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撰文 | 張?zhí)烊?/span>

責(zé)編 | 寧   茜 呂浩然

科學(xué)就是如此奇妙，很多時候，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家經(jīng)常從完全不同的理由出發(fā)，獨自進行研究，最后卻發(fā)現(xiàn)得出了某種相同的結(jié)構(gòu)，卡拉比-丘空間的發(fā)現(xiàn)是此類實例之一。

丘成桐（1949- ）在1977年就證明了卡拉比（Eugenio Calabi，1923- ）于20多年前純粹作為幾何問題而提出的猜想，從此以后，卡拉比-丘空間（Calabi-Yau Space）便成為了他的“掌上明珠”。但丘成桐可能不知道的是，同樣也有一批理論物理學(xué)家和數(shù)學(xué)物理學(xué)家，逐漸被這種類型的幾何結(jié)構(gòu)所吸引。那幾年，他們正在“眾里尋他千百度”呢，但卻萬萬沒想到，這“燈火闌珊處”，原來就在離得不遠的數(shù)學(xué)界。

1984年，丘成桐接到他以前的博士后加里·霍洛維茨（Gary Horowitz，1955- ）和好友安德魯·斯特羅明格（Andrew Strominger，1955-）的電話。他們告訴丘成桐，在他們最近的工作中，發(fā)現(xiàn)弦論中蜷縮起來的額外六維空間，就應(yīng)該是卡拉比-丘空間。他們的結(jié)果發(fā)表在 Candelas-Horowitz-Strominger-Witten 1985 年的文章里。

從物理學(xué)的角度看，卡拉比-丘空間最簡單的特性，可以用一句話來描述：這是一個里奇平坦的、緊致的復(fù)流形，怎么理解這三個特性呢？

復(fù)流形（complexmanifold）是具有復(fù)數(shù)結(jié)構(gòu)的流形。流形則可以簡單地被理解為局部平坦的空間，換言之，其上的每個小區(qū)域看起來都像普通的歐幾里德空間（Euclidean space）（“流形”和“空間”兩個詞匯通用，本文以后將不再區(qū)分）。復(fù)流形就是能被一族具有復(fù)數(shù)坐標(biāo)的鄰域所覆蓋的空間。一個n維復(fù)流形也是2n維的（實）流形。例如，圖1是1維復(fù)流形（2維實流形）的幾個特例。

圖1a復(fù)數(shù)平面（complex plane）是最簡單平庸的1維復(fù)流形。b所示的環(huán)面（Flat torus）是卡拉比-丘流形的實2維類比。c黎曼球面（Riemann Sphere）和d平方根黎曼曲面（Riemannian surface）是黎曼流形的例子。

緊致性流形是因為空間彎曲而造成的圖形，如圖1b和1c所示。緊致性，有其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，在丘成桐先生的科普書《大宇之形》中，將其簡單地解釋為“范圍有限”。我們也不妨使用康奈爾大學(xué)麥卡利斯特（Liam McAllister）的話來這樣直觀理解緊致性：“可以用有限塊、有限大小花布縫制的被子來完全覆蓋它”?？ɡ权C丘流形屬于緊致性流形，因此將它用于弦論中時，我們這些四維時空的居民，根本看不到這個緊致極小的六維空間。盡管它無處不在，系附在我們世界的每一時空點。

然而，這個看不見摸不著的空間，對我們的4維時空有著深刻的影響。弦論學(xué)者們認為，原則上，只要我們知道這個緊致空間確切的形狀，我們就知道了一切。也有人說：“宇宙密碼可能寫在卡拉比-丘空間的幾何性質(zhì)中”，就像人體DNA記錄了人體的秘密一樣。因此，弦論的創(chuàng)建者之一，斯坦福大學(xué)物理學(xué)家薩斯金（Leonard Susskind，1940- ）宣稱，卡拉比-丘流形是“弦論的DNA”。

里奇平坦空間（Ricci-flatmanifold）的意思是該空間的里奇曲率（Ricci curvature）為0。那么，又何謂里奇曲率呢？這個名詞對物理（弦論）很重要，但解釋起來需要更多的預(yù)備知識。此外，如同卡拉比-丘空間這樣一種頗為復(fù)雜的復(fù)3維（實數(shù)6維）幾何結(jié)構(gòu)，又是如何與物理學(xué)關(guān)聯(lián)起來的？這些都得慢慢從頭說起。

其實上，科學(xué)史中幾何與物理的交匯之點比比皆是、源遠流長。

幾何與物理是相通的，楊振寧曾經(jīng)贈給著名幾何學(xué)家陳省身一首詩：“天衣豈無縫，匠心剪接成。渾然歸一體，廣邃妙絕倫。造化愛幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳?！?/span>（編者注：先別看下文，詩中的最后一句“歐高黎嘉陳”，你知道是哪五位幾何學(xué)家么？）

其中所言“四力纖維能”，指的是楊先生1954年建立的用于“四種力”的規(guī)范場論，正巧與陳省身先生8年前（1946年）提出的“纖維叢”理論，奇妙地聯(lián)系在一起。詩里最后一句則點出了“歐幾里德（Euclid，約330B.C-275B.C）、高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）、黎曼（Friedrich Riemann，1826-1866）、嘉當(dāng)（élie Joseph Cartan，1869-1951）、陳省身（1911-2004）”五位偉大幾何大師的名字，他們的工作都與物理學(xué)有一定關(guān)系。

歐幾里德幾何與牛頓力學(xué)的關(guān)系是顯而易見的：靜力學(xué)的分析中，幾何圖形處處可見；描述天體的運動時，少不了幾種圓錐曲線。牛頓第二定律的公式F = ma，左邊的F是物理量，右邊的加速度a，是軌道變量的二階導(dǎo)數(shù)，在一定的情況下可表現(xiàn)為曲率，描述某曲線偏離直線的程度，是幾何量，如圖2所示。

圖2：平面曲線的曲率半徑和曲率

曲率（curvature）是什么呢？對平面曲線而言，曲率是曲率半徑（密切圓半徑）的倒數(shù)，表征曲線的彎曲程度。比如說，比較圖2中的曲線在點A、B、C的曲率：點A的曲率小于點C的曲率；點B的曲率最小，因為它的附近是一段無彎曲的直線，曲率為0。

當(dāng)幾何的研究范圍從曲線擴大到曲面的時候，曲率增加了一個本質(zhì)上全新的概念：內(nèi)蘊性。由此可將曲率分為外在曲率和內(nèi)蘊曲率。圖2所示曲線的曲率是外在曲率。

德國數(shù)學(xué)家高斯在1827年的著作《關(guān)于曲面的一般研究》中，發(fā)展了內(nèi)蘊幾何和內(nèi)蘊曲率的概念[1]。

內(nèi)蘊，是相對于“外嵌”而言。內(nèi)蘊幾何（intrinsic geometry），說的是那些源于內(nèi)在結(jié)構(gòu)而不依賴于所“嵌入”的外在空間的幾何，也就是在該空間以內(nèi)“感受”到的幾何性質(zhì)。我們先從一條線說起，線是1維空間，把它畫到圖2中，便是將它嵌入了2維空間。設(shè)想有一個生活在線上的“1維小螞蟻”，它只知道這條線，不知道有圖中的平面，更不知道我們能感受到的3維空間。也就是說，我們看見這條線在平面上彎來拐去，小螞蟻卻是看不見也感覺不到的。那條1維線如何彎如何拐，都是我們看見的“外在”性質(zhì)。螞蟻只知道順著線爬過去，我們看到的是“彎曲”還是“平直”，對螞蟻來說，沒有任何區(qū)別：只有爬過的距離，沒有前后上下左右。

所以，圖2中標(biāo)出的那條線上不同點（A、B、C）的不同曲率，是1維線的外在曲率。因此，1維的內(nèi)蘊幾何很簡單：任何1維線（在任何點）的內(nèi)蘊曲率均為零。

現(xiàn)在考慮二維的情況。例如，我們用一張紙代表2維空間。將它平鋪在桌子上，是平坦空間。如果將它卷成圓柱面或錐面，看起來便彎曲了。但是，這里所謂的“彎”是我們從3維空間看這張紙的形狀，并非這張紙本身的性質(zhì)。也就是說，這種“彎”是外在而非內(nèi)蘊的。換言之，紙上的“2維螞蟻”，感覺不到平坦鋪于桌子上的紙與卷成了圓柱面的紙有啥不同。

為了描述曲面的內(nèi)蘊性質(zhì)，高斯將曲面上的曲率定義為兩個主曲率（最大和最?。?/span>的乘積，即高斯曲率（Gauss curvature）。圖3中用紅色標(biāo)示出了柱面、錐面和球面的主曲率方向。從圖中可見，柱面和錐面在x方向的主曲率為0，因此高斯曲率（與0的乘積）也為0；球面的兩個主曲率都不為0，使得球面的高斯曲率不為0。

一張紙卷成了圓柱面，其內(nèi)在幾何性質(zhì)并未改變，因為將它攤開后仍然是一張平紙，從頂點剪開一個錐面也是如此情形。這種展開后為平坦的性質(zhì)叫做可展性。可展性與內(nèi)蘊性緊密相關(guān)，這兒不詳細解釋，僅以圖3中的圖像實例來幫助大家理解，更多詳情見參考資料[2]。

圖3：可展和不可展曲面

其實，從日常生活經(jīng)驗，很容易理解“可展”和“不可展”的含義。從圖3a也可以看出，可展面就是可以展開成平面的那種曲面。

圖3b所列舉的是不可展曲面，也就是不能展開成平面的曲面。例如，球面是不可展的。一頂做成近似半個球面的帽子，無論如何你怎么剪裁它，都無法將它攤成一個平面。換句話說，球面和柱面有一種本質(zhì)的不同。柱面看起來也是“彎曲”的，但本質(zhì)上卻是“平”的，這種情況下我們說，柱面的外在曲率不為0，但內(nèi)蘊曲率為0。而怎么也“弄不平”的球面呢？兩種曲率都不為0。所以，內(nèi)蘊曲率（以后簡稱曲率）反映了空間“平或不平”的本質(zhì)，這對物理學(xué)很重要。

可展是曲面的性質(zhì)，但可以推廣到高于2維的空間，對1維的情況，曲線都是可展的，因為一條曲線無論彎曲成什么形狀，都可以毫無困難地將它伸展成一條直線。因此，曲線沒有內(nèi)蘊性。

高斯在發(fā)現(xiàn)“高斯曲率”是一個曲面的內(nèi)在性質(zhì)時，一定是無比興奮和激動的，因為他情不自禁地將他的結(jié)論命名為“絕妙定理”：三維空間中曲面在每一點的曲率不隨曲面的等距變換而變化。言下之意就是說，他定義的高斯曲率是一個內(nèi)蘊幾何量[2]。

絕妙定理絕妙之處就在于它提出并在數(shù)學(xué)上證明了內(nèi)蘊幾何這個幾何史上全新的概念，它說明曲面并不僅僅是嵌入三維歐氏空間中的一個子圖形，曲面本身就是一個空間，這個空間有它自身內(nèi)在的幾何學(xué)，獨立于外界3維空間而存在。

高斯告訴我們：空間本身可以彎曲。但高斯對內(nèi)蘊幾何仍然有所迷惑，他在給天文學(xué)家奧伯斯（Heinrich Olbers，1758-1840）的信中說道：“我們幾何的必然性是無法證明的……或許在下輩子，我們會對目前無法觸及的空間本質(zhì)有所理解”。不過，高斯不用等到下輩子，他還在世時就已經(jīng)看到他的得意門生黎曼，正成功地走在他開創(chuàng)的幾何之路上。

圖4：高斯、黎曼、里奇

黎曼多病，年僅四十歲便英年早逝，但他對數(shù)學(xué)作出了多項杰出的貢獻。他奠基的黎曼幾何（Riemannian geometry），成為廣義相對論不可或缺的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對空間內(nèi)蘊本質(zhì)有了更為深刻的理解。

空間不僅可以彎曲，在每個點的彎曲程度還可以各不相同。于是，黎曼于1854年引入了一種特殊的度規(guī)方式，指派給空間中每一點一組數(shù)字，從這些數(shù)字及其微分可計算空間中兩點間的距離，從而也就可以決定空間各點自身的彎曲程度，即計算每一點的曲率。

此外，對任意n維空間，存在許多不同的方向，僅僅高斯曲率一個數(shù)值，不足以描述n維空間的度規(guī)，也不能完整地描述它的彎曲情況。因此，一般將度規(guī)及曲率表示成張量（Tensor）的形式。所謂張量，可理解為“標(biāo)量、矢量、矩陣”等數(shù)組形式向n維空間更高階的擴展，階數(shù)越高，張量的分量數(shù)目便越多。例如，在4維空間中，作為0階張量的標(biāo)量只有1個值；矢量（1階張量）4個值；2階張量有4²=16個分量；4階張量有4⁴=256個分量。

四維時空中，度規(guī)g_ij是2階對稱張量，表達曲率的標(biāo)準(zhǔn)形式是4階的黎曼曲率張量（Riemann curvature tensor）R_klij。由于對稱性，度規(guī)張量只有10個獨立的分量，相應(yīng)的黎曼曲率張量[3]有20個獨立的分量。另一種里奇曲率張量（Ricci curvature tensor），與度規(guī)類似，也是具有10個獨立分量的2階對稱張量，以意大利數(shù)學(xué)家里奇（Gregorio Ricci，1853-1925）的名字命名，里奇也是理論物理學(xué)家，是張量分析創(chuàng)始人之一。

愛因斯坦完全從物理和哲學(xué)的角度，用幾何理論來思考引力。他擴展了等效原理（equivalence principle），意識到我們生活的時空是彎曲的，并且折騰了3、4年尋找描述彎曲時空的數(shù)學(xué)。最后，卻是“得來全不費工夫”——愛因斯坦的同學(xué)兼好友格羅斯曼（ Marcel Grossman，1878-1936），將黎曼幾何介紹給了他。這才使愛因斯坦擺脫了困境，順利建立了廣義相對論。愛因斯坦驚奇不已地發(fā)現(xiàn)，這個與他的要求完美契合的數(shù)學(xué)理論，早在廣義相對論誕生的50多年之前就被發(fā)展完善等待在那里了。

總之，廣義相對論將引力與幾何聯(lián)系起來，正如相對論專家約翰·惠勒（John Archibald Wheeler，1911-2008）解釋的：時空告訴物質(zhì)如何運動，物質(zhì)告訴時空如何彎曲。

圖5：愛因斯坦引力場方程

圖5所示的是廣義相對論中的引力場方程，等號右邊的能量、動量、張量描述物質(zhì)分布情況，左邊是度規(guī)以及度規(guī)決定的曲率。也就是說，方程的右邊是物理，左邊是幾何。注意方程中將宇宙常數(shù)項設(shè)為0。這是當(dāng)年愛因斯坦加上又后悔的那個“錯誤”，現(xiàn)在被人們解釋為暗能量的可能來源，我們暫不予考慮。

不過，場方程中的曲率并不是完整描述空間內(nèi)蘊性質(zhì)的黎曼曲率，而是從黎曼曲率張量指標(biāo)縮減后導(dǎo)出的里奇曲率Rμν（圖中左起第一項，稱里奇張量），圖中左起第二項中的標(biāo)量曲率R，也稱里奇標(biāo)量曲率（Ricci scalar），是里奇張量Rμν的兩個指標(biāo)再次縮減后的結(jié)果。

黎曼曲率張量有20個分量，里奇曲率分量的數(shù)目只有它的一半。無論20個數(shù)還是10個數(shù)，都是用來描述4維時空的彎曲情況。這就像是給連綿起伏的山區(qū)拍一組照片，“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，既可以用20張標(biāo)準(zhǔn)照片來描述這一帶的地貌，也可以簡化到10張照片給該區(qū)域一個稍微粗略一些的概括。對里奇曲率的另一種直觀理解是：里奇曲率是某種與黎曼曲率張量相關(guān)但更為細致的“截面曲率”平均值。這與它是由黎曼曲率指標(biāo)縮減得到的概念一致，因為指標(biāo)縮減時的求和過程類似某種“平均”。

現(xiàn)在，我們可以回到本文開始時對卡拉比-丘空間的描述，解釋其中“里奇平坦”的意義。里奇平坦，就是里奇曲率為0（包括張量和標(biāo)量）。根據(jù)愛因斯坦方程，里奇曲率和物質(zhì)場緊密相關(guān)，所以，里奇平坦空間是沒有任何物質(zhì)和能量的空間，也就是“真空”（但不考慮宇宙常數(shù)）。

換一個說法：里奇平坦空間是愛因斯坦方程的一個真空解。真空解可以是平庸的，例如完全平坦如閔可夫斯基空間（Minkowski space），固然沒啥意思，我們也不感興趣。然而，因為里奇曲率是“平均”值，只是真實曲率的一部分，它為零并不等于黎曼曲率為零。于是，有趣的問題產(chǎn)生了：假如一個空間是真空的，無任何物質(zhì)和能量，它還會彎曲（即有引力）嗎？

上述問題也可以說是對當(dāng)年卡拉比提出的問題的一種物理方式的粗略表述，盡管他是完全從幾何的角度出發(fā)的。卡拉比自己猜測這種空間存在，他的猜想最后被丘成桐嚴(yán)格證明了。所以，卡拉比-丘空間是存在的，并可以被簡單表述成是“緊致的、非平庸的、愛因斯坦方程的真空解”。

卡拉比-丘流形是復(fù)流形，可以是任何偶數(shù)維度的實空間。復(fù)1維（實2維）的卡拉比-丘流形，就是圖1b所示的抽象環(huán)面，它完全平坦，所以意義不大。復(fù)2維的K3曲面在弦理論中扮演重要角色，因為它具有除環(huán)面之外最簡單的緊致性。

當(dāng)然，弦論中最重要的是6維（復(fù)3維）的卡拉比-丘流形，因為它恰好提供了超弦需要的6個額外維度。不過，復(fù)3維卡拉比-丘流形不是如丘成桐先生開始時花了很大功夫才確認的那個，也不止幾個，而是有成千上萬個。每個均具有不同的拓撲形態(tài)，是弦論方程的不同解。在每一種拓撲類別里，又有很多種可能的幾何形狀。這個事實在弦論學(xué)家們腦海中，投下了巨大的陰影，且聽下回分解。

參考文獻：