生活在三維空間，如何思考九維空間的事？ | 量子群英傳
撰文 | 張?zhí)烊?/span>
責(zé)編 | 寧 茜 呂浩然
有人認(rèn)為，弦論“最邪乎”的一點(diǎn)就是多維空間。我們身處的空間明明是3維的，干嘛要多此一舉，加上這么多的額外維度？然后，為了說明這些看不見、摸不著的維度，又“編”出一套什么“緊致化”“卷曲化”之類的說辭，來解釋它們。
上面的說法當(dāng)然是外行人強(qiáng)加給弦論學(xué)家的，這是因?yàn)橥庑腥瞬涣私庀艺摪l(fā)展過程中的許多細(xì)節(jié)。所以，現(xiàn)在我們就來介紹一下弦論“額外維度”這個(gè)想法的來龍去脈。
如果不算時(shí)間，最早的玻色弦論（Bosonic string theory）的空間是25維、超弦論（Superstring Theory）是9維、M理論（M theory）是10維。這些數(shù)字其實(shí)是有來由的。為何剛好選中了25、9、10這幾個(gè)數(shù)值呢？那是因?yàn)?，只有?dāng)空間是這些維數(shù)時(shí)，我們才能得到自洽的理論，否則便會(huì)出現(xiàn)一些奇怪的“反?！苯Y(jié)果。諸如概率大于1、負(fù)概率、光子質(zhì)量不為零等等。
一個(gè)物理理論，決定了空間的維度數(shù)目，這的確是前所未有的。弦論之前的理論物理，無論是經(jīng)典、量子或相對(duì)論，對(duì)空間的維度都沒有任何限制。這些理論固然毫無疑問地默認(rèn)“三維空間”，但就理論本身而言，搬到多少維的空間中也是照樣成立的。
說奇怪也不奇怪，基礎(chǔ)物理學(xué)的目的是為了解釋世界，回答一個(gè)又一個(gè)的“為什么”。這種解釋是一層一層逐步展開的：經(jīng)典物理解釋的是人人都可見的宏觀現(xiàn)象；量子物理解釋一般人不了解，但實(shí)驗(yàn)室能觀測(cè)到的微觀世界；狹義相對(duì)論解釋高速運(yùn)動(dòng)；廣義相對(duì)論則解釋大尺度的宇觀世界。
到了弦論這一層次，除了統(tǒng)一引力和量子的目的之外，物理學(xué)家們也希望理論能解釋一些更為基本的事實(shí)。例如：質(zhì)量的來源，電荷的來源等等。其中也包括“時(shí)間是什么？”“空間是什么？”這些古老的疑問，以及“空間為什么是三維的？”“時(shí)間為什么是一維的？”，這種前輩物理學(xué)家們可能想都沒想過的問題。
根據(jù)弦論模型，弦的不同振動(dòng)產(chǎn)生不同的粒子。例如：以A方式振動(dòng)產(chǎn)生夸克，以B方式振動(dòng)產(chǎn)生中微子……弦的振動(dòng)產(chǎn)生了現(xiàn)有理論中的“基本粒子”，基本粒子又構(gòu)成了世界萬物。
特別要指出的是，弦論認(rèn)為：引力子由閉弦的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生，光子則由開弦的振動(dòng)產(chǎn)生。這兩種粒子的靜止質(zhì)量都為零，而弦論中空間的維度數(shù)目，便可以由“光子靜止質(zhì)量為零”這一點(diǎn)導(dǎo)出。
也就是說，光子質(zhì)量為0，在弦論之前的物理中是一個(gè)既定事實(shí)，而在弦論中是理論推導(dǎo)的結(jié)論。
光子的靜止質(zhì)量，即最小質(zhì)量，由光子可能有的振動(dòng)模式?jīng)Q定：
光子靜止質(zhì)量 = 光子弦基態(tài)能 + 光子弦振動(dòng)能。
圖2：諧振子的基態(tài)能和振動(dòng)能基態(tài)能是最低的能量態(tài)，是一種“量子漲落”，與“振動(dòng)能”不是一碼事。
圖2給出的是諧振子的基態(tài)能和振動(dòng)能示意圖。如果從經(jīng)典物理的觀點(diǎn)，基態(tài)能量應(yīng)該為0，Ec=0，諧振子靜止在碗中心的最低處，見圖2a。然而，如果考慮量子規(guī)律，遵循不確定性原理，每個(gè)基態(tài)的能量都不可能為0，對(duì)所有可能的振動(dòng)模式求和后便是基于“量子漲落”的基態(tài)能，諧振子不可能完全靜止，見圖2b：Eq=S(hw/2)。而振動(dòng)能表征的是某種激發(fā)態(tài)（En= hwn），如圖2c。
現(xiàn)在我們考慮對(duì)應(yīng)于光子開弦的能量。與圖2所示諧振子情況類似，只是光子是D維空間的一條開弦，它的振動(dòng)情況顯示在圖3a中。
首先考慮最早的玻色弦論。圖3a中，假設(shè)在D維空間中的光子其傳播方向如紅色箭頭所示。因?yàn)楣庾拥恼駝?dòng)是橫波，所以在傳播方向上沒有振動(dòng)。因此，可能的振動(dòng)發(fā)生在除了傳播方向之外的其它（D-1）維空間中。對(duì)每一維空間，振動(dòng)可以取無窮多種（1+2+3+……）模式，如圖3b所示?？赡艿目偰Ｊ綌?shù)目：
M=(D-1)×(1+2+3+…)=(D-1)×S自然數(shù)
總模式數(shù)決定了光子基態(tài)的能量，再加上激發(fā)態(tài)的振動(dòng)能（根據(jù)弦論的光子模型，這個(gè)數(shù)值是2）。因此，光子最小質(zhì)量：
m0=(D-1)×S自然數(shù)+2
這里出現(xiàn)了一個(gè)奇怪的問題：為了使得光子最小質(zhì)量m0=0，可能的模式數(shù)目M要等于-2。這看起來是不可能的，因?yàn)镾自然數(shù)（簡(jiǎn)寫為S）是所有的自然數(shù)之和，應(yīng)該是個(gè)無窮大的數(shù)值。
因此，我們這兒插一段數(shù)學(xué)：研究一下S=1+2+3+…，即所有自然數(shù)之和。
其實(shí)，我們?cè)谥袑W(xué)時(shí)就知道了，這個(gè)級(jí)數(shù)不收斂，趨于無窮，有啥可研究的呢？不過，對(duì)于這個(gè)問題，數(shù)學(xué)家們絞盡了腦汁。而我們只需要理解一下結(jié)果就好了，何樂而不為呢？先講一個(gè)故事。
拉馬努金（Ramanujan，1887-1920）是一位印度數(shù)學(xué)家。聽聽數(shù)學(xué)家們對(duì)他的評(píng)價(jià)：出身普通，自學(xué)成才，未經(jīng)訓(xùn)練，知識(shí)不多，依賴直覺，成果空前。
拉馬努金只迷戀數(shù)學(xué)，在其他科目的考試中經(jīng)常不及格。也沒有正規(guī)的數(shù)學(xué)老師，直到被英國著名數(shù)學(xué)家戈弗雷·哈代（Godfrey Hardy，1877-1947）發(fā)掘。用哈代的話來說，拉馬努金“對(duì)現(xiàn)代歐洲數(shù)學(xué)家的成果完全無知”“就是個(gè)接受了一半教育的印度人?！?/span>
1913年的拉馬努金，窮困潦倒、疾病纏身，卻做了很多數(shù)學(xué)研究。他致信劍橋大學(xué)的哈代，提及了一大堆他所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)公式。哈代帶著困惑檢驗(yàn)了這個(gè)印度小職員的研究成果，發(fā)現(xiàn)了好幾個(gè)令他吃驚的玩意兒。他向拉馬努金發(fā)出了一封到劍橋大學(xué)的邀請(qǐng)函。于是，拉馬努金離開妻子到劍橋待了近6年。之后因病返回印度，但不久便去世了，只活了32歲。
拉馬努金慣以直覺導(dǎo)出公式，不愛作證明。據(jù)說他短短的生命中給出了3000多個(gè)公式，平均每年100個(gè)。他的理論往往被證明是對(duì)的。其所猜測(cè)的公式還啟發(fā)了幾位菲爾茲獎(jiǎng)獲得者的工作。
在拉馬努金致哈代的信中，就包括了自然數(shù)求和的問題?？纯此捏@人答案：從1到無窮大的自然數(shù)之和，等于（-1/12）。
下面是拉馬努金有關(guān)這個(gè)級(jí)數(shù)的筆記：
圖4：拉馬努金手稿
拉馬努金對(duì)自然數(shù)無窮級(jí)數(shù)的求和給出了兩種方法，一種極為不嚴(yán)格，一種極為嚴(yán)格。上面筆記中草草寫下了不嚴(yán)格的理解方式。
哈代讀信后的反應(yīng)是“此人不是瘋子便是天才！”。但哈代對(duì)這個(gè)自然數(shù)求和的結(jié)論并不感覺驚訝和奇怪，因?yàn)樵缭?8世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）對(duì)此種發(fā)散級(jí)數(shù)就有所研究，后來的黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）也已經(jīng)用他的ζ函數(shù)，對(duì)這個(gè)自然數(shù)求和得到了同樣的、更為嚴(yán)格的結(jié)果。
拉馬努金對(duì)（-1/12），有一個(gè)不嚴(yán)謹(jǐn)也不靠譜的“證明”方法，就是他寫到上面筆記中的方法。如今網(wǎng)上流傳的與其大同小異。
將所有自然數(shù)之和記作S 。
S=1+2+3+4+5+6+……
-4S=-4-8-12-16-20-24……
上面兩個(gè)等式相加：
-3S=1-2+3-4+5-6+……
然后，拉馬努金利用函數(shù)1/(1+x)2的泰勒級(jí)數(shù)展開來計(jì)算上面的級(jí)數(shù)
1/(1+x)2=1-2x+3x2–4x3+5x4–6x5+……
最后，設(shè)定x=1，便得到：
-3S=1/(1+1)2=1/4
由此得到S=-1/12
拉馬努金上面的“證明”是不可取的，因?yàn)槟欠N“錯(cuò)位加減”不能用于發(fā)散級(jí)數(shù)，不同的錯(cuò)位加減，會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果。但拉馬努金很聰明，給出簡(jiǎn)單理解的同時(shí)也給出了嚴(yán)格的證明，那是與不同的求和定義有關(guān)。
什么意思呢？求和不就是相加嗎？
是的。但我們通常理解為正確的傳統(tǒng)求和定義，被稱為柯西（Cauchy）的“求和”。這個(gè)定義嚴(yán)格而又符合常理，只是不能處理發(fā)散的無窮級(jí)數(shù)。數(shù)學(xué)家們就想：是否可以靠改變求和的定義來給無窮級(jí)數(shù)一個(gè)有意義的數(shù)值？為此數(shù)學(xué)家們定義了塞薩羅（Cesaro）求和、阿貝爾（Abel）求和、拉馬努金求和等。其中最簡(jiǎn)單的Cesaro求和，是用取“和的平均值”的方法。例如下面級(jí)數(shù)：
1–1+1–1+1–1+1+……
這個(gè)級(jí)數(shù)是不收斂的，因?yàn)榻Y(jié)果不趨于一個(gè)固定數(shù)，而是以相等的概率于0、1兩個(gè)數(shù)之間搖擺。根據(jù)Cesaro求和，可以把結(jié)果定義為1/2，盡管不是通常意義下的（柯西和），但卻也容易直觀理解，因?yàn)?/2是1和0的平均值。
如果和的平均值也仍然不收斂的話，有些人就用“和的平均值”的平均值來定義，還可以進(jìn)一步以此類推下去；或者用別的方法來定義“和”。據(jù)說拉馬努金就提出了一個(gè)求和方法，非常復(fù)雜難懂。我們就跳過去不介紹了。
還有另外一種方法處理發(fā)散的無窮級(jí)數(shù)：解析延拓。意思就是說將函數(shù)的定義域連續(xù)光滑地?cái)U(kuò)大到原來不能應(yīng)用的數(shù)域。
如何用解析延拓來解決自然數(shù)求和問題？還得從歐拉的研究說起。
遠(yuǎn)在拉馬努金寫信給哈代的一百多年之前，歐拉就研究了自然數(shù)求和的問題，并且也用不怎么靠譜的“錯(cuò)位加減”方法，得出了（-1/12）的結(jié)論。他在證明過程中，用了一個(gè)級(jí)數(shù)展開式：
歐拉給出的這個(gè)ζ函數(shù)只定義在當(dāng)s為正實(shí)數(shù)的情況。后來，黎曼研究該級(jí)數(shù)時(shí)，他首先把定義域擴(kuò)展到了實(shí)部大于1的復(fù)數(shù)。然后黎曼證明了一個(gè)函數(shù)方程：
其中的Γ(n)是Γ函數(shù)：Γ(n)=(n-1)!。
用這個(gè)方程，黎曼將其ζ函數(shù)解析延拓到了實(shí)部小于1的情況。例如，如果在方程中令s=-1，于是，等式右邊變成：Γ(1-s)=Γ(2)=1，ζ(1-s)=ζ(2)= p2/6，……
最后便能得到：ζ(-1)=-1/12。
上面的方法，包括重新定義“求和”及解析延拓，實(shí)際上計(jì)算出來的結(jié)果，都可以說已經(jīng)不是原來意義上的“自然數(shù)之和”了。不得不承認(rèn)，這個(gè)（-1/12）的確與自然數(shù)之和有關(guān)系。但是，較勁的人仍然心存疑惑：原來的無窮大躲到哪里去了呢？
因此，我們介紹另一種洛朗級(jí)數(shù)展開的方法。
泰勒展開將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)（冪次包含0和正整數(shù)）。有時(shí)無法把函數(shù)表示為泰勒級(jí)數(shù)時(shí)，也許可以展開成洛朗級(jí)數(shù)（Laurent series）。洛朗級(jí)數(shù)是冪級(jí)數(shù)的一種，它不僅包含了正數(shù)次數(shù)的正項(xiàng)，也包含了負(fù)數(shù)次數(shù)的項(xiàng)，如下所示：
例如，對(duì)自然數(shù)求和公式：
我們考慮復(fù)變函數(shù)：
在e的零點(diǎn)附近的洛朗展開：
所以，-1/12的結(jié)果不是莫名其妙來的，是e的零點(diǎn)附近的洛朗展開中的零階項(xiàng)?？梢匀绱死斫猓核凶匀粩?shù)的和是無窮大，但趨向這個(gè)無窮大時(shí)有其漸進(jìn)性質(zhì)（1/e2），除掉e趨于零時(shí)的發(fā)散項(xiàng)和高階項(xiàng)，只留下與e無關(guān)的，便得到（-1/12）了。這個(gè)結(jié)果也符合物理中重整化的思想。
回到利用光子最小質(zhì)量為0來計(jì)算維度的問題。
玻色弦論中，光子最小質(zhì)量m0=(D-1)×S自然數(shù)+2，將S自然數(shù)=-1/12代入，并令m0=0，可以解出D=25。因此，玻色弦論需要25維的空間才能自洽。
如果是超弦論，除了正常的普通空間之外，還有超空間（Hyperspace）以及其上的格拉斯曼數(shù)（Grassmann numbers）空間（對(duì)此不作更多解釋，因?yàn)橐呀?jīng)大大超出了科普的范圍）。
因?yàn)槿惪臻g（普通空間、超空間、格拉斯曼數(shù)空間）的存在，光子對(duì)應(yīng)的超弦振動(dòng)基態(tài)能量，變成原來的三倍，從光子最小質(zhì)量m0=3×(D-1)×S自然數(shù)+2=-3×(D-1)/12+2=0，得到D=9。
后來的m理論，又因?yàn)榻y(tǒng)一5個(gè)超弦理論及超引力理論的原因而將空間維數(shù)增加到了10維。
所以你看，各種弦論的空間維度，也不是憑空想象的，還是有理論依據(jù)！
