81次獲提名,諾獎界無冕之王攪動流體江湖風(fēng)云(上)
?阿諾德·索末菲 (1868-1951)
撰文 | 潘玉林(麻省理工學(xué)院機(jī)械系博士生)
責(zé)編 | 呂浩然
● ● ●
阿諾德·索末菲 (Arnold Sommerfeld), 德國理論物理學(xué)家,量子力學(xué)與原子物理學(xué)開山始祖之一。提起這個名字,我們的思緒難免會回溯到一個世紀(jì)前那場波瀾壯闊的量子革命。在那段星光璀璨的歲月里,索末菲的慕尼黑學(xué)派與尼爾斯·玻爾 (Niels Bohr) 的哥本哈根學(xué)派以及馬克思·波恩 (Max Born) 的哥廷根學(xué)派交相輝映,共同譜寫了現(xiàn)代物理學(xué)最激動人心的篇章。在索末菲的眾多弟子中,走出了五位諾貝爾獎獲得者,其中包括了沃爾夫?qū)づ堇?span style="color: rgb(136, 136, 136);">(Wolfgang Pauli) 和維爾納·海森堡 (Werner Heisenberg) 等開宗立派的大師。而他本人則被提名了八十一次之多,可謂諾獎界的無冕之王。
相比于在量子力學(xué)上全明星式的表現(xiàn),索末菲學(xué)派在其他經(jīng)典物理領(lǐng)域的貢獻(xiàn)無疑顯得微不足道。然而,我們今天要講的,正是索末菲學(xué)派與一門經(jīng)典學(xué)科之間的淵源與糾葛。世人皆驚嘆于大師們在虛幻鬼魅的量子世界中天馬行空的想象和洞若觀火的解析,卻未必知道,曾有這樣一個經(jīng)典力學(xué)的問題,困擾了整個學(xué)派數(shù)十年之久,窮兩代人之力,亦無法給出一個滿意的解答。在索末菲學(xué)派的鼎盛時期,這個問題讓眾多英才們?nèi)珲喸诤?,心結(jié)難解。
這門學(xué)科,叫做流體力學(xué);而這個問題,則是平行流動中的湍流觸發(fā)機(jī)制。
故事要從奧斯鮑恩·雷諾 (Osborne Reynolds) 那次著名的實驗講起。1883年,雷諾在管流實驗中發(fā)現(xiàn),管道中流體的流動可以呈現(xiàn)兩種截然不同的流態(tài)。當(dāng)流速較低時,流體質(zhì)點的軌跡線互相平行,互不摻雜,呈現(xiàn)層狀流動的狀態(tài)。當(dāng)流速高于一個特定臨界值時,流體質(zhì)點的軌跡線開始變得紊亂,不規(guī)則的側(cè)向脈動,流場中的漩渦也相伴出現(xiàn)。前者被稱為層流,后者被稱為湍流??墒?,湍流為什么以及何時會產(chǎn)生?現(xiàn)象背后的機(jī)理究竟是什么?這個問題,雷諾卻百思不得其解。
十余年間,無人理出任何頭緒。
索末菲對這一問題的研究始于1900年。這一年,索末菲32歲,已是亞琛工業(yè)大學(xué)的教授。在之前的人生中,他受到過費迪南德·林德曼 (Ferdinand Lindemann)、大衛(wèi)·希爾伯特(David Hilbert)、埃米爾·維舍特 (Emil Wiechert) 和菲利克斯·克萊因 (Felix Klein) 等數(shù)學(xué)、物理大師的栽培和點撥;此時的他,身兼數(shù)派,底蘊(yùn)渾厚;六年之后,他將接任慕尼黑大學(xué)理論物理系的掌門人,在那里建立他的索末菲學(xué)派,名震江湖,睥睨天下。
索末菲一定沒有忘記幾年前在哥廷根跟隨克萊因教授勤修苦練的那段日子。那時他人生的最大樂趣就是在數(shù)學(xué)閱覽室里潛心研習(xí)克萊因的數(shù)學(xué)講義。索末菲清楚地記得,在克萊因談到雷諾的實驗時,寫下了這樣一段話:“可以試圖這樣解釋湍流模態(tài)的發(fā)生:當(dāng)流速高于一個臨界值時,層流的平行流動是一種不穩(wěn)定的狀態(tài)。這個不穩(wěn)定性發(fā)生的原因卻是不清楚的?!?span style="color: rgb(136, 136, 136);">(“An explanation for the emergence of turbulent motions in the pipe is sought by saying: Beyond a critical speed the flow in parallel streaks is an ‘instable’ form of motion. Why the instability occurs, is unknown.”)
克萊因認(rèn)為,湍流的發(fā)生機(jī)理可以轉(zhuǎn)化為一個穩(wěn)定性分析問題。當(dāng)管流流速高于臨界值時,層流變成了一種不穩(wěn)定的狀態(tài),一個微小的擾動就足以將規(guī)則的層流破壞殆盡,使流場進(jìn)入紊亂的狀態(tài)。這正如常人站在鋼絲之上,有一點風(fēng)吹草動就會失去平衡。然而,如何從數(shù)學(xué)上描述這種不穩(wěn)定狀態(tài)呢?
在索末菲思考這個問題的過程中,他有一個堅定的伙伴——亨德里克·洛倫茲 (Hendrik Lorentz)。此人可謂是當(dāng)時物理學(xué)界的全才,他推導(dǎo)的洛倫茲變換后來成為了阿爾伯特·愛因斯坦 (Albert Einstein) 狹義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),他本人也因?qū)θ?yīng)的解釋于1902年獲得諾貝爾獎。索末菲最初的想法正是始于洛倫茲在1897年發(fā)表的一篇文章。文章中,洛倫茲推導(dǎo)了在層流場中疊加一個小擾動后流場能量的變化,索末菲循著這一思路展開了自己的研究。然而,他很快便發(fā)現(xiàn)這種方法走入了死胡同。
索末菲在他寄給洛倫茲的信中苦惱地訴說了這一境況,并在隨后的1903年的一次公眾演說中談到:“這似乎意味著理論流體力學(xué)體系在解決實際問題時的失效。至今仍然沒有一種精確的理論方法可以計算出這個臨界速度以及流速超過臨界值時的壓力梯度。”(“It seems that theoretical hydrodynamics would have to declare itself bankrupt in view of the practical problems of hydraulics. Still there is no precise theoretical method to determine the critical velocity and the pressure gradient beyond the critical velocity.”)
失望之余,索末菲的思考并沒有停止。物理學(xué)的研究總是在山重水復(fù)中峰回路轉(zhuǎn),曲徑通幽。1906年,當(dāng)索末菲讀到一篇關(guān)于板殼變形失穩(wěn)的文章時,意識到類似的方法或許適用于那個一直困擾自己的問題。于是,他開始著手建立這種經(jīng)典的微擾動理論運用于平行流動穩(wěn)定性時的數(shù)學(xué)模型。然而,這一次他發(fā)現(xiàn),雖然建立了方程,卻無法找到方程的解。數(shù)月之后,在給洛倫茲的信中,他再次提到:“可惜在解決流體力學(xué)臨界速度這個問題上我仍然一無所獲。”(“Unfortunately I still could not make progress with the problem to determine the critical velocity in hydrodynamics.”)
盡管身兼當(dāng)世數(shù)位數(shù)學(xué)大師之長,但在接下來的兩年里,索末菲面對這個方程仍然一籌莫展。此時,年過不惑的索末菲體力漸衰,已有心余力絀之感。但是他決定,為這個問題再做一次努力。這一次,他決定集江湖各派之力。
于是,索末菲將他近十年來對流動穩(wěn)定性問題的思考寫入了一篇文章,寄往在羅馬召開的第四屆國際數(shù)學(xué)大會。這篇文章以對雷諾的致敬開篇:
“假設(shè)ρ為流體密度,μ為流體粘性,U為通過流動橫截面的平均流速,b為管道直徑,那么R=ρUb/μ則是一個無量綱的純數(shù)字,我們稱之為雷諾數(shù)?!?span style="color: rgb(136, 136, 136);">(“If ρ is the density, μ the viscosity of the fluid, U the mean velocity in a cross section, and b the diameter of the pipe, then R=ρUb/μ is a pure number which we will call the Reynolds number.”)
今世的各位流體力學(xué)家們大概不知道,整個流體力學(xué)中最重要的無量綱數(shù)——雷諾數(shù)(Reynolds number)正是在這篇文章中第一次得以命名。后來的研究發(fā)現(xiàn),正是這個由管流密度、粘性、速度和直徑組合得出的無量綱數(shù)的大小,決定了流動的狀態(tài)。與其說存在一個臨界速度,更準(zhǔn)確的說法應(yīng)是存在一個臨界雷諾數(shù)Rc,當(dāng)R>Rc時流動便由穩(wěn)定轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定,層流轉(zhuǎn)為湍流。
索末菲繼續(xù)寫道:“我們運用經(jīng)典的小擾動方法來解決這個問題,但我們的方法與洛倫茲所用的完全不同?!?span style="color: rgb(136, 136, 136);">(“It is this problem on which we will focus here, but by a method that is entirely different from that of Lorentz, namely the classical method of small oscillations.”) 接下來,索末菲寫下了那個集自己數(shù)年之力想出的奧爾-索末菲 (Orr-Sommerfeld) 方程:
這個方程是在流體力學(xué)基本方程納維葉-斯托克斯 (Navier-Stokes) 方程上疊加微小擾動后線性化所得到的,描述的是在已知的層流速度剖面U(y)上疊加振幅為Φ(y)的微小擾動后,擾動隨時間的變化。如果對于某一特定的雷諾數(shù),任意擾動都隨時間衰減,那么這個流動就是穩(wěn)定的。反之則流動是不穩(wěn)定的。
而在數(shù)學(xué)上,要表達(dá)上述物理描述,僅需兩步:(1)找到微分方程的解Φ(y);(2)根據(jù)邊界條件下解的存在性條件列出特征方程,從中找到擾動隨時間的變化規(guī)律,以及臨界雷諾數(shù)Rc。
寥寥數(shù)語,天下無人能解。索末菲可能也不會想到,自己寫下的這個方程,將會在接下來的數(shù)十年里困擾著自己的學(xué)派,乃至整個數(shù)學(xué)和物理界。
當(dāng)然,我們現(xiàn)在這么說是有失偏頗的。當(dāng)時的索末菲,思路遠(yuǎn)沒有這么清晰,甚至對這個方程式是否可以有效的描述湍流的發(fā)生,也沒有十足把握。正如今天連中學(xué)生都熟知的“牛頓三定律”,也是三百年前經(jīng)過幾代人的思考和提煉才得出的。
就在這次羅馬會議的兩個月后,索末菲對自己的方程深感無力,在給同事的一封信中,他寫道:“我已經(jīng)被湍流問題折磨的心力交瘁,幾乎將我所有的時間都獻(xiàn)給了這個問題,但我始終無法解決它?!?span style="color: rgb(136, 136, 136);">(“I have tortured myself continually with the turbulence problem and spent almost all of my time with it, but I could not accomplish it.”)
索末菲個人的挑戰(zhàn),宣告失敗。
天下風(fēng)云出我輩,一入江湖歲月催。欲知后事如何,且聽下回分解。
本文首發(fā)于《MIT科研范》,《知識分子》獲得作者授權(quán)刊發(fā),內(nèi)容略作編輯。
作者簡介:
潘玉林,MIT機(jī)械系博士生,在Vortical Flow Research Lab從事流體力學(xué)方面的研究工作。研究領(lǐng)域包括理論與計算流體力學(xué),非線性波浪力學(xué),弱湍流理論,螺旋槳與機(jī)翼理論。