一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題一旦與素?cái)?shù)發(fā)生聯(lián)系，就會(huì)變得深刻，難度也驟然增大。

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2018-09-06, 20:00:08

Apache/2.4.18 (Ubuntu)

Yii Framework/2.0.11

撰文 | 蔡天新

1985年春天，我開(kāi)始攻讀博士學(xué)位。那時(shí)國(guó)內(nèi)尚沒(méi)有直接攻博，或碩博連讀一說(shuō)，所以我們是經(jīng)過(guò)考試的。原本，碩士學(xué)位需要三年才能拿到，但我和王煒因?yàn)檎撐耐瓿傻迷?，且都已?jīng)發(fā)表了（那時(shí)還沒(méi)有SCI一說(shuō)，我們的論文都是在國(guó)內(nèi)一級(jí)刊物發(fā)表的），因此得以提前半年畢業(yè)。換句話說(shuō)，我們趕上了77級(jí)那幫同學(xué)。

說(shuō)到山大數(shù)學(xué)系77級(jí)，我認(rèn)識(shí)的人不多，其中有考入北大的張繼平，他后來(lái)得過(guò)陳省身數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，做過(guò)北大數(shù)學(xué)學(xué)院院長(zhǎng)；考入浙大的薛安克，他曾多年擔(dān)任杭州電子科技大學(xué)校長(zhǎng)。在山大讀研的，有從浙師大考來(lái)的黃巖老鄉(xiāng)潘興斌，現(xiàn)在是華師大紫江學(xué)者。還有一些留學(xué)海外并做了教授，我在北美的旅途中就見(jiàn)到過(guò)好幾位。

說(shuō)到山大77級(jí)，我還知道有兩位同學(xué)后來(lái)分別當(dāng)選中國(guó)科學(xué)院和工程院的院士，他們是化學(xué)系江桂斌和物理系李衛(wèi)。2016年，李衛(wèi)作為校友代表回母校參加畢業(yè)典禮，演講時(shí)提及他就讀的磁學(xué)專業(yè)老師郭貽誠(chéng)教授，我在校時(shí)就聽(tīng)說(shuō)過(guò)他。郭先生是加州理工學(xué)院博士，導(dǎo)師是諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主C.D.安德森[1]，1939年回國(guó)后曾任教浙江大學(xué)龍泉校區(qū)?，F(xiàn)在想起來(lái)，郭先生可能是山大教授里“出身”最高貴的。

讀博第一學(xué)期我曾兩次去北京出差，算起來(lái)分別是我第四次和第五次進(jìn)京。第一次是大二暑假去北京姑姑家探親，第二次是研二寒假去大西北時(shí)路過(guò)，第三次是1984年冬天，我和王煒去北京中關(guān)村數(shù)學(xué)研究所查閱資料。那時(shí)候沒(méi)有電腦或互聯(lián)網(wǎng)，所有文獻(xiàn)都是紙質(zhì)雜志和書(shū)籍，數(shù)學(xué)所的資料比起山大來(lái)更為齊全，因此博士生通常都會(huì)去北京，那時(shí)候七小時(shí)的火車已經(jīng)算很方便了。

說(shuō)實(shí)話，我對(duì)絕大多數(shù)復(fù)印的資料不太記得了。印象最深的是數(shù)學(xué)所資料室的工作人員，她們非常喜歡聊天。一旦進(jìn)入資料室，不管你是否愿意，京腔都會(huì)飄入耳朵。聊天的內(nèi)容當(dāng)然與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)，而是日常瑣事和趣聞，比如某某研究生的戀愛(ài)對(duì)象，或某某數(shù)學(xué)家的個(gè)人愛(ài)好。我后來(lái)猜測(cè)，由于數(shù)學(xué)所女性比例極低，她們不自覺(jué)地產(chǎn)生一種優(yōu)越感，以為凡是男性都愿意聽(tīng)她們說(shuō)話。久而久之，聊天就成為她們對(duì)男性的一種精神撫慰。

第四次進(jìn)京是在五一前夕，我停留了一個(gè)星期，搭乘的是夜班火車，所謂夕發(fā)朝至，平生頭一回乘坐了臥鋪（硬臥）。出差的事由也與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)，而是去參加“首都部分高校大型社會(huì)觀念變革學(xué)術(shù)討論會(huì)”。這個(gè)會(huì)議的出發(fā)點(diǎn)是，隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)體制改革日益深入的發(fā)展，整個(gè)社會(huì)生活領(lǐng)域中的某些傳統(tǒng)的舊觀念舊模式受到了有力挑戰(zhàn)，并已開(kāi)始發(fā)生具有劃時(shí)代意義的變革，如何深入理解和認(rèn)識(shí)這場(chǎng)變革，分析它的現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)，是當(dāng)時(shí)理論界的重大課題。

雖然我本科和碩士階段沒(méi)有當(dāng)過(guò)學(xué)生干部，讀博以后卻做上了學(xué)校研究生會(huì)學(xué)習(xí)部副部長(zhǎng)，與我同行的孟祥生同學(xué)是宣傳部長(zhǎng)。他原是歷史系七七級(jí)，畢業(yè)后去了外交部，現(xiàn)任釣魚(yú)臺(tái)國(guó)賓館管理局副局長(zhǎng)。而我之所以當(dāng)上部長(zhǎng)，主要原因恐怕在于，全校研究生住在一個(gè)樓里，我與文理科的同學(xué)都比較熟悉。

那次討論會(huì)的具體細(xì)節(jié)我已記不清，甚至舉辦地是北師大還是人大我也無(wú)法確定了。只記得與會(huì)人數(shù)約三十位，圍坐在一張寬兩米、長(zhǎng)十米左右的大桌子（也可能是好幾張桌子拼成）周邊。參會(huì)者除了首都高校的學(xué)生代表以外，還有南開(kāi)、吉大等外地來(lái)的同學(xué)。我對(duì)面剛好是會(huì)議邀請(qǐng)來(lái)的主要嘉賓、哈佛大學(xué)教授杜維明。這一點(diǎn)不容懷疑，因?yàn)槟鞘俏业谝淮蚊鎸?duì)哈佛教授，我還記得我與杜先生就某個(gè)問(wèn)題發(fā)生激辯。這一點(diǎn)也幫助我推測(cè)那次會(huì)議是在北師大，因我查到，杜教授80年代曾在那里訪學(xué)。

杜維明教授，新近擔(dān)任北京世界哲學(xué)大會(huì)學(xué)術(shù)委員會(huì)主席（圖源：Wikipedia）

杜維明先生祖籍廣東海南，1940年出生于昆明，五歲隨家人遷入上海并入小學(xué)。四年以后隨家人移居臺(tái)北，1957年考入臺(tái)中東海大學(xué)外文系，一年后轉(zhuǎn)中文系。畢業(yè)后服兵役一年，隨后赴美留學(xué)，1968年獲得哈佛大學(xué)博士學(xué)位后，先是在普林斯頓和伯克利任教，1981年回母校哈佛，曾兩度擔(dān)任東亞語(yǔ)言和文明系主任。

那會(huì)兒杜維明先生四十五歲，年富力強(qiáng)。他早年研究宋、明儒學(xué)，后來(lái)探究儒學(xué)思想的現(xiàn)代意義和發(fā)展前景，借鑒了哲學(xué)人類學(xué)、文化人類學(xué)、比較文化學(xué)、比較宗教學(xué)和知識(shí)社會(huì)學(xué)等跨學(xué)科的研究方法，被認(rèn)為是新儒家學(xué)派的代表人物，但他自己卻喜歡被稱作哲學(xué)家、思想家，還強(qiáng)調(diào)儒家對(duì)“新”字有警惕性，一定要算的話也是儒家第三期。

杜先生認(rèn)為，儒學(xué)第一期是從先秦到漢，從曲阜時(shí)代或中原時(shí)代的孔孟之道開(kāi)始，到獨(dú)尊儒學(xué)。第二期是朱熹復(fù)興儒學(xué)，使得儒學(xué)文化圈從中國(guó)擴(kuò)大到東亞，包括越南、朝鮮和日本。第三期是現(xiàn)在，從亞洲走向世界，儒學(xué)需要用英、法、德語(yǔ)等文字傳播。這個(gè)劃分似有道理，不過(guò)李澤厚先生認(rèn)為漢朝需單獨(dú)劃分，所以應(yīng)是四期。

我個(gè)人擔(dān)心的是，杜先生近年來(lái)在中國(guó)大陸兼職和頭銜過(guò)多，分散了精力。例如，北大人文高等研究院院長(zhǎng)、長(zhǎng)江商學(xué)院人文委員會(huì)主席、浙大馬一浮人文研究中心主任，不一而足。當(dāng)然，這與大陸高校對(duì)自己培養(yǎng)的人才信心不足、信任度有限不無(wú)關(guān)系。不過(guò)，當(dāng)我看到他說(shuō)過(guò)的一句話，“歷史可以使我們成為有記憶的人”，印象又大為改觀。

恰同學(xué)少年

不到一個(gè)月，我又一次進(jìn)京，這回仍與王煒同行。6月4日，我們乘坐13次滬京特快，比普通快車縮短兩小時(shí)。這次是去中科院聽(tīng)哥倫比亞大學(xué)哥德費(fèi)爾德教授講學(xué)，他是德國(guó)人，1967年獲得哥倫比亞大學(xué)博士學(xué)位，在輾轉(zhuǎn)了伯克利、特拉維夫、普林斯頓、麻省理工、德克薩斯和哈佛等校以后，回母校任教授。哥德費(fèi)爾德后來(lái)曾獲柯?tīng)柂?jiǎng)，那次主要介紹布朗-梯其馬希篩法[2]。我們?cè)诒本┩Ａ袅耸?，第八天從日本傳?lái)噩耗，華羅庚先生在東京大學(xué)講學(xué)時(shí)，因?yàn)樾呐K病突發(fā)猝亡，這對(duì)我們每個(gè)人都是極大的震動(dòng)。

美國(guó)數(shù)學(xué)家哥德費(fèi)爾德（圖源：Wikipedia）

那次除了我和王煒，還有北大潘承彪師叔的三位弟子賈朝華、張益唐和羅文智，數(shù)學(xué)所王元先生的學(xué)生張壽武。說(shuō)到朝華，他后來(lái)與我交往甚密，尤其是他任《中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通訊》常務(wù)副主編期間，頻頻催稿，并親自潤(rùn)色，促成我筆下的數(shù)學(xué)人物一個(gè)個(gè)誕生，才有了《數(shù)學(xué)傳奇》這本書(shū)。再后來(lái)，他與我同為《數(shù)學(xué)文化》雜志編委，每年夏天見(jiàn)面，來(lái)往交流就更多了，他對(duì)老北京、圍棋、美食頗有研究。朝華的微信名為京城潮叔，作為曾經(jīng)的全國(guó)青聯(lián)委員，偶爾會(huì)與我們分享歌唱家彭麗媛委員的點(diǎn)滴軼事。

朝華出生在上海，小時(shí)候因?yàn)楦改阜謩e在南京和北京工作（父親在解放軍通訊工程學(xué)院任系主任），他由上海的外婆和寧波鄞縣的太外婆輪流撫養(yǎng)。十一歲才被母親領(lǐng)回家，從此住在北京。七七年他上了北京郵電學(xué)院，畢業(yè)后考入北大讀研，成為潘師叔的大弟子。博士畢業(yè)后他又到數(shù)學(xué)所跟王元做博士后，留所至今。朝華曾在小區(qū)間的素?cái)?shù)分布等多個(gè)經(jīng)典問(wèn)題上取得世界領(lǐng)先的成果，與英國(guó)大數(shù)論學(xué)家希斯-布朗合作，在德國(guó)《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》和英國(guó)《倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)會(huì)刊》等名刊發(fā)表論文。

羅文智與朝華同年同月生，兩人生日只差八天。他是南京人，本科畢業(yè)于中山大學(xué)，后來(lái)在北京聯(lián)合大學(xué)工作過(guò)一年，再考入北大讀研。文智和益唐都只跟潘老師讀完碩士便出國(guó)留學(xué)了，兩人先后獲得魯特格斯大學(xué)和普渡大學(xué)的博士學(xué)位。文智的學(xué)業(yè)無(wú)疑更順利一些，他的博士導(dǎo)師是名教授伊萬(wàn)尼奇，后來(lái)又到普林斯頓跟薩那克做博士后，研究自守形式的解析和算術(shù)性質(zhì)。文智較早在《數(shù)學(xué)年刊》等頂尖刊物發(fā)表論文，因此順利找到俄亥俄州立大學(xué)的終身教職，并擔(dān)任《數(shù)論雜志》編委。

這幾位同輩同行中，唯有張益唐與我是第二次謀面，頭年夏天我們一起在合肥科大開(kāi)會(huì)，又一起去爬了黃山。雖然如此，我們之間似乎仍不太熟悉，仍只是點(diǎn)點(diǎn)頭而已。待我年長(zhǎng)以后，我明白那與他的個(gè)性有關(guān)，但那時(shí)我尚缺少閱歷，理解不到那一層。益唐比朝華大五歲，也是在上海出生。他是北大七八級(jí)的，可能是“文革”北大沖擊太深（自殺的數(shù)學(xué)老師就有好幾位），北大數(shù)學(xué)系七七級(jí)沒(méi)有招生，這讓復(fù)旦、科大等學(xué)校沾了光。

多年以后，當(dāng)譽(yù)滿全球的張益唐回到中國(guó)，也曾攜夫人做客浙大。我們?cè)鴶?shù)度暢飲，我還陪他們?nèi)ッ芳覊]品茗。后來(lái)我出訪洛杉磯，也曾與學(xué)生專程驅(qū)車前往他任教的圣塔巴巴拉，因此有了更多了解。張益唐的母親姓唐，這是他名字的來(lái)源，十五歲時(shí)他隨母親下放到湖北東南的陽(yáng)新縣，在長(zhǎng)江邊的“五七”干校生活了幾年，后來(lái)回京通過(guò)招工進(jìn)入北京鎖廠工作。高考恢復(fù)以后，他考了兩次才入北大……

相比之下，張壽武我最不熟悉，他的經(jīng)歷我近年才從媒體上得知，還有他的幾位年輕有為的弟子。張壽武比我年長(zhǎng)一歲，安徽和縣人，確切地說(shuō)，是縣城西郊的西埠鎮(zhèn)五星村人。和縣屬馬鞍山市，該市面積只有四千平方公里，卻被長(zhǎng)江分為兩半。江右是市區(qū)和當(dāng)涂縣，我曾在馬鞍山詩(shī)人楊健陪同下去那參拜過(guò)李白墓。和縣在江左，北宋的“清官”包拯繼和南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶曾出任和州知州，還出過(guò)書(shū)法家林散之和中國(guó)第一個(gè)奧運(yùn)冠軍許海峰。

如同《泉城》和《揚(yáng)州》兩篇所寫(xiě)，和縣烏江鎮(zhèn)曾是西楚霸王項(xiàng)羽自刎之地；一千年以后，唐代詩(shī)人劉禹錫在此為官時(shí)寫(xiě)下著名的《陋室銘》；又過(guò)了三百年，宋代女詞人李清照乘船路過(guò)，留下名詩(shī)《夏日絕句》，“生當(dāng)作人杰，死亦為鬼雄。至今思項(xiàng)羽，不肯過(guò)江東?！痹瓉?lái)，長(zhǎng)江流經(jīng)此地時(shí)，基本是垂直的南北向了。

1980年，張壽武從和縣一中畢業(yè)，考入中山大學(xué)化學(xué)系，后謊稱色盲才轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)系，三年后即畢業(yè)并考取中科院數(shù)學(xué)所研究生，師從王元。那段時(shí)間張壽武發(fā)現(xiàn)王元擅長(zhǎng)的解析數(shù)論他并不得心應(yīng)手，因此看了同調(diào)代數(shù)、L函數(shù)、自守函數(shù)、代數(shù)幾何等方面的書(shū)籍，哥德費(fèi)爾德來(lái)講學(xué)時(shí)他坐第一排聽(tīng)課，擦黑板最認(rèn)真，不講課時(shí)他奉元老之命陪同客人游玩京城。

后來(lái)，張壽武在托?？荚嚦煽?jī)不夠理想的情況下，仍獲得哥倫比亞大學(xué)的全額獎(jiǎng)學(xué)金去了美國(guó)。他在來(lái)訪的法國(guó)數(shù)學(xué)家斯匹若指導(dǎo)下獲得博士學(xué)位，后又去普林斯頓跟菲爾茲獎(jiǎng)得主法爾廷斯做博士后，現(xiàn)任普林斯頓大學(xué)教授。再次見(jiàn)到張壽武已是二十二年以后，在杭州舉辦的華人數(shù)學(xué)家大會(huì)上，浙大校友勵(lì)建書(shū)教授特意介紹，我們相互致意問(wèn)候。又過(guò)了十一年，張壽武教授來(lái)浙大講學(xué)，我們連續(xù)相處了十個(gè)小時(shí)，此乃后話。

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2018-09-06, 20:00:11

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2018-09-06, 20:00:11

Apache/2.4.18 (Ubuntu)

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2018年夏天，張壽武教授做客浙江大學(xué)。（圖片由作者拍攝）

素?cái)?shù)問(wèn)題

1998年，張壽武獨(dú)立證明了波戈莫洛夫猜想，并應(yīng)邀在柏林國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作四十五分鐘特邀報(bào)告，2011年當(dāng)選美國(guó)藝術(shù)和科學(xué)學(xué)院院士。他的研究方向是算術(shù)代數(shù)幾何，這是代數(shù)幾何的一個(gè)分支，是指所有以數(shù)論為背景或目的的代數(shù)幾何。顧名思義，代數(shù)幾何是將代數(shù)與幾何結(jié)合起來(lái)的數(shù)學(xué)分支。這是典型的邊緣學(xué)科，需要許多領(lǐng)域的知識(shí)，包括數(shù)論、模形式、表示論、代數(shù)幾何、李群、多復(fù)變函數(shù)、黎曼曲面、K理論，等等。

丟番圖方程是算術(shù)代數(shù)幾何的重要課題，這是它的生命力所在。寫(xiě)到這里，讀者可能想起前面提及的新儒家杜維明先生的研究方法，也是以跨領(lǐng)域見(jiàn)長(zhǎng)，這對(duì)于在國(guó)內(nèi)受教育的人來(lái)說(shuō)是個(gè)挑戰(zhàn)。上個(gè)世紀(jì)后期，隨著莫德?tīng)柌孪搿①M(fèi)爾馬大定理等丟番圖方程問(wèn)題先后被攻克（每一個(gè)都轟動(dòng)一時(shí)，尤其是后者，被譽(yù)為20世紀(jì)的數(shù)學(xué)成就），算術(shù)代數(shù)幾何和代數(shù)數(shù)論風(fēng)靡一時(shí)。

相比之下，解析數(shù)論已經(jīng)沉寂多年。所謂解析數(shù)論是數(shù)論中以分析方法作為研究工具的一個(gè)分支，是在初等數(shù)論方法無(wú)法解決的情況下發(fā)展起來(lái)的，可以追溯到18世紀(jì)的歐拉時(shí)代，最典型的問(wèn)題是孿生素?cái)?shù)猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想。這方面自從1966年陳景潤(rùn)有關(guān)哥德巴赫猜想的研究成果宣布以來(lái)，就再也沒(méi)有激動(dòng)人心的突破了。

上述五個(gè)問(wèn)題中，除了莫德?tīng)柌孪?span style="font-size: 12px;color: rgb(178, 178, 178);">[3]，均與素?cái)?shù)直接有關(guān)，它們也是數(shù)學(xué)史上最有名的猜想和問(wèn)題。所謂素?cái)?shù)或質(zhì)數(shù)是指這樣的正整數(shù)，除了1和自身以外，沒(méi)有別的正整數(shù)可以整除它們。可以這么說(shuō)，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題一旦與素?cái)?shù)發(fā)生聯(lián)系，就會(huì)變得深刻，難度也驟然增大。最小的十個(gè)素?cái)?shù)是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，其中3和5、5和7、11和13、17和19只相差2，被稱為孿生素?cái)?shù)。著名的孿生素?cái)?shù)猜想說(shuō)的是，存在無(wú)窮多對(duì)孿生素?cái)?shù)。

顯而易見(jiàn)，除了2是偶數(shù)以外，其余素?cái)?shù)均為奇數(shù)。哥德巴赫猜想也與素?cái)?shù)有關(guān)，是指每個(gè)大于4的偶數(shù)均可表示成兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，例如6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5。費(fèi)爾馬大定理的等價(jià)形式是，對(duì)任意奇素?cái)?shù)p，不存在正整數(shù)x，y，z，使得其中兩個(gè)的p次冪之和等于第三個(gè)的p次冪。而黎曼猜想（被認(rèn)為數(shù)學(xué)史上最偉大的猜想）是關(guān)于黎曼zeta函數(shù)的零點(diǎn)分布的，這個(gè)函數(shù)本身的定義就與素?cái)?shù)有關(guān)。

2013年5月，在數(shù)論圈“消失”二十多年以后，張益唐驚艷亮相[4]，他用精細(xì)而耐心的解析方法證明了：存在無(wú)窮多對(duì)素?cái)?shù)，它們之間的距離不超過(guò)七千萬(wàn)。假如把七千萬(wàn)縮小到2，便是孿生素?cái)?shù)猜想。這個(gè)結(jié)果轟動(dòng)了數(shù)學(xué)界，加上他的個(gè)人經(jīng)歷和勵(lì)志故事，很快就被西方主流媒體報(bào)道，同時(shí)獲得了諸如柯?tīng)柂?jiǎng)、麥克阿瑟天才獎(jiǎng)、求是杰出科學(xué)家獎(jiǎng)等獎(jiǎng)項(xiàng)。接下來(lái)的一年多時(shí)間里，經(jīng)全世界同行通力合作，七千萬(wàn)這個(gè)數(shù)字迅速下降，變成了246。可是，四年過(guò)去了，這個(gè)數(shù)字卻沒(méi)有再被改進(jìn)。倒是讓我想起，中國(guó)古典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》恰好也含有246個(gè)問(wèn)題。

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2018-09-06, 20:00:11

Apache/2.4.18 (Ubuntu)

Yii Framework/2.0.11

2016年春天，作者與張益唐教授在加利福尼亞海濱。（李海琴攝）

值得一提的是，除了以上幾個(gè)問(wèn)題和猜想以外，還有一個(gè)大名鼎鼎的abc猜想也與素?cái)?shù)有關(guān)，它誕生于1985年，即哥德費(fèi)爾德訪華的那一年。由不太出名的法國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W斯達(dá)利和英國(guó)數(shù)學(xué)家馬瑟各自獨(dú)立提出，不過(guò)那時(shí)候以及后來(lái)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間里，我們都沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)?，F(xiàn)在大家都知道，假如abc猜想成立，那么包括費(fèi)爾馬大定理在內(nèi)的四項(xiàng)菲爾茲獎(jiǎng)成果以及費(fèi)爾馬大定理現(xiàn)有的兩個(gè)著名推廣均可以輕松推出，其難度相當(dāng)于小學(xué)奧數(shù)題。

假設(shè)a，b，c都是正整數(shù)，滿足a+b=c，rad(abc)表示abc的不同素?cái)?shù)因子的乘積，則abc猜想的弱形式是：c不超過(guò)rad(abc)的平方。例如，1+8=9，則c=9，rad(abc)=6，9小于6的平方36。事實(shí)上，當(dāng)a和b不超過(guò)50時(shí)，2500對(duì)組合中除了{(lán)1,8,9}，{5,27,32}，{1,48,49}和{32,49,81}這4組以外，其余數(shù)組中的c均不超過(guò)rad(abc)。盡管如此簡(jiǎn)明和重要，數(shù)學(xué)家們?nèi)詿o(wú)法證明這個(gè)猜想。

2012年夏天，曾成功證明半幾何領(lǐng)域的格羅滕迪克猜想的日本數(shù)學(xué)家、京都大學(xué)教授、法爾廷斯的學(xué)生望月新一在互聯(lián)網(wǎng)上發(fā)布了abc猜想的證明，一時(shí)間吸引了全世界同行和媒體的關(guān)注，包括華裔數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎(jiǎng)得主陶哲軒在內(nèi)的大家均給予正面評(píng)價(jià)。遺憾的是，雖然無(wú)人發(fā)現(xiàn)漏洞，卻有相當(dāng)一部分內(nèi)容無(wú)人看懂。2018年初，經(jīng)過(guò)反復(fù)修改補(bǔ)充以后，望月新一正式發(fā)表了他的證明，再次轟動(dòng)了世界。至于能否被數(shù)學(xué)界接納，還有待時(shí)間的檢驗(yàn)。

相比以上提及的中外同行，作者深感慚愧。因?yàn)樗芙逃椭R(shí)的局限，更由于自身才智和努力不夠，既沒(méi)有進(jìn)入那些最新的研究領(lǐng)域，也沒(méi)有在經(jīng)典問(wèn)題上有所貢獻(xiàn)。萬(wàn)幸的是，在所謂數(shù)學(xué)研究的黃金年齡以后，過(guò)去六年多來(lái)，我受abc猜想的形式啟發(fā)，把整數(shù)的加法和乘法結(jié)合起來(lái)，提出一些新的想法，并借此對(duì)那幾個(gè)經(jīng)典數(shù)論問(wèn)題做了詮釋和拓廣，也包括前文未曾提及的完美數(shù)問(wèn)題、華林問(wèn)題、朗道猜想、埃及分?jǐn)?shù)，等等。

這其中，華林問(wèn)題的歷史較短，但也將近兩個(gè)半世紀(jì)了。我們提出的新華林問(wèn)題的一個(gè)特例說(shuō)的是：除了2、5和11，每個(gè)素?cái)?shù)均可表示成三個(gè)正整數(shù)的和，它們的乘積是一個(gè)立方數(shù)。例如，3=1+1+1，而1?1?1=1為1的立方；7=1+2+4,而1?2?4=8為2的立方，……結(jié)論比老華林問(wèn)題簡(jiǎn)潔、漂亮，難度恐怕是同等的。我們已經(jīng)驗(yàn)證了，此論斷對(duì)10000以內(nèi)的素?cái)?shù)成立，但卻無(wú)法給予證明。

這些問(wèn)題收錄在我與幾位學(xué)生合寫(xiě)的論文里，已陸續(xù)在數(shù)論專業(yè)名刊亮相，同時(shí)也出現(xiàn)在我的中、英文版著作《數(shù)之書(shū)》中。其中新華林問(wèn)題的研究獲得劍橋大學(xué)教授、菲爾茲獎(jiǎng)得主貝克的表?yè)P(yáng)，作為華林問(wèn)題專家的他贊其為對(duì)此問(wèn)題“真正原創(chuàng)性的貢獻(xiàn)”；平方完美數(shù)的結(jié)果發(fā)表第二年即成為《國(guó)際數(shù)論雜志》史上讀者最多的一篇論文，而我提出的那類丟番圖方程也被羅馬尼亞裔德國(guó)數(shù)學(xué)家米哈伊內(nèi)斯庫(kù)教授贊為“陰陽(yáng)方程”。

米哈伊內(nèi)斯庫(kù)教授是歷史悠久的卡塔蘭猜想（8和9是唯一一對(duì)相鄰的方冪數(shù)）的證明者，他也因此受聘于“數(shù)學(xué)王子”高斯終生任教的哥廷根大學(xué)。在他于2014年為《歐洲數(shù)學(xué)會(huì)通訊》撰寫(xiě)的有關(guān)abc猜想的綜述文章里，專節(jié)對(duì)我提出的問(wèn)題予以描述并舉例證。認(rèn)定即便abc猜想成立，我們有關(guān)費(fèi)爾馬大定理的廣義猜想依然是堅(jiān)挺的。

我一直希望，我們不總是跟在別人后頭做研究。米哈伊內(nèi)斯庫(kù)在給我的信中指出，“未來(lái)這些問(wèn)題的重要性如何，要看你的運(yùn)氣了”。換句話說(shuō)，取決于誰(shuí)對(duì)她們感興趣了。2017年，他曾兩次訪問(wèn)中國(guó)，也兩次來(lái)到杭州。之前，我也曾兩次應(yīng)他的邀請(qǐng)?jiān)L問(wèn)哥廷根大學(xué)。最近，米哈伊內(nèi)斯庫(kù)教授又邀請(qǐng)并推薦我一同訪問(wèn)他的祖國(guó)——羅馬尼亞科學(xué)院。

注釋

[1] C.D.安德森（1905-1991）與前文里提及的科大少年班謝彥波的博士導(dǎo)師P.W.安德森（1923-）并無(wú)親戚關(guān)系，前者因發(fā)現(xiàn)正電子于1936年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，后者與丁肇中一起因在發(fā)現(xiàn)新的重基本粒子方面的開(kāi)創(chuàng)性工作獲得1976年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

[2] 篩法是解析數(shù)論的重要工具，肇始于古希臘的全才厄拉托色尼。布朗是挪威數(shù)學(xué)家，梯其瑪希是英國(guó)數(shù)學(xué)家、牛津大學(xué)教授，北大教授閔嗣鶴在他指導(dǎo)下獲得博士學(xué)位，潘師承洞又是閔先生的學(xué)生。

[3] 莫代爾猜測(cè)是說(shuō)，有理數(shù)域上虧格大于 1的曲線至多有有限個(gè)有理點(diǎn)。1983年，此猜想被在名不見(jiàn)經(jīng)傳的德國(guó)烏珀塔爾大學(xué)任教的法爾廷斯證明，隨后他被聘請(qǐng)到普林斯頓，并獲得1986年菲爾茲獎(jiǎng)。

[4] 張益唐在美國(guó)念的是代數(shù)數(shù)論，博士導(dǎo)師是臺(tái)灣人莫宗堅(jiān)。他的博士論文證明了雅可比猜想，后來(lái)發(fā)現(xiàn)依賴的一個(gè)引理有誤。孿生素?cái)?shù)猜想的突破性進(jìn)展，讓他在解析數(shù)論領(lǐng)域殺了一個(gè)漂亮的回馬槍。

文章頭圖及封面圖片來(lái)源： Kevin Dooley Flickr (CC BY 2.0)

本文原載《南方周末》2018年8月9日，系蔡天新教授大學(xué)回憶錄《我的大學(xué)》（商務(wù)印書(shū)館，2018年6月）之第二十三章

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