無所不在的概率分布鐘型曲線 | 張?zhí)烊貙?/h3>
2017/06/23
導讀
小球從釘板落下的游戲，都玩過吧？
?小球從釘板落下的游戲，都玩過吧？圖片來自flickr
撰文 | 張?zhí)烊?（美國德州大學奧斯汀分校理論物理博士）
責編 | 呂浩然
概率論專欄
2017-03-16 上帝教人擲骰子——“神童”帕斯卡與概率論
2017-03-31 似是而非的答案：概率論悖論
2017-04-18 別相信直覺：概率論幫助偵破“財務造假”
2017-05-15 賭徒謬誤：賭博與大數(shù)定律
● ● ●
上一篇中，通過賭徒謬誤介紹了概率論中的大數(shù)定律。大數(shù)定律說的是當隨機事件重復多次時頻率的穩(wěn)定性，隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率趨近于預期的“概率”。但大數(shù)定律并未涉及概率分布問題，所以本文就來說說概率分布。首先，用如下例子來說明“概率分布”是什么意思。
高爾頓釘板試驗
弗朗西斯·高爾頓（Sir Francis Galton，1822-1911）是英國著名的統(tǒng)計學家、心理學家和遺傳學家。他是達爾文的表弟，雖然不像達爾文那樣聲名顯赫，但也并非無名之輩。不僅如此，高爾頓幼年是神童，長大是才子，九十年的人生可謂豐富多彩，是個名副其實的博學家。其涉獵范圍廣泛，研究水平頗深，縱觀科學史，在其同時代科學家中，能望其項背之人寥寥可數(shù)【1】。
在達爾文發(fā)表了《物種起源》之后，高爾頓也將研究方向轉向生物及遺傳學，他第一個對同卵雙胞胎進行研究，論證了指紋的永久性和獨特性；他從遺傳的角度研究人類智力并提出“優(yōu)生學”，也是第一個強調把統(tǒng)計學方法應用到生物學中去的人；他還設計了一個釘板實驗，希望從統(tǒng)計的觀點來解釋遺傳現(xiàn)象。
?圖1：高爾頓釘板實驗
如圖1中所示，木板上訂了數(shù)排（n排）等距排列的釘子，下一排的每個釘子恰好在上一排兩個相鄰釘子中間，從入口中處放入若干直徑略小于釘子間距的小球，小球在下落的過程中碰到任何釘子后，都將以1/2的概率滾向左邊，也以 1/2的概率滾向右邊。如此反復地繼續(xù)下去，直到小球下落到底板的格子里為止。試驗表明，只要小球足夠多，它們在底板堆成的形狀將近似于一個鐘形的高斯曲線（圖1左下黑色曲線）。
為什么這兒出現(xiàn)了一個鐘形曲線呢？這與古典概率論中最重要的“中心極限定理”有關。
中心極限定理
事實上，中心極限定理不是一個定理，而是一組定理，分別適用于不同的條件。但基本可以用一句話來概括它們：大量相互獨立的隨機變量，其求和后的平均值以正態(tài)分布（即鐘形曲線）為極限。
以上所述的高爾頓釘板實驗顯示的“鐘形曲線”便可以用中心極限定理來解釋。
考慮釘板中的某一個小球下落的過程：小球在下落過程中碰到n個釘子上，每次都等效于一次“拋硬幣”類型的隨機變量。也就是說，一個小球從頂部到底部的過程，等效于n次拋硬幣之和。n個釘子中的每一個釘子，將小球以同等的概率彈向左邊或右邊，小球最后到達的位置，是這n個“左/右”隨機變量相加后的平均位置。不難看出，這個平均值落在中心處的概率最大（即小球聚集最多），但也可能向左或向右偏離1格、2格……偏離越大，小球的數(shù)目越少，不同位置的小球數(shù)便形成了一個“分布”，中心極限定理則是從數(shù)學上證明了，這個分布的極限是正態(tài)分布。
中心極限定理最早由法國數(shù)學家棣莫弗（de Moivre， 1667-1754）在1718年左右發(fā)現(xiàn)。他為解決朋友提出的一個賭博問題而去認真研究二項分布（每次試驗只有“是/非”兩種可能的結果，且兩種結果發(fā)生與否互相對立）。他發(fā)現(xiàn)：當實驗次數(shù)增大時，二項分布（成功概率p=0.5）趨近于一個看起來呈鐘形的曲線。后來，著名法國數(shù)學家拉普拉斯對此作了更詳細的研究，并證明了p不等于0.5時二項分布的極限也是高斯分布。之后，人們將此稱為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理【2】。
再后來，中心極限定理的條件逐漸從二項分布推廣到獨立同分布隨機序列（指隨機過程中，任何時刻的取值都為隨機變量，如果這些隨機變量服從同一分布，且互相獨立，那么這些隨機變量就是獨立同分布），以及不同分布的隨機序列。因此，中心極限定理不是只有一個定理，而是成為研究某種條件下獨立隨機變量之和的極限分布為正態(tài)分布的一系列命題的統(tǒng)稱。
不得不承認中心極限定理的奇妙。在一定條件下，各種隨意形狀概率分布生成的隨機變量，它們加在一起的總效應，是符合正態(tài)分布的。這點在統(tǒng)計學實驗中特別有用，因為實際上的隨機生物過程或物理過程，都不是只由一個單獨的原因產(chǎn)生的，它們受到各種各樣隨機因素的影響。然而，中心極限定理告訴我們：無論引起過程的各種效應的基本分布是什么樣的，當實驗次數(shù) n 充分大時，所有這些隨機分量之和近似是一個正態(tài)分布的隨機變量（圖2）。
在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生的總影響。例如，許多因素決定了人的身高：營養(yǎng)、遺傳、環(huán)境、族裔、性別等等，這些因素的綜合效果，使得人的身高基本滿足正態(tài)分布。另外，在物理實驗中，免不了有誤差，而誤差形成的原因五花八門，各種各樣。如果能夠分別弄清楚產(chǎn)生誤差的每種單一原因，誤差的分布曲線可能不是高斯的。但是，當所有的誤差加在一起時，實驗者通常得到一個正態(tài)分布。
?圖2：中心極限定理
為了更為直觀地理解大數(shù)定律和中心極限定理，在圖3中，將拋硬幣所得的結果用數(shù)值表示（正面=1，反面=-1）。如此賦值以后，大數(shù)定律指的是：拋丟硬幣多次（n趨近無限大）后，結果的平均值將趨近于0，即正反面出現(xiàn)次數(shù)相等，其數(shù)值相加而互相抵消了；中心極限定理則除了考慮平均值（等于零）之外，還考慮結果的分布情形：如圖3b所示，如果只拋1次，出現(xiàn)正面（1）和反面（-1）的概率相等，對應于公平硬幣的等概率分布，平均值為0。當投擲次數(shù)n增加，平均值的極限值仍然保持為0，但點數(shù)和之分布情形變化了，n趨近無限時，分布趨于正態(tài)分布，這是中心極限定理的內(nèi)容。
?圖3：大數(shù)定律和中心極限定理
大量的統(tǒng)計實驗結果告訴我們：鐘形曲線隨處可見。我們的世界似乎被代表正態(tài)分布的“鐘形”包圍著，很多事物都是服從正態(tài)分布：人的高度、雪花的尺寸、測量誤差、燈泡的壽命、IQ分數(shù)、面包的重量、學生的考試分數(shù)等等。十九世紀的著名數(shù)學家龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854-1912）曾經(jīng)說過【3】：“每個人都相信正態(tài)法則，實驗家認為這是一個數(shù)學定理，數(shù)學家認為這是一個實驗事實?！贝笞匀辉煳锏拿烂钌願W，鬼斧神工，往往使人難以理解。鐘形分布曲線無處不在，其奧秘便是來自于中心極限定理。
中心極限定理從理論上證明了，對于大量獨立隨機變量來說，不論其中各個隨機變量的分布函數(shù)是什么形狀，也不論它們是已知還是未知，當獨立隨機變量的個數(shù)充分大時，它們的和的分布函數(shù)都可以用正態(tài)分布來近似。這使得正態(tài)分布既成為統(tǒng)計理論的重要基礎，又是實際應用的強大工具。
就理論而言，正態(tài)分布有不少優(yōu)越性：1. 兩個正態(tài)分布的乘積仍然是正態(tài)分布；2. 兩個正態(tài)分布的和是正態(tài)分布；3. 正態(tài)分布的傅立葉變換仍然是正態(tài)分布。正態(tài)分布只需要兩個參數(shù)μ和σ就完全決定了分布的性質（見圖2）。這點給實際計算帶來許多方便之處，再一次體現(xiàn)了中心極限定理的威力。
中心極限定理的應用
正態(tài)分布在應用上非常有效，下面便舉兩個簡單例子予以說明。
例1：小王到某保險公司應聘，經(jīng)理給他出了一道考題：如果讓你設計一項人壽保險，假設客戶的數(shù)目有1萬左右，被保險人每年交200元保費，保險的賠償金額為5萬元，估計當?shù)匾荒甑乃劳雎?span style="color: rgb(136, 136, 136);">（自然+意外）為0.25%左右，那么，你會如何計算公司的獲利情況？
小王在經(jīng)理面前緊張地估算了一下：從1萬個客戶得到的保費是200萬，然后1萬人乘以死亡率，可能有25人死亡，賠償金額為25×5萬，等于125萬。所以，公司可能的收益應該是200萬減去125萬，等于75萬左右。這是小王的答案。
經(jīng)理面露滿意的笑容，但又繼續(xù)問：75萬只是一個大概可能的數(shù)目，如果要你大略地估計一下，公司一年內(nèi)從這個項目得到的總收益為50-100萬元的概率是多少，或者需要估計公司虧本的概率，你怎么算呢？
?圖4：正態(tài)分布用于估計人壽保險
這下難倒了小王：要真正計算概率需要用到分布，這是什么分布??？小王腦袋里突然冒出了“中心極限定理”，1萬個客戶的數(shù)目足夠大了，可以用正態(tài)分布：首先需要計算平均值μ和方差σ。人壽保險近似于一個像拋硬幣的“二項分布”問題：受保人死亡，保險公司賠償，反之則不賠償。只不過，這兒死亡的概率比較小，p=0.25%。用正態(tài)分布來近似的話，只要知道了期望和方差，概率便不難計算。小王回想起正態(tài)分布的簡單圖像以及幾個關鍵數(shù)值（見圖4），算出均值μ=E(X)=np=10000*0.25%=25，方差σ2=Var(X)=np(1-p)=25 ，由此得到σ=5。
然后，要計算公司賺50-100萬元的概率，從圖4可知，也就是死亡人數(shù)在20到30之間的概率，剛好就是從（μ-σ ）到（μ+σ ）之間的面積，大約68.2%左右。至于公司何種情況下會虧本呢？直觀而言，如果死亡的人數(shù)多于40，公司便虧本了，概率到底是多少呢？同樣可用圖4進行估計，40和25之間相差15，等于3σ，因而得到概率大約等于0.1%，所以，保險公司虧本的概率幾乎為零。
例2：圖5a是美國2010年1,547,990個SAT考試成績的原始數(shù)據(jù)，其中有1,313,812個分數(shù)在1850之下，有74,165個成績是在2050以上。由此我們從原始數(shù)據(jù)可以算出：分數(shù)在1850之下的百分比是0.849，分數(shù)在2050之上的百分比是0.0479。
?圖5：SAT成績
另一方面，原始的結果可以用一個平均分數(shù)μ=1509，標準方差的平方根σ=312的正態(tài)曲線來近似。因此，我們也可以從正態(tài)分布曲線來計算分數(shù)低于1850及高于2050的百分比，它們分別對應于圖5b和圖5c中陰影部分的面積。根據(jù)高斯積分求出兩個圖中的面積分別為0.8621和0.0418。對照從原始數(shù)據(jù)的計算結果0.849和0.0479，相差非常小。
由此可以看出，中心極限定理在現(xiàn)實生活中的應用非常廣泛。大數(shù)定律和中心極限定理，都是基于多次實驗結果的古典概率觀點，屬于頻率學派。下一篇中將介紹概率論中極端的兩大派別：頻率學派和貝葉斯學派。
參考文獻：
【1】"Sir Francis Galton F.R.S: 1822-1911". galton.org. Retrieved 9 January 2017.
【2】維基百科：中心極限定理
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%9E%81%E9%99%90%E5%AE%9A%E7%90%86
【3】Gabriel Lippmann (French physicist ,16 Aug 1845 - 13 Jul 1921), Conversation with Henri Poincaré. In Henri Poincaré, Calcul ds Probabilités (1896), 171
制版編輯：呂浩然丨
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?小球從釘板落下的游戲，都玩過吧？圖片來自flickr
撰文 | 張?zhí)烊?（美國德州大學奧斯汀分校理論物理博士）
責編 | 呂浩然
概率論專欄
2017-03-16 上帝教人擲骰子——“神童”帕斯卡與概率論
2017-03-31 似是而非的答案：概率論悖論
2017-04-18 別相信直覺：概率論幫助偵破“財務造假”
2017-05-15 賭徒謬誤：賭博與大數(shù)定律
● ● ●
上一篇中，通過賭徒謬誤介紹了概率論中的大數(shù)定律。大數(shù)定律說的是當隨機事件重復多次時頻率的穩(wěn)定性，隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率趨近于預期的“概率”。但大數(shù)定律并未涉及概率分布問題，所以本文就來說說概率分布。首先，用如下例子來說明“概率分布”是什么意思。
高爾頓釘板試驗
弗朗西斯·高爾頓（Sir Francis Galton，1822-1911）是英國著名的統(tǒng)計學家、心理學家和遺傳學家。他是達爾文的表弟，雖然不像達爾文那樣聲名顯赫，但也并非無名之輩。不僅如此，高爾頓幼年是神童，長大是才子，九十年的人生可謂豐富多彩，是個名副其實的博學家。其涉獵范圍廣泛，研究水平頗深，縱觀科學史，在其同時代科學家中，能望其項背之人寥寥可數(shù)【1】。
在達爾文發(fā)表了《物種起源》之后，高爾頓也將研究方向轉向生物及遺傳學，他第一個對同卵雙胞胎進行研究，論證了指紋的永久性和獨特性；他從遺傳的角度研究人類智力并提出“優(yōu)生學”，也是第一個強調把統(tǒng)計學方法應用到生物學中去的人；他還設計了一個釘板實驗，希望從統(tǒng)計的觀點來解釋遺傳現(xiàn)象。
?圖1：高爾頓釘板實驗
如圖1中所示，木板上訂了數(shù)排（n排）等距排列的釘子，下一排的每個釘子恰好在上一排兩個相鄰釘子中間，從入口中處放入若干直徑略小于釘子間距的小球，小球在下落的過程中碰到任何釘子后，都將以1/2的概率滾向左邊，也以 1/2的概率滾向右邊。如此反復地繼續(xù)下去，直到小球下落到底板的格子里為止。試驗表明，只要小球足夠多，它們在底板堆成的形狀將近似于一個鐘形的高斯曲線（圖1左下黑色曲線）。
為什么這兒出現(xiàn)了一個鐘形曲線呢？這與古典概率論中最重要的“中心極限定理”有關。
中心極限定理
事實上，中心極限定理不是一個定理，而是一組定理，分別適用于不同的條件。但基本可以用一句話來概括它們：大量相互獨立的隨機變量，其求和后的平均值以正態(tài)分布（即鐘形曲線）為極限。
以上所述的高爾頓釘板實驗顯示的“鐘形曲線”便可以用中心極限定理來解釋。
考慮釘板中的某一個小球下落的過程：小球在下落過程中碰到n個釘子上，每次都等效于一次“拋硬幣”類型的隨機變量。也就是說，一個小球從頂部到底部的過程，等效于n次拋硬幣之和。n個釘子中的每一個釘子，將小球以同等的概率彈向左邊或右邊，小球最后到達的位置，是這n個“左/右”隨機變量相加后的平均位置。不難看出，這個平均值落在中心處的概率最大（即小球聚集最多），但也可能向左或向右偏離1格、2格……偏離越大，小球的數(shù)目越少，不同位置的小球數(shù)便形成了一個“分布”，中心極限定理則是從數(shù)學上證明了，這個分布的極限是正態(tài)分布。
中心極限定理最早由法國數(shù)學家棣莫弗（de Moivre， 1667-1754）在1718年左右發(fā)現(xiàn)。他為解決朋友提出的一個賭博問題而去認真研究二項分布（每次試驗只有“是/非”兩種可能的結果，且兩種結果發(fā)生與否互相對立）。他發(fā)現(xiàn)：當實驗次數(shù)增大時，二項分布（成功概率p=0.5）趨近于一個看起來呈鐘形的曲線。后來，著名法國數(shù)學家拉普拉斯對此作了更詳細的研究，并證明了p不等于0.5時二項分布的極限也是高斯分布。之后，人們將此稱為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理【2】。
再后來，中心極限定理的條件逐漸從二項分布推廣到獨立同分布隨機序列（指隨機過程中，任何時刻的取值都為隨機變量，如果這些隨機變量服從同一分布，且互相獨立，那么這些隨機變量就是獨立同分布），以及不同分布的隨機序列。因此，中心極限定理不是只有一個定理，而是成為研究某種條件下獨立隨機變量之和的極限分布為正態(tài)分布的一系列命題的統(tǒng)稱。
不得不承認中心極限定理的奇妙。在一定條件下，各種隨意形狀概率分布生成的隨機變量，它們加在一起的總效應，是符合正態(tài)分布的。這點在統(tǒng)計學實驗中特別有用，因為實際上的隨機生物過程或物理過程，都不是只由一個單獨的原因產(chǎn)生的，它們受到各種各樣隨機因素的影響。然而，中心極限定理告訴我們：無論引起過程的各種效應的基本分布是什么樣的，當實驗次數(shù) n 充分大時，所有這些隨機分量之和近似是一個正態(tài)分布的隨機變量（圖2）。
在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生的總影響。例如，許多因素決定了人的身高：營養(yǎng)、遺傳、環(huán)境、族裔、性別等等，這些因素的綜合效果，使得人的身高基本滿足正態(tài)分布。另外，在物理實驗中，免不了有誤差，而誤差形成的原因五花八門，各種各樣。如果能夠分別弄清楚產(chǎn)生誤差的每種單一原因，誤差的分布曲線可能不是高斯的。但是，當所有的誤差加在一起時，實驗者通常得到一個正態(tài)分布。
?圖2：中心極限定理
為了更為直觀地理解大數(shù)定律和中心極限定理，在圖3中，將拋硬幣所得的結果用數(shù)值表示（正面=1，反面=-1）。如此賦值以后，大數(shù)定律指的是：拋丟硬幣多次（n趨近無限大）后，結果的平均值將趨近于0，即正反面出現(xiàn)次數(shù)相等，其數(shù)值相加而互相抵消了；中心極限定理則除了考慮平均值（等于零）之外，還考慮結果的分布情形：如圖3b所示，如果只拋1次，出現(xiàn)正面（1）和反面（-1）的概率相等，對應于公平硬幣的等概率分布，平均值為0。當投擲次數(shù)n增加，平均值的極限值仍然保持為0，但點數(shù)和之分布情形變化了，n趨近無限時，分布趨于正態(tài)分布，這是中心極限定理的內(nèi)容。
?圖3：大數(shù)定律和中心極限定理
大量的統(tǒng)計實驗結果告訴我們：鐘形曲線隨處可見。我們的世界似乎被代表正態(tài)分布的“鐘形”包圍著，很多事物都是服從正態(tài)分布：人的高度、雪花的尺寸、測量誤差、燈泡的壽命、IQ分數(shù)、面包的重量、學生的考試分數(shù)等等。十九世紀的著名數(shù)學家龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854-1912）曾經(jīng)說過【3】：“每個人都相信正態(tài)法則，實驗家認為這是一個數(shù)學定理，數(shù)學家認為這是一個實驗事實?！贝笞匀辉煳锏拿烂钌願W，鬼斧神工，往往使人難以理解。鐘形分布曲線無處不在，其奧秘便是來自于中心極限定理。
中心極限定理從理論上證明了，對于大量獨立隨機變量來說，不論其中各個隨機變量的分布函數(shù)是什么形狀，也不論它們是已知還是未知，當獨立隨機變量的個數(shù)充分大時，它們的和的分布函數(shù)都可以用正態(tài)分布來近似。這使得正態(tài)分布既成為統(tǒng)計理論的重要基礎，又是實際應用的強大工具。
就理論而言，正態(tài)分布有不少優(yōu)越性：1. 兩個正態(tài)分布的乘積仍然是正態(tài)分布；2. 兩個正態(tài)分布的和是正態(tài)分布；3. 正態(tài)分布的傅立葉變換仍然是正態(tài)分布。正態(tài)分布只需要兩個參數(shù)μ和σ就完全決定了分布的性質（見圖2）。這點給實際計算帶來許多方便之處，再一次體現(xiàn)了中心極限定理的威力。
中心極限定理的應用
正態(tài)分布在應用上非常有效，下面便舉兩個簡單例子予以說明。
例1：小王到某保險公司應聘，經(jīng)理給他出了一道考題：如果讓你設計一項人壽保險，假設客戶的數(shù)目有1萬左右，被保險人每年交200元保費，保險的賠償金額為5萬元，估計當?shù)匾荒甑乃劳雎?span style="color: rgb(136, 136, 136);">（自然+意外）為0.25%左右，那么，你會如何計算公司的獲利情況？
小王在經(jīng)理面前緊張地估算了一下：從1萬個客戶得到的保費是200萬，然后1萬人乘以死亡率，可能有25人死亡，賠償金額為25×5萬，等于125萬。所以，公司可能的收益應該是200萬減去125萬，等于75萬左右。這是小王的答案。
經(jīng)理面露滿意的笑容，但又繼續(xù)問：75萬只是一個大概可能的數(shù)目，如果要你大略地估計一下，公司一年內(nèi)從這個項目得到的總收益為50-100萬元的概率是多少，或者需要估計公司虧本的概率，你怎么算呢？
?圖4：正態(tài)分布用于估計人壽保險
這下難倒了小王：要真正計算概率需要用到分布，這是什么分布??？小王腦袋里突然冒出了“中心極限定理”，1萬個客戶的數(shù)目足夠大了，可以用正態(tài)分布：首先需要計算平均值μ和方差σ。人壽保險近似于一個像拋硬幣的“二項分布”問題：受保人死亡，保險公司賠償，反之則不賠償。只不過，這兒死亡的概率比較小，p=0.25%。用正態(tài)分布來近似的話，只要知道了期望和方差，概率便不難計算。小王回想起正態(tài)分布的簡單圖像以及幾個關鍵數(shù)值（見圖4），算出均值μ=E(X)=np=10000*0.25%=25，方差σ2=Var(X)=np(1-p)=25 ，由此得到σ=5。
然后，要計算公司賺50-100萬元的概率，從圖4可知，也就是死亡人數(shù)在20到30之間的概率，剛好就是從（μ-σ ）到（μ+σ ）之間的面積，大約68.2%左右。至于公司何種情況下會虧本呢？直觀而言，如果死亡的人數(shù)多于40，公司便虧本了，概率到底是多少呢？同樣可用圖4進行估計，40和25之間相差15，等于3σ，因而得到概率大約等于0.1%，所以，保險公司虧本的概率幾乎為零。
例2：圖5a是美國2010年1,547,990個SAT考試成績的原始數(shù)據(jù)，其中有1,313,812個分數(shù)在1850之下，有74,165個成績是在2050以上。由此我們從原始數(shù)據(jù)可以算出：分數(shù)在1850之下的百分比是0.849，分數(shù)在2050之上的百分比是0.0479。
?圖5：SAT成績
另一方面，原始的結果可以用一個平均分數(shù)μ=1509，標準方差的平方根σ=312的正態(tài)曲線來近似。因此，我們也可以從正態(tài)分布曲線來計算分數(shù)低于1850及高于2050的百分比，它們分別對應于圖5b和圖5c中陰影部分的面積。根據(jù)高斯積分求出兩個圖中的面積分別為0.8621和0.0418。對照從原始數(shù)據(jù)的計算結果0.849和0.0479，相差非常小。
由此可以看出，中心極限定理在現(xiàn)實生活中的應用非常廣泛。大數(shù)定律和中心極限定理，都是基于多次實驗結果的古典概率觀點，屬于頻率學派。下一篇中將介紹概率論中極端的兩大派別：頻率學派和貝葉斯學派。
參考文獻：
【1】"Sir Francis Galton F.R.S: 1822-1911". galton.org. Retrieved 9 January 2017.
【2】維基百科：中心極限定理
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%BF%83%E6%9E%81%E9%99%90%E5%AE%9A%E7%90%86
【3】Gabriel Lippmann (French physicist ,16 Aug 1845 - 13 Jul 1921), Conversation with Henri Poincaré. In Henri Poincaré, Calcul ds Probabilités (1896), 171
制版編輯：呂浩然丨
