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物理－數(shù)學(xué)家程之寧（Miranda Chih‐Ning Cheng）正在努力研究以駕馭存在于弦論、代數(shù)和數(shù)論之間的一個(gè)奇妙聯(lián)系。

程之寧照片，由荷蘭女?dāng)z影師Ilvy Njiokiktjien 為《量子雜志》提供

2010年，位于冰島南部的艾雅法拉火山爆發(fā)之后，程之寧因?yàn)楹桨嗳∠鴾粼诎屠?。程之寧?dāng)時(shí)是哈佛大學(xué)的博士后，研究弦論。在等待煙消云散之際，她開始思考不久前掛在網(wǎng)上的一篇論文，該論文的三位作者（見大栗博司等人的文章“Notes on the K3 Surface and the Mathieu group M24”）指出了聯(lián)系極遙遠(yuǎn)的一些數(shù)學(xué)對(duì)象之間的一個(gè)數(shù)值上的巧合?！拔曳路疸逶≡诹硪环N月光里”，程回憶當(dāng)時(shí)的思考說，“它可能是另一種月光嗎？”

她恰好讀過一本關(guān)于“魔幻月光（monstrous moonshine）”的書， 這是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，其存在的最初跡象，也僅僅是一種類似的數(shù)字上的巧合：1970年代末，數(shù)學(xué)家 John Mckay 注意到一個(gè)稱之為 j-函數(shù)的第一重要系數(shù) 196884 恰好是 1 與 196883 之和，這兩個(gè)數(shù)是一個(gè)稱為魔群（monster group）可以表示的空間的頭兩個(gè)維數(shù)。到1992年，研究者已經(jīng)追蹤到這個(gè)朦朧（因此比喻為“月光”）的對(duì)應(yīng)的一個(gè)不大可能的源頭：弦論。弦論是一個(gè)備選的基本物理理論，它將基本粒子投像為（cast as）小的振動(dòng)弦。在一個(gè)特殊的弦論模型中，j-函數(shù)描述了弦的振動(dòng)，而魔群則俘獲了這些弦所活動(dòng)的時(shí)空網(wǎng)的對(duì)稱。

程之寧說，在艾雅法拉火山爆發(fā)之前，這都是“陳芝麻爛谷子”了——對(duì)物理學(xué)家來說，只是一個(gè)已經(jīng)休眠的數(shù)學(xué)火山。作為魔幻月光之根基的弦論模型，跟現(xiàn)實(shí)世界的粒子或時(shí)空的幾何完全不沾邊。但程之寧說，新的月光——如果真的有——也許不一樣。它涉及到 K3曲面——她和許多弦論專家作為現(xiàn)實(shí)時(shí)空的一個(gè)玩具模型來研究的幾何對(duì)象。

在她從巴黎啟航回家之前，程之寧已經(jīng)找到了新的月光存在的更多證據(jù)。她與合作者 John Duncan 和 Jeff Harvey 逐漸梳理出不止一個(gè)而是23個(gè)新月光 的證據(jù)，這些新月光是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在對(duì)稱群與數(shù)論中稱為仿模形式（mock modular forms，包含j-函數(shù)為特例）的基本對(duì)象之間架起了橋梁。這23個(gè)月光的存在性，被作為“伴影月光猜想（Umbral Moonshine Conjecture）”在2012年正式提出，去年被 Duncan 及其合作者證明。

與此同時(shí)，37歲的程之寧，也在追蹤作為23個(gè)月光之基礎(chǔ)的 K3 弦論—— 這是弦論的一個(gè)特殊版本，其中時(shí)空具有一個(gè) K3 曲面的幾何。她和其他弦論學(xué)者希望能夠用伴影月光的數(shù)學(xué)思想來詳細(xì)研究 K3 模型的性質(zhì)。這反過來可以成為理解那些無(wú)法直接探測(cè)的現(xiàn)實(shí)世界——比如，黑洞內(nèi)部——的有力工具。阿姆斯特丹大學(xué)的助理教授程之寧，在法國(guó)國(guó)家科研中心休假期間，跟《量子雜志》（Quanta Magazine）談?wù)撈鹪鹿獾纳衩?，她?duì)弦論的期望，并分享了她那傳奇的人生軌跡：從臺(tái)灣的一個(gè)朋客搖滾樂（punk‐rock）高中輟學(xué)，而最終成為一個(gè)探究數(shù)學(xué)與物理最深?yuàn)W的思想的研究者。訪談內(nèi)容如下：

撥云現(xiàn)月的“月光女俠”程之寧，由荷蘭女?dāng)z影師Ilvy Njiokiktjien 為《量子雜志》提供

《量子雜志》：您研究所謂 K3 曲面上的弦論。它們是什么，為什么重要？

程之寧：弦論學(xué)家說，時(shí)空一共10維。既然我們只能感知4維，其它6維必定卷曲或“緊化”得很小以至于看不到，就像一根非常細(xì)的電線的周環(huán)一樣。而額外的維數(shù)如何緊化的可能性太多了——比方說，大概有10的500次方種可能，因此，幾何不可能斷定哪一種緊化比其余的緊化能更好地描述現(xiàn)實(shí)。我們也不可能逐一研究所有可能模型的物理性質(zhì)。因此，你會(huì)代之以考察一個(gè)玩具模型。如果你喜歡精確結(jié)果而不是近似結(jié)果，如我的情況那樣，那么你通常最終會(huì)考慮一個(gè)K3緊化，它是介于太簡(jiǎn)單與太復(fù)雜之間的緊化。它也俘獲了 Calabi‐Yau 流形（研究得最多的一類緊化）以及基于 Calabi‐Yau 流形緊化的弦論的一些關(guān)鍵性質(zhì)。K3還有一個(gè)好處，你通?？梢詫?duì)它做直接的精確計(jì)算。 

《量子雜志》：K3實(shí)際上看起來像什么？

程之寧：你可以先設(shè)想一個(gè)平坦的環(huán)面，然后將它折疊，于是將會(huì)產(chǎn)生不平的邊邊角角。數(shù)學(xué)家有辦法將它磨平，其結(jié)果就是一個(gè)光滑的 K3 曲面。

《量子雜志》：因此你可以探明在這個(gè)框架下的物理學(xué)，弦在這個(gè)時(shí)空幾何中游走？

程之寧：是的，在我的博士論文中，我探究了這個(gè)理論下的黑洞的性態(tài)。一旦你有了卷曲的與 K3 相關(guān)的 Calabi‐Yau 流形，就可以形成黑洞。那么，這些黑洞的性態(tài)如何——尤其是它們的量子性質(zhì)如何？

《量子雜志》：那就是說，您可以試圖解決信息悖論這個(gè)懸疑已久的謎題——當(dāng)量子信息跌入黑洞中將會(huì)發(fā)生什么？

程之寧：當(dāng)然。你可以探討各種類型的黑洞——如現(xiàn)實(shí)的天體物理黑洞或來自弦論的超對(duì)稱黑洞——的信息悖論和性質(zhì)。研究第二種黑洞將會(huì)給你的現(xiàn)實(shí)問題投來一線光明，因?yàn)樗鼈児蚕硗瑯拥你Ｕ?。這就是理解 K3 下的弦論以及那一緊化下出現(xiàn)的黑洞也可以給其它問題的研究帶來曙光的原因所在。至少，這是一個(gè)期望，而且我認(rèn)為這是一個(gè)合乎情理的期望。

《量子雜志》：您是否認(rèn)為弦論確實(shí)描述了現(xiàn)實(shí)，或者您只是為了它本身而純粹研究的東西？

程之寧：就我個(gè)人而言，我一直把現(xiàn)實(shí)世界放在腦后——不過，真的真的非?？亢罅恕Ｎ依盟鳛闆Q定研究前進(jìn)的大致方向的一種靈感。但我日常的研究并不是以解決現(xiàn)實(shí)世界的難題為目標(biāo)。在基本高能物理中，需要新的思想，但很難說這些思想會(huì)來自何處。理解弦論的基本、根本結(jié)構(gòu)，是必要和有益的。你必須從那些你可以計(jì)算東西的地方起步，那通常會(huì)將你引向非常數(shù)學(xué)化的角落。理解現(xiàn)實(shí)世界所付出的代價(jià)可能是長(zhǎng)期的，但在這一階段是必要的。

《量子雜志》：對(duì)物理和數(shù)學(xué)，你是否一直有訣竅？

程之寧：兒時(shí)在臺(tái)灣，我更喜歡文學(xué)，那是我最熱衷的。在我12歲左右時(shí)，我被音樂吸引，流行音樂、搖滾（rock）和朋克（punk）。我一直很擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)和物理，但并非真正感興趣。我總覺得中小學(xué)對(duì)我是一種煎熬，總是想方設(shè)法逃學(xué)。我試圖跟老師打賭我沒有必要去聽課?；蛘弋?dāng)我完全沒病的時(shí)候我會(huì)請(qǐng)上幾個(gè)月的病假。又或者我在這里那里跳一級(jí)。我想，我只是不知道如何對(duì)付當(dāng)局。

大概是教學(xué)內(nèi)容太簡(jiǎn)單了。我跳了兩級(jí)，但那沒有用。他們把我弄到一個(gè)特殊班，結(jié)果更糟，因?yàn)榘嗌系拿總€(gè)人都非常爭(zhēng)強(qiáng)好勝，而我恰好完全無(wú)法應(yīng)對(duì)這種競(jìng)爭(zhēng)。最終我超級(jí)沮喪，我決定要么自我了斷要么輟學(xué)。于是，在16歲時(shí)，我輟學(xué)了，并且離開了家，因?yàn)槲覉?jiān)信父母會(huì)逼迫我重回學(xué)校而我是堅(jiān)決不肯的。因此我開始在一家音像店工作，那時(shí)我也在一個(gè)樂隊(duì)演出，我喜歡這個(gè)樂隊(duì)。

《量子雜志》：您如何從那里走向弦論的？

程之寧：長(zhǎng)話短說，我有點(diǎn)受挫或厭煩。我想做點(diǎn)音樂之外的事情。因此我試圖回到大學(xué)，但有一個(gè)問題，我高中沒有畢業(yè)。但在我輟學(xué)之前，我在一個(gè)特殊班中，班里的每一個(gè)孩子都擅長(zhǎng)理科。因此我可以通過他們進(jìn)入大學(xué)。所以我想，沒問題，太好了，我進(jìn)入大學(xué)后先修物理或數(shù)學(xué)，然后轉(zhuǎn)到文學(xué)。因此，我進(jìn)入了物理系，跟它有了斷斷續(xù)續(xù)的關(guān)系，常常去上課，然后試著學(xué)習(xí)文學(xué)，同時(shí)也在樂隊(duì)演奏。后來我意識(shí)到，自己并非那么擅長(zhǎng)文學(xué)。同時(shí)，有一個(gè)非常優(yōu)秀的教師講量子力學(xué)。我只去聽過他的一堂課后，就想，這實(shí)在太酷了。我開始投入了稍微多一點(diǎn)的精力到數(shù)學(xué)和物理的學(xué)習(xí)，我開始從中找到平和。那就是數(shù)學(xué)和物理開始吸引我的所在，因?yàn)槲以跇逢?duì)玩音樂的另一半生活不知怎的有點(diǎn)混沌。音樂汲取了你許多情感。你總是與人在一起工作，音樂關(guān)于關(guān)心生活、關(guān)心情感——你必須把你自己的許多奉獻(xiàn)給它。而數(shù)學(xué)與物理似乎具有這種平和安靜的美。這是一個(gè)寧?kù)o的世界。

后來在大學(xué)快畢業(yè)時(shí)，我想，好了，讓我再學(xué)一年物理，然后此生與它了結(jié)，就可以自由漂泊我的人生了。因此我決定去荷蘭見世面，學(xué)物理，而后來我確實(shí)也到了那里。

《量子雜志》：您在烏特勒支大學(xué)諾貝爾物理獎(jiǎng)得主 Gerard’t Hooft 指導(dǎo)下 取得碩士學(xué)位，而后又在阿姆斯特丹大學(xué)做博士。是什么吸引你去那里？

程之寧：跟Gerard’t Hooft做研究當(dāng)然是一個(gè)重要因素。但是，學(xué)習(xí)更多的東西也是一個(gè)重要因素——這讓我認(rèn)識(shí)到存在如此多有趣的問題。而且那是主要的因素。對(duì)我而言，日常的片段也很重要。學(xué)習(xí)的過程、思考的過程，正是優(yōu)美之所在。每天你都會(huì)遇到一些問題或思考方式，或這個(gè)事實(shí)將會(huì)引出那個(gè)事實(shí)——我想，哦，這真美。Gerard 不是一個(gè)弦論學(xué)家——但他對(duì)量子引力的正確領(lǐng)域應(yīng)該是什么非常開明，因此允許我走別的道路。我被弦論吸引，是因?yàn)樗跀?shù)學(xué)上是嚴(yán)格的，而且很漂亮。

《量子雜志》：對(duì)于您現(xiàn)在研究的工作，除了美感之外，您是否為數(shù)學(xué)與物理之間這些看似遙遠(yuǎn)的部分之間的聯(lián)系的神秘性而著迷？

程之寧：神秘的方面聯(lián)系著我個(gè)性中不好的一面，我執(zhí)迷不悟的一面。這是我的推動(dòng)力之一，從普通人的觀點(diǎn)來看，我要說這有點(diǎn)負(fù)面，盡管從科學(xué)家的觀點(diǎn)來看并非如此。但還有一個(gè)正面的推動(dòng)力，就是我真的享受學(xué)習(xí)不同的東西并感受到自己何等無(wú)知。我享受那種感覺，就像“我對(duì)此一無(wú)所知，我真的想了解！”所以那就是一個(gè)動(dòng)機(jī)——待在數(shù)學(xué)與物理之間的邊界地。月光是一個(gè)也許需要各種靈感和知識(shí)的謎題。當(dāng)然，它也需要美——這是一個(gè)優(yōu)美的故事。難以言說它為什么如此美。它的美，不同于一首歌或一幅畫的美。

《量子雜志》：差別在哪里？

程之寧：通常來說，一首歌的美，在于它觸發(fā)了某種情感，引發(fā)你的共鳴。數(shù)學(xué)上的美不是那樣。那種一種更結(jié)構(gòu)化的東西。它讓你感覺到某種永恒得多的東西，并且獨(dú)立于你而存在。它讓我感受到自己的渺小，我喜歡那種感覺。

《量子雜志》：確切地說，月光是什么？

程之寧：一個(gè)月光將一個(gè)有限對(duì)稱群的表示關(guān)聯(lián)到一個(gè)具有特殊對(duì)稱性的函數(shù)。這一關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)，至少在魔幻月光的情形，是弦論。弦論有兩種幾何。一個(gè)是“世界面（worldsheet）”的幾何。如果你有一條弦——本質(zhì)上是一個(gè)圓周——在隨時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么你會(huì)得到一個(gè)圓柱面。這就是為何我們稱之為世界面的幾何的原因；這就是弦本身的幾何。如果你彎曲圓柱面并將兩端粘帖，就會(huì)得到一個(gè)環(huán)面（輪胎面）。這個(gè)環(huán)面的對(duì)稱會(huì)給你j-函數(shù)。弦論中的另一個(gè)幾何是時(shí)空本身，它的對(duì)稱會(huì)給你魔群。

《量子雜志》：一旦你們找出了作為23個(gè)伴影月光之基礎(chǔ)的K3弦論，這些月光將會(huì)讓你在K3弦論的研究途徑方面有何收獲？

程之寧：我們還不清楚，但這是可以期待的猜測(cè)：月光的存在會(huì)告訴你，這個(gè)理論必定具有一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)（你必須能夠?qū)Υ鷶?shù)的元素做操作）。如果你考察一個(gè)理論，然后問，在一定能級(jí)范圍內(nèi)存在哪種粒子？這個(gè)問題就不能窮盡了，因?yàn)殡S著能級(jí)越來越大，問題也沒有盡頭。在魔幻月光中，這彰顯在這一事實(shí)中，你觀察j-函數(shù)，它有無(wú)窮多項(xiàng)，那無(wú)窮多項(xiàng)基本上表征了粒子的能級(jí)。 但我們知道，這里潛在著一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)——有一個(gè)機(jī)制將低能態(tài)關(guān)聯(lián)到高能態(tài)。因此，這個(gè)無(wú)窮無(wú)盡的問題有一個(gè)結(jié)構(gòu)；它不只是隨機(jī)的。

正如你可以想到的，有一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)就可以幫助你理解，表征這個(gè)理論的結(jié)構(gòu)是什么——如果你看看低能態(tài)，它們就會(huì)告訴你高能態(tài)的一些信息。然后，它會(huì)給你更多的工具去做計(jì)算。如果你想理解高能級(jí)下的一些東西（比如黑洞內(nèi)部），那么我有更多的信息可以提供。我可以用手頭的低能數(shù)據(jù)計(jì)算我想了解的高能態(tài)的信息。這就是我們的期望。

伴影月光告訴你，一定存在類似于此的某種結(jié)構(gòu)，盡管我們尚不清楚它是什么。從更一般的角度理解它，勢(shì)必要求我們理解這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)。那將會(huì)引出對(duì)這個(gè)理論的一個(gè)深刻得多的理解。那就是我們的期望。

原文標(biāo)題“Moonshine Master Toys With String Theory”，譯自https://www.quantamagazine.org/20160804-miranda-cheng-moonshine-string-theory/

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數(shù)學(xué)家追蹤“月光幻影”（Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow）https://www.quantamagazine.org/20150312-mathematicians-chase-moonshines-shadow/

及其中譯本http://www.huanqiukexue.com/a/qianyan/tianwen__wuli/2016/0923/26494.html

本文來源于“哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)”，經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載。

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