太小測(cè)不了？忍一下，測(cè)大的就是了 | 量子群英傳
撰文 | 張?zhí)烊?/span>
責(zé)編 | 寧 茜 呂浩然
弦論最重要的發(fā)現(xiàn)是所謂的“對(duì)偶性”（duality），它說的是：兩個(gè)看似毫無關(guān)系的幾何對(duì)象（或理論模型），卻擁有相同的物理性質(zhì)。
可以說，即使將來弦論被證明是錯(cuò)的，但許多與數(shù)學(xué)及科學(xué)哲學(xué)相關(guān)的內(nèi)容仍然會(huì)被留下來， “對(duì)偶性”必定是其中之一。
通過對(duì)偶關(guān)系，可以將看似完全不同的理論聯(lián)結(jié)起來，得到相同的物理學(xué)（結(jié)論）。這意味著它們產(chǎn)生相同的散射振幅以及其他物理可觀測(cè)量。本篇以弦論中最為典型的T-對(duì)偶為例進(jìn)行簡(jiǎn)單的說明。
弦論中如何描述弦？首先我們想想傳統(tǒng)物理學(xué)中如何描述點(diǎn)粒子?；玖Ｗ拥奶匦园ㄙ|(zhì)量、電荷、色荷、自旋等。不過，在粒子物理的標(biāo)準(zhǔn)模型中，點(diǎn)粒子是沒有大小可言的一個(gè)點(diǎn)，不可能解釋它們?yōu)槭裁从羞@些屬性，通常聽到的解釋話語(yǔ)是：這些都是基本粒子的內(nèi)稟屬性。
“內(nèi)稟”二字，將我們遠(yuǎn)遠(yuǎn)地?fù)踉诹Ｗ拥膬?nèi)部之外，這也正符合點(diǎn)粒子模型，因?yàn)橐粋€(gè)“點(diǎn)”是沒有“內(nèi)部”可言的。沒有內(nèi)部結(jié)構(gòu)，當(dāng)然就解釋不了質(zhì)量或電荷這些數(shù)值從何而來。只能把它們歸結(jié)為內(nèi)稟，“稟”字在漢語(yǔ)中的意思是“賜予、賦予”，就是與生俱來、永恒不變的，娘胎里帶來的“性質(zhì)”，自然也不需要解釋，它（們）就是這樣樣子。
到了弦論，情況就不一樣了。弦論自詡為比點(diǎn)粒子模型更深一層的物理理論，將解釋這些內(nèi)稟屬性當(dāng)作自己的任務(wù)之一。盡管目標(biāo)尚未達(dá)到，但畢竟有這種意愿。
這是一個(gè)美妙的目標(biāo)和愿望。例如，基本粒子為什么有各種不同的質(zhì)量m？根據(jù)愛因斯坦相對(duì)論中的質(zhì)能關(guān)系，質(zhì)量m也就對(duì)應(yīng)內(nèi)部能量E。那我們來看，弦論中如何描述弦？又如何從弦的屬性，來得到其內(nèi)部的能量屬性？
弦可以是閉的，也可以是開的。閉弦是一個(gè)圈，開弦是一根有兩個(gè)端點(diǎn)的線，見圖1。無論開弦閉弦，都可以規(guī)定一定的方向。弦論不止一種，有的弦論用不同方向的弦，代表不同的“荷”；也有的認(rèn)為開弦的端點(diǎn)可以視為帶荷的粒子：例如，一端可以是帶負(fù)荷的電子，另一端可以是帶相反電荷的正電子。第二次弦論革命后，威滕（Edward Witten，1951- ）提出M理論（M theory），用對(duì)偶性將5種不同的弦論統(tǒng)一在一個(gè)共同的10維（9維空間+1維時(shí)間）的框架里。
所有的弦論都包括閉弦，因?yàn)橐话阏J(rèn)為：只有閉弦的振動(dòng)才產(chǎn)生引力子，開弦產(chǎn)生其它粒子。開弦或閉弦在10維時(shí)空中的運(yùn)動(dòng)，可以分解為其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)以及弦本身繞質(zhì)心的振動(dòng)兩部分。我們更感興趣弦繞質(zhì)心振動(dòng)的部分。
假設(shè)一根“弦”，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，質(zhì)量為m，如圖1中最右邊的兩個(gè)圖所示。弦可以被看作是N個(gè)部分由N-1個(gè)彈簧連接起來的長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一串諧振子 ，或者說，類似于一個(gè)L長(zhǎng)且有彈性的橡皮繩（圈）。繩子的每個(gè)小部分是一個(gè)小小的諧振子，小振子的振動(dòng)用相對(duì)位置變量σ和時(shí)間變量t描述。對(duì)開弦而言，σ的變化范圍從0到p；而對(duì)閉弦，范圍從0到2p，如圖1右圖所示。
弦論學(xué)家認(rèn)為，弦的質(zhì)量m便來源于所有這些小振子的振動(dòng)能量相加。顯而易見，總能量E（或質(zhì)量）與弦的長(zhǎng)度L有關(guān)，也與橡皮繩或某種材料的彈性系數(shù)（張力）有關(guān)。弦長(zhǎng)L應(yīng)該是個(gè)很小的數(shù)值，屬于普朗克尺度（Planck scale，10-35米）范圍，但這點(diǎn)并不妨礙我們建立模型。
根據(jù)以上模型，一定長(zhǎng)度的弦應(yīng)該有一個(gè)最小質(zhì)量，即所有諧振子都處于基態(tài)時(shí)候的總能量。人們驚奇地發(fā)現(xiàn)，為了保證光子的零靜止質(zhì)量，弦論只能容許空間是一定的維度。計(jì)算得到，對(duì)最早的玻色弦論（Bosonic string theory），空間維度只能是25。對(duì)后來的超弦論（Superstring Theory），空間維度只能是9。這就是弦論中10維時(shí)空的來由。為什么是25和9 ？我們將這個(gè)問題的詳細(xì)解釋，留待下一篇介紹。
現(xiàn)在，我們利用圖1對(duì)閉弦的描述方式，介紹T對(duì)偶。
T-對(duì)偶又被稱作“靶空間”對(duì)偶（target space duality），是關(guān)于不同空間之間的對(duì)偶。如上一篇所介紹的，我們忽略無關(guān)緊要的細(xì)節(jié)，將弦論的空間分成普通3維空間x和額外維卷曲空間y，將環(huán)面緊致部分用y方向的圓圈R表示。也就是說，將弦論的9維宇宙簡(jiǎn)單畫成一個(gè)花園中的水管，如下圖所示。
圖2：未繞圈閉弦（a）和繞圈的閉弦（b）
從卷曲空間的角度看，閉弦有兩種不同形態(tài)：纏繞數(shù)w為0或不為0，分別如圖2（a）和（b）所示。當(dāng)閉弦不纏繞額外維空間時(shí)，其質(zhì)心作自由運(yùn)動(dòng)，如同花園里一個(gè)小飛蟲，可以在水管方向運(yùn)動(dòng)，在繞水管的方向運(yùn)動(dòng)，或者在兩個(gè)方向之間運(yùn)動(dòng)。
因此，動(dòng)量p可以是朝向3維空間方向，也可能是額外維方向，或者是兩者的組合，見圖2a。因?yàn)轭~外維度半徑R小而卷曲，py是量子化的：該閉弦在y方向（額外空間）的能量Ey ～ n/R。（注：這兒只是為了定性說明能量與R的關(guān)系，所以使用“～”符號(hào)，表示不是完全相等。）
有意思的現(xiàn)象發(fā)生于閉弦纏繞額外空間維y時(shí)（圖2b），這時(shí)候多了一個(gè)整數(shù)w，代表閉弦在R空間纏繞的圈數(shù)。
纏繞閉弦除了在R方向（y）具有能量Ey ～ n/R之外，在x方向可以作整體滑動(dòng)，這部分能量的最小值正比于弦的長(zhǎng)度L，弦越長(zhǎng)，最小能量越大，因?yàn)檫@條弦包含的“東西”更多。由于圓周長(zhǎng)正比于半徑，所以纏繞弦的極小質(zhì)量正比于繞數(shù)與半徑R的乘積：Ex ～wR。
因此，纏繞的閉弦總能量（也就是總質(zhì)量）來源于Ex和Ey兩套不同的能譜，粗略而言，前者以R為能級(jí)間隔，后者以1/R為能級(jí)間隔。R增大，Ex的能級(jí)間隔增大，但Ey的能級(jí)間隔減??；R減小時(shí)，情況則反過來。
圖3：纏繞閉弦的總能譜
然而，物理測(cè)量方法并不能判別實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)來自于哪套能譜，因?yàn)閮烧呷缤瑘D三右側(cè)顯示，是疊加在一起的（紅藍(lán)疊加）。測(cè)量上，也只能通過測(cè)量散射振幅來得到總譜中各個(gè)能級(jí)之間的躍遷情況。如圖3所示，總能量譜等于將兩套能量譜（間隔為R的，和間隔為1/R的）加到一起得到的結(jié)果。
換言之，如果有兩個(gè)不同的弦論系統(tǒng)，一個(gè)認(rèn)定卷曲維的尺寸比較?。篟1=a；另一個(gè)的卷曲維尺寸R2=1/a，便會(huì)比較大，見圖4。但是，從以上的分析可知，這兩個(gè)幾何尺度不同的系統(tǒng)，總能量譜卻是一樣的。因此，它們將表現(xiàn)出完全相同的物理性質(zhì)。這就是所謂的“閉弦理論中的T對(duì)偶性”。
這是一個(gè)非常奇怪而有趣的對(duì)偶特性 ，在具體深入解釋之前，首先需要弄明白以上所述的額外維半徑R的單位是什么。
圖4：閉弦的兩個(gè)T對(duì)偶系統(tǒng)
這兒的R是以普朗克長(zhǎng)度lp為單位，也就是說，R=1=1/R意味著額外維的大小是lp。這時(shí)候兩個(gè)T對(duì)偶系統(tǒng)是一樣的。當(dāng)R=10時(shí)，1/R=0.1，這兩個(gè)系統(tǒng)的物理性質(zhì)也是一樣的（因?yàn)榭偰茏V一樣），對(duì)R的其它數(shù)值也是如此。于是，弦論得出一個(gè)非常令人驚訝的結(jié)論：不論卷曲世界是“粗”還是“細(xì)”，它們是物理等效的。
圖4中是T對(duì)偶的最簡(jiǎn)單情形，很容易推廣到6維平坦環(huán)面，也就是圓的乘積，只需要將R用多個(gè)Ri代替即可。六維的Ri環(huán)面與六維的1/Ri環(huán)面，幾何尺寸完全不同，但它們從物理觀點(diǎn)卻是無法區(qū)分的。
我們?cè)?jīng)介紹過卡拉比-丘流形（ Calabi-Yau manifold），它很復(fù)雜，但它是6維額外卷曲空間最符合實(shí)際物理情況的候選者。錢德拉（Philip Candelas，1951- ）等人在上世紀(jì)90年代發(fā)現(xiàn)了卡拉比-丘流形中的“鏡像對(duì)稱”（mirror symmetry）流形，并將其用于枚舉幾何，計(jì)算卡丘流形上有理曲線的數(shù)目，從而啟發(fā)數(shù)學(xué)家解決了一些長(zhǎng)期的難題。
弦論學(xué)者們也證明了：卡拉比-丘流形的鏡對(duì)稱就是T對(duì)偶性?？ɡ?丘流形的鏡像對(duì)稱，并不是通常意義上所說的“鏡中之像”那種反演對(duì)稱，而是指卡拉比-丘流形之間的一種特殊關(guān)系，這是一種很奇怪的“鏡對(duì)稱”，互為“鏡伴”的兩個(gè)流形幾何上差別很大，拓?fù)湫螒B(tài)也很不同。然而，它們遵循T對(duì)偶性，在物理上卻是不可區(qū)分的。
之后，丘成桐（Shing-tung Yau，1949-）等三位數(shù)學(xué)家發(fā)表了SYZ論文（SYZ以三位姓氏的首寫字母命名），為“鏡對(duì)稱”提供了一個(gè)比較簡(jiǎn)單直觀的幾何圖像。他們認(rèn)為，卡拉比-丘流形基本上可以分成兩個(gè)三維的部分，彼此以類似笛卡兒乘積（Cartesian product）的方式糾纏在一起。其中一個(gè)空間是三維環(huán)面，如果你將這個(gè)空間分離出來，并將它“倒轉(zhuǎn)”后（將半徑r變成半徑1/r）再重組回去，就可以得到原來卡拉比-丘流形的鏡流形。
仔細(xì)琢磨一下，以上介紹的閉弦T對(duì)偶性似乎有不少毛病。比如說，當(dāng)我們將額外維的半徑從R變成1/R，在物理上卻沒有區(qū)別。這個(gè)說法乍一聽不可理解。讀者可能會(huì)問：這個(gè)額外維世界到底是多大？是R還是1/R？它是客觀真實(shí)存在的嗎？難道就沒有一個(gè)辦法準(zhǔn)確地測(cè)量它？
在 “傳統(tǒng)”幾何學(xué)中，半徑為R的圓與半徑為1/R的圓是絕對(duì)大小不同的兩個(gè)幾何實(shí)體，在廣義相對(duì)論的彎曲空間中，它們也應(yīng)該是對(duì)應(yīng)于兩個(gè)物理規(guī)律不同的世界。然而在弦論中，它們卻奇怪地互為對(duì)偶，反映同樣的物理規(guī)律，這難道不令人困惑嗎？
不過，弦論專家并未因困惑而止步于此，反而認(rèn)為這正表現(xiàn)了“弦”模型相對(duì)于“點(diǎn)”模型的魅力所在。實(shí)際上，和我們經(jīng)常聽到奇妙量子現(xiàn)象時(shí)的反應(yīng)一樣，困惑是由我們的經(jīng)典思維方式產(chǎn)生的。
下面對(duì)此稍微解釋一下。
因?yàn)镽所用的單位是普朗克長(zhǎng)度lp，大約等于1.6162×10-35米。所以，如果R=100，就是100lp，大約是10-33米數(shù)量級(jí)。盡管仍然很小，卻是普朗克長(zhǎng)度的100倍。而另外一個(gè)對(duì)偶的系統(tǒng)之尺度R=0.01，這個(gè)小宇宙比普朗克長(zhǎng)度還要小兩個(gè)數(shù)量級(jí)。在這種尺度，粒子物理的“點(diǎn)”模型碰到了難以克服的困難：廣義相對(duì)論與量子力學(xué)之間的矛盾整個(gè)顯露出來了。連續(xù)光滑的黎曼幾何（Riemannian geometry）已經(jīng)不能使用，時(shí)空中不停地發(fā)生著災(zāi)難性的小尺度的量子漲落，基于黎曼幾何的廣義相對(duì)論對(duì)此無能為力。
我們?cè)诒疚拈_始時(shí)說到了測(cè)量的問題。讀者也會(huì)說：是否可以對(duì)“額外維半徑R”進(jìn)行測(cè)量來驗(yàn)證它的大小呢？說到測(cè)量，這也是“點(diǎn)粒子”模型的短板。因?yàn)橐獪y(cè)量一個(gè)長(zhǎng)度，需要一個(gè)比這個(gè)長(zhǎng)度更小的“探針”。點(diǎn)模型中認(rèn)為尺度為0的“點(diǎn)”是最基本的元素，那就是意味著，可以用點(diǎn)粒子作為探針來分解和測(cè)量任意小的空間。但實(shí)際上又不可能做到，因?yàn)榱孔恿W(xué)的不確定性原理限制了它。如此一來，使得點(diǎn)模型從理論上就不能自圓其說。
弦論的說法就聰明多了。因?yàn)?，“弦”這個(gè)基本元素不是一個(gè)點(diǎn)，而是一段具有伸展性的“弦”，它具有可與普朗克尺度相比較的長(zhǎng)度。弦作為最基本的元素，也能當(dāng)探針使用。但遺憾的是，它只能測(cè)量比它大的東西，普朗克長(zhǎng)度以下的空間結(jié)構(gòu)性質(zhì)，弦是探測(cè)不到的，也很難去測(cè)量那么小的長(zhǎng)度。
所以，弦的延伸本性使我們不可能在弦論中探測(cè)普朗克長(zhǎng)度以下的現(xiàn)象，弦論對(duì)普朗克尺度下的 “量子漲落”、黎曼幾何災(zāi)難等，都因?yàn)椤疤綔y(cè)不了”而可以“視而不見”。從量子物理的觀念，只有可以探尋和測(cè)量的事物才是存在的。從而在弦論看來，普朗克長(zhǎng)度以下的現(xiàn)象可以說是不存在的。
雖然不能直接測(cè)量，但弦論又發(fā)現(xiàn)了美妙的T對(duì)偶性，它將半徑小于普朗克長(zhǎng)度以下的空間對(duì)應(yīng)到一個(gè)半徑大于普朗克長(zhǎng)度的空間。既然它們具有同樣的物理屬性，探索大的不也就等于探索小的嗎？因此，小的就不用測(cè)量了！
讀到這兒，你對(duì)弦論中的對(duì)偶性可能產(chǎn)生了一些好奇吧。且聽下回繼續(xù)分解。
