戴森傳奇之『鳥與蛙的妙喻』
12月15日是弗里曼·戴森（Freeman Dyson）的生日。他今年已經(jīng)九十三歲，仍在繼續(xù)寫文章、做研究，包括純數(shù)學(xué)方面的一些有趣工作。戴森的名字在中國也許已經(jīng)不陌生。作為杰出的作家，他有廣泛的讀者。他有好幾本著作被譯成中文，其中處女作《宇宙波瀾》甚至有三個(gè)譯本，而邱顯正的譯本在2002年榮獲了臺(tái)灣吳大猷學(xué)術(shù)基金會(huì)頒發(fā)的首屆吳大猷科普著作獎(jiǎng)?！度轿坏臒o限》、《想象中的世界》、《太陽、基因組與互聯(lián)網(wǎng)》、《反叛的科學(xué)家》和《一面多彩的鏡子》也先后出版了中譯本。想必很多讀者都為戴森的文筆所吸引，而對(duì)他作為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的身份卻未必很了解。本文將嘗試解讀這位集科學(xué)才能與人文修養(yǎng)于一身的大家?！顿愊壬帆@作者授權(quán)連載此文，欲讀前文請(qǐng)見戴森傳奇之『英才少年』、戴森傳奇之『奠基量子電動(dòng)力學(xué)』。
林開亮（首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)博士，目前任教于西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院）
美國數(shù)學(xué)會(huì)1996年出版的《戴森論文選集及評(píng)注》收錄了他直到1990年為止的最重要的一部分科學(xué)工作。該書模仿了楊振寧1983年出版的《楊振寧論文選集》的格式，將49頁的評(píng)注集結(jié)在一起放在書的開始部分，構(gòu)成了他的科學(xué)自傳。正如楊振寧的評(píng)注描述了楊振寧之所以成為楊振寧，戴森的評(píng)注也描述了戴森之所以成為戴森。
《戴森論文選集及評(píng)注》中收入的工作分為三個(gè)領(lǐng)域：數(shù)學(xué)、物理、工程學(xué)與生物學(xué)。我們這里只介紹他的物理與數(shù)學(xué)工作。
在戴森1948年之后的所有物理工作中，值得特別書寫的有兩筆。第一是1961年關(guān)于隨機(jī)矩陣的工作，是戴森與其創(chuàng)立者維格納交談的結(jié)果。對(duì)戴森而言，這個(gè)工作令他極為興奮，他在《戴森論文選集附評(píng)注》[1]中寫道：
1961年我在布魯克海文度學(xué)術(shù)假，以極快的速度寫完了三篇系列論文。好像我每天都在發(fā)現(xiàn)新的要解答的問題。每一個(gè)優(yōu)美的等式在第二天又引出另一個(gè)更加優(yōu)美的等式。
在以后的若干年里，戴森仍然不時(shí)地回到這一主題。由于維格納、梅塔、高登（M. Gaudin）、戴森等人的努力，隨機(jī)矩陣已經(jīng)發(fā)展成為一門系統(tǒng)的學(xué)問，而且直到現(xiàn)在都很熱門。常常被傳為美談的是，戴森與造訪高等研究院的數(shù)論專家蒙哥馬利（Hugh Montgomery）的一次偶然交談，促成他們發(fā)現(xiàn)了隨機(jī)矩陣與數(shù)論中的黎曼假設(shè)之間的微妙關(guān)聯(lián)。
戴森的第二個(gè)重要工作屬于統(tǒng)計(jì)物理。1965-1966年他與勒納合作，首次從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了物質(zhì)的穩(wěn)定性。這個(gè)問題在一年前由費(fèi)希爾（M. Fisher）和呂埃勒（D. Ruelle）作為懸賞（香檳一瓶）問題提出。戴森與勒納用到的數(shù)學(xué)技巧源于他1957年對(duì)李政道、楊振寧的一項(xiàng)工作之改進(jìn)。戴森與勒納將近40頁的復(fù)雜證明，在10年后被李布和瑟林（W. Thirring）簡(jiǎn)化到不足3頁。對(duì)此，戴森在《戴森論文選集附評(píng)注》中反省到：
為什么我們的證明如此糟糕而他們（李布和瑟林）的證明如此優(yōu)美？原因很簡(jiǎn)單。我和勒納的證明是從一些數(shù)學(xué)技巧出發(fā)，在不等式的叢林中披荊斬棘，沒有任何來自物理方面的想法引導(dǎo)。而李布和瑟林是從一個(gè)簡(jiǎn)單的物理思想——物質(zhì)之所以穩(wěn)定，是因?yàn)榻?jīng)典的托馬斯-費(fèi)米原子模型（Thomas-Fermi model）是穩(wěn)定的——出發(fā)，尋求合適的數(shù)學(xué)語言將這一思想轉(zhuǎn)化為嚴(yán)格的證明。當(dāng)我在劍橋做學(xué)生時(shí)，數(shù)學(xué)家李特爾伍德一次曾在課堂上講，第一流的數(shù)學(xué)家是那些發(fā)表糟糕證明的數(shù)學(xué)家。第一流的數(shù)學(xué)家發(fā)表糟糕的證明之后，第二流的數(shù)學(xué)家研究細(xì)節(jié)并給出更好的證明。物質(zhì)的穩(wěn)定性的兩個(gè)證明為李特爾伍德的格言提供了一個(gè)反例。李布和瑟林找到了好的證明，他們既是第一流的數(shù)學(xué)家，也是第一流的物理學(xué)家。我們的糟糕證明的主要價(jià)值在于，它激勵(lì)了李布和瑟林去尋求更優(yōu)美的證明。
雖然身在主流數(shù)學(xué)之外，戴森在數(shù)學(xué)界也頗有影響?？偟恼f來，數(shù)學(xué)家更欣賞他的數(shù)學(xué)觀，因此戴森常常被邀請(qǐng)到各種場(chǎng)合做演講。例如，1965年，他受美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)邀請(qǐng)，做了題為“群論在粒子物理中的應(yīng)用”的馮·諾依曼講座（John von Neumann Lecture）。1972年，他受美國數(shù)學(xué)會(huì)邀請(qǐng)，作了題為“錯(cuò)失的機(jī)會(huì)”[2]的吉布斯講座（Josiah Willard Gibbs Lecture）。在吉布斯演講中，戴森舉了很多例子有力地表明，數(shù)學(xué)家由于與物理學(xué)家的疏遠(yuǎn)而錯(cuò)失了許多重要發(fā)現(xiàn)（例如麥克斯韋（Maxwell）方程中所隱含的狹義相對(duì)論原理）的機(jī)會(huì)。戴森以他本人的教訓(xùn)——錯(cuò)失了獨(dú)立于數(shù)學(xué)家麥克唐納（I. G. Macdonald）發(fā)現(xiàn)模形式與仿射李代數(shù)之間的奇妙聯(lián)系的機(jī)會(huì)，“而這僅僅是因?yàn)閿?shù)論學(xué)家戴森和物理學(xué)家戴森沒有彼此溝通”——現(xiàn)身說法，呼吁數(shù)學(xué)家多與物理學(xué)家對(duì)話，一起推動(dòng)科學(xué)研究。
戴森的演講才能也許受到了馬丁·路德·金（M. L. King）的激發(fā)。他在《宇宙波瀾》一書中曾提起馬丁·路德·金在1963年8月28日所做的“I have a dream”的著名演講[3]：
馬丁·路德·金講得像《舊約全書》里的預(yù)言家。我離他極近，聽他演講時(shí)我哭了，哭的也不止我一個(gè)?！癐 have a dream.”他在向我們描述他關(guān)于和平與正義的展望時(shí)，一遍又一遍地重復(fù)著這句話。我在那天夜里寫的家信中寫道，“我隨時(shí)準(zhǔn)備為他蹲監(jiān)獄?！碑?dāng)時(shí)我并不知道我聽到的是人類歷史上最著名的一次演講，只知道這是我聽過的最偉大的一次演講。我更沒有想到馬丁·路德·金會(huì)在五年之后遇刺身亡。
1987年，偉大的印度傳奇數(shù)學(xué)家拉曼紐揚(yáng)百年誕辰，戴森因?yàn)樵缒陮?duì)拉曼紐揚(yáng)的工作有過研究而受邀參加學(xué)術(shù)紀(jì)念活動(dòng)。他所做的演講是“拉曼紐揚(yáng)花園漫步”。在演講中，他希望數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家關(guān)注拉曼紐揚(yáng)生前的最后一項(xiàng)卓越發(fā)現(xiàn)——仿西塔函數(shù)（mock 
-functions）。他充滿寄托地說道（令人聯(lián)想起馬丁·路德·金的著名演講）：
我的夢(mèng)想是，在我有生之年能夠看到，我們年輕的物理學(xué)家實(shí)現(xiàn)超弦理論所預(yù)言的內(nèi)容與大自然的事實(shí)之間的對(duì)應(yīng)，從西塔函數(shù)（
十五年之后的2002年，荷蘭的青年數(shù)學(xué)家茲威格斯（S. Zwegers）在德國馬普所數(shù)學(xué)家察吉爾（D. Zagier）的指導(dǎo)下完成了題為“仿西塔函數(shù)”的博士學(xué)位論文。在此基礎(chǔ)上，2008年，美國威斯康辛大學(xué)的數(shù)學(xué)家布瑞曼（K. Bringmann）與小野（K. Ono）又向前推進(jìn)一步。與戴森的預(yù)言更契合的，是程之寧（Miranda Chih-Ning Cheng）及其合作者在2012年提出、并由小野等人在2015年證明的“伴影月光猜想（Umbral Moonshine Conjecture）”。這一點(diǎn)連程之寧教授本人也是同意的，她告訴我她當(dāng)初提出這個(gè)猜想時(shí)并沒有想到戴森的話。他們的工作，一起回應(yīng)了戴森的呼吁，部分實(shí)現(xiàn)了戴森的夢(mèng)想。戴森的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)見由此可見一斑。
2008年，戴森為美國數(shù)學(xué)會(huì)的愛因斯坦講座準(zhǔn)備了以“飛鳥與青蛙（Birds and Frogs）”為題的演講。講座因?yàn)榇魃《R時(shí)取消了，但講稿[4]發(fā)表了。該演講的基本觀點(diǎn)取自《全方位的無限》[5]，但立意更高，戴森提到了許多有趣味有哲理的話題。戴森在開篇寫道：
有些數(shù)學(xué)家是飛鳥，有些是青蛙。飛鳥在高空翱翔，俯瞰數(shù)學(xué)的廣大領(lǐng)域，直至遙遠(yuǎn)的地平線。他們樂于統(tǒng)一我們的思想，并且融合來自數(shù)學(xué)大地上不同部分的各種各樣的問題。青蛙生活在泥沼中，只能看到生長在附近的花朵。他們以特殊對(duì)象的細(xì)節(jié)為樂，在一段時(shí)間只解決一個(gè)問題。我碰巧是只青蛙，但我的許多最好的朋友都是飛鳥。我今晚演講的主題就是“飛鳥與青蛙”。數(shù)學(xué)既需要飛鳥也需要青蛙。數(shù)學(xué)是豐富的和美麗的，因?yàn)轱w鳥賦予它開闊的視野，青蛙賦予它錯(cuò)綜復(fù)雜的細(xì)節(jié)。數(shù)學(xué)既是偉大的藝術(shù)，又是重要的科學(xué)，因?yàn)樗迅拍畹钠毡樾院徒Y(jié)構(gòu)的深刻性結(jié)合起來。因?yàn)轱w鳥看得更遠(yuǎn)而斷言飛鳥優(yōu)于青蛙，抑或是因?yàn)榍嗤芸吹酶疃鴶嘌郧嗤軆?yōu)于飛鳥，都是不明智的。數(shù)學(xué)的世界博大而精深，我們需要飛鳥和青蛙為探索它而一起工作。
“飛鳥與青蛙”演講稿片段
飛鳥與青蛙這個(gè)比喻是如此之妙，不由得令人懷疑，戴森這里是不是偷偷引申了古希臘詩人阿基羅庫斯（Archilochus）關(guān)于刺猬和狐貍的比喻，正如作家伯林（I. Berlin）曾借用它來評(píng)論托爾斯泰（L. Tolstoy）的歷史觀一樣。筆者曾發(fā)郵件詢問戴森，他取“飛鳥與青蛙”這個(gè)標(biāo)題，是否受到了阿基羅庫斯關(guān)于哲學(xué)家分為“狐貍與刺猬”兩種的啟發(fā)？他答復(fù)說：“是，演講的標(biāo)題來自于希臘的戲劇家阿里斯多芬尼斯（Aristophanes），他曾寫過兩部有名的戲劇《飛鳥》與《青蛙》，但其思想則有似于阿基羅庫斯的狐貍－刺猬的二分法。我發(fā)現(xiàn)，對(duì)兩種數(shù)學(xué)家來說，青蛙與飛鳥是更好的比喻”。
戴森在文中舉出了青蛙與飛鳥的諸多例子，如培根（F. Bacon）與笛卡爾（R. Descartes）、伯西柯維奇與外爾（H. Weyl）、馮·諾依曼與曼寧（Y. Manin），并含蓄地將他本人與楊振寧作為另一對(duì)比較的例子：
在做了伯西柯維奇的幾年學(xué)生之后，我來到普林斯頓并結(jié)識(shí)了外爾。外爾是典型的飛鳥，正如伯西柯維奇是典型的青蛙。我幸運(yùn)地與外爾在他從普林斯頓高等研究院退休之前有一年的過從，從該研究院退休之后返回他在蘇黎世的老家。他喜歡我，因?yàn)槟且荒晡以凇稊?shù)學(xué)年刊》發(fā)表了關(guān)于數(shù)論的論文，在《物理學(xué)評(píng)論》上發(fā)表了關(guān)于量子輻射理論的論文。他是當(dāng)時(shí)對(duì)這兩門學(xué)科都是行家里手的少數(shù)人之一。他歡迎我到高等研究院，希望我成為像他那樣的飛鳥。令他失望的是，我不過是一只無可救藥的青蛙?！?/span>
過去的五十年是飛鳥的艱難時(shí)期。即使在艱難時(shí)期，也有飛鳥要做的工作，而且飛鳥們表現(xiàn)出了攻克困難的勇氣。外爾離開普林斯頓后不久，楊振寧從芝加哥來到普林斯頓，并住進(jìn)了外爾的舊居。在我這一代的物理學(xué)家中，楊作為一個(gè)領(lǐng)頭的飛鳥接替了外爾的位置。當(dāng)外爾還活著的時(shí)候，楊和米爾斯（Robert Mills）發(fā)現(xiàn)了非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)的楊-米爾斯理論（按：外爾于1955年去世，楊-米爾斯論文1954年發(fā)表），這是對(duì)外爾早期規(guī)范場(chǎng)思想的絕妙推廣。
第一段話跟前面所引的戴森追憶奧本海默的話何其神似！真是難以想象，年僅25歲的戴森能同時(shí)被數(shù)學(xué)界的領(lǐng)袖外爾和物理學(xué)界的首腦奧本海默如此垂青！要知道，作為外爾在物理學(xué)方面的傳人的楊振寧，畢生最大的遺憾之一，就是不知道曾經(jīng)近在咫尺的外爾，原來一直都對(duì)規(guī)范原理念念不忘！楊振寧曾寫道[6]：
在物理學(xué)家中，沒有人知道他（外爾）對(duì)規(guī)范場(chǎng)思想的興趣是鍥而不舍的。無論是奧本海默還是泡利，都從未提及這一點(diǎn)。我猜測(cè)他們也沒有把我和米爾斯1954年發(fā)表的論文告訴他。如果他們告訴了他，或者他偶然發(fā)現(xiàn)了我們的文章，那么我能想象得到，他一定會(huì)非常高興，而且會(huì)非常激動(dòng)。因?yàn)槲野阉钫鋹鄣膬蓸訓(xùn)|西——規(guī)范場(chǎng)和李群——放在一起了。
奧本海默（攝于1946年）
外爾
楊振寧的遺憾真可以用“世界上最遙遠(yuǎn)的距離不是生離死別的距離，而是我站在你面前，你卻不知道我愛你”來形容。這里的“你”就是飛鳥外爾。飛鳥與青蛙的比喻凸顯了楊振寧與戴森的差別，正如楊振寧曾借用狐貍與刺猬的比喻來彰顯中國近代兩位著名數(shù)學(xué)家華羅庚與陳省身的不同[7]。
戴森在這個(gè)演講稿中還以開玩笑的方式建議了一種攻克黎曼假設(shè)的可能途徑（轉(zhuǎn)而考慮擬晶的枚舉與分類）。可以看出，戴森一直沒有放下他年少時(shí)的夢(mèng)想（證明黎曼假設(shè)），就像屈原所說的“余幼好此奇服兮，年既老而不衰”。
由于戴森對(duì)馮·諾依曼的工作（例如博弈論與計(jì)算機(jī)理論）很有興趣，2010年5月，他受邀在布朗大學(xué)做了一個(gè)題為“漫步在馮·諾依曼的花園”[8]的通俗報(bào)告。從兩個(gè)演講的標(biāo)題“漫步在馮·諾依曼的花園”和“漫步在拉曼紐揚(yáng)的花園”可以看出，戴森傾向于將數(shù)學(xué)視為一種智力上的消遣。也許，數(shù)學(xué)在他眼里，與其說是一種智力拼搏，毋寧說是一種探險(xiǎn)獵奇。
戴森仍然不時(shí)地回到純數(shù)學(xué)研究中。2012年，將近九十歲高齡的戴森還在數(shù)學(xué)刊物《拉曼紐揚(yáng)雜志》上發(fā)表了一篇題為“分拆與巨正則系綜”的論文，還與普雷斯（W. Press）合作在《國家科學(xué)院進(jìn)展》上發(fā)表了一篇關(guān)于博弈論中“囚徒困境”的研究論文。不過戴森認(rèn)為，他自1990年以后的那些數(shù)學(xué)與物理研究更多的是具有趣味性，而談不上特別的學(xué)術(shù)性。他在為《科學(xué)的面孔》寫的自傳中說道[9]：
大多數(shù)科學(xué)家把科學(xué)當(dāng)成一種類似于蓋房子或者烹飪的技能，少數(shù)科學(xué)家把科學(xué)當(dāng)作哲學(xué)探索。我屬于前者。我從不關(guān)心我要解決的問題是否重要。純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的無關(guān)緊要的問題與原子物理學(xué)和生物學(xué)的重要問題同樣有趣。
2015年5月，新加坡世界科學(xué)出版社出版了戴森的一本新書，收集了他所自選的1990-2014年期間的代表性文章，書名就叫《飛鳥與青蛙》[10]。這可以看作他1996年的《論文選集附評(píng)注》的續(xù)篇，但其側(cè)重點(diǎn)跟《從愛神到蓋婭》一樣，收入的大部分是通俗文章而非專業(yè)論文。
《飛鳥與青蛙》
（待續(xù)）
后記
這是我當(dāng)學(xué)生時(shí)寫的第一篇人物傳記，定稿后我立刻知道自己能寫，到現(xiàn)在仍然引以為傲。特別是，因?yàn)樗医Y(jié)識(shí)了不少好朋友。戴森是個(gè)很可愛的人，他鼓勵(lì)人不走尋常路。他文筆很好，尤其喜歡對(duì)比的手法，我從他那里學(xué)到很多。我這篇文章，有意無意在拿他與楊振寧先生做比較，因?yàn)檫@篇文章本身就是源于這樣的想法，他們?cè)谀承┓矫媸怯幸黄吹?。楊先生告訴我，他自認(rèn)為數(shù)學(xué)能力不如戴森。戴森在某些場(chǎng)合也承認(rèn)，自己缺乏物理直覺。他們是普林斯頓高等研究院十幾年的同事。遺憾的是，我這里沒有他們的合影。
本文初稿曾以《弗里曼·戴森：科學(xué)家與作家的一生》為題發(fā)表于《科學(xué)文化評(píng)論》，2013年第3期，也曾作為附錄重印于戴森的中譯本著作《一面多彩的鏡子》（肖明波、楊光松譯，浙江大學(xué)出版社，2014），后來又刊登于香港《數(shù)學(xué)文化》2015年第3期和臺(tái)灣《數(shù)理人文》2016年第9期。感謝一些熱心讀者和朋友（包括戴森本人根據(jù)英文版）的反饋，初稿中的某些錯(cuò)誤現(xiàn)在得到了更正。
[1] Dyson 1996. Selected Papersof Freeman Dyson with Commentary. American Mathematical Society.
[2] Dyson 1972, “Missed opportunities”, Bull. Amer. Math. Soc. 78(1972), 635–652.
[3] 戴森1982.
[4] 見http://www.ams.org/notices/200902/rtx090200212p.pdf%3Fq%3Dbirds-and-frogs.這篇演講至少有4個(gè)中譯本。例如可見：《數(shù)學(xué)譯林》2010年第1期趙振江的譯本（網(wǎng)上有電子版）；《數(shù)理人文》2014年第2期趙學(xué)信的譯本《鳥與蛙》。
[5] Dyson 1988. Infinite in All Directions. 有中譯本《全方位的無限》. 李篤中譯. 北京: 三聯(lián)書店. 1997
[6] C. N. Yang 1985. Hermann Weyl’s contribution to physics. 收入 C. N. Yang 2013.有中譯文，《外爾對(duì)物理學(xué)的貢獻(xiàn)》，收入楊振寧 2008.
[7] C.N. Yang 2013. 楊振寧在該書188頁寫道：伯林（Isaiah Berlin，1900-1997）普及了希臘關(guān)于哲學(xué)家的兩種不同類型的觀念：“狐貍掌握多門技藝，而刺猬則精通一門絕技。”我想這是一種極好的方式來描述華羅庚與陳省身的不同：華羅庚興趣廣泛，對(duì)數(shù)學(xué)的幾個(gè)不同分支做出了重要貢獻(xiàn)；而陳省身則專注于微分幾何一個(gè)分支，但他革新了這個(gè)分支，并且這個(gè)革新后來對(duì)20世紀(jì)的幾何、代數(shù)、分析、拓?fù)涓鱾€(gè)主要分支都有深遠(yuǎn)的影響，甚至深入影響了近40年來理論物理學(xué)的發(fā)展。
[8] 見http://www.ams.org/notices/201302/rnoti-p154.pdf.有兩個(gè)中譯文：《漫步Johnny von Neumann花園》，段柳柳、劉瑞義譯，《數(shù)學(xué)譯林》2014年第2期；《漫步在馮諾曼的花園：天才的落英繽紛》，趙學(xué)信譯，《數(shù)理人文》2015年第3期。
[9] M. Cook 2005.
[10] Dyson 2015 a. Birds and Frogs: Selected Papers,1990-2014. World Scientific. 對(duì)該書的一個(gè)介紹可見，林開亮，大科學(xué)家筆下的大物理學(xué)家——戴森《飛鳥與青蛙》，《中華讀書報(bào)》，2015年8月5日，第13版。
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