流體江湖風(fēng)云錄——東邪柯爾莫哥洛夫 （一）
? 安德雷·柯爾莫哥洛夫 (1903-1987)，來源：gozips.uakron.edu
編者按：
桃花影落飛神劍，碧海潮生按玉簫。
東邪黃藥師，天下五絕之一，武功超凡脫俗，已臻化境。他聰明絕頂，博覽群書，兼學(xué)百家，志趣深遠。上通天文，下知地理，五行八卦、奇門遁甲、琴棋書畫、醫(yī)卜命相、術(shù)數(shù)縱橫，乃至農(nóng)田水利、經(jīng)濟兵略等亦無一不曉，無一不精。他薄湯武，非周孔，漠視禮法卻珍視大節(jié)，恃才傲物卻難掩溫情。他獨居?xùn)|海孤島，不問世事，快意瀟灑，卻在南宋江山岌岌可危之際，義助襄陽，主持戰(zhàn)局。此等人物，雖有沽名之嫌，遷怒之過，仍不得不為我輩所神往也。
而在流體力學(xué)發(fā)展的長河中，也曾有過這樣一位全才大師，以神來之筆在現(xiàn)代湍流發(fā)展史上寫下了濃墨重彩的一章。此人之才情，比之黃老邪亦有過之而無不及。他便是蘇聯(lián)數(shù)學(xué)大師安德雷·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov），“柯老邪”是也。
作者 | 潘玉林（麻省理工學(xué)院機械系博士生）
責(zé)編 | 呂浩然
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“老邪”二字，或有調(diào)侃，絕無不敬。
柯老邪在數(shù)學(xué)上的造詣，當世只有亨利·龐加萊（Jules Henri Poincaré）、大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）、約翰·馮·諾依曼（John von Neuman）等寥寥數(shù)人可與比肩。而其研究之精深、領(lǐng)域之廣博、構(gòu)思之絕妙，或無一人可出其右。他理論與應(yīng)用雙修，學(xué)識紛繁龐雜，遍及概率論，實分析，泛函分析，拓撲學(xué)，構(gòu)造性邏輯學(xué)，算法信息論，湍流，經(jīng)典力學(xué)，動力系統(tǒng)，遺傳學(xué)，氣象學(xué)，彈道學(xué)，金屬結(jié)晶學(xué)等領(lǐng)域，凡有涉足，必有所創(chuàng)，其中不乏眾多奠基性的成果。更兼他文理皆通，對歷史，哲學(xué)，語言學(xué)，俄國詩歌韻律學(xué)等諸多學(xué)科都有著系統(tǒng)的研究和獨特的見解。作為戰(zhàn)斗民族的一員，他甚至在體魄和運動上也天賦過人——曾完成40公里著短褲越野滑雪的壯舉。
? 柯爾莫哥洛夫遠足于高加索山
柯老邪平生所學(xué)，實在浩如煙海，比之黃老邪亦不遑多讓。而其作風(fēng)品性，更為難能可貴?？吕闲靶惺?，堅毅果決，揮毫灑脫。雖無黃老邪之怪誕乖張，卻存魏晉之遺風(fēng)，攜漢唐之豪俠，具田園之逸氣。在斯大林的高壓治下，他醉心學(xué)術(shù)，潛心教育，不問黨政。而當?shù)萝姳R城下，存亡危機之時，他毅然轉(zhuǎn)入彈道學(xué)及火炮自動控制的統(tǒng)計學(xué)研究，使萬千蘇聯(lián)軍民受益良多。在對外交流封閉的歲月里，他與眾弟子嘯聚東方蘇俄，鼎足美歐學(xué)派，基礎(chǔ)研究帶來的工業(yè)騰飛讓西方不敢小覷，世人為之動容。而當他的著述最終為西方所了解之后，眾學(xué)派紛紛為之震驚。1963年在第比利斯召開的概率統(tǒng)計會議上，來自美國的統(tǒng)計學(xué)家雅各布·沃爾夫維茨（Jacob Wolfowitz）甚至發(fā)出這樣的疑問：“我來蘇聯(lián)的一個特別的目的是確定柯爾莫哥洛夫到底是一個人，還是一個研究機構(gòu)?！?/span>
柯老邪之成就，實難備述，而在湍流上的貢獻，也的確只算得上冰山一隅。如果我們只談湍流，未免顯得格局狹小，且不妨從柯老邪的少年軼事說起吧。
聲名鵲起
柯老邪1903年出生于莫斯科東南的小鎮(zhèn)坦波夫。盡管他的數(shù)學(xué)天賦從童年時便顯露無遺，但他卻一直對俄國歷史頗為著迷。自1920年入莫斯科大學(xué)以來，他除了研習(xí)數(shù)學(xué)，還積極參與到歷史學(xué)教授巴克盧辛·維拉蒂米洛維奇（Bakhrushin Vladimirovich）所組織的歷史學(xué)研討會當中。很快，柯老邪便完成了人生中第一篇歷史學(xué)論文，并將其交給了巴克盧辛。此文以“15世紀諾夫哥洛德地區(qū)的財產(chǎn)管理（The landholding in the Novgorod in the 15th century）”為題，開創(chuàng)性地將數(shù)學(xué)統(tǒng)計的方法引入到了歷史學(xué)研究中。巴克盧辛讀后連連稱奇，但從其歷史學(xué)究的角度，他說出了如下論斷：
“你為你的論文提供了一種證明，在你所研究的數(shù)學(xué)上這也許足夠了，但我們歷史學(xué)家則需要至少十種證明。（You have supplied one proof of your thesis, and in the mathematics that you study this would perhaps suffice, but we historians prefer to have at least ten proofs.）”
柯老邪少年意氣，豈容他人置喙。正如他自己所說，“我從此決定進入科學(xué)領(lǐng)域，一個證明足以得到最終結(jié)論。（I have decided to go into science, in which for a final conclusion one proof is sufficient.）” 歷史學(xué)界或許因此失去了一位天才學(xué)者，但數(shù)學(xué)界卻得到了這位震古爍今的全才大師。
在柯老邪之后成就斐然的人生中，他數(shù)次對自己未能在歷史學(xué)上有所建樹深表遺憾，但事實卻并非如此。在他辭世一年之后，俄國著名歷史學(xué)家瓦倫丁·亞寧（Valentin Yanin）從柯老邪的手稿中發(fā)掘出了這篇關(guān)于俄國中世紀歷史的遺世之作。直至此時，這篇將統(tǒng)計方法應(yīng)用于這一歷史領(lǐng)域的開先河之作才得到歷史學(xué)界的重視。亞寧教授在評述中寫道：“作為其研究方法的基礎(chǔ)，作者提出了概率理論的應(yīng)用，這一方法從未被運用到諾夫哥洛德地區(qū)財產(chǎn)注冊的研究上，而且直至今日也未被廣泛采納。歷史學(xué)界的這一遺憾正是源于學(xué)者們對柯爾莫哥洛夫七十年前這篇論文的忽視。（As a basis for the method, the author put forward the theory of probability, which had not been applied to Novgorod land-registers before and is unfortunately not so applied now due to the ignorance of researchers on the subject of Kolmogorov's work of almost seventy years ago.）” 在亞寧教授的主持下，柯老邪的這篇文章也在三年后正式發(fā)表，終成經(jīng)典。
在此等神跡面前我們只能望洋興嘆。皓月之光，豈螢火所能爭輝？
讓我們把時間軸退回到1929年。時光如梭，柯老邪在莫斯科大學(xué)已歷十年寒暑。他師從數(shù)學(xué)分析學(xué)大師尼古拉·盧津（Nikolai Luzin），盡得其所傳。他根基深厚又興趣廣博，循序漸進又觸類旁通。值此藝成畢業(yè)之際，柯老邪任督二脈豁然貫通，已隱隱顯出一代宗師之風(fēng)范。
此時的蘇聯(lián)，盡管斯大林的獨裁統(tǒng)治已初見端倪，但與西歐的關(guān)系還未向后來那般劍拔弩張。柯老邪也得以在1930年訪學(xué)德法。在哥廷根與巴黎高師的校園里，柯老邪與理查德·庫倫（Richard Courant）研討極限理論，與赫爾曼· 外爾（Hermann Weyl）論道構(gòu)造邏輯，與亨利·勒貝格（Henri Lebesgue）切磋積分分析。一年之間，柯老邪功力日盛，學(xué)貫東西，已漸入無往不利之境界。閑暇時，他徜徉于巴黎塞納河畔，流連于阿爾卑斯山間，仰望浮云，俯視流水，在陽光的沐浴下繼續(xù)著對數(shù)學(xué)理論的思考。
量子論說：世間萬物是概率性的?？吕闲芭c自然的親密接觸或許也促成了他對于概率理論的思考。從中世紀開始，以歐洲職業(yè)賭徒為契機，概率論的研究逐漸開始被數(shù)學(xué)界所關(guān)注。幾個世紀以來，包括高斯，拉普拉斯，伯努利等數(shù)位大師為其添枝加葉，陸續(xù)注入著新鮮的血液。然而，由于概率論尚未形成一個理論上的公理體系，這些零星的火種猶如無本之木；貝朗特悖論橫行一時，概率論也始終徘徊在主流數(shù)學(xué)殿堂之外。
1931年，柯老邪返回蘇聯(lián)，受聘莫斯科大學(xué)教授。在之后的兩年里，他對概率論理解日深，終于悟出以測度為基礎(chǔ)的嚴格公理體系。他以“概率論基礎(chǔ) （Foundations of the Theory of Probability）”為題著書立說，一經(jīng)問世便得到天下公認，為現(xiàn)代概率論的發(fā)展打下了堅實的基礎(chǔ)。
? “概率論基礎(chǔ)”1956年英譯版
柯老邪之于概率論，正如牛頓之于經(jīng)典力學(xué)，三豐之于太極神功，承先啟后，繼往開來。
在柯老邪的書中，他對一個隨機過程x(t)進行了嚴格定義和系統(tǒng)研究，并將其推廣到t為多維變量時的隨機場情況。數(shù)學(xué)理論既已完備，為其尋找物理應(yīng)用便成為了柯老邪新的目標。如果說對于隨機過程的應(yīng)用帶來了柯老邪在布朗運動上的深刻理解，那么湍流場則是隨機場理論練兵的不二之選，而這也正是柯老邪進軍湍流領(lǐng)域的初衷。
未解之謎
湍者，急且亂也。
自從奧斯鮑恩·雷諾（Osborne Reynolds）于1883年在管流實驗中觀察到湍流（請參見索末菲學(xué)派那些事兒上部）以來，眾多數(shù)學(xué)物理大師開始試圖從理論上理解這種現(xiàn)象背后的規(guī)律。然而，湍流猶如物理界的一座堅城壁壘，任眾學(xué)派船堅炮利，亦無法動其根基。洛倫茲，索末菲折戟沉沙，海森堡，馮諾依曼舉步維艱。直至今日，湍流的理論體系仍尚未完成，正如美國著名物理學(xué)家理查德·費曼（Richard Feynman）所說：湍流，是“經(jīng)典物理最后的未解之謎（the most important unsolved problem of classical physics）”。
? 理查德·費曼 (1918-1988)
然而，雷諾的實驗結(jié)果是如此的無可辯駁，湍流現(xiàn)象也在自然界中隨處可見?；蚬艿懒鲃樱蛭矬w繞流，或憑虛御風(fēng)，或潮起浪涌，或星沉軌動，湍流無處不在地雕刻著自己的印記。在這些錯綜復(fù)雜，渦旋叢生的流場中，流體質(zhì)點的運動猶如鬼魅，它們無跡可循，不可預(yù)測，無法重復(fù)，牽一發(fā)而動全身。在這些看似雜亂無章的運動的背后，是否存在一些普遍適用的物理規(guī)律？這正是湍流研究的核心問題。
? 雜亂無章的運動背后所涉及的湍流問題
湍流問題的本質(zhì)是物理的，也是數(shù)學(xué)的。眾學(xué)派始終相信，湍流的解答可以從流體力學(xué)基本方程納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes Equation）中找到。如果一位數(shù)學(xué)天才可以找到此方程在任意邊界條件下的解析解，湍流問題或許會迎刃而解。然而時至今日，納維-斯托克斯方程解析解的相關(guān)問題仍然作為克雷數(shù)學(xué)研究所的七大千禧年問題之一懸而未決。
此路不通，眾學(xué)派只能另覓他徑。由于流場中單個質(zhì)點運動的不確定性，所謂的普適物理規(guī)律只能從概率統(tǒng)計學(xué)意義上來尋找?？吕闲帮@然也很早便認識到了這一點。在他1985年出版的專著“數(shù)學(xué)與力學(xué)（Mathematics and Mechanics）”中，柯老邪回憶道：“我在三十年代后期興趣轉(zhuǎn)入了液體與氣體的湍流研究。從研究伊始我便意識到此領(lǐng)域的主要數(shù)學(xué)工具是有多個變量的隨機函數(shù)（即隨機場）理論，而這在當時也剛剛被建立起來。（I took an interest in the study of turbulent flows of liquids and gases in the late thirties. It was clear to me from the very beginning that the main mathematical instrument in this study must be the theory of random functions of several variables (random fields) which had only then originated.）”
隨機場，這正是概率理論的用武之地。而此時的柯老邪，在概率論上的造詣已獨步天下，不做第二人想。
本文首發(fā)于《MIT科研范》，《知識分子》獲得作者授權(quán)刊發(fā)，內(nèi)容略作編輯。
作者簡介：
潘玉林，MIT機械系博士生，在Vortical Flow Research Lab從事流體力學(xué)方面的研究工作。研究領(lǐng)域包括理論與計算流體力學(xué)，非線性波浪力學(xué)，弱湍流理論，螺旋槳與機翼理論。
