楊振寧對西南聯(lián)大的新回憶
楊振寧先生，圖源：casad.cas.cn
撰文 | 楊振寧 施郁
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楊振寧：我在不同的地方，在不同的文章里，講我在西南聯(lián)大的學習的經(jīng)歷?？墒瞧渲杏袃蓚€人對我有很大的影響，過去沒有特別講。
在西南聯(lián)大，當然, 吳大猷先生引導我到對稱性這個領域，王竹溪先生引導我到統(tǒng)計力學。我當然念過很多課，多半對我沒有多大的真正的影響。可是有兩位對我特別有重要影響的老師。
一個是叫做許寶騄。你知道這個人嗎？
施郁：數(shù)學家，研究數(shù)理統(tǒng)計。
楊振寧：數(shù)理統(tǒng)計。他的姐姐是俞平伯的夫人，而俞平伯是俞樾的曾孫 [注1]。俞樾是清朝末年的時候的大文學家。你如果到蘇州，可以看到 “夜半鐘聲到客船” 幾個字，那就是他寫的。俞平伯是清華的教授，我很認識，他的兒子跟女兒都跟我在小學同學。
這個許寶騄呢 [注2]，他的年紀是跟陳省身先生差不多，就是比我大十歲的樣子，然后他到英國去，那個時候是數(shù)理統(tǒng)計剛剛開始的時候，他在那邊學得非常成功，所以他回到西南聯(lián)大的時候，西南聯(lián)大數(shù)學系就有三個非常杰出、后來都有大成就的數(shù)學家，就是華羅庚、陳省身跟許寶騄，所以那個時候大家就知道了，他們?nèi)齻€人是世界級的。
他開了這個數(shù)理統(tǒng)計的課，我沒有選，我去旁聽。這個旁聽對我有很大的作用。為什么呢？因為我記得，他第一學期頭一半呢，等于是講矩陣理論，他的這個矩陣理論講得非常之正式，而且他這個講法就是：命題，證明；命題，證明。就是寫得非常清楚。而且他的命題常常是包羅很多東西的，比如說是對角化，比如說是一個矩陣，它的本征值，厄密的矩陣, 有本征值；不厄密的矩陣,有本征值。厄密的矩陣能夠?qū)腔?，不厄密的矩陣能不能對角化，這些他都講得非常詳細 [注3]。所以這個半學期，我對這個矩陣理論，透徹理解了。
這個對于后來念狄拉克的書 [注4]，有極大的幫助，因為狄拉克的書等于就是用這個左矢跟右矢的記號，把那里頭表達出來。這個對于我后來理解量子力學，還有理解希爾伯特空間,有非常大的影響，而且呢，他所講的這個矩陣理論是很深,遠比我們平常念量子力學所需要的更深，所以這個對我有很大的幫助。
然后這一學期的第二部分是測度論，關于集合論，測度論，還有勒貝格積分這些東西呢，學得很多。我當時對這個領域很發(fā)生興趣，不過后來沒有走進這個領域。所以事實上呢，我只是旁聽了一學期，后來我不曉得為什么沒有再旁聽下去。是不是他后來離開了，我現(xiàn)在不記得了。所以事實上我從他那里是學到了兩個領域，而且都學得很透徹，測度論跟這個矩陣理論?？墒钦嬲龑τ跀?shù)理統(tǒng)計，他還沒講到呢。我后來就沒再聽下去了，所以我沒有走進數(shù)理統(tǒng)計。
后來抗戰(zhàn)勝利了以后呢，他到美國去，在北卡羅萊納大學確立了一個系，那個系今天還在，而且今天大家都還公認北卡羅萊納那個數(shù)理統(tǒng)計系是美國數(shù)理統(tǒng)計這個領域里頭重要的中心之一，所以他在這個領域里頭很有地位，我不知道有沒有人寫過一本他的傳。他是沒有問題在那個領域，我想在20世紀，假如你要講四五個最重要的早年的數(shù)理統(tǒng)計的帶頭人，他就是其中的一個。比如說，后來在石溪 [注5] 有一個非常有名的數(shù)理統(tǒng)計的教授，我問起他來，他說：“哦，這個許寶騄是我們開山的祖師。”
施郁：您以前提過西南聯(lián)大學生張景昭。她后來在北大任教 [注6]，與許寶騄鄰居。
楊振寧：關于張景昭與許寶騄特殊關系的流言是誣陷。
楊振寧：另外一個對我有非常大影響的是馬仕俊。在我的論文選集 [注7] 里頭有張照片，你看見過是吧？
施郁：對，而且您和李政道寫過一個他的訃告，收入了那本論文選集。
楊振寧：對。我的場論就是跟馬先生念的。而且馬先生是非常透徹。
我記得很清楚，場論在1930年前后很混亂。為什么緣故呢？因為一方面有這個巴爾默譜線系，有氫原子。這個氫原子是怎么做出來的呢？是先有一個庫倫場，在這庫倫場里頭就算出來本征值，所以就有巴爾默譜線系，這跟實驗符合了。下一步，你怎么算這個躍遷幅呢？這就用對應原理，可是這種辦法怎么跟動力學理論聯(lián)在一起呢？這個當時是非?；靵y，其中最重要的一個混亂的原因呢，就是因為你用正則理論把這個拉格朗日量要去量子化的時候,出了一個問題，就是φ，就是規(guī)范勢A的標量分量，就是A0。A還有個矢量分量。這個東西沒有正則共軛。沒有正則共軛，所以陣法大亂。我還記得很清楚，海森堡跟泡利寫了一系列非常復雜的很長的文章。我還花了很久的時候去念了，念了以后，還不得要領。
這個問題的解決的人呢，是費米。
而費米的解決方案，我的印象，在戰(zhàn)后我做研究生的時候呢，多半的教這個課的人，以及我同輩的研究生呢，都沒有學到。可是我在西南聯(lián)大的時候，馬先生就講了，而且教得很清楚。所以我到芝加哥大學的時候呢，對于量子電動力學怎么從拉格朗日量開始，變成哈密頓量，通過費米這個辦法呢，知道得很清楚，這個完全是我從馬先生那學到的。
馬先生呢，為什么在抗戰(zhàn)的期間，抗戰(zhàn)初期了解這個理論？因為馬先生大概是1940年左右從英國回來的。
這個費米的理論，我記得很清楚，烏侖貝克曾經(jīng)跟我講，他說，在1930年附近，沒有人真正懂量子電動力學，直到費米理論的文章出來。費米的文章最重要的就是它把這個A0告訴你怎么消除，消除以后就出了庫倫場。這個拉格朗日形式里頭，一開始，沒有庫倫作用，可是后來出來的時候呢，要出庫倫作用，這個就是費米的貢獻。費米對于這貢獻呢，也非常驕傲。所以我在芝加哥大學念書的時候呢，他就曾經(jīng)把這介紹給他的學生。那么這點呢，我是從馬先生那兒學到。
所以我從馬先生那兒學到的東西達到了當時場論最前沿。還不止這個，因為它這個非常系統(tǒng)化，某種意義上，他的這個講義也跟許寶騄有類似的地方，就是非常詳細，可是都是表述成清清楚楚的定理。
我記得非常清楚，另外一個從他那兒學到的，很清楚的，就是這個狄拉克方程。
在討論狄拉克方程是相對論不變的時候，馬先生講得非常清楚，而且使得我對于反對易厄密算符，α跟β，知道得很清楚，而且不止是四個。我不記得是馬先生講的，還是一個練習，或是我自己去做過，總而言之，我就弄得非常清楚，隨便多少個這種反對易的厄密矩陣的表示，懂得很清楚。
楊振寧：這個對我有什么決定性的影響呢？就是后來我講的，Luttinger（洛廷格）告訴我Onsager（翁薩格）和考夫曼Kauffman（考夫曼）那個解，我立刻就懂了，因為當初那個數(shù)學的根底已經(jīng)弄好了，所以一下子就對上去了 [注8]。
所以我昨天晚上想了想。我想，假如要問我，我在西南聯(lián)大所學到的東西，哪幾個人對我影響最大。那我想，就是我以前講過的，是吳先生跟王先生，還有當然是我跟黃昆、跟張守廉的討論，不過另外我想特別就是要講他們兩個。別人的課聽過很多，都沒有什么特別對我有什么影響。
楊振寧：那個時候呢，我還記得，因為中國的傳統(tǒng)對于數(shù)學很崇拜，所以，我記得，我有一個夏天就決定，我要仔細研究一本這么厚的一個英國書，叫做《現(xiàn)代分析》，我覺得是Whittaker（惠特克）和Watson（沃森）寫的 [注9]，那個就是把古典的貝塞爾函數(shù),勒讓德函數(shù),伽馬函數(shù),雅可比函數(shù),講得非常透徹，而且有很多的練習。我記得那一個暑假，我就下了決心，把那書仔細給念了一遍。我想，我的數(shù)學的背景就是受到那個影響。
施郁：您1952年關于伊辛模型的文章用了很多雅可比函數(shù)吧？
楊振寧：對，那個用了很多橢圓函數(shù)，就從這個《現(xiàn)代分析》書里頭學到的。
施郁：戴森稱您這篇文章為 “雅可比橢圓函數(shù)理論的大師式練習”。
楊振寧：那個時候，在30年代底，40年代的時候，美國的學術(shù)遠不能跟歐洲比，所以當時我們所用的這個比較高等的書都是英國來的。比如說統(tǒng)計力學，就是幾本這么厚的書，是Fowler（富勒）[注10]，還有富勒和Guggenheim（古根海姆）[注11]。
數(shù)學，大家都看這本《現(xiàn)代分析》。這個我想你到圖書館去，也一定還有?，F(xiàn)在沒有人念那些書了。
相反地，美國人寫的這個書呢，都比較淺，比如說，我的大一的微積分是姜立夫先生教的，用的那是Osgood（奧斯古德）[注12]。奧斯古德是哈佛的一個教授，奧斯古德的那個微積分的水平呢，就是很淺。
像電學，就是大二的電學呢，是吳有訓先生教的，我們用的教科書是Page（佩奇） 和 Adams（亞當斯）[注13]，這又典型地是美國的這種教科書，可是佩奇和亞當斯這個就不能跟金斯的比。金斯有一本 [注14]。
英國的那個傳統(tǒng)啊，現(xiàn)在中國也不用了，中國后來都沿用美國的。
施郁：1949年以后先用了很多俄國的書，后來又用很多美國的。
楊振寧：對。在西南聯(lián)大的時候，可以這樣講，在本科生時候做的東西是從美國來的，研究生期間呢，是從英國來的。那個時候，像王先生、馬仕俊他們都是英國留學回來的。
施郁：是不是本科生用美國教科書是因為那些老師，像吳有訓，是從美國回來？
楊振寧：對，不過當時美國人不大寫高等的教科書，因為到底英國比美國早。西南聯(lián)大時候，跟我同時做研究生的，還有一位叫做顧震潮，后來他在國內(nèi)的氣象學上，是我這個年紀的人里頭最最重要的一位 [注15]。他后來大概是病死掉了。你如果去問氣象學的人，他們都知道他是非常重要。
施郁：但是您念過您父親的老師狄克遜那個書，那是美國的。
楊振寧：對。事實上，美國在這個20世紀初年，數(shù)學其實才剛剛開始。它的數(shù)論最重要的人就是狄克遜，也可以說是他是代數(shù)數(shù)論的最后的大師，他寫了這么厚的一本書，等于是數(shù)論歷史 [注16]，這個書你可以翻翻看，因為就是把我父親所做的那一類的數(shù)論都放在里頭了。恰巧就是到了狄克遜晚年，就是1930年附近的時候，這個領域做不下去了，而解析數(shù)論開始了。它的這個領域的中心就跑到英國去了。
施郁：您第一篇論文 [注17] 感謝了一位老師，那位后來在南京大學的數(shù)學教授。
楊振寧：曾遠榮。
施郁：您覺得那個反而影響不是很大？
楊振寧：那個沒有什么，那個等于是，我猜想，像是做了一個練習。那個是我念高等微積分，大一念的微積分，大二念的是高等微積分，高等微積分是曾遠榮先生教的，他教了以后呢，我現(xiàn)在模糊記得是做練習的時候，我寫了這么一個東西，好多年以后他跟我說，應該寄出去發(fā)表，發(fā)表在一個不重要的雜志，好像叫做美國……
施郁：美國數(shù)學會會刊，現(xiàn)在網(wǎng)上能找到，那天我就找出來了。
楊振寧：它居然發(fā)表了，不過我當時就知道，這并沒什么重要，這個曾先生后來離開聯(lián)大了。然后解放以后呢，他就在南京大學 [注18]。所以我七十年代到南京大學，還看見了這位曾先生。
楊振寧：事實上，我到了美國，我最發(fā)生興趣的事情，我還記得。那個時候我的這個碩士論文的一部分，是關于叫做準化學方法,剛剛發(fā)表在化學物理雜志 [注19]。我在中國的時候就知道它發(fā)表了，可是我沒看到，所以我到了美國就去看。我到美國是1945年11月，我還記得天氣很冷，我就特別到美國物理學會的辦公室，我還記得是在34街，在東河的附近。那個時候美國物理學會的整個的辦公室在那兒。所以到那兒以后，就問那個秘書說，我有一篇文章發(fā)表在好像是1944年。結(jié)果那秘書就幫我去找。果然找出來。所以這是我第一次看見我的物理方面在外國發(fā)表的第一篇文章 [注20]。這件事我還記得很清楚。
那篇文章呢，其實還有點道理，為什么緣故呢？那個準化學方法不是我發(fā)明的，我覺得是古根海姆。那個時候，搞這個統(tǒng)計力學最多的是在英國。搞得最多的人呢，是富勒。王先生、張宗遂都是富勒的學生。
施郁：狄拉克。
楊振寧：狄拉克也是，因為劍橋那時只有很少的教授。我記得他大概是唯一的理論教授。他是盧瑟福的女婿。他專門寫這么很厚的書。
那個時候是30年代，就是王先生去的時候，最熱門的題目就是合金的相變，就用了貝特的方法，后來有古根海姆的這個。
這些方法，你從今天看起來,都是叫做平均場理論。有不同版本的平均場理論。古根海姆有個平均場理論，他給它起了個名字，叫做準化學方法。他這個準化學方法是這樣，思想當然在物理上很有趣，可是他的這個版本呢，得出來以后呢，要倒著解一些方程，就是你有一些對稱的參數(shù)，那么這些參數(shù)放進去以后，得出來一組方程，你要算的時候呢，要解這些方程。
結(jié)果我發(fā)現(xiàn)，你如果用一個勒讓德變換，變換了以后呢，就不必解方程了，就直接可以計算出來。所以這個是一個很大的進步 [注21]。
事實上我記得戴森有一篇文章上，還講了這個。他大概仔細看了這個文章，所以他說，他覺得我擅于用一些數(shù)學技巧，把一個復雜的東西給變成簡單化，大概那個意思。
所以我當時對這個文章很在意，就是我剛一到紐約的時候，還沒到芝加哥的時候，我當時自己覺得，這個是我最最重要的一個工作。不過后來到了芝加哥以后，雖然梅耶跟他太太都在芝加哥，可是他們已經(jīng)對統(tǒng)計力學，完全不發(fā)生興趣了 [注22]。
注解：
1. 根據(jù)鄭忠國和楊瑛的《許寶騄先生的青少年時代事——俞潤民先生訪問記》，俞樾的二女兒是許寶騄的祖母(祖父許佑申)，而許先生的大姐又是俞平伯的妻子，即俞潤民的母親。
2. 許寶騄1933年從清華畢業(yè)，楊振寧的父親楊武之是他的老師。許寶騄1936年考取赴英庚款公費留學，在英國倫敦大學學院攻讀博士學位，1940年回國任教于西南聯(lián)大，1945年赴美，先后在伯克利加州大學和哥倫比亞大學訪問一學期，然后與H.Hotelling一起去了北卡羅萊納大學，1947年回國，任北京大學教授，1970年逝世。俞平伯和許寶騄中學時代從清朝褚稼軒的著作得知數(shù)學游戲“移棋相間法”，后來在西南聯(lián)大師生中流行。2019年，楊振寧寫了《許寶騄和“移棋相間法”》（數(shù)學文化，10卷4期，106-108）。
3. 與楊振寧的回憶一致，許寶騄的美國學生回憶：“In was Hsu's insistence on simplicity combined with depth of understanding, clarity without avoidance of difficulties, and above all a deep and obvious but unspoken commitment to the highest goals and standards of scholarship which attracted us to him（許吸引我們的是，對于簡單性與理解深度的堅持，而且首先是，對于學術(shù)最高目標和標準的深深的、顯然但是沒有明說的堅守?！?nbsp;(https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hsu/)
4. P. A. M. Dirac, Principles of quantum mechanics.
5. 紐約州立大學石溪（Stony Brook）分校，是楊振寧曾長期任教的大學。
6. 張景昭在西南聯(lián)大時做過美軍翻譯，1968年，因為被打成反革命而自殺。
7. C. N. Yang, Selected Papers 1945—1980 With Commentary. W. H. Freeman and Company Publishers, 1983.
8. 這是指1949年，翁薩格的學生考夫曼將翁薩格1944年關于2維伊辛模型的嚴格解做了簡化，其中關鍵是用到反對易厄密矩陣（B.Kaufman,Phys.Rev.76,1232(1949)）。在此基礎上，1951年，楊振寧嚴格計算了這個模型中的磁化率（C.N.Yang, Phys. Rev. 85, 808（1952）），這是楊振寧做過的最長的計算。楊振寧在1983年的論文集《Selected Papers with Commentary》中曾說，因為熟悉反對易厄密矩陣，立即理解了翁薩格和考夫曼的方法。當時沒有說為什么熟悉。
9. E. T. Whittaker, G. N. Watson，A Course of Modern Analysis.通常被稱為 Whittaker and Watson（惠特克和沃森）。1902年第一版的作者是惠特克一人，后來的版本是兩個人。
10. R. H. Fowler, Statistical mechanics, the theory of the properties of matter in equilibrium, Cambridge University Press. 1929. 2nd edition. 1936.
11. R.H.Fowler and E.A.Guggenheim，Statistical Thermodynamics. Cambridge University Press, Cambridge，1939.
12. 姜立夫在哈佛大學給奧斯古德當過助教。1934到1936年，奧斯古德從哈佛大學退休后，到北京大學訪問，助教正是許寶騄。許寶騄深受奧斯古德影響，精通了矩陣，在分析和代數(shù)都有了很好基礎。
13. L. Page and N. I. Adams, Principles of electricity, Van Nost Reinhold Press.
14. J. Jeans, Mathematical Theory of Electricity and Magnetism, Cambridge University Press .
15. 顧震潮,1920年9月生于上海,1942年畢業(yè)于中央大學,1943至1945年， 在西南聯(lián)大讀清華大學研究生，1945至1947年在中央研究院氣象研究所，1947至1950年,留學瑞典斯德哥爾摩大學，1950年起在中科院工作，1976年逝世。
16. Leonard Eugene Dickson,History of the theory of numbers. Vol. I-3.
17. C. N. Yang, On The Uniqueness of OF Young's Differentials,Bulletin of the American Mathematical Society 50, 373 (1944). 這是楊振寧的第一篇論文，但是是數(shù)學論文。
18. 曾遠榮，1903生于四川，1927年畢業(yè)于清華大學并赴美國留學。1933年獲芝加哥大學博士學位。1935年任中央大學教授。1937年起任清華大學教授。1942-1945年任燕京大學客座教授。1945-1950年任四川大學數(shù)學系主任。1950年起任南京大學教授。1994年去世。
19. C.N. Yang, A Generalization of the Quasi‐Chemical Method in the Statistical Theory of Superlattices,J. Chem. Phys. 13, 66 (1945).
20. 作為西南聯(lián)大學生，楊振寧共發(fā)表5篇論文，其中兩篇發(fā)表于國外，也就是本文提到的這兩篇，其他3篇發(fā)表于Chinese Journal of Physics（中國物理雜志）。第一篇發(fā)表在國外的物理論文是總的第三篇論文。
21. 楊振寧這篇文章還引用張宗燧在劍橋?qū)懙奈恼拢约扒懊嫣岬降母焕盏慕炭茣鳶tatistical Mechanics（統(tǒng)計力學）。
22.1938至1939年，梅耶夫婦的相變理論首次將不同相統(tǒng)一在同一個微觀運動系統(tǒng)中。
制版編輯 | 盧卡斯
