魔群月光與弦論 | 當(dāng)阿熱遇見賽先生
魔群月光，這一神秘而富有詩意的名字，指的是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)著名的猜想（現(xiàn)在已經(jīng)是定理）。魔群，最大的散在單群，和數(shù)論中的模函數(shù)，這兩個(gè)看起來風(fēng)馬牛不相及的對(duì)象通過這一猜想緊密地聯(lián)系了起來。這樣兩個(gè)十分“遙遠(yuǎn)”的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間的橋梁本身已經(jīng)足夠神奇，但更令人不可思議的是，理解這座橋梁的線索來自于理論物理——弦論起到了關(guān)鍵性的作用。本文就將介紹當(dāng)代數(shù)學(xué)和物理中這一美麗的篇章。
作者 Shamit Kachru（斯坦福大學(xué)教授）
翻譯 程蒙（耶魯大學(xué)）、涂鴻浩（慕尼黑大學(xué)）
我有個(gè)一直藏在心里的愿望，一個(gè)沒有任何事實(shí)和證據(jù)支持的愿望：在二十一世紀(jì)的某個(gè)時(shí)候，物理學(xué)家們偶然發(fā)現(xiàn)，魔群以出人意料的方式呈現(xiàn)在宇宙的結(jié)構(gòu)中。
——弗里曼·戴森（Freeman Dyson），1981年
一、引言
自從1984年以來，弦論在理論物理學(xué)中扮演了主要的角色，原因是在其發(fā)展初期的短短幾個(gè)月內(nèi)，弦論就被認(rèn)為有可能在這一個(gè)理論框架中，既包含又推廣愛因斯坦廣義相對(duì)論和粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型（及其“大統(tǒng)一”推廣）。
盡管弦論和可觀測的物理現(xiàn)象之間的具體聯(lián)系，還僅停留在理論的期望中，然而數(shù)十年來以弦論來構(gòu)建的理論大廈，和其他許多物理學(xué)分支的交流依然成果豐碩，其中涉及的領(lǐng)域有粒子物理、引力物理、宇宙學(xué)、凝聚態(tài)物理和核物理?；蛟S最讓人吃驚的是，弦論對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展也發(fā)揮了重要的影響，如微分幾何、代數(shù)幾何、紐結(jié)理論、表示論和數(shù)論中的一些美妙的發(fā)展，都受到了理論物理研究的推動(dòng)，反之亦然。
本文將集中講述這樣一個(gè)故事：“魔群月光”（Monstrous moonshine），以及它的后代們“新月”（new moonshines），是如何衍生出一個(gè)極其豐富，卻依然蓋著神秘面紗有待進(jìn)一步探索的領(lǐng)域的。
“月光”統(tǒng)一了數(shù)學(xué)的幾個(gè)迥然不同的領(lǐng)域，其原本的形式揭示了魔群和Klein 
函數(shù)的深刻聯(lián)系。前者是對(duì)稱性基本單元里最激動(dòng)人心和神秘的一份子，而后者在截然不同的另一數(shù)學(xué)分支（數(shù)論和模形式理論）中扮演了關(guān)鍵性的角色。
然而，為何在七十年代由研究群表示論的理論家們發(fā)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，會(huì)與一個(gè)在十九世紀(jì)末期出于完全不同目的而研究的函數(shù)產(chǎn)生任何聯(lián)系呢？
以下，我們要逐一介紹這些故事中的英雄們，然后揭開其中出人意料的關(guān)聯(lián)：它們都對(duì)理解弦論的一個(gè)特殊解起到了重要的作用。在達(dá)到這一步的過程中，我們會(huì)領(lǐng)略現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理中幾個(gè)絕妙的發(fā)展，它們將對(duì)稱性、數(shù)論和統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的想法統(tǒng)一起來。本文的末尾將介紹月光猜想的最新篇章，它會(huì)引導(dǎo)我們進(jìn)入理論物理和數(shù)學(xué)中引人入勝的未知疆域。
二、對(duì)稱性的基本單元
對(duì)稱性在我們感知和分析周遭世界的方式中有著舉足輕重的地位。在通常的觀念里，美的標(biāo)準(zhǔn)概念，往往體現(xiàn)為對(duì)稱性，從人體的左右對(duì)稱，到古代和現(xiàn)代藝術(shù)中顯而易見的優(yōu)美對(duì)稱性（圖1）。
圖1. M.C.Escher的畫，深受中世紀(jì)出現(xiàn)在Alhambra的伊斯蘭藝術(shù)的影響。
在物理學(xué)中，對(duì)稱性可以用來限制物理定律可能采取的形式。舉一個(gè)簡單的例子，我們相信在地球上任何一個(gè)實(shí)驗(yàn)室所觀察到的物理定律都應(yīng)該有同樣的形式。換句話說，當(dāng)我們把實(shí)驗(yàn)設(shè)備從加州的Palo Alto, 通過平移或者轉(zhuǎn)動(dòng)，搬到日內(nèi)瓦的歐洲核子研究中心（CERN），或者北京，基本的自然規(guī)律應(yīng)該不會(huì)有任何變化。這一事實(shí)在愛因斯坦的狹義相對(duì)論中被進(jìn)一步提煉成為另一條基本原理：物理定律在洛倫茲變換（Lorentz transformations）下保持不變，這里洛倫茲變換就涉及到實(shí)驗(yàn)室之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。
在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域，類似于正多面體所具有的簡單幾何對(duì)稱性起到了很重要的作用。舉固體的分類作為例子，了解原子排列方式的晶體對(duì)稱性有助于我們推斷材料的某些物理特性。很自然地你會(huì)問：我們有沒有可能對(duì)所有相關(guān)的對(duì)稱性加以分類？對(duì)于晶體，其對(duì)稱性分類在很多年以前就已經(jīng)完成了，現(xiàn)在已是固體物理教科書中的經(jīng)典內(nèi)容。圖2是一個(gè)常見的對(duì)稱點(diǎn)陣。
圖2. 三角點(diǎn)陣，一種二維平面材料中經(jīng)常出現(xiàn)的點(diǎn)陣。
但是，假如我們有興趣想知道其它物理系統(tǒng)當(dāng)中可能出現(xiàn)的對(duì)稱性，如何將這些可能性加以分類？怎樣才能把對(duì)稱性的研究變成一個(gè)形式化的數(shù)學(xué)問題呢？
讓我們先看一個(gè)簡單的例子。一個(gè)正三角形有好幾種對(duì)稱性。我們可以旋轉(zhuǎn)120度、240度或者360度，這些操作分別記為
、
、
。我們也可以沿著三條對(duì)稱軸之一翻轉(zhuǎn)這個(gè)三角形，這些對(duì)稱軸是從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊中心的連線，把沿著通過頂點(diǎn)1、2、3的翻轉(zhuǎn)叫做
、
、
。所有這些群操作的示意圖請(qǐng)見圖3。
圖3. 對(duì)正三角形的對(duì)稱群中旋轉(zhuǎn)和反演操作的總結(jié)。
更一般地，我們可以把幾個(gè)對(duì)稱操作結(jié)合起來。舉例來說，既然和都是正三角形的對(duì)稱性，那么我們可以先把作用在正三角形上，然后再把作用上去，這樣一個(gè)復(fù)合操作仍然是正三角形的一個(gè)對(duì)稱性。這種把對(duì)稱操作結(jié)合起來的運(yùn)算——注意在一般情況下，執(zhí)行這些操作的順序是要緊的——給了我們一種在它們之間形式上的“乘法”概念。事實(shí)上，數(shù)學(xué)家認(rèn)為對(duì)稱操作形成了一個(gè)“群”（group）的結(jié)構(gòu)，而對(duì)稱操作的復(fù)合給出了群上的乘法運(yùn)算規(guī)則。除了乘法規(guī)則，群還應(yīng)當(dāng)滿足其它一些簡單的性質(zhì)。比如說，對(duì)每個(gè)對(duì)稱操作
，都應(yīng)該能夠找到另一個(gè)對(duì)稱操作
PHP Core Warning
– yii\base\ErrorException
PHP Startup: Unable to load dynamic library '/usr/lib/php/20151012/php_mysqli.dll' - /usr/lib/php/20151012/php_mysqli.dll: cannot open shared object file: No such file or directory
$_POST = [
'src' => 'http://pic.zhishifenzi.com/m/ws/zsfz1535988234.7443790.jpg',
'count' => '16',
]; 都存在著一個(gè)
PHP Core Warning
– yii\base\ErrorException
PHP Startup: Unable to load dynamic library '/usr/lib/php/20151012/php_mysqli.dll' - /usr/lib/php/20151012/php_mysqli.dll: cannot open shared object file: No such file or directory
$_POST = [
'src' => 'http://pic.zhishifenzi.com/m/ws/zsfz1535988234.7443790.jpg',
'count' => '16',
];
