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“一個(gè)被認(rèn)為多年隱沒在數(shù)學(xué)界之外的人，博觀約取，厚積薄發(fā)，最終在本世紀(jì)的數(shù)論難題——‘孿生素?cái)?shù)猜想’上獲得重大突破。”

他就是華裔數(shù)學(xué)家張益唐教授。

演講場(chǎng)次：2019.11.16科學(xué)峰會(huì)主旨演講6：數(shù)學(xué)

演講嘉賓：張益唐，加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校數(shù)學(xué)系教授

演講主題：The Landau-Siegel Zero Problem in Number Theory

張益唐：謝謝大家！也感謝未來論壇給我提供這么一個(gè)機(jī)會(huì)做一次科普。我今天要講的問題在數(shù)論中很有名，就叫Landau—Siegel零點(diǎn)問題，這是一個(gè)什么問題呢？

要講這個(gè)問題，我們就要回顧很有名的黎曼假設(shè)，而黎曼假設(shè)又涉及到什么東西呢——黎曼ζ函數(shù)。有這樣一個(gè)極數(shù)定義來定義黎曼ζ函數(shù)，但是我們需要用一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)來解釋這個(gè)極數(shù)。就是說，它不是在任何地方對(duì)任何變量S都是有定義的，只有當(dāng)S的實(shí)部大于1的話有定義，而實(shí)部要是小于等于1，我們學(xué)一點(diǎn)微積分就知道，這個(gè)極數(shù)是一個(gè)發(fā)散的極數(shù)，所以它只是在一定范圍內(nèi)是這樣一個(gè)原始定義，但是黎曼是解析數(shù)論的開創(chuàng)者，是他證明這個(gè)函數(shù)是可以有一個(gè)解析延拓到整個(gè)全平面，即對(duì)所有的S，這個(gè)函數(shù)都是有定義的，在S等于1的地方有一個(gè)簡(jiǎn)單的極點(diǎn)，就是不解析，而且留數(shù)是等于1，而且它滿足一個(gè)很特殊的函數(shù)方程，是把S，ζ（S）和ζ（1-S）改過來，而對(duì)于黎曼ζ函數(shù)，是歐拉在黎曼更早以前研究這個(gè)函數(shù)，但是他們只是把S看成是實(shí)變量，那個(gè)時(shí)候基本上沒有復(fù)變函數(shù)的概念。黎曼ζ函數(shù)與素?cái)?shù)有直接聯(lián)系，當(dāng)實(shí)部大于1時(shí)，它是一系列自然數(shù)的和，同時(shí)又是素?cái)?shù)的乘積，這里這個(gè)P實(shí)際包括了所有的素?cái)?shù)，這樣就通過對(duì)黎曼ζ函數(shù)的研究會(huì)得到很多素?cái)?shù)方面的信息。這里有一個(gè)基本的例子，即所謂的素?cái)?shù)定理，那是在1986年第一次被證明的，就是通過對(duì)黎曼ζ函數(shù)的研究而得到的。

在素?cái)?shù)定理中，當(dāng)X趨于無窮的時(shí)候，不超過X的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)作為它的主階來講，是X除以ln x這么多個(gè)素?cái)?shù)，這結(jié)果寫成極限的形式就是這樣一個(gè)表達(dá)式。該表達(dá)式是在1986年首先被解決的，數(shù)學(xué)家們通過研究黎曼ζ函數(shù)的解析性質(zhì)，證明黎曼ζ函數(shù)當(dāng)實(shí)部正好等于1的時(shí)候不等于0。以上結(jié)論可以證明素?cái)?shù)定理，而且這方面關(guān)于素?cái)?shù)更精確的信息在于進(jìn)一步對(duì)黎曼ζ函數(shù)零點(diǎn)的研究。

最著名的黎曼假設(shè)認(rèn)為所有的這些非實(shí)的零點(diǎn)都在ζ（S）上，它的實(shí)部都等于二分之一，這實(shí)際上等價(jià)于：如果實(shí)部大于二分之一的話，這個(gè)函數(shù)不等于0。這里我介紹一下黎曼ζ函數(shù)的現(xiàn)況，這是非常有名的，很遺憾目前對(duì)于零點(diǎn)所知道的知識(shí)還是非常少的，我們現(xiàn)在遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能得出大于二分之一就能證明它不等于0的結(jié)論，我們得到非0區(qū)域的結(jié)果是什么地方不等于0呢？實(shí)際上這比黎曼假設(shè)弱得多，為什么弱得多？我們可以追溯到更早，還是歐拉的預(yù)言，因?yàn)槔杪僭O(shè)研究就很大程度上等價(jià)于素?cái)?shù)分布，如果在素?cái)?shù)分布方面有一個(gè)什么結(jié)果反過來也能推到黎曼假設(shè)這一方面去，而在這個(gè)問題上，我們對(duì)素?cái)?shù)知道的還很少，這是在黎曼之前大概100年時(shí)歐拉做過的一個(gè)很悲觀的預(yù)言。

?黎曼猜想

大家知道歐拉，他給出了存在無窮多的素?cái)?shù)的第二個(gè)證明。剛才歐拉乘積公式證明了存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)，第一個(gè)證明者是歐幾里得，這中間差了2000年，歐拉出名的一點(diǎn)是因?yàn)楦绲掳秃战o他寫過一封信，哥德巴赫猜想是信里提出來的，歐拉說我相信哥德巴赫猜想應(yīng)該是對(duì)的，但是我現(xiàn)在還沒有能力證明，他說素?cái)?shù)的奧秘可能要等100萬年才能全弄清楚，是不是黎曼假設(shè)也要等100萬年呢？但是目前很遺憾我們只能講，跟黎曼假設(shè)比，我們對(duì)解析數(shù)論的全部知識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，像一輛馬車和一架航空飛機(jī)的差距那么大。

這里先把黎曼猜想函數(shù)放在一邊，它是一類更廣泛的特殊情況，也是最簡(jiǎn)單的一個(gè)情況，另外還有一類就叫狄利克雷L函數(shù)。這套函數(shù)的引進(jìn)比黎曼還早了一點(diǎn)。首先我們要對(duì)這個(gè)函數(shù)定義一個(gè)特征，在整數(shù)環(huán)上取的是復(fù)數(shù)的值，而且并不全為0，它滿足這樣條件，它有一個(gè)周期性，它對(duì)于任何兩個(gè)素?cái)?shù)乘積有可乘性，另外如果N和D不互素的話就等于0，那么狄利克雷L函數(shù)是這樣定義這一特征的，跟黎曼ζ函數(shù)很像，如果你把分子換成1的話就是黎曼ζ函數(shù)，也有解析、延拓，也有函數(shù)方程，跟黎曼ζ函數(shù)很像。在數(shù)論里面還有一大堆的問題，特別要提到哥德巴赫猜想，他的解析部分需要?dú)w到狄利克雷L函數(shù)在傳統(tǒng)意義上對(duì)零點(diǎn)分布的研究，而且這方面也有同樣的對(duì)于黎曼ζ函數(shù)相關(guān)猜想，叫廣義黎曼猜想。

他就是說對(duì)任何一個(gè)特征，它本身是復(fù)變量S的一個(gè)函數(shù)，如果S實(shí)部大于二分之一不等于0。而現(xiàn)在我們有很多很多特征，還沒有一個(gè)人能夠證明這些東西的某一個(gè)單獨(dú)特征。

從19世紀(jì)末，數(shù)學(xué)已經(jīng)在解析數(shù)論有很大發(fā)展，他們發(fā)展一整套工具去研究這些函數(shù)的零點(diǎn)，重要結(jié)果也有，而且這些結(jié)果也是極大用在比如說像哥德巴赫猜想，還有一連串關(guān)于素?cái)?shù)分布問題上。但是如果要跟廣義黎曼假設(shè)原始要求的結(jié)果相比，這些結(jié)果都是非常非常弱的，現(xiàn)在我們所能做的ζ函數(shù)和L函數(shù)不等于零，只有當(dāng)實(shí)部在一定意義下很接近1的時(shí)候才能證明它不等于0。雖然這差了二分之一，但這個(gè)差異卻是十萬八千里。我要強(qiáng)調(diào)一下，所有我們要用的，他歸根到底都是一個(gè)初等的不等式，就是這樣一個(gè)東西，這個(gè)東西可以直接證明，他可以等于某一個(gè)東西的平方，所以大于等于0，最后一定要用不等式才能夠得出我們所要的一些結(jié)果。所以現(xiàn)在什么時(shí)候能證明黎曼假設(shè)乃至更一般的廣義黎曼假設(shè)還是很遙遠(yuǎn)的事情。

但是很多數(shù)論問題，分布問題，也確實(shí)需要引起重視。只要函數(shù)實(shí)部接近1時(shí)不等于0也就夠了，這里就留了一個(gè)特殊的問題。這一類特殊的L函數(shù)，在log D的10個(gè)特征中，只取了三個(gè)可能值，或者是0或者是1或者是負(fù)1，這個(gè)函數(shù)實(shí)部接近1的時(shí)候，或者就是實(shí)零點(diǎn)，接近1的時(shí)候很難得到我們所要的結(jié)果。在接近1時(shí)，1減去一個(gè)常數(shù)除以Log D，如果D很大，你要證明他不等于0，現(xiàn)在遠(yuǎn)遠(yuǎn)做不到，但是現(xiàn)在如果可以證明存在零點(diǎn)，他最多只有一個(gè)，如果有的話，這就被稱為L(zhǎng)andau—Siegel零點(diǎn)。

因?yàn)檫@兩名數(shù)學(xué)家最早研究這個(gè)零點(diǎn)。我們只考慮D很大的時(shí)候，這個(gè)1減去這個(gè)東西實(shí)在是很接近1的事情，所以如果這個(gè)Landau—Siegel 零點(diǎn)真存在的話，廣義黎曼假設(shè)就錯(cuò)了，所以事實(shí)上，我們說的這個(gè)Landau—Siegel 零點(diǎn)問題就是證明這樣一個(gè)零點(diǎn)不存在。這里我插一段話，我沒有提到很著名的Siegel零點(diǎn)，但那個(gè)Siegel零點(diǎn)，就像張壽武教授講的數(shù)論不可算的問題一樣，Siegel定理本身是不可算的，本質(zhì)上是說了這一定范圍之內(nèi)，其實(shí)比這個(gè)要求還是要弱得多，在一定意義下，一定范圍之內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不可能有兩點(diǎn)，但沒有證明零點(diǎn)不存在。于是我們研究零點(diǎn)問題，我們希望能夠證明一個(gè)零點(diǎn)都不存在。

這個(gè)問題這里就順便提一下，類似非實(shí)特征，一大堆那些L函數(shù)，至少在這個(gè)意義上實(shí)部特別接近1的時(shí)候已經(jīng)解決了，不會(huì)等于0。但是實(shí)特征是實(shí)零點(diǎn)的情況，很接近1，這個(gè)現(xiàn)在還是open的，我們使用了所有的經(jīng)典辦法，前面跳過了不等式，但是用在這個(gè)問題上一點(diǎn)用都沒有，根本沒法解決。有一種說法，這個(gè)問題在數(shù)論中就是瓶頸，如果解決的話會(huì)帶來一連串推論，不僅是在解析方面，而且是在代數(shù)分論里會(huì)產(chǎn)生很大影響，可以說是一項(xiàng)革命。自從20世紀(jì)初有很多數(shù)論專家都想做這個(gè)問題但是沒有成功，這里不提這位數(shù)學(xué)家的名字了，他甚至預(yù)言Landau—Siegel 零點(diǎn)問題的解決比原黎曼ζ函數(shù)的猜想更難。

?陳景潤(rùn)一九六六年解析“哥德巴赫猜想”的論文手稿

在我們很多研究方面，因?yàn)槲覀儾恢浪降状嬖诓淮嬖?，于是?shù)論學(xué)家只好討論兩種情況，如果存在會(huì)得出什么結(jié)論，如果不存在會(huì)得出什么結(jié)論？這里順便提一下，我們知道陳景潤(rùn)1+2非常有名的，他的原始證明是一個(gè)不可算的東西，一個(gè)充分大的偶數(shù)能夠表成一個(gè)素?cái)?shù)和不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積集合，這是陳景潤(rùn)定理。在數(shù)學(xué)里頭就叫存在一個(gè)數(shù)X，大于等于X，就一定可以表示兩個(gè)素?cái)?shù)之和，這個(gè)X到底有多大，用陳景潤(rùn)原來的辦法算不出來了，因?yàn)樗玫絊iegel的定理，而那個(gè)Siegel定理可能有例外，但最多有一個(gè)例外，即便有一個(gè)例外也沒有關(guān)系，比這個(gè)例外更大還是一個(gè)素?cái)?shù)，不超過兩個(gè)素?cái)?shù)乘積之和，所以他算不出1+2。反而前幾年一個(gè)日本人才是把這個(gè)問題繞過去，現(xiàn)在能夠算出來的。另外我就說存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)之差，不超過多少，這里頭其實(shí)也有一個(gè)有效和無效性的問題，我原來那個(gè)證明嚴(yán)格講，實(shí)際上也有不可算問題在里頭。在我之前有一個(gè)英國(guó)數(shù)學(xué)家用另外一個(gè)辦法，如果一個(gè)零點(diǎn)存在的話，這也是對(duì)的，所以這個(gè)問題現(xiàn)在也算是解決了。

這是我們下面要講的，有一種說法，這個(gè)Siegel零點(diǎn)問題可以劃成兩個(gè)宇宙，第一個(gè)宇宙存在Siegel零點(diǎn)，第二個(gè)宇宙不存在Siegel零點(diǎn)，現(xiàn)在我們的問題是不知道我們到底生活在哪一個(gè)宇宙里。如果我們生活在第一個(gè)宇宙，那會(huì)出來什么樣的結(jié)果？如果在第二個(gè)宇宙里頭又會(huì)出來什么樣結(jié)果？那在下面我們可能要問，如果是一個(gè)零點(diǎn)真得存在，那也不得了，黎曼假設(shè)被證明是錯(cuò)的，在這個(gè)宇宙里頭到底會(huì)怎么樣？

這種情況下我們也會(huì)得到很多很多的推論，而且非常強(qiáng)，有些推論強(qiáng)得有點(diǎn)過頭了。像這種現(xiàn)象，就是基于下面這一個(gè)事實(shí)，就是ζ(2S)除以ζ(S)，它有一個(gè)簡(jiǎn)單零點(diǎn)是在S等于1的時(shí)候產(chǎn)生的，如果L的這個(gè)S也有一個(gè)零點(diǎn)，是在1這個(gè)地方，也就是Landau—Siegel 零點(diǎn)存在的話，這個(gè)東西和這個(gè)函數(shù)就非常像，而這個(gè)函數(shù)在別的地方會(huì)等于0，它會(huì)有極點(diǎn)，因?yàn)榉帜甘?，這個(gè)函數(shù)在全平面都是解析的，于是這個(gè)差別就會(huì)產(chǎn)生很多很多有意思的事情。如果他這一個(gè)函數(shù)為零點(diǎn)，那么在確定范圍里頭，甚至就說ζ(s)倒數(shù)反而沒有零點(diǎn)，所以一定范圍里頭原來黎曼假設(shè)反而是對(duì)的，他這里有一個(gè)壞零點(diǎn)靠近1，ζ(s)大于二分之一都沒有零點(diǎn)，原來黎曼假設(shè)可能都對(duì)了。

面列一連串推論，我們現(xiàn)在來給出一些例子，如果零點(diǎn)是存在的，其實(shí)那么多年我們夢(mèng)寐以求想做的是證明它不存在，它的第一假定是存在無窮多個(gè)零點(diǎn)，不過這也是在一定意義下Siegel零點(diǎn)才存在，這跟前面我說Siegel最多只有一個(gè)，意義、范圍、參數(shù)都不一樣，都有零點(diǎn)。那推論會(huì)是什么樣，孿生素?cái)?shù)猜想是對(duì)的，由此，這個(gè)可以推出孿生素?cái)?shù)。如果假定只有一個(gè)Siegel零點(diǎn)存在，那在對(duì)一堆L函數(shù)，對(duì)它們來講在一個(gè)區(qū)域里頭，連廣義黎曼假設(shè)都是對(duì)的，但是這都是要有條件的。

再回到Landau Siegel零點(diǎn)問題，如果說它可以推出一連串，某種意義上比原來黎曼假設(shè)更強(qiáng)的結(jié)果，我們希望能夠通過由這些更強(qiáng)的結(jié)果某種程度來講是過分強(qiáng)的結(jié)果，得出矛盾，而這矛盾是Landau-Siegel零點(diǎn)，某種意義下它確實(shí)是不存在的。這里我們剛才提到了有很多技巧可以用上，然后最后我介紹一下，因?yàn)槲以谶@方面有些嘗試，目前來看，應(yīng)該是有一些函數(shù)還是會(huì)很有意義的一些進(jìn)步。這個(gè)進(jìn)步弄到最后是什么樣，我就把Landau-Siegel零點(diǎn)，用他關(guān)系到的去估計(jì)一個(gè)離散的對(duì)零點(diǎn)的集合和對(duì)異族推理出來函數(shù)，這個(gè)sin是特征，cos是IOS的零點(diǎn)，就是說如果存在一個(gè)Landau-Siegel零點(diǎn)成立的話，我最后能夠得出這個(gè)不等式來，而這個(gè)不等式我不用說了，明顯是錯(cuò)的，于是這里就能夠出矛盾。從這個(gè)角度來講，我們由Landau Siegel零點(diǎn)的存在性，我們就得到了一個(gè)矛盾。目前來講，我能夠做一個(gè)報(bào)告，至少一個(gè)弱形式這個(gè)問題方面還是有可能做出來，但是整個(gè)technical的東西是非常非常復(fù)雜的。

我想我就先講到這兒，謝謝大家。

本文根據(jù)演講內(nèi)容整理而成，以視頻內(nèi)容為準(zhǔn)。

注：本文轉(zhuǎn)載自未來論壇。