這個物理理論未被實驗證實，卻已對數(shù)學產(chǎn)生了極大影響
圖1：弦論（string theory）
撰文 | 張?zhí)烊?/span>
責編 | 寧 茜、呂浩然
人們都說，物理學是以實驗為基礎的科學。如果一個物理理論長久不能被實驗證實，還有繼續(xù)研究的必要嗎？如今，理論物理的頂峰：弦（理）論（string theory），看起來就屬于這種理論。
自上世紀60年代弦論誕生以來，半個多世紀已經(jīng)過去，它吸引了大量最優(yōu)秀的數(shù)學、物理高材生，耗盡了許多年輕科學家的寶貴光陰甚至整個人生，但弦論學家們?nèi)匀粺o法提出任何目前能夠直接被實驗或觀測驗證的預言，原因是要實現(xiàn)它們所需的能量太大了，是現(xiàn)有（也許將來一段不短時期）的粒子對撞機實驗完全無法達到的能量級別。因而，弦論的實驗驗證可謂遙遙無期。這種狀況引發(fā)學界激烈的爭論：弦論是“真正的科學”嗎？繼續(xù)研究它有何意義呢？
實際上，弦論幾十年研究的功勞不小，不僅解決了粒子物理、宇宙學等領域的一些問題，還啟發(fā)了數(shù)學家的思維，大大促進了數(shù)學某些方面的研究和發(fā)展。此外，它對科學思想、哲學等也頗有貢獻。
因此，在介紹弦論的歷史及簡單內(nèi)容之前，我們首先彈撥一曲“弦外之音”，讓讀者耹聽一下：物理學（包括這幾十年的弦論研究）對科學方法的影響，以及弦論對現(xiàn)代數(shù)學貢獻了什么。
弦論之哲學思想，仍屬于還原論的范疇，是古希臘就開始的自然科學主流。還原論在物理學上體現(xiàn)為追溯萬物之本，從德謨克利特（Δημ?κριτο?， 約公元前460-公元前370）的原子論構(gòu)想，到現(xiàn)代物理中的標準模型，表面看起來都是試圖回答同樣一個問題：宇宙中的萬物（最終）是由什么構(gòu)成的？
然而，隨著科學技術的發(fā)展，哲學思想的內(nèi)涵有了很大變化。古人說“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。根據(jù)經(jīng)典科學的概念，復雜的事物可以化簡，房屋能夠拆成磚塊，大的物體可以分??；然后，再化簡，再分小……一直深入下去。例如，人體由細胞組成，細胞由分子構(gòu)成，分子又包含了原子，然后再到電子、質(zhì)子和中子，一層比一層更小、更輕，也就是“更為基本”。
換言之，經(jīng)典科學中溯本求源的手段是“拆”和“分”，然后再用測量來判斷大小。測大小的最簡單方法是用眼睛，房子大磚頭小，因此房屋由磚頭構(gòu)成，一看便知。在實驗室里則可以用顯微鏡觀察到人體的細胞、分子、原子等等。固然，原子也不是最基本的，因為科學家們在原子的散射實驗中又發(fā)現(xiàn)了電子和質(zhì)子。
不過，再小下去就出現(xiàn)了問題。測量越來越困難，孰大孰小孰輕孰重，便難以判定。如此一來，也說不清誰是更基本的了！況且，“拆”和“分”的概念也失去意義。例如，分子原子等可以說成是物質(zhì)一分再分而分出來的，但后來發(fā)現(xiàn)的許多“粒子”，卻不是“分”出來的了。哪里來的呢？一是天上來的宇宙射線，二是對撞機中撞來撞去撞出來的。這兩種新方法為人類提供了幾百種不同的粒子，它們在撞來撞去的過程中互相“湮滅、生成、轉(zhuǎn)化”，因此，難以判定誰更基本。
圖2：β衰變
比如說，正電子和負電子對撞，可以湮滅而生成一對光子。你能說電子中包含了光子嗎？顯然不能，因為理論上，當光子能量足夠時，你也可能觀察到完全相反的逆過程（即兩個光子對撞生成正負電子）。又如，圖2a顯示的是β衰變，一個中子轉(zhuǎn)變?yōu)橘|(zhì)子，同時釋放一個電子和一個反電中微子。圖2b所示則是另外一種過程（+β衰變）：一個質(zhì)子轉(zhuǎn)變成中子，同時釋放一個正電子和一個正電中微子。諸如此類的“粒子”轉(zhuǎn)換過程，不好用經(jīng)典說法中的“分”來理解，也不能得出“誰組成誰”的結(jié)論。也就是說，到了比原子更小的層次，我們最好將圖像和理論理解成是為了描述的方便而已，并非意味著某事物的內(nèi)部就是圖上畫的那個樣子。
盡管如此，物理學家仍然將幾百種粒子分了類，確定了最少數(shù)目的“基本粒子”，在上一篇介紹的包括3種相互作用的標準模型中，這個數(shù)目是61（不包括引力子）。
不過，在弦論之前的物理，最終是將萬物之本歸結(jié)為某些“點狀粒子”，而弦論則認為宇宙中最基本的，不是“點”，而是一段“弦”。
“物理理論從何而來？”這好像是個不成問題的問題，多數(shù)人的回答是，當然來自于實驗數(shù)據(jù)。這是物理界公認的事實，也基本正確。人類對自然的認識從實踐開始，再回到實踐。發(fā)展初期的自然科學，也是首先始于觀察和實驗。以標準模型為例，如當年蓋爾曼（Murray Gell-Mann，1929 -2019）的八正法（eightfold way），直到夸克模型（Quark Model），便是為了解釋大量強子實驗數(shù)據(jù)而作出的假設。理論一旦建立起來，又需要被更多的實驗所證實。標準模型作為一個成功的粒子物理理論，就是因為到目前為止，幾乎所有對引力之外三種力的實驗結(jié)果，都符合這套理論的預測。
不過，事情也有例外，愛因斯坦的廣義相對論，當初就并不是為了解決任何實驗而建立的。反之，它是人類思想的勝利，是愛因斯坦遵循哲學觀念（相對性原理）及邏輯推理，憑著創(chuàng)造性的直覺和猜測而得來的純粹理性思維的杰作。如今，理性思維產(chǎn)生的廣義相對論，已被多項實驗以及天文觀測數(shù)據(jù)證實，幾年前人類第一次探測到的引力波，再一次證明了這個理論的正確性。
事實上，如今的物理學，已經(jīng)越來越變成了理論領先于實驗的學科。理論可以獨立發(fā)展，理論可以預言暫時未觀察到的事物，理論甚至還可以創(chuàng)造出新的理論。例如，根據(jù)18世紀發(fā)展起來的最小作用量原理，只需找到合適的拉格朗日作用量，就能得出物理定律。經(jīng)典物理中的分析力學便是這樣建立起來的，量子物理更是將此方法應用推廣到了極致。此外，數(shù)學家諾特（Emmy Noether，1882-1935）有關對稱和守恒的原理也為純粹從理論預言新的物理規(guī)律提供了思路。
因此，評判一個物理理論是否正確，可以有一系列標準。除了實驗這一條之外，還有所謂的理論美：簡單、連貫、一致、優(yōu)雅等等。因此，即使尚未被實驗驗證，杰出的科學思想也或許有很大的價值。
雖然弦論最早是來源于對強相互作用的（錯誤）研究，但后來卻是完全靠數(shù)學思想和自身邏輯發(fā)展成了一個宏大而優(yōu)雅的理論體系。也許遲早將會有實驗或觀測結(jié)果證明弦論的正確，正如一位弦論學者約翰·施瓦茨（John Schwarz，1941- ）所言：
數(shù)學物理早期是一家，分家后各自發(fā)展。數(shù)學的發(fā)展方向包括純數(shù)學和應用數(shù)學，與物理相關的主要是應用數(shù)學，并且其作用大多數(shù)是為了計算。
物理和數(shù)學相互促進最早的例子應該是牛頓為了研究運動學而創(chuàng)立的微積分。之后便是剛才提及的變分法和分析力學。愛因斯坦用黎曼幾何完整地解讀了廣義相對論的美妙，之后，廣義相對論又反哺數(shù)學，促進了整體微分幾何及流形理論等領域的發(fā)展。
到了量子場論時期，這種例子越來越多了，場論的研究除了影響應用數(shù)學之外，也涉及許多純數(shù)學領域。例如，楊-米爾斯的非阿貝爾規(guī)范場論（non-Abelian gauge field），在數(shù)學上是一個非?；钴S的研究領域，它產(chǎn)生了西蒙·唐納森（Simon Donaldson，1957-）的工作，促進了數(shù)學中規(guī)范場論（Donaldson theory）的發(fā)展，推動了數(shù)學家研究在四維流形上可微結(jié)構(gòu)的不變量，解決四維流形分類的問題。
楊-米爾斯理論相關的另一個數(shù)學問題“存在性與質(zhì)量間隙”，被列入克雷數(shù)學研究所（Clay Mathematics Institute, 簡稱CMI）的“千年獎問題”[1]之一。該問題旨在尋求對一個猜想的證明，即證明楊-米爾斯方程組有唯一解，并且該解滿足“質(zhì)量間隙”這一特征。這個問題至今未被解決，千年獎問題中唯一被破解了的是“龐加萊猜想”（Poincaré conjecture）。該問題2006年確認由俄羅斯數(shù)學家格里戈里·佩雷爾曼（Grigory Perelman，1966-）完成最終證明，他也因此在同年獲得菲爾茲獎（Fields Medal），但并未現(xiàn)身領獎。佩雷爾曼的證明文章中，用到了物理學中“熵”的概念。
弦論研究中物理與數(shù)學的互動不勝枚舉，物理的直覺靈感推動數(shù)學前進，數(shù)學則為弦論提供了一個非常重要的檢驗平臺。盡管弦論目前還難以被物理實驗證明正確與否，但由弦論所激發(fā)的數(shù)學卻是正確而漂亮的，這點給予弦論一種間接的驗證。下面簡單介紹幾個弦論研究促進數(shù)學發(fā)展的實例。
流形可以被簡單地理解為局部平直的幾何空間。如果以不同的維數(shù)來分類，可以有1維流形、2維流形……n維流形。
圖3：各種維度的流形
圖3是流形的例子。雖然流形的維數(shù)n可以是任何正整數(shù)，但在一個平面圖上我們只能畫到2維流形，再高維的就畫不出來了，只好輔之以想象?？ɡ?丘是一類特別的6維流形，是無法畫出來也難以想象的，圖3右圖中顯示的只是它的低維截面圖。因此，讀者不用糾結(jié)于“它到底長什么樣”，可以簡單地將它大概理解成極小又纏繞得極緊的“一團東西”，隱藏于我們看不見摸不著（后幾篇會介紹）的“額外維度”中。
數(shù)學家卡拉比（Eugenio Calabi，1923-）最先于1957年就這一類流形提出了一個猜想，美籍華裔數(shù)學家丘成桐（Shing-tung Yau，1949-）于1978年證明了這個猜想。然后，1985年，四位弦論研究者坎德拉（Philip Candelas，1951-）、霍洛維茨（Gary Horowitz，1955-）、斯特羅明格（Andrew Strominger，1955-）和威滕（Edward Witten，1951-）寫了一篇革命性的論文，他們發(fā)現(xiàn)他們所研究的超弦理論中額外的6維空間是復3維（實6維）的卡拉比-丘流形。這使得卡拉比-丘空間成為之后三十年來數(shù)學和物理中非常熱門的課題[2]。由弦論所激發(fā)的靈感使得一些非常重要的數(shù)學問題得以解決。反之，數(shù)學又為驗證弦論所激發(fā)的構(gòu)想是否正確或自洽，提供了一種方式。
丘成桐深刻感受到物理學家的直覺對解決數(shù)學問題的作用，但以上所述并不是第一個使他吃驚的例子。丘成桐與4位作者之一的威滕早有交集，因為他有關流形的研究工作，本來就與廣義相對論彎曲時空性質(zhì)有關。廣義相對論中有一個正能量定理（Positive energy theorem），或稱正質(zhì)量猜測（positive mass conjecture）。丘成桐使用非線性偏微分方程中的極小曲面理論，在1979年對此猜想給出了一個完全的證明。這在當時是一項了不起的工作，是丘成桐1982年獲得菲爾茲獎的主要成就之一。
1981年的一天，物理學家戴森（Freeman Dyson，1924-2020）來敲丘成桐普林斯頓高研院（Institute for Advanced Study，簡稱IAS）辦公室的門， 向他引薦了年輕的物理學家威滕。當時只有30歲的威滕用線性偏微分方程理論和Dirac旋量的方法，以及源于物理中經(jīng)典超引力的思想，對正能量猜測給出了一個十分簡潔的證明。物理學家尤其喜歡威滕的證明，因為他們不需要再鉆研數(shù)學中復雜的極小曲面理論了。這個另辟蹊徑的證明讓丘成桐震驚。之后，威滕于1990年獲得了菲爾茲獎。
圖4：數(shù)學家丘成桐和弦論學家威滕
再回到卡拉比-丘流形的話題。后來，坎德拉、布萊恩·R.格林（Brian R. Greene，1963-）等物理學家又發(fā)現(xiàn)Calabi-Yau 3-fold具有一種性質(zhì)叫鏡像對稱性（Mirror symmetry），但指的不是通常意義下的鏡面對稱性（見接下的篇章）。坎德拉將這個對稱性用于解決卡拉比-丘流形的一個與“枚舉幾何”有關的問題。
枚舉幾何的目的，是研究幾何中某類圖形的數(shù)量。例如，舉兩個最簡單的枚舉幾何問題：通過平面上給定兩點能作幾條直線？答案是1；另一個例子稍微復雜（Apollonius's problem）：平面上給定三個圓，和這三個圓都相切的圓有多少個？一般情況下，答案是8（PS：讀者們可以想象一下這8個圓都是如何相切的，我們下期放圖?。?/span>。
剛才是極為簡單的平面（枚舉）幾何例子，答案很容易計算，但隨著問題復雜性增加，即使是2維中的問題，計算也會很快就變得非常繁瑣，完全不可能依賴直覺計算出來。到了高維空間就異常困難了。首先是沒有了直觀圖像，幾何方法不便使用，只好借助于代數(shù)，所以就有了“代數(shù)幾何”這門學科。當年的坎德拉等人要解決的問題，是要計算6維的卡拉比-丘流形上有理曲線的數(shù)目，他們1991年算出來了[3]，結(jié)論是：317,206,375。
然而，兩位挪威數(shù)學家爾林斯瑞德（Geir Ellingsrud，1948-）和斯達姆（Stein Stromme，1951-2014）已經(jīng)努力用他們復雜的工具和一系列天才的計算機程序，來計算同樣的問題，卻得到了不同的結(jié)果：2,682,549,425。因此，開始時數(shù)學家們有點懷疑弦論學家們的結(jié)果，因為物理學家用了數(shù)學家沒有聽說過的“鏡像對稱”技巧。后來，爾林斯瑞德和斯達姆謹慎地檢查了他們的工作，然后在計算機程序中發(fā)現(xiàn)了一個錯誤。于是，他們宣布了他們的修正，結(jié)果的數(shù)值與物理學家們計算的完全一致！
圖5：Philip Candelas在UT Austin
盡管最初的鏡像對稱方法是從物理學出發(fā)的，數(shù)學上并不嚴格，但后來它的許多數(shù)學預測已經(jīng)被嚴格證明了。再后來，鏡像對稱成為純數(shù)學界中的熱門話題，法國俄裔數(shù)學家馬克西姆·孔采維奇（Maxim Lvovich Kontsevich，1964-）于1998年獲得菲爾茲獎，其部分原因便與鏡像對稱及枚舉幾何有關。
下篇預告
弦論簡史
參考資料：
[1]千禧年大獎難題：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%83%E7%A6%A7%E5%B9%B4%E5%A4%A7%E7%8D%8E%E9%9B%A3%E9%A1%8C
[2]Shing-Tung Yau and Steve Nadis，The Shape of Inner Space, Basic Books，New York，pp.169-70.
[3]Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia; Green, Paul; Parks, Linda. A pair of Calabi–Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory. Nuclear Physics B. 1991, 359 (1): 21–74.
制版編輯 | Morgan
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