guān)中心極限定理極其應(yīng)用，是我們下一篇的內(nèi)容。
參考資料：
[1] Wikipedia：Men who broke the bank at Monte Carlo
https://en.wikipedia.org/wiki/Men_who_broke_the_bank_at_Monte_Carlo
[2] 維基百科：大數(shù)定律
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E5%AE%9A%E5%BE%8B
[3] The Bernoulli Family, by H. Bernhard, Doubleday, Page & Company(1938) .
[4] "The St. Petersburg Paradox", The Stanford Encyclopedia of Philosophy
https://plato.stanford.edu/archives/fall2004/entries/paradox-stpetersburg/
[5] Bernoulli, Daniel: 1738, "Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk", Econometrica 22 (1954), 23-36.
制版編輯：李 赫丨
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撰文 | 張?zhí)烊?（美國德州大學(xué)奧斯汀分校理論物理博士）
責(zé)編 | 呂浩然
概率論專欄
2017-03-16 上帝教人擲骰子——“神童”帕斯卡與概率論
2017-03-31 似是而非的答案：概率論悖論
2017-04-18 別相信直覺：概率論幫助偵破“財(cái)務(wù)造假”
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先講一個(gè)賭場撈金的故事。
很多人都聽說過概率或統(tǒng)計(jì)中的蒙特卡羅（Monte-Carlo）方法，是一種在統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上利用大量數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算的方法。這其中的蒙特卡羅指的并不是人名，而是摩納哥一個(gè)著名賭場的名字。自蒙特卡羅賭場于1865年開張后，摩納哥從一個(gè)窮鄉(xiāng)僻壤的彈丸之地，一躍成為歐洲最富有的國度之一，至今已經(jīng)150年過去，這個(gè)國家仍然是以賭場和相關(guān)的旅游業(yè)為主。
約瑟夫?賈格爾（Jagger）[1]是約克郡一個(gè)棉花工廠的工程師，在工作之余經(jīng)常光顧蒙特卡羅賭場，尤其對前文提到的輪盤游戲特別感興趣。他認(rèn)為，輪盤機(jī)器在理想的情況下，每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的概率都是1/38。但是，機(jī)器怎么可能做到完美對稱呢？任何缺陷都可以改變獲獎(jiǎng)號碼的隨機(jī)性，導(dǎo)致轉(zhuǎn)盤停止的位置偏向某些數(shù)字，使這些數(shù)字更為頻繁地出現(xiàn)。那么，賭徒應(yīng)該可以利用這種偏向性來賺錢！
1873年，賈格爾下決心要改變自己的命運(yùn)：他帶上所有的積蓄來到蒙特卡羅賭場，并雇用了六個(gè)助手，每個(gè)助手把守一個(gè)輪盤機(jī)器。白天，他們記錄每個(gè)輪盤的所有數(shù)據(jù)；晚上，賈格爾便在旅館里獨(dú)自分析這些數(shù)據(jù)中的規(guī)律。六天后，前五個(gè)輪盤的數(shù)據(jù)并沒有發(fā)現(xiàn)有意義的偏離，但第六個(gè)輪盤為賈格爾帶來了驚喜：38個(gè)數(shù)字中有9個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的概率要比其余的頻繁得多！賈格爾興奮不已，第七天他前往賭場，認(rèn)定了那臺有偏向性的輪盤，大量投注這九個(gè)高概率的數(shù)字，當(dāng)天就賺了7萬。雖然后來賭場改變了策略，卻讓賈格爾獲取了一筆不菲的收入。
賈格爾是幸運(yùn)的，但更多的賭徒卻是十賭九輸。主要原因有兩個(gè)：一方面是因?yàn)樗匈€場游戲的概率設(shè)計(jì)本來就是以利于賭場為準(zhǔn)，這樣賭場才能穩(wěn)賺不賠；另一方面，利用賭徒的心態(tài)也是賭博游戲設(shè)計(jì)者們的拿手好戲。賭徒謬誤便是一種常見的、不符合概率規(guī)則的錯(cuò)誤心態(tài)，經(jīng)常被賭場利用。
賭徒謬誤（The Gambler's Fallacy）
賭徒謬誤大意是指將前后相互獨(dú)立的隨機(jī)事件當(dāng)成有關(guān)聯(lián)的事件，例如拋硬幣時(shí)，無論拋幾次，任意兩次之間都是相互獨(dú)立的，并不相互產(chǎn)生影響。
道理雖簡單易懂，但有時(shí)仍會(huì)糊涂。比如，當(dāng)你連拋了5次正面時(shí)，到了第6次，你可能會(huì)認(rèn)為這次正面出現(xiàn)的概率會(huì)更小了（< 1/2），反面出現(xiàn)的概率會(huì)更大（> 1/2）。也有人會(huì)逆向思維，認(rèn)為既然5次都是1，也可能繼續(xù)是1（也被稱為熱手謬誤）。實(shí)際上，這兩種想法都掉進(jìn)了“賭徒謬誤”的坑。也就是說，將獨(dú)立事件當(dāng)成了互相關(guān)聯(lián)事件。
圖1：賭徒謬誤
賭徒有了“賭徒謬誤”的心態(tài)，會(huì)輸?shù)酶鼞K。比如說，賭場中著名的輸后加倍下注系統(tǒng)（Martingale）便是利用此心態(tài)的實(shí)例：賭徒第一次下注1元，如輸了則下注2元，再輸則變成4元，如此類推，直到贏出為止。賭徒誤以為在連續(xù)輸了多次之后，勝出的概率會(huì)變大，所以愿意加倍又加倍地下注，殊不知其實(shí)概率是不變的，賭場的游戲機(jī)沒有記憶，不會(huì)因?yàn)槟爿斄司徒o你更多勝出的機(jī)會(huì)。
賭徒謬誤不僅見于賭徒，也經(jīng)常反映在一般人的思維方式中。中國人常說“風(fēng)水輪流轉(zhuǎn)”，這句話在很多時(shí)候或許反映了現(xiàn)實(shí)，但如果將這種習(xí)慣性的思維方法隨意地應(yīng)用到前后互相獨(dú)立的隨機(jī)事件上，便會(huì)跌入賭徒謬誤之中。
對“大數(shù)定律”的誤解
賭徒謬誤產(chǎn)生的另一個(gè)原因是對“大數(shù)定律”的誤解。
大數(shù)定律[2]指的是當(dāng)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)足夠多時(shí)，發(fā)生的頻率趨近于預(yù)期的概率。
對一枚對稱硬幣而言，正面的預(yù)期概率是1/2。當(dāng)我們進(jìn)行n次實(shí)驗(yàn)后，得到正面出現(xiàn)的次數(shù)n正，比值p正 = n正/n，叫做正面出現(xiàn)的頻率，此時(shí)p正不一定等于正面出現(xiàn)的概率（1/2）。但是，當(dāng)n逐漸增大時(shí)，頻率將會(huì)逐漸趨近1/2。也就是說，頻率取決于多次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，而概率則是一個(gè)極限值，實(shí)驗(yàn)次數(shù)越大，頻率越趨近概率，這就是大數(shù)定律。
提出并證明了大數(shù)定律最早形式的是瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利（Jakob Bernoulli ,1654－1705），雅各布也是概率論的重要奠基人之一。直到他死后的第8年，即1713年，大數(shù)定律才在《猜度術(shù)》（Ars conjectandi）中得以呈現(xiàn)，這本巨著也使概率論真正成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，其中的大數(shù)定律和以后將會(huì)提到的由狄莫弗（A.de Moivre）和拉普拉斯（P.S.Laplace）導(dǎo)出的“中心極限定理”，是概率論中極其重要的兩個(gè)極限定理。
賭徒們對大數(shù)定律的誤解主要體現(xiàn)在對“多次重復(fù)”的理解。多少次試驗(yàn)才算“足夠多”，才能到達(dá)大數(shù)定律能夠?qū)嵱玫拇髽颖緟^(qū)間？此問題的答案：理論上是無窮大，實(shí)際中難以定論。大多數(shù)情形是：還沒到“足夠多”，該賭徒便已經(jīng)財(cái)力耗盡、賭注輸光、兩手空空了！
有人喜歡買彩票，并且在每次填寫彩票時(shí)，要選擇以往中獎(jiǎng)號碼中出現(xiàn)少的數(shù)字，還振振有詞地說這樣做的依據(jù)是大數(shù)定律：某個(gè)數(shù)字過去出現(xiàn)得少，以后就會(huì)多，為什么呢？“要滿足大數(shù)定律?。 ?，可見對大數(shù)定律誤解之深。
圖2：雅各布?伯努利和大數(shù)定律
而對賭徒思維誤區(qū)的專業(yè)解釋，便是將大數(shù)定律應(yīng)用于試驗(yàn)的小樣本區(qū)間，將小樣本中某事件的概率分布看成是總體分布，以為少數(shù)樣本與大樣本區(qū)間具有同樣的期望值，把短期頻率當(dāng)成長期概率，或把無限的情況當(dāng)成有限的情況來分析。實(shí)際上，這是在錯(cuò)誤應(yīng)用大數(shù)定律時(shí)的心理偏差，因此被心理學(xué)家卡尼曼和特維爾斯基戲稱為“小數(shù)法則”。事實(shí)上，任何一段有限次的試驗(yàn)得到的頻率對于足夠多次的試驗(yàn)的頻率幾乎沒有什么影響，大數(shù)定律說的是總頻率趨近于概率值，如圖2b所示，小樣本區(qū)間試驗(yàn)的結(jié)果并不影響最后趨近的概率。
圣彼得堡悖論
與雅各布?伯努利同屬伯努利家族的尼古拉?伯努利（Nikolaus I. Bernoulli，1687年－1759年）也是一名熱衷研究賭博的數(shù)學(xué)家，他提出了著名的“圣彼得堡悖論”。為了理解這個(gè)悖論，首先從賭博游戲的期望值說起。
賭博的輸贏與期望值有關(guān)，期望值是以概率為權(quán)重的平均值。賭博的方式不一樣，“贏”的期望值也不一樣。以38個(gè)數(shù)字的輪盤為例，按照一般賭場的規(guī)矩，賭注押在其中一個(gè)數(shù)字上，如果押中，顧客得到$35，否則損失$1的賭注。顧客贏錢為正，損失為負(fù)，則顧客“贏錢”的期望值公式為：
E（顧客“贏”的期望值）= - 輸錢數(shù)*輸錢概率+贏錢數(shù)*贏錢概率
第一項(xiàng)是負(fù)值，表示是顧客“輸”掉的錢數(shù)。
由此而計(jì)算出上述假設(shè)條件下的期望值E= -1*37/38+35*1/38=-0.5。
可以看到，期望值是負(fù)數(shù)，對賭徒不利。但設(shè)想有個(gè)傻一點(diǎn)的賭場老板，將上面規(guī)則中的“贏錢數(shù)”$35改成$38的話，算出的期望值就會(huì)成為正數(shù)，這種策略就對顧客有利了，賭徒們高興了，將蜂擁而至。如果將$35改成$37呢？這時(shí)候算出來的期望值為0，意味著長遠(yuǎn)來說，賭徒和賭場打平了，雙方不輸不贏（不計(jì)開賭場的費(fèi)用），稱之為“公平交易”。
因此，期望值也是那些“理性賭徒”們決定“賭或不賭”的數(shù)學(xué)依據(jù)。
然而，根據(jù)這個(gè)數(shù)學(xué)依據(jù)作出的決策有時(shí)候完全不符合人們從經(jīng)驗(yàn)和直覺所作的判斷。這是怎么回事呢？尼古拉?伯努利便以“圣彼得堡悖論”為例對此提出質(zhì)疑[4]。
圖3：圣彼得堡問題
尼古拉設(shè)想了一種簡單的游戲方案：顧客不需要每次下賭金，但得買一張價(jià)錢固定（m元）的門票參加，游戲規(guī)則如下：
顧客只是擲（公平）硬幣，擲出正面就停止，擲出反面就繼續(xù)擲，直到擲出正面為止，見圖3a。如果游戲停止了，顧客就能得到獎(jiǎng)金，獎(jiǎng)金的數(shù)目與擲的次數(shù)有關(guān)。游戲持續(xù)次數(shù)越高，獎(jiǎng)金就越高。比如說，游戲停止時(shí)擲了n次，那么顧客可得獎(jiǎng)金數(shù)為（2n）元。
敘述得更具體一點(diǎn)：如果第一次擲出正面，游戲停止，顧客只能得2元（21），若擲出反面，就繼續(xù)擲。若第二次擲出正面，顧客得4元（22），若擲出反面，又繼續(xù)擲……依次類推，顧客若一直得到反面直到第n次才擲出正面，獎(jiǎng)金數(shù)便是（2n）元，獎(jiǎng)金數(shù)隨n增大而指數(shù)增加。
現(xiàn)在，計(jì)算這個(gè)游戲中，顧客“贏錢”的期望值，即每次期望贏得的錢乘以概率后相加。然后，再將m元的門票作為負(fù)數(shù)放進(jìn)去，得到期望值是：
從以上計(jì)算可見，無論門票m是多少（有限數(shù)），得到的期望值都是無窮大！這很詭異，因?yàn)椤捌谕禑o窮大”意味著無論收多高的門票，賭徒都會(huì)贏！這就出現(xiàn)了矛盾，因此，尼古拉認(rèn)為這是一個(gè)悖論，人們在做決策的時(shí)候，并不僅僅考慮數(shù)學(xué)期望的大小，更多的是在考慮風(fēng)險(xiǎn)。數(shù)學(xué)期望值不能完全描述風(fēng)險(xiǎn)。
為什么叫“圣彼得堡悖論”呢？因?yàn)檫@個(gè)悖論被尼古拉提出卻是被其堂弟丹尼爾?伯努利解決的，丹尼爾提出經(jīng)濟(jì)學(xué)中的效用理論來解釋這個(gè)問題，論文發(fā)表在1738年圣彼得堡召開的一次學(xué)術(shù)會(huì)議上，所以得名為圣彼得堡悖論[5]。
賭博雖然是一種惡習(xí)，由它卻引發(fā)了不少有趣的數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)了概率論的發(fā)展，由于圣彼得堡悖論的解決而建立了“效用理論”，推動(dòng)了經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展。概率論中除了大數(shù)定律之外，還有一個(gè)極其重要的“中心極限定理”，有關(guān)中心極限定理極其應(yīng)用，是我們下一篇的內(nèi)容。
參考資料：
[1] Wikipedia：Men who broke the bank at Monte Carlo
https://en.wikipedia.org/wiki/Men_who_broke_the_bank_at_Monte_Carlo
[2] 維基百科：大數(shù)定律
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E5%AE%9A%E5%BE%8B
[3] The Bernoulli Family, by H. Bernhard, Doubleday, Page & Company(1938) .
[4] "The St. Petersburg Paradox", The Stanford Encyclopedia of Philosophy
https://plato.stanford.edu/archives/fall2004/entries/paradox-stpetersburg/
[5] Bernoulli, Daniel: 1738, "Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk", Econometrica 22 (1954), 23-36.
制版編輯：李 赫丨
