淺議現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理對(duì)數(shù)學(xué)的影響
主編的話
物理和數(shù)學(xué)有著十分深刻的聯(lián)系。物理的目的是想了解新的自然現(xiàn)象。而一個(gè)新的自然現(xiàn)象之所以新的標(biāo)志，就是它連名字、連描寫它的數(shù)學(xué)符號(hào)都沒(méi)有。這就是為什么當(dāng)物理學(xué)家有一個(gè)真正的新發(fā)現(xiàn)的時(shí)候，她什么都說(shuō)不出來(lái)，什么都寫不出來(lái)，也無(wú)法進(jìn)行計(jì)算推導(dǎo)。這時(shí)候，就需要引入新的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描寫新的自然現(xiàn)象。這就是數(shù)學(xué)和物理之間的深刻聯(lián)系。正因?yàn)槿绱?，每一次物理學(xué)的重大革命，其標(biāo)志都是有新的數(shù)學(xué)被引入到物理中來(lái)。
第一次物理革命是力學(xué)革命。需要描寫的新現(xiàn)象是粒子的曲線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)人們認(rèn)為所有物質(zhì)都是由粒子組成的。牛頓不僅要發(fā)明他在物理學(xué)上的粒子運(yùn)動(dòng)理論，而且還要發(fā)明微積分這一套新的數(shù)學(xué)來(lái)描寫他的粒子理論。第二次物理革命是電磁革命。麥克斯韋發(fā)現(xiàn)了一種新的物質(zhì)形態(tài)——場(chǎng)形態(tài)物質(zhì)。這就是電磁波，也是光波。后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)，這種場(chǎng)形態(tài)物質(zhì)需要用數(shù)學(xué)的纖維叢理論來(lái)描寫。第三次物理革命是廣義相對(duì)論。愛因斯坦發(fā)現(xiàn)了第二種場(chǎng)形態(tài)物質(zhì)——引力波。他需要引入數(shù)學(xué)中的黎曼幾何來(lái)描寫這一種新物質(zhì)。第四次物理革命是量子革命。這次革命揭示了，我們世界中的真實(shí)存在，既不是粒子也不是波，但又是粒子又是波。這種莫名其妙卻又真實(shí)的存在，是用數(shù)學(xué)中的線性代數(shù)來(lái)描寫的。
我們現(xiàn)在正在經(jīng)歷一場(chǎng)新的物理革命——第二次量子革命。這次革命中的主角是量子信息和它們的量子糾纏。這次我們所遇到的新現(xiàn)象，就是很多很多量子比特的糾纏。這種多體量子糾纏的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，正是我們既說(shuō)不出來(lái)，又沒(méi)有名字的新現(xiàn)象。我們現(xiàn)在正在發(fā)展一套新的數(shù)學(xué)理論（某種形式的范疇學(xué)），來(lái)試圖描寫這種新現(xiàn)象。
這次正在進(jìn)行中的物理學(xué)的新革命是非常深刻的。因?yàn)檫@次革命試圖用糾纏的量子信息來(lái)統(tǒng)一所有的物質(zhì)、所有的基本粒子、所有的相互作用，甚至，時(shí)空本身。而凝聚態(tài)物理中的拓?fù)湫?、拓?fù)湮飸B(tài)，以及量子計(jì)算中的拓?fù)淞孔佑?jì)算，都是多體量子糾纏的應(yīng)用，也是我們發(fā)現(xiàn)多體量子糾纏的原始起點(diǎn)。
我們剛才用物理的眼光概括了數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系。自牛頓以來(lái)，我們都是用分析的眼光看世界，用連續(xù)流形、連續(xù)場(chǎng)來(lái)描寫物理現(xiàn)象。但量子革命以來(lái)，特別是第二次量子革命以來(lái)，我們?cè)絹?lái)越意識(shí)到，我們的世界不是連續(xù)的，而是離散的。我們應(yīng)該用代數(shù)的眼光看世界。連續(xù)的分析，僅僅是離散的代數(shù)的一個(gè)幻象。就像連續(xù)的流體，是許許多多一個(gè)個(gè)分子集體運(yùn)動(dòng)的幻象。
今天的這篇文章是從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系，也描寫了近代數(shù)學(xué)發(fā)展的若干脈絡(luò)。有趣的是，其中也有一條脈絡(luò)正是從連續(xù)到離散、從分析到代數(shù)的脈絡(luò)。也提出了一個(gè)離散的代數(shù)是比連續(xù)的分析更本質(zhì)的觀點(diǎn)。這和物理學(xué)從經(jīng)典到量子的發(fā)展一一相映。
——文小剛
撰文
本文為“在線優(yōu)先”（online first）版本，最終版本稍后將刊登于《數(shù)理人文》雜志?！顿愊壬方?jīng)《數(shù)理人文》雜志（微信號(hào)：math_hmat）授權(quán)轉(zhuǎn)載。
從上個(gè)世紀(jì)80年代以來(lái)，數(shù)學(xué)物理，特別是量子場(chǎng)論和弦論，對(duì)數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域都產(chǎn)生了影響。這些影響不是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單地隔靴搔癢，可以輕易地被大多數(shù)數(shù)學(xué)家所忽視。筆者遇到很多年青的數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)在某個(gè)時(shí)候（或正在）困惑：是不是需要學(xué)習(xí)一下量子力學(xué)和量子場(chǎng)論？當(dāng)然不同的數(shù)學(xué)家對(duì)這些影響可能有完全不同的態(tài)度和反應(yīng)。我們想了解的是：量子場(chǎng)論帶來(lái)的這個(gè)數(shù)學(xué)新潮流是一個(gè)曇花一現(xiàn)的時(shí)尚，還是一股改變數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程的洪流？ 要對(duì)這個(gè)問(wèn)題做全面細(xì)致的分析，免不了需要進(jìn)入很多數(shù)學(xué)物理進(jìn)展的具體細(xì)節(jié)，這個(gè)任務(wù)大大超過(guò)了筆者的能力。冒著主觀，片面化和簡(jiǎn)單化的風(fēng)險(xiǎn)，本文以不進(jìn)入任何具體細(xì)節(jié)的方式，試圖在哲學(xué)層面來(lái)解析這個(gè)潮流的根源和特點(diǎn)，以期得到以上問(wèn)題的一個(gè)解答。 當(dāng)然我們的真正目的并不是去解答這個(gè)“膚淺”的問(wèn)題，而是了解藏在現(xiàn)象背后的深層原因，從而了解我們?cè)跉v史脈絡(luò)里的位置和時(shí)代賦予我們的機(jī)遇和使命。
數(shù)學(xué)的發(fā)展的一個(gè)原動(dòng)力就是去認(rèn)識(shí)我們的物理世界。比如在希臘語(yǔ)里“幾何”這個(gè)詞就是指測(cè)量大地的意思。反過(guò)來(lái)，對(duì)物理世界的描述和深入理解又需要數(shù)學(xué)這樣精確的語(yǔ)言和方法。其實(shí)從更深的層次上看，很多數(shù)學(xué)語(yǔ)言都是在理解自然的過(guò)程中被創(chuàng)造出來(lái)的，所以語(yǔ)言本身也是自然法則的一部分。
直到20世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)和物理這種相互依存的關(guān)系一直伴隨著數(shù)學(xué)發(fā)展的每一個(gè)重要時(shí)期。一個(gè)特別值得一提的例子是牛頓的科學(xué)革命伴隨著微積分的誕生，微積分不僅為牛頓力學(xué)，而是為整個(gè)現(xiàn)代物理學(xué)提供了一個(gè)語(yǔ)言體系和強(qiáng)大的工具。如果沒(méi)有了微積分，很難想象物理學(xué)今天會(huì)是什么樣子。而微積分在物理中的應(yīng)用也成就了微積分本身的大發(fā)展。一種數(shù)學(xué)理論由于在物理中的應(yīng)用而被普遍接受或被加速發(fā)展的情況屢見不鮮。除了微積分還有一個(gè)例子就是愛因斯坦的廣義相對(duì)論之于黎曼幾何。其實(shí)黎曼創(chuàng)立黎曼幾何的一個(gè)初衷就是希望能夠把很多復(fù)雜的物理現(xiàn)象看成高維的非平凡的幾何現(xiàn)象。愛因斯坦的廣義相對(duì)論可以看成黎曼這一理想的完美實(shí)現(xiàn)[1]。黎曼幾何在廣義相對(duì)論發(fā)明之后成為了數(shù)學(xué)里面的一個(gè)主流分支，在數(shù)學(xué)里大放異彩，它的一個(gè)廣為人知的應(yīng)用就是解決了拓?fù)鋵W(xué)里著名的龐加萊猜想。其實(shí)黎曼的原始思考不僅包括了大尺度物理空間的基本要素和特征，他還提到小尺度上的空間有可能是離散的，而且小尺度上的幾何基礎(chǔ)的必須要由將來(lái)的物理來(lái)決定[2]，很難想象這些思考發(fā)生在量子物理登上歷史舞臺(tái)的50年前。
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黎曼（照片來(lái)源：wiki）
另外數(shù)學(xué)和物理相互依存和難以分割的關(guān)系還表現(xiàn)在歷史上有很多大數(shù)學(xué)家，往往也同時(shí)是物理學(xué)家或自然哲學(xué)家，比如牛頓，萊布尼茨，歐拉，拉普拉斯，高斯，黎曼，龐加萊，希爾伯特，外爾，馮·諾伊曼等等。我們想強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)和物理的緊密結(jié)合一直是科學(xué)發(fā)展過(guò)程中的主流形態(tài)，然而這個(gè)主流形態(tài)和我們今天所看到的大學(xué)教育里面數(shù)學(xué)和物理相對(duì)獨(dú)立的現(xiàn)狀非常不符，其原因是20世紀(jì)中葉發(fā)生了一個(gè)脫離傳統(tǒng)形態(tài)的現(xiàn)象。
20世紀(jì)中葉出現(xiàn)了一個(gè)新現(xiàn)象就是數(shù)學(xué)和物理走上了兩條相對(duì)獨(dú)立的發(fā)展道路[3]。
現(xiàn)在回頭看來(lái)大致有兩個(gè)表面原因：
量子力學(xué)的出現(xiàn)和牛頓力學(xué)的出現(xiàn)的一個(gè)顯著的不同是：它沒(méi)有帶來(lái)一個(gè)全新的“量子幾何”或“量子微積分”。所以量子力學(xué)完全缺乏幾何直觀，所有人在學(xué)習(xí)和掌握它的時(shí)候都會(huì)覺得非常困難。即使到現(xiàn)在物理學(xué)界也沒(méi)有對(duì)量子力學(xué)的基礎(chǔ)有一個(gè)統(tǒng)一的看法。 物理學(xué)家為了能夠繼續(xù)往前走發(fā)展了的很多不嚴(yán)格的做法，比如量子場(chǎng)論中的重整化技術(shù)，使得數(shù)學(xué)家望而生畏。
數(shù)學(xué)也有愈來(lái)愈形式化的趨勢(shì)，很多現(xiàn)代數(shù)學(xué)的抽象語(yǔ)言也讓大多數(shù)物理學(xué)家望而生厭，不知所云。另外數(shù)學(xué)的體系已經(jīng)發(fā)展到了一個(gè)如此豐富和成熟的階段，一部分?jǐn)?shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)不需要外部的動(dòng)力也可以自己持續(xù)發(fā)展。
在這一期間，雙方都沒(méi)有給對(duì)方帶來(lái)顯著的影響，不但如此數(shù)學(xué)和物理似乎都把對(duì)方視為前進(jìn)的包袱，想要努力甩掉包袱，輕裝上路，尋求自己獨(dú)立發(fā)展的自由空間。
一方面，物理學(xué)家由于實(shí)驗(yàn)手段的突飛猛進(jìn)，很多大自然的全新結(jié)構(gòu)被揭示出來(lái)，這些嶄新的發(fā)現(xiàn)所帶來(lái)的緊迫感，使得物理學(xué)家希望擺脫嚴(yán)格性的束縛，在沒(méi)有完善的數(shù)學(xué)和哲學(xué)基石的情況下闊步前行。物理學(xué)家也因此取得了不可思議的輝煌成就，這些成就深刻地改變了物理的全貌，甚至改變了我們的生活的方方面面。
龐加萊（照片來(lái)源：wiki）
另一方面，數(shù)學(xué)家也努力地使得所謂的“純數(shù)學(xué)”成為數(shù)學(xué)的核心，而其他和應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)則被視為應(yīng)用數(shù)學(xué)，甚至是含有貶義的“不純”的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)成了一個(gè)完全獨(dú)立于自然科學(xué)的學(xué)科。雖然這個(gè)純數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)從19世紀(jì)就開始了，但是到了20世紀(jì)中葉對(duì)數(shù)學(xué)純粹性的追求才真正到了頂峰。其實(shí)純數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)是一個(gè)非常自然的訴求，她有非常底層和內(nèi)蘊(yùn)的動(dòng)力，對(duì)此龐加萊表述的十分恰當(dāng)：
On the one side, mathematical science must reflect upon itself, and this is useful because reflecting upon itself is reflecting upon the human mind which has created it, the more so because, of all its creations, mathematics is the one for which it has borrowed least from outside. ... The more these speculations depart from the most ordinary conceptions, and, consequently, from nature and applications to natural problems, the better will they show us what the human mind can do when it is more and more withdrawn from the tranny of the exterior world; the better, consequently, will they make us know this mind itself. [4]
20世紀(jì)發(fā)展起來(lái)很多數(shù)學(xué)，特別是那些完全脫離物理應(yīng)用的學(xué)科：抽象代數(shù)、代數(shù)幾何、代數(shù)拓?fù)?、范疇學(xué)等等都可以看做是講述人類抽象思維是如何工作的研究報(bào)告。脫離了物理學(xué)的影響，數(shù)學(xué)家同樣取得了不可思議的輝煌成就。
龐加萊的思考也可以應(yīng)用在物理上面，畢竟物理是一門以實(shí)驗(yàn)為主導(dǎo)的自然科學(xué)，她內(nèi)在的驅(qū)動(dòng)力并沒(méi)有對(duì)嚴(yán)格性有嚴(yán)格的要求，對(duì)一些自然現(xiàn)象的理解保持靈活的和直覺上的理解，是物理學(xué)家探索未知時(shí)不可缺少的狀態(tài)，這一特點(diǎn)也使得整個(gè)學(xué)科保持永恒的活力。 總而言之，從學(xué)科內(nèi)蘊(yùn)的特征上看，核心數(shù)學(xué)和核心物理的分離是學(xué)科發(fā)展的必然趨勢(shì)。
不過(guò)兩大核心的自然分離并不能推出數(shù)學(xué)和物理的完全分離的結(jié)論。但是歷史的單擺總是不愿意在平衡點(diǎn)過(guò)多地停留，兩個(gè)核心的分離使得廣闊的中間地帶變得過(guò)度的荒蕪，隨著兩大核心的體量的增加，吸力也越來(lái)越大，荒蕪的地帶會(huì)變得更加荒蕪。時(shí)間長(zhǎng)了不同核心地帶的居民也變得陌生起來(lái)，甚至有了敵意。
一方面，一些物理學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)家不會(huì)提供任何物理學(xué)家自己做不出來(lái)的結(jié)果，認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的追求會(huì)阻礙物理的發(fā)展，甚至認(rèn)為過(guò)多的數(shù)學(xué)訓(xùn)練會(huì)阻礙物理直覺的培養(yǎng)。其中的代表人物是費(fèi)曼，物理學(xué)家徐一鴻先生曾寫過(guò)：事實(shí)上，大統(tǒng)一理論的創(chuàng)造者，以及大部分1970年代的粒子物理學(xué)家，都十分費(fèi)曼，很蔑視數(shù)學(xué)，有次費(fèi)曼和我一起看秀，他告訴我數(shù)學(xué)物理那些華而不實(shí)的東西，應(yīng)用到物理時(shí)根本連馬尿都不如[3]。
另一方面，一些純數(shù)學(xué)家也對(duì)應(yīng)用于科學(xué)的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了鄙夷之心。其中極具代表性的就是英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代[5]，他認(rèn)為應(yīng)用數(shù)學(xué)試圖把物理真實(shí)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，這些數(shù)學(xué)往往膚淺且無(wú)趣；而純數(shù)學(xué)則在尋求獨(dú)立于物理世界之外的真知，具有永恒的價(jià)值。 具有諷刺意味的是，為了自圓其說(shuō)，哈代認(rèn)為廣義相對(duì)論和量子力學(xué)是優(yōu)美的純數(shù)學(xué)，因而無(wú)用。
數(shù)學(xué)和物理的分離是如此徹底，以至于即使在同一個(gè)人的身上她們也可能是分開的。既是物理學(xué)家又是數(shù)學(xué)家的戴森曾說(shuō)，他錯(cuò)過(guò)了發(fā)現(xiàn)模形式和李代數(shù)的深刻關(guān)系，是因?yàn)槲锢韺W(xué)家的戴森并不和數(shù)論學(xué)家的戴森交流。
在這一分離期間，數(shù)學(xué)物理這個(gè)名詞被限制在一個(gè)比較小的范圍內(nèi)，比如用分析的方法來(lái)研究物理中的方程，泛函分析和算子代數(shù)的方法來(lái)研究統(tǒng)計(jì)物理和場(chǎng)論模型，以及群表示論在物理中的應(yīng)用，等等。
雖然這個(gè)分離時(shí)期，在70年代規(guī)范場(chǎng)論的興起和80年代弦論發(fā)展之后，就已經(jīng)徹底結(jié)束了，但是它給我們這個(gè)時(shí)代留下的“后遺癥”還廣泛地存在。
在教學(xué)上表現(xiàn)為，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生幾乎不要求現(xiàn)代物理學(xué)（特別是量子力學(xué)，量子場(chǎng)論和統(tǒng)計(jì)物理）的任何知識(shí)[6]，而物理專業(yè)的學(xué)生也對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)特別是比較形式化的課題，如代數(shù)拓?fù)洌鷶?shù)幾何， 抽象代數(shù)，范疇學(xué)等缺乏基本的了解。而過(guò)去30年間數(shù)學(xué)與物理的大融合和大發(fā)展，造成了學(xué)生很難通過(guò)正規(guī)渠道來(lái)跟上這個(gè)發(fā)展，對(duì)于是不是應(yīng)該提出一個(gè)針對(duì)培養(yǎng)數(shù)學(xué)物理方向上的學(xué)生的教學(xué)方案這樣的問(wèn)題也沒(méi)有被提到討論的日程上來(lái)。
更嚴(yán)重的危機(jī)是數(shù)學(xué)物理的身份危機(jī)。對(duì)于很多物理學(xué)家來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)物理學(xué)家像是往返于數(shù)學(xué)和物理之間的商人，不過(guò)是經(jīng)常來(lái)販賣一些時(shí)髦的數(shù)學(xué)名詞，雖然有時(shí)候還可以對(duì)某些物理理論做一些美化的工作，但是對(duì)物理本質(zhì)并無(wú)核心貢獻(xiàn)。不少數(shù)學(xué)家也不把數(shù)學(xué)物理看成一個(gè)嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，因?yàn)橹挥心切┚哂忻鞔_的數(shù)學(xué)定義，陳述清晰的數(shù)學(xué)定理和完整嚴(yán)格的證明的工作才能被稱為數(shù)學(xué)，而在此發(fā)生之前的所有努力被數(shù)學(xué)家稱為物理。如果還沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)有本質(zhì)的貢獻(xiàn)，人們確實(shí)要懷疑數(shù)學(xué)物理有無(wú)存在的必要。在求職的道路上，今天的數(shù)學(xué)物理學(xué)家不得不面對(duì)這種雙重否定的身份所帶來(lái)的尷尬。
毫無(wú)疑問(wèn)，數(shù)學(xué)物理與數(shù)學(xué)和物理有不一樣的特性，這些特性是不是本質(zhì)的？是不是值得把數(shù)學(xué)物理當(dāng)作一個(gè)專門的既不同于數(shù)學(xué)，也不同于物理的新學(xué)科來(lái)對(duì)待？這是一個(gè)不好回答的問(wèn)題。但是我們堅(jiān)信，同龐加萊所說(shuō)的對(duì)數(shù)學(xué)本性的思考類似，對(duì)數(shù)學(xué)物理的本質(zhì)特性的思考和討論，對(duì)數(shù)學(xué)和物理兩方面都是有益的。
量子場(chǎng)論早期的發(fā)展主要是以微擾論為主要研究方法，而孕育而生的重整化的方法對(duì)數(shù)學(xué)物理的對(duì)話起到了一定的阻礙作用。但是到了70年代，量子場(chǎng)論的非微擾方法開始和近代數(shù)學(xué)的課題有了廣泛的接觸，特別是規(guī)范場(chǎng)論和纖維叢理論的完美對(duì)應(yīng)，大大促進(jìn)了數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的重新對(duì)話，它的一個(gè)直接的結(jié)果就是80年代 Donaldson 理論的發(fā)現(xiàn)和對(duì)4維拓?fù)涞纳羁逃绊?。而這種對(duì)話更由于80年代弦論的興起而達(dá)到了全新的高度。弦論可能是目前對(duì)數(shù)學(xué)要求最高的物理理論，它所需要的數(shù)學(xué)大多是數(shù)學(xué)里面沒(méi)有的嶄新的數(shù)學(xué)，而這種新數(shù)學(xué)又與廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著深刻的聯(lián)系，例如：拓?fù)鋵W(xué)，代數(shù)幾何，微分幾何，表示論，分析，數(shù)論，概率論，范疇學(xué)等等。借助于這種聯(lián)系和由量子場(chǎng)論帶來(lái)的獨(dú)特視角，弦論學(xué)家得到了一系列驚人的數(shù)學(xué)結(jié)果，引起了數(shù)學(xué)家的廣泛的注意。一時(shí)間以威騰（E. Witten）為代表的很多弦論學(xué)家，成了數(shù)學(xué)新潮流的領(lǐng)路人。從80年代到現(xiàn)在這個(gè)新潮流非但沒(méi)有出現(xiàn)任何衰退的跡象，反而有越演越烈之勢(shì)，以至于現(xiàn)在我們都不清楚什么數(shù)學(xué)領(lǐng)域和物理沒(méi)有關(guān)系。
威騰（照片來(lái)源：丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心）
我們經(jīng)常能夠聽到做學(xué)問(wèn)不能跟風(fēng)的勸告，因?yàn)楹芏鄷r(shí)髦的東西確實(shí)都是曇花一現(xiàn)的時(shí)尚。那么這個(gè)新潮流能否擺脫曇花一現(xiàn)的宿命呢？ 這個(gè)問(wèn)題和我們每個(gè)人要選擇做什么數(shù)學(xué)并沒(méi)有直接關(guān)系，從個(gè)人角度，選擇做什么是沒(méi)有統(tǒng)一的答案的，因?yàn)閭€(gè)人的喜好和選擇總是很私密的，不可一概而論。但是學(xué)科的發(fā)展和停滯也確有其歷史發(fā)展規(guī)律，不是每個(gè)學(xué)科都會(huì)同步地發(fā)展，有些學(xué)科甚至停止發(fā)展也是正常的。每一個(gè)時(shí)代都會(huì)有屬于自己這個(gè)時(shí)代的潮流，我們?cè)撟龅闹荒苁菑臍v史的角度來(lái)分析這個(gè)潮流的特點(diǎn)，從而了解我們這個(gè)時(shí)代留給我們的機(jī)遇和使命。
帶著這個(gè)疑問(wèn)，我們來(lái)看看過(guò)去30年數(shù)學(xué)里面發(fā)生了那些變化。先從現(xiàn)象學(xué)的角度來(lái)看，弦論和量子場(chǎng)論的確對(duì)數(shù)學(xué)的方方面面產(chǎn)生了影響，其中一個(gè)最顯著的特征就是新數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的大爆炸。過(guò)去30年嶄新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)被以前所未有的速度被創(chuàng)造發(fā)明出來(lái)，他們要么是直接或間接地因?yàn)榱孔訄?chǎng)論而被定義出來(lái)，要么是由數(shù)學(xué)家獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，但因其后發(fā)現(xiàn)了和物理的關(guān)系而被加速發(fā)展。這里我們舉一些例子，比如在幾何里有：Calabi-Yau manifolds，Mirror Symmetry，Gromov-Witten theory，elliptic cohomology，F(xiàn)ukaya categories，Donaldson-Thomas Invariants，non-commutative geometry，derived algebraic geometry 等等；拓?fù)溆校篔ones polynomial，Donaldson theory，Chern-Simons theory，Seiberg-Witten theory，Khovanov homology，topological field theories，operad，factorization homology 等等；代數(shù)及表示論有：chiral algebras，quantum groups，vertex operator algebras，modular tensor categories，subfactors，fusion categories，algebras in a tensor category，A-infinity (L-infinity，G-infinity，... ) algebras，geometric Langlands correspondence 等等；概率論有：Stochastic Loewner evolution，等等。甚至在數(shù)論這樣古典的領(lǐng)域里面，都發(fā)現(xiàn)了 Langlands 綱領(lǐng)和場(chǎng)論里面的電磁對(duì)偶的關(guān)系，模形式和拉馬努揚(yáng)公式等等都在量子場(chǎng)論中有很多的應(yīng)用。
從表面上看，量子場(chǎng)論的確席卷了數(shù)學(xué)的大部分領(lǐng)域，以至于有人認(rèn)為量子場(chǎng)論在扮演著統(tǒng)一數(shù)學(xué)的角色。不過(guò)對(duì)更多人來(lái)說(shuō)，這可能是一句沒(méi)有意義的空話，崇尚多元和自由的數(shù)學(xué)家尤其討厭這類空洞的“政治”口號(hào)。我們需要做的是離開現(xiàn)象的表面去探究導(dǎo)致這一現(xiàn)象的深層原因。
老子說(shuō)“道法自然”，大自然是我們最佳的導(dǎo)師。物理學(xué)家在大自然的指導(dǎo)下，甚至是逼迫下，不得不研究多體（或無(wú)窮自由度）系統(tǒng)，因?yàn)槲锢硎澜绲拇蠖鄶?shù)問(wèn)題都是多體的，比如流體，星體，材料，甚至股票市場(chǎng)和人類社會(huì)。多體和少體有著本質(zhì)的區(qū)別，簡(jiǎn)單地說(shuō)“More is different”[7]，而由此而誕生的物理理論：統(tǒng)計(jì)物理，量子多體理論和量子場(chǎng)論，可以看作是大自然（或物理學(xué)家）對(duì)數(shù)學(xué)家的饋贈(zèng)。這個(gè)饋贈(zèng)可以精煉出來(lái)一條很短的消息：
無(wú)窮維上存在有限維上根本看不到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（如：量子場(chǎng)論，弦論）
為了能夠了解這一個(gè)簡(jiǎn)短的信息帶來(lái)的震撼，讓我們來(lái)想想看，單憑想象力就能企及的無(wú)窮維的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是什么？是無(wú)窮維的代數(shù)（結(jié)合代數(shù)，李代數(shù)，Hopf 代數(shù)），無(wú)窮維的流形，無(wú)窮維的李群？還是無(wú)窮維的函數(shù)空間，算子空間等等？ 你會(huì)發(fā)現(xiàn)這些顯然的無(wú)窮維的結(jié)構(gòu)都是有限維概念的直接推廣， 我們?cè)诓恢挥X之中陷入了一個(gè)看不見的牢籠。一個(gè)能夠打破這個(gè)牢籠的問(wèn)題是：有沒(méi)有一個(gè)只在無(wú)窮維上才存在的全新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)？這是一個(gè)不平凡的問(wèn)題，可以肯定的是單憑想象力很難企及這樣的結(jié)構(gòu)。而令人贊嘆的是，現(xiàn)代物理發(fā)展出來(lái)的量子場(chǎng)論就給出了許多這樣的無(wú)窮維的新結(jié)構(gòu)。比如任何一個(gè)不平凡的2維共形不變的量子場(chǎng)論（或共形場(chǎng)論）都是無(wú)窮維的，而有限維的2維共形場(chǎng)論在某種意義下都平凡的。 可以想象這樣的無(wú)窮維結(jié)構(gòu)的存在性本身就是一個(gè)非平凡的問(wèn)題，所以量子場(chǎng)論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的完整構(gòu)造往往是非常困難的。
先拋開構(gòu)造不談，這樣的新結(jié)構(gòu)的存在本身已經(jīng)可以解釋為什么量子場(chǎng)論在扮演統(tǒng)一數(shù)學(xué)的角色。當(dāng)我們透過(guò)不同的有限維或無(wú)限維的窗口去觀察這個(gè)無(wú)窮維的龐然大物，我們往往會(huì)看到完全不同的數(shù)學(xué)景象。難道這就是老子所說(shuō)的“大音希聲，大象無(wú)形”？舉一個(gè)我自己比較熟悉的例子：第一個(gè)被構(gòu)造出來(lái)的2維共形場(chǎng)論是一個(gè)頂點(diǎn)算子代數(shù)（一個(gè)有限維不存在的新結(jié)構(gòu)，其中自動(dòng)包括結(jié)合代數(shù)和李代數(shù)等結(jié)構(gòu)）；她的配分函數(shù)是著名的 J 函數(shù)，J 函數(shù)是所有模函數(shù)的生成函數(shù)，模函數(shù)在數(shù)論里面占有重要地位；她的自同構(gòu)群是最大的有限散單群：魔群（Monster Group）；另外她還包含了48個(gè)統(tǒng)計(jì)物理模型中的 Ising 模型的某種極限。這個(gè)允許很多看似毫不相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)在其上生長(zhǎng)的龐然大物真的可以稱為怪物了。
今天我們看到，這些無(wú)窮維的怪物已經(jīng)在很多不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間建立了橋梁，為很多古老的問(wèn)題帶來(lái)了全新的理解和解決方案。比如今天幾何學(xué)家也已經(jīng)熟知了有些在有限維的流形上面的問(wèn)題，可以通過(guò)對(duì)無(wú)限維的 Loop Space 的研究而得到答案；而拓?fù)鋵W(xué)家也經(jīng)常強(qiáng)調(diào)要去看無(wú)窮維的 (co)chain space 上的結(jié)構(gòu)，而不僅僅是看（上）同調(diào)。 其實(shí)真正重要的還不是解決了以前的問(wèn)題，而是發(fā)現(xiàn)了一個(gè)全新的數(shù)學(xué)新大陸，在等著我們?nèi)ヌ诫U(xiǎn)。
也正因?yàn)槭茄芯繜o(wú)窮維，我們也不難理解為什么我們生活在一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)大爆炸的時(shí)代。隨著越來(lái)越多的不同角度的觀察，新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)被層出不窮地被挖掘出來(lái)，而那些剛剛發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)已經(jīng)足夠的宏大和豐富，會(huì)讓人不禁感慨：似乎數(shù)學(xué)才剛剛開始。十幾年前數(shù)學(xué)家蘇利文（Dennis Sullivan）和筆者說(shuō)，其實(shí)60年代已經(jīng)可以研究無(wú)窮維的拓?fù)鋵W(xué)，那個(gè)時(shí)候也發(fā)現(xiàn)了一些無(wú)窮維的新數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，但是當(dāng)時(shí)確實(shí)缺乏思想上動(dòng)力，真的要等量子場(chǎng)論帶來(lái)了一場(chǎng)思想上的革命，才能真的復(fù)興，并大行其道。
陳寅恪
所以推動(dòng)這場(chǎng)數(shù)學(xué)的新潮流，以及數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的大爆炸的幕后推手，既不是一兩項(xiàng)新的技術(shù)，也不是一兩個(gè)深刻的思想，而是廣袤無(wú)邊的，完全未開墾的數(shù)學(xué)新大陸。至少?gòu)臄?shù)學(xué)的角度看，基于以上的分析，我們已經(jīng)有理由相信這個(gè)由量子場(chǎng)論而來(lái)的研究無(wú)窮維數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的潮流不是一個(gè)曇花一現(xiàn)的時(shí)尚，而是一場(chǎng)革命性的洪流。它應(yīng)該就是陳寅恪先生在《陳垣敦煌劫余錄序》中所提及的“ 此時(shí)代學(xué)術(shù)之新潮流”：
一時(shí)代之學(xué)術(shù)，必有其新材料與新問(wèn)題。取用此材料，以研求問(wèn)題，則為此時(shí)代學(xué)術(shù)之新潮流。冶學(xué)之士，得預(yù)于此潮流著，謂之預(yù)流（借用佛教初果之名）。其未得預(yù)者，謂之未入流。 此古今學(xué)術(shù)史之通義，非彼閉門造車之徒，所能同喻者也。
也許人類的想象力終究還是抵不過(guò)大自然的饋贈(zèng)，數(shù)學(xué)在純數(shù)學(xué)化運(yùn)動(dòng)之后不久，就迎來(lái)了以物理學(xué)的全面入侵，數(shù)學(xué)終于又重新?lián)肀Т笞匀涣恕?br style="max-width: 100%; box-sizing: border-box !important; word-wrap: break-word !important;" />
量子場(chǎng)論帶來(lái)的無(wú)窮維的新數(shù)學(xué)和傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)有什么不同的特征呢？真的有很多不同，需要很完整的分析，我們這里只想借助于無(wú)窮維的提示來(lái)給出一些簡(jiǎn)單化，但是可能仍然有啟發(fā)的解讀。我們先來(lái)談?wù)剶?shù)學(xué)內(nèi)容以外的一些新特征，以及其對(duì)研究者的一些影響和挑戰(zhàn)。
表面上的混亂：無(wú)窮維的數(shù)學(xué)很象老子所說(shuō)的大象無(wú)形，從表面上看似乎十分混亂，比如在量子場(chǎng)論的不同方向上的研究者似乎在用不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，有的偏重代數(shù)，有的偏重幾何，有的偏重拓?fù)洌械钠胤治?，有的偏重用不?yán)格的物理語(yǔ)言，所以即使大家都在做數(shù)學(xué)物理，交流仍然是很困難的。因?yàn)檫@些表面上的混亂，也為初學(xué)者入行帶來(lái)了極大的困難。數(shù)學(xué)物理是不好入門的，因?yàn)榈谝?，沒(méi)有教科書；第二，范圍太廣，幾乎涵蓋了所有數(shù)學(xué)領(lǐng)域，正是這樣的龐然大物，會(huì)讓初學(xué)者常常有無(wú)從下手的感覺； 第三，需要一些和別的數(shù)學(xué)學(xué)科不一樣的訓(xùn)練，特別是需要一些物理的背景，而自學(xué)物理對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)講是非常困難的。
內(nèi)在的和諧與統(tǒng)一：雖然表面上看是很混亂，但是在深處這些表面的亂象都是同一個(gè)無(wú)窮維的龐然大物的不同的側(cè)面，因而他們有內(nèi)蘊(yùn)的和諧。他們?cè)谏顚哟紊系暮椭C與統(tǒng)一，使得我們不應(yīng)該把表面的現(xiàn)象看成混亂，而是應(yīng)該看成是一種豐富的體現(xiàn)。是的，無(wú)窮維的數(shù)學(xué)的一個(gè)基本特征是表面的豐富和內(nèi)在的統(tǒng)一。只有以這樣的心態(tài)去看待數(shù)學(xué)物理，才會(huì)消除很多對(duì)表面上的混亂的抵觸心理。她的豐富多彩與和諧統(tǒng)一正是你所追慕的，所以你也要接受她表面上多變的性格，并因此而愛她。
數(shù)學(xué)物理的哲學(xué)趣味：一方面數(shù)學(xué)物理和對(duì)大自然的理解息息相關(guān)，所以數(shù)學(xué)物理的內(nèi)涵必然是包括自然哲學(xué)的。不但如此，因?yàn)楹土孔右Φ纳羁剃P(guān)系，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)物理在非?；A(chǔ)的層次上挑戰(zhàn)我們對(duì)宇宙幾乎所有的認(rèn)知，這些新的挑戰(zhàn)使得哲學(xué)家，邏輯學(xué)家，數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家，計(jì)算機(jī)科學(xué)家開始聚合在一起，一起來(lái)面對(duì)一場(chǎng)非常底層的變革。另一方面不同方向的數(shù)學(xué)物理學(xué)家要交流，必須要拋開表面的，語(yǔ)言的和技術(shù)上的不同，而去挖掘深層次的，哲學(xué)上的共性。只有沉的足夠的深，交流才是可能的。然而更重要的是，一個(gè)本質(zhì)特征能夠被挖掘出來(lái)，往往是因?yàn)槲覀兿劝l(fā)現(xiàn)她會(huì)在不同數(shù)學(xué)語(yǔ)境里有類似的表現(xiàn)，而發(fā)現(xiàn)那些隱藏在表象背后的哲學(xué)本質(zhì)本來(lái)就是數(shù)學(xué)物理研究的最根本的目標(biāo)之一。 數(shù)學(xué)家 Gelfand 說(shuō)：“不要吝惜時(shí)間來(lái)思考基礎(chǔ)理論問(wèn)題，這點(diǎn)很重要?！?，在我們的時(shí)代，數(shù)學(xué)家應(yīng)該成為自然哲學(xué)家?！?/span>
新的語(yǔ)言：在這個(gè)充滿未知的領(lǐng)域里面，連描述未知的語(yǔ)言往往也是未知的。能夠描述自然法則的前提是要建立一個(gè)語(yǔ)言系統(tǒng)，而語(yǔ)言系統(tǒng)的建立本身就依賴于我們對(duì)自然法則的深刻理解，所以語(yǔ)言本身就是自然法則的一部分。而且語(yǔ)言系統(tǒng)的建立可能是我們?cè)谔剿鬟^(guò)程中最為艱難的步驟。用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言把問(wèn)題描述出來(lái)，或把核心結(jié)構(gòu)定義出來(lái)往往是最難的。 如果能做到，問(wèn)題也就被解決了一大半了。
基礎(chǔ)知識(shí)和技術(shù)：當(dāng)精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言把問(wèn)題描述出來(lái)以后，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)以前所有的數(shù)學(xué)工具都用不上，需要的是去發(fā)明全新的數(shù)學(xué)工具。雖然有的時(shí)候碰巧前人發(fā)明的數(shù)學(xué)工具可以用，但是常存這樣的僥幸心理長(zhǎng)期來(lái)講是有害的，因?yàn)槲覀兊哪康木褪侨グl(fā)現(xiàn)一個(gè)全新的數(shù)學(xué)世界。 所以堅(jiān)固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，廣博的數(shù)學(xué)知識(shí)和強(qiáng)大的技術(shù)都不是探索者必需的素質(zhì)。真正需要的是探索者的勇氣，獨(dú)立之精神和自由之思想。雖然從本質(zhì)上講，所有領(lǐng)域在這一點(diǎn)上都是一樣的，但是那些相對(duì)成熟的領(lǐng)域?qū)A(chǔ)和技術(shù)的要求還是要高很多。
年青人的舞臺(tái)：我們接著前面的特點(diǎn)略微展開談一下，量子場(chǎng)論和很多領(lǐng)域的數(shù)學(xué)相關(guān)，這也給剛?cè)腴T的學(xué)生帶來(lái)一些錯(cuò)覺：是不是需要懂很多數(shù)學(xué)才有可能來(lái)做數(shù)學(xué)物理？其實(shí)真實(shí)的情況并非如此，除了幾個(gè)需要比較多基礎(chǔ)知識(shí)的領(lǐng)域，比如鏡對(duì)稱（Mirror Symmetry）等，更多的方向上并不需要太多的基礎(chǔ)知識(shí)，即使是研究鏡對(duì)稱也有很多不需要太多基礎(chǔ)的入手點(diǎn)。更重要的是量子場(chǎng)論要求的數(shù)學(xué)大多是全新的數(shù)學(xué)，她們還沒(méi)有被建立起來(lái)。更有甚者，學(xué)了很多數(shù)學(xué)有時(shí)候甚至是有害的，因?yàn)槿绻麑W(xué)了很多數(shù)學(xué)知識(shí)放在腦子里，我們的本能就是希望有機(jī)會(huì)讓這些數(shù)學(xué)知識(shí)能夠發(fā)揮作用，這種功利的想法反而限制了我們的想象力。因?yàn)槟忝鎸?duì)的是一個(gè)全新的數(shù)學(xué)世界，雖然建立舊世界通向新世界的橋梁也很重要，但是這種橋梁很多時(shí)候只是涉及了新世界的枝枝葉葉，而忽略了新世界有她自己內(nèi)蘊(yùn)的全新的生命結(jié)構(gòu)。所以更重要的素質(zhì)是學(xué)會(huì)放下，放下數(shù)學(xué)知識(shí)帶來(lái)的包袱，用一顆自由的心去傾聽。 所以一個(gè)年青人雖然沒(méi)有很豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，只要能夠保持一個(gè)天真的童心和足夠地努力，就有可能做出很大的突破性的工作。 限于篇幅，只在這里點(diǎn)到為止，筆者會(huì)在其他文章中詳細(xì)解讀。
在數(shù)學(xué)內(nèi)容上，無(wú)窮維的數(shù)學(xué)展現(xiàn)出很多新特征和新現(xiàn)象，比如高階同倫論和高階范疇的應(yīng)用，豐富的形變理論和模空間問(wèn)題，很多神奇的對(duì)偶現(xiàn)象，等等。每一個(gè)現(xiàn)象都值得我們做深入的分析和解讀。而在這里我們僅僅簡(jiǎn)單談?wù)勏旅嫒齻€(gè)新特征。
代數(shù)方法的重要性：傳統(tǒng)物理學(xué)大廈建立在微積分的基礎(chǔ)上，牛頓把經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題完全化成了微分方程的問(wèn)題，電動(dòng)力學(xué)和廣義相對(duì)論也都建立在微分方程的基礎(chǔ)上，所以分析的方法在經(jīng)典的數(shù)學(xué)物理里面占有舉足輕重的地位，大多數(shù)物理學(xué)家因此相信，方程是表達(dá)宇宙的永恒規(guī)律的唯一語(yǔ)言，寫下以自己名字來(lái)命名的方程式大概是幾乎所有物理學(xué)家的夢(mèng)想。量子力學(xué)的誕生以后，雖然方程仍然是主流語(yǔ)言，比如：薛定諤方程，狄拉克方程，但是代數(shù)的方法也越來(lái)越重要，特別是表示論的重要性變的顯而易見，群論和群表示論也已經(jīng)從最初的一個(gè)純數(shù)學(xué)分支變成了所有物理學(xué)家的通用語(yǔ)言。而且從量子力學(xué)的起源上看，海森堡從可觀測(cè)代數(shù)的角度給出的量子力學(xué)描述可能更加基本。量子場(chǎng)論興起以后，分析的方法在半經(jīng)典的近似下仍然有很大的作為，但是對(duì)完全量子化的場(chǎng)論顯得有些力不從心，其跟本原因是量子物理和牛頓的經(jīng)典時(shí)空觀念是格格不入的，而從描述量子世界的數(shù)學(xué)語(yǔ)言上看，微積分在本質(zhì)上就是不夠的，我們需要一個(gè)新的量子化的微積分[8]。 這里的“量子化”有兩個(gè)不同又彼此相融的意思[9]，
一是在量子物理中，可觀測(cè)量構(gòu)成一個(gè)非交換的代數(shù)（海森堡圖像）。如果和量子力學(xué)的建立一樣，我們把可觀測(cè)量看做是構(gòu)建新的微積分的出發(fā)點(diǎn)的話，那么代數(shù)方法將是這個(gè)新的微積分核心，法國(guó)數(shù)學(xué)家阿蘭·孔涅（Alain Connes）發(fā)展的非交換幾何是這一個(gè)思路的代表[8]；
另一個(gè)是路徑積分的，從這個(gè)角度看需要無(wú)窮維，因?yàn)槁窂娇臻g是無(wú)窮維的。從無(wú)窮維的角度看，實(shí)數(shù)就不是一把測(cè)量無(wú)窮維數(shù)學(xué)世界的好尺子。所以很多無(wú)窮維空間就沒(méi)有傳統(tǒng)意義上的取實(shí)數(shù)值的測(cè)度。這時(shí)候我們需要用無(wú)窮維的尺子來(lái)測(cè)量無(wú)窮維的世界。 在我們尋找適當(dāng)?shù)臏y(cè)量無(wú)窮維的尺子的時(shí)候，尺子內(nèi)蘊(yùn)的結(jié)構(gòu)變得更為重要。也許我們最終還是要建立完備的分析的方法和理論，但是這個(gè)理論必須建立在我們對(duì)無(wú)窮維相關(guān)數(shù)學(xué)的基本代數(shù)結(jié)構(gòu)的理解之上，就好像實(shí)數(shù)是由有理數(shù)完備化而來(lái)，但是這個(gè)完備化依賴于有理數(shù)上面的代數(shù)結(jié)構(gòu)。所以對(duì)無(wú)窮維上面的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的理解，應(yīng)該放在完備化之前[10]。
阿蘭·孔涅（照片來(lái)源：MFO）
70年代以前，物理中的代數(shù)方法主要是指群論，現(xiàn)在越來(lái)越多的代數(shù)結(jié)構(gòu)開始在量子場(chǎng)論的研究中大展身手，比如：無(wú)窮維李代數(shù)，A-infinity (C-，L-infinity，etc)代數(shù)，Hopf 代數(shù)，頂點(diǎn)算子代數(shù)，張量范疇，factorization algebra，等等。
格羅騰迪克（照片來(lái)源：wiki）
范疇學(xué)的興起：范疇學(xué)起源于代數(shù)拓?fù)洌?0年代格羅騰迪克（A. Grothendieck）將其變成了代數(shù)幾何的基礎(chǔ)語(yǔ)言，隨后其影響逐漸輻射到很多其他領(lǐng)域，因而成就了一股范疇論替代集合論的潮流。到了90年代這個(gè)潮流非但沒(méi)有衰減，反而有了新的強(qiáng)大動(dòng)力：量子場(chǎng)論或無(wú)窮維的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。為什么無(wú)窮維的數(shù)學(xué)要用到范疇學(xué)？ 從代數(shù)上看，如果我們的尺子是實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)），很多場(chǎng)論的問(wèn)題就可以化成無(wú)窮維的線性代數(shù)問(wèn)題，但是用有限維的尺子去測(cè)量無(wú)窮維是沒(méi)有效率的，而特別有效的尺子本身往往就是無(wú)窮維的，用了這樣的尺子， 很多場(chǎng)論的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化成在不平凡的張量范疇里面的代數(shù)問(wèn)題。更多的時(shí)候，無(wú)窮維豐富的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)會(huì)讓研究者非常迷惑，而范疇學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)做一個(gè)巨大的統(tǒng)一，很多不同領(lǐng)域看似不同的數(shù)學(xué)概念，在范疇學(xué)的視角里不過(guò)是不同范疇里的同一概念。所以研究無(wú)窮維的問(wèn)題的時(shí)候，范疇學(xué)變成了非常有用的語(yǔ)言和導(dǎo)向性工具。不但如此，在物理里面，沒(méi)有結(jié)構(gòu)的“存在”是不存在的，即使是“點(diǎn)粒子”也不是數(shù)學(xué)意義上的點(diǎn)而是有很多結(jié)構(gòu)，很多時(shí)候我們希望能夠在每一個(gè)“點(diǎn)”都帶有豐富結(jié)構(gòu)的“數(shù)域”上積分，而范疇學(xué)其實(shí)就提供了一個(gè)結(jié)構(gòu)化的微積分。另外值得一提的是量子物理在很多基本方面都暗合范疇學(xué)的基本精神。比如，量子理論把可測(cè)量提到一個(gè)最本質(zhì)的層次，可測(cè)的不是基本粒子，而是他們之間的相互作用，沒(méi)有相互作用，測(cè)量也是不可能的；而范疇學(xué)的基本精神就是認(rèn)為對(duì)象之間的相互關(guān)系比對(duì)象更重要，甚至對(duì)象本身就是所有相互關(guān)系的反映[11]。
物理圖像對(duì)無(wú)窮維數(shù)學(xué)的研究有不可思議的有效性：我們熟知的一個(gè)著名問(wèn)題是：為什么數(shù)學(xué)對(duì)物理有不可思議的有效性（unreasonable effectiveness）[12]？而物理圖像對(duì)無(wú)窮維數(shù)學(xué)的研究有不可思議的有效性， 這是一個(gè)全新的現(xiàn)象。 要仔細(xì)解讀這個(gè)現(xiàn)象很難，超出了本文的范疇，我們這里只想點(diǎn)出，本文的核心，無(wú)窮維上的新數(shù)學(xué)，給出了一個(gè)明顯的暗示。一個(gè)無(wú)窮維的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如果單從他的生成元和她們之間的關(guān)系的角度看，非常復(fù)雜，很難有什么數(shù)學(xué)直覺。但是如果這個(gè)無(wú)窮維的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)描述的是一個(gè)有無(wú)窮自由度的物理系統(tǒng)，比如一塊固體材料。我們的物理直覺，甚至就是一塊固體材料在普通視覺下效果，也已經(jīng)是做了很復(fù)雜的重整化計(jì)算的結(jié)果，即把所有微觀自由度積分積出來(lái)的結(jié)果。這一個(gè)過(guò)程從數(shù)學(xué)上看是非常不平凡的，也就是說(shuō)有時(shí)候物理直覺本身就是一個(gè)不平凡的對(duì)無(wú)窮自由度的計(jì)算結(jié)果。也許這就是物理圖像對(duì)無(wú)窮維數(shù)學(xué)的研究有不可思議的有效性的一個(gè)重要原因。
另外借助這個(gè)語(yǔ)境，我們順便提一下，無(wú)窮維的數(shù)學(xué)世界展現(xiàn)了很多神奇的對(duì)偶現(xiàn)象，這些對(duì)偶并不是局限在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的同構(gòu)，可以是更弱意義下的對(duì)應(yīng)，比如一些多體系統(tǒng)和場(chǎng)論里面的 boundary-bulk duality。這些看上去低維度的多體系統(tǒng)能夠和高維度的多體系統(tǒng)之間有對(duì)偶，其根本原因是二者本質(zhì)上都是無(wú)窮維的。甚至在無(wú)窮維的數(shù)學(xué)世界里面，一個(gè)“點(diǎn)”也都是無(wú)窮維的。這可能是藏在很多物理全息現(xiàn)象背后的原因。我們希望以后能回到這個(gè)話題上來(lái)。
在這篇文章里，我們簡(jiǎn)略地分析了過(guò)去30年物理對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深刻影響的原因。我們希望讀者已經(jīng)從我們的分析中了解了，為什么這是一場(chǎng)革命性的洪流，而非曇花一現(xiàn)的時(shí)尚。我們相信探索無(wú)窮維的數(shù)學(xué)新大陸正是這個(gè)時(shí)代賦予我們的機(jī)遇和使命。
在文章的進(jìn)程中我們有意地忽略了很多重要的問(wèn)題，比如：我們既沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)物理發(fā)展的歷史進(jìn)程做任何說(shuō)明，在每一個(gè)年代里面到底發(fā)生了什么？ 在不同的年代有什么特別重要的特點(diǎn)？ 也沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)物理新進(jìn)展的具體內(nèi)容做任何介紹，也沒(méi)有給出任何具體的實(shí)例來(lái)展現(xiàn)由數(shù)學(xué)物理帶來(lái)的和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不同的思考方式。我們認(rèn)為對(duì)這些問(wèn)題做細(xì)致的分析和廣泛深入的討論是非常有意義的，不過(guò)這不可避免地讓我們走入學(xué)科的細(xì)節(jié)。從數(shù)學(xué)方面介紹數(shù)學(xué)物理的中文文章不多，我們希望拋磚引玉，期待以后能夠看到很多這方面的討論。在這里我們推薦阿蒂亞（M. Atiyah）先生的《數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性》[13]和丘成桐先生的《丘成桐談空間的內(nèi)在形狀》（簡(jiǎn)體中文版為《大宇之形》）[14]。其實(shí)這方面的英文文章也不多，特別是和本文類似性質(zhì)的文章幾乎沒(méi)有，一個(gè)比較深入的討論見 Moore 的綜述性文章[15]。
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