新春特獻 | 仿佛來自虛空——亞歷山大-格洛騰迪克的一生（三）
?格洛騰迪克在IHéS給學(xué)生上課。圖片來源：the Grothendieck Circle
撰文 | Allyn Jackson（AMS Notices 高級作家和編輯）
翻譯 | 歐陽毅（中國科技大學(xué)數(shù)學(xué)系教授）
● ● ●
在IHéS（高等科學(xué)研究所）的英雄歲月里，Dieudonné和我是所里僅有的成員，也是僅有的可以給它帶來信譽和科學(xué)世界聽眾的人……我覺得自己和Dieudonné一起，有點象是我任職的這個研究所的“科學(xué)”共同創(chuàng)始人，而且我期望在那里結(jié)束我的歲月！我最終強烈地認同IHéS……
——《收獲與播種》，第169頁
1958年6月，在巴黎索邦舉行的發(fā)起人會議上，高等科學(xué)研究所（Institut des Hautes études Scientifiques, IHéS）正式成立。IHéS的創(chuàng)始人Léon Motchane，一位具有物理博士學(xué)位的商人，設(shè)想在法國成立一個和普林斯頓的高等研究院類似的獨立的研究型學(xué)院。IHéS的最初計劃是集中做三個領(lǐng)域的基礎(chǔ)研究：數(shù)學(xué)，理論物理和人類科學(xué)方法論。盡管第三個領(lǐng)域從來沒有在那立足過，在10年時間里，IHéS已經(jīng)建設(shè)成為世界上最頂尖的數(shù)學(xué)和理論物理中心之一，擁有一群為數(shù)不多但素質(zhì)一流的成員和一個很活躍的訪問學(xué)者計劃。
根據(jù)科學(xué)史家David Aubin的博士論文[Aubin]，就是在1958年愛丁堡數(shù)學(xué)家大會或者可能更前的時候，Motchane說服Dieudonné和格洛騰迪克接受新設(shè)立的IHéS的教授職位。Cartier在[Cartier2]中說Motchane起初希望聘用Dieudonné，而Dieudonné則將格洛騰迪克的聘請作為他接受聘請的一個條件。因為IHéS從一開始就是獨立于國家的，聘請格洛騰迪克不是一個問題，盡管他是無國籍人。兩位教授在1959年3月正式上任，格洛騰迪克在同年5月開始他的代數(shù)幾何討論班。René Thom，1958年大會菲爾茲獎?wù)芦@得者，在1963年10月加入，而IHéS的理論物理部隨著1962年Louis Michel和1964年David Ruelle的任命開始進行活動。就這樣到1960年代中期，Motchane就已經(jīng)為他的新研究所招募了一群杰出的研究人員。
到1962年的時候，IHéS還沒有永久的活動場所。辦公場所是從Thiers基金會租用的，討論班也在那里或巴黎的大學(xué)里舉行。Aubin報道說一位叫Arthur Wightman的IHéS早期訪問學(xué)者就被希望在他的旅館房間里工作。據(jù)說，當一位訪問學(xué)者告之圖書館資料不足的時候，格洛騰迪克回答說：“我們不讀書的，我們是寫書的！”的確在最初幾年里，研究所的很多活動是圍繞“Publications Mathématiques de l'IHéS”進行的，它的起初幾卷包括奠基性著作éléments de Géométrize Algébrique，其以起首字面縮寫EGA而聞名于世。事實上EGA的撰寫在Dieudonné和格洛騰迪克正式于IHéS上任前半年就已經(jīng)開始了；[Corr]里提及最初寫作的日期是1958年的秋天。
EGA的著述者通常認為是格洛騰迪克，“與Jean Dieudonné的合作”。格洛騰迪克將筆記和草稿寫好，然后由Dieudonné充實和完善。根據(jù)Armand Borel的解釋，格洛騰迪克是把握EGA全局的人，而Dieudonné只是對此有逐行的理解?！癉ieudonné將它寫得相當繁瑣，”Borel評論說。同時，“Dieudonné當然又有令人難以置信的高效。沒有別的人可以將它寫好而不嚴重影響自己的工作?！睂τ诋敃r那些想進入這個領(lǐng)域的人來說，從EGA中學(xué)習(xí)是一件令人望而生畏的挑戰(zhàn)。目前它很少作為這個領(lǐng)域的入門書，因為有其他許多更容易入門的教材可供選擇。不過那些教材并沒有做EGA打算做的事，也就是完全而系統(tǒng)地解釋清楚研究概型所需要的一些工具?，F(xiàn)在在波恩的馬克斯-普朗克數(shù)學(xué)研究所的Gerd Faltings，當他在普林斯頓大學(xué)的時候，就鼓勵自己的博士研究生去學(xué)EGA。對很多數(shù)學(xué)家而言，EGA仍然是一本有用而全面的參考書。IHéS的現(xiàn)任所長Jean-Pierre Bourguignon說每年研究所仍然要賣掉超過100本的EGA。
格洛騰迪克計劃中EGA要包括的東西十分多。在1959年8月給Serre的信中，他給了個簡要的大綱，其中包括基本群，范疇論，留數(shù)，對偶，相交數(shù)，Weil上同調(diào)，加上“如果上帝愿意，一點同倫論”?！俺怯胁豢深A(yù)知的困難或者我掉入泥沼里去了，這個multiplodocus應(yīng)該在三年內(nèi)或最多四年內(nèi)完成，”格洛騰迪克很樂觀地說，此處他應(yīng)用了他和Serre的玩笑用語multiplodocus，其意是指一篇很長的文章?！拔覀兘酉氯ゾ涂梢蚤_始做代數(shù)幾何了！”格洛騰迪克歡呼道。后來的情況表明，EGA在經(jīng)過近乎指數(shù)式增長后失去了動力：第一章和第二章每章一卷，第三章兩卷，而最后一章第四章則達到了四卷。它們一共有1800多頁。盡管EGA沒有達到格洛騰迪克計劃的要求，它仍然是一項里程碑式的著作。
EGA這個標題仿效Nicolas Bourbaki的《數(shù)學(xué)原理》系列的標題不是偶然的，正如后者仿效歐幾里得的《幾何原本》也不偶然一樣。格洛騰迪克從1950年代后期開始，數(shù)年內(nèi)曾經(jīng)是布爾巴基學(xué)派的成員，而且他和學(xué)派內(nèi)很多成員關(guān)系密切。布爾巴基是一群數(shù)學(xué)家的筆名，其大多數(shù)是法國人，他們在一起合作撰寫數(shù)學(xué)方面一系列基礎(chǔ)性的著作。Dieudonné和Henri Cartan，Claude Chevalley，Jean Delsarte，André Weil一起，是布爾巴基學(xué)派的創(chuàng)始成員。一般情況下學(xué)派有10名成員，其組成隨著歲月而演化。布爾巴基最早的書出版于1939年，而它的影響在1950年代和1960年代達到了頂峰。這些書籍的目的是對數(shù)學(xué)的中心領(lǐng)域提供公理化的處理，使其一般性程度足以對最大數(shù)目的數(shù)學(xué)家有用處。這些著作都是經(jīng)過成員間激烈甚至火爆的辯論的嚴格考驗才誕生的，而這些成員中的許多人都有很強的人格和非常個性化的觀點。曾是布爾巴基成員25年的Borel寫道這個合作可能是“數(shù)學(xué)史上的獨特事件”[Borel]。布爾巴基匯聚了當時許多的頂尖數(shù)學(xué)家的努力，他們無私的匿名奉獻自己的大量時間和精力來撰寫教材，使得這個領(lǐng)域的一大部分容易讓大家理解。這些教材有很大的影響，到1970和1980年代，有人埋怨布爾巴基的影響太大了。還有人也批評這些書的形式過于抽象和一般化。
布爾巴基和格洛騰迪克的工作有一些相似之處，此表現(xiàn)在抽象化和一般化的程度上，也表現(xiàn)在其目的都是基本、細致而有系統(tǒng)。他們間的主要區(qū)別是布爾巴基包括了數(shù)學(xué)研究的一系列領(lǐng)域，而格洛騰迪克主要關(guān)注在代數(shù)幾何上發(fā)展新的思想，以Weil猜想作為其主要的目標。格洛騰迪克的工作差不多集中在他自己的內(nèi)在觀點上，而布爾巴基則是鑄造他的成員們的不同觀點的結(jié)合的合作努力。
Borel在[Borel]中描述了1957年3月布爾巴基的聚會，他稱之為“頑固的函子大會”，因為格洛騰迪克提議一篇關(guān)于范疇論的Bourbaki草稿應(yīng)該從一個更范疇論的觀點來重寫。布爾巴基沒有采用這個想法，認為這將導(dǎo)致無窮無盡的基礎(chǔ)建設(shè)的循環(huán)往復(fù)。格洛騰迪克“不能夠真正和布爾巴基合作，因為他有他自己的龐大機器，而布爾巴基對他而言，還不夠一般化，”Serre回憶說。另外，Serre評論道：“我認為他不是很喜歡布爾巴基這樣的體系，在此我們可以真正詳細討論草稿并且批評它們……這不是他做數(shù)學(xué)的方式。他想自己單干?！备衤弪v迪克在1960年離開布爾巴基，盡管他繼續(xù)和其中很多成員關(guān)系密切。
有些故事傳說格洛騰迪克離開布爾巴基是因為他和Weil的沖突，實際上他們在布爾巴基時間上僅僅有很短的重合：根據(jù)慣例，成員必須在50歲的時候退休，所以Weil在1956年離開了學(xué)派。然而，格洛騰迪克和Weil作為數(shù)學(xué)家很不一樣倒的確是事實。根據(jù)Deligne的說法：“Weil不知為何覺得格洛騰迪克對意大利幾何學(xué)家們的工作和對經(jīng)典文獻闡明的結(jié)果太無知了，而且Weil不喜歡這種建造巨大機器的工作方式……他們的風(fēng)格相當不一樣?！?/p>
除去EGA以外，格洛騰迪克代數(shù)幾何全集的另外一個主要部分是Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie，簡稱SGA，其中包括他的IHéS討論班的演講的講義。它們最初由IHéS分發(fā)。SGA2由North Holland和Masson合作出版的，而其他幾卷則是由Springer-Verlag出版。SGA1整理自1960-1961年討論班，而這個系列最后的SGA7則來自1967-1969年的討論班。與目的是為了奠基的EGA不一樣，SGA描述的是出現(xiàn)在格洛騰迪克討論班上的正在進行的研究。他也在巴黎布爾巴基討論班上介紹了很多結(jié)果，它們被合集為FGA，即Fondements de la Géometrie Algébrique，其出版于1962年。EGA，SGA和FGA加起來大約有7500頁。
?EGA的標題頁，章節(jié)一。圖片來源：the Grothendieck Circle
如果說數(shù)學(xué)里有什么東西讓我比對別的東西更著迷的話（毫無疑問，總有些讓我著迷的），它既不是“數(shù)”也不是“大小”，而是型。在一千零一張通過其型來展示給我的面孔中，讓我比其他更著迷的而且會繼續(xù)讓我著迷下去的，就是那隱藏在數(shù)學(xué)對象下的結(jié)構(gòu)。
——《收獲與播種》，第27頁
在《收獲與播種》第一卷里，格洛騰迪克對他的工作作了一個解釋性的概括，意在讓非數(shù)學(xué)家能夠理解（第25－48頁）。在那兒他寫道，從最根本上來講，他的工作是尋找兩個世界的統(tǒng)一：“算術(shù)世界，其中（所謂的）‘空間’沒有連續(xù)性的概念，和連續(xù)物體的世界，其中的‘空間’在恰當?shù)臈l件下，可以用分析學(xué)家的方法來理解”。Weil猜想如此讓人渴望正是因為它們提供了此種統(tǒng)一的線索。勝于直接嘗試解決Weil猜想，格洛騰迪克大大地推廣了它們的整個內(nèi)涵。這樣做可以讓他感知更大的結(jié)構(gòu)，這些猜想所憑依于此結(jié)構(gòu)，卻只能給它提供驚鴻一瞥。在《收獲與播種》這一節(jié)里，格洛騰迪克解釋了他工作中一些主要思想，包括概型、層和拓撲斯。
基本上說，概型是代數(shù)簇概念的一個推廣。給定一組素特征有限域，一個概型就可以產(chǎn)生一組代數(shù)簇，而每一個都有它自己與眾不同的幾何結(jié)構(gòu)?！斑@些具有不同特征的不同代數(shù)簇構(gòu)成的組可以想象為一個‘由代數(shù)簇組成的無限扇面的扇子’（每個特征構(gòu)成一個扇面），”格洛騰迪克寫道。“‘概型’就是這樣的魔術(shù)扇子，就如扇子連接很多不同的‘分支’一樣，它連接著所有可能特征的‘化身’或‘轉(zhuǎn)世’。”到概型的推廣則可以讓大家在一個統(tǒng)一方法下，研究一個代數(shù)簇所有的不同“化身”。在格洛騰迪克之前，“我認為大家都不真正相信能夠這樣做，”Michael Artin評論說，“這太激進了，沒有人有勇氣哪怕去想象這個方法可能行，甚至可能在完全一般的情況下都行。這個想法真的太出色了。”
從19世紀意大利數(shù)學(xué)家Enrico Betti的遠見開始，同調(diào)和它的對偶上同調(diào)那時候已經(jīng)發(fā)展成為研究拓撲空間的工具?；旧险f，上同調(diào)理論提供一些不變量，這些不變量可以認為是衡量空間的這個或那個方面的‘準尺’。由Weil猜想隱含著的洞察力所激發(fā)的巨大期望就是拓撲空間的上同調(diào)方法可以適用于簇與概型。這個期望在很大程度上由格洛騰迪克及其合作者的工作實現(xiàn)了。“就象夜以繼日一樣將這些上同調(diào)技巧帶到”代數(shù)幾何中，Mumford注意到?！八耆嵏擦诉@個領(lǐng)域。這就象傅立葉分析之前和之后的分析學(xué)。你一旦知道傅立葉分析的技巧，突然間你看一個函數(shù)的時候就有了完全深厚的洞察力。這和上同調(diào)很類似?！?nbsp;
層的概念是由讓-勒雷所構(gòu)想而后由Henri Cartan和Jean-Pierre Serre進一步發(fā)展的。在他的奠基性文章FAC（“Faisceaux algébriques cohérents”,“代數(shù)凝聚層”，[FAC]）中，Serre論證了如何將層應(yīng)用到代數(shù)幾何中去。格洛騰迪克在《收獲與播種》中描述了這個概念如何改變了數(shù)學(xué)的全貌：當層的想法提出來后，就好象原來的五好標準上同調(diào)“準尺”突然間繁殖成為一組無窮多個新“準尺”，它們擁有各種各樣的大小和形狀，每一個都完美地適合它自己獨特的衡量任務(wù)。更進一步說，一個空間所有層構(gòu)成的范疇包含了如此多的信息，本質(zhì)上人們可以“忘記”這個空間本身。所有這些的信息都包括在層里面——格洛騰迪克稱此為“沉默而可靠的向?qū)А?，引領(lǐng)他走向發(fā)現(xiàn)之路。
拓撲斯的概念，如格洛騰迪克所寫，是“空間概念的變體”。層的概念提供了一種辦法，將空間所依附的拓撲設(shè)置，轉(zhuǎn)化為層范疇所依附的范疇設(shè)置。拓撲斯則可以描述為這樣一個范疇，它盡管無需起因于普通空間，然而卻具有所有層范疇的“好”的性質(zhì)。拓撲斯的概念，格洛騰迪克寫道，突出了這樣的事實：“對于一個拓撲空間而言真正重要的根本不是它的‘點’或者點構(gòu)成的子集和它們的親近關(guān)系等等，而是空間上的層和層構(gòu)成的范疇”。
為了提出拓撲斯的概念，格洛騰迪克“很深入地思考了空間的概念”，Deligne評價道?！八麨槔斫釽eil猜想所創(chuàng)立的理論首先是創(chuàng)立拓撲斯的概念，將空間概念推廣，然后定義適用于這個問題的拓撲斯，”他解釋說。格洛騰迪克也證實了“你可以真正在其上面工作，我們關(guān)于普通空間的直覺在拓撲斯上仍然適用……這是一個很深刻的想法?！?/p>
在《收獲與播種》中格洛騰迪克評論道，從技術(shù)觀點而言，他在數(shù)學(xué)上的大多工作集中在發(fā)展所缺乏的上同調(diào)理論。平展上同調(diào)（étale cohomology）就是這樣一種理論，由格洛騰迪克、Michael Artin以及其他一些人所發(fā)展，其明確意圖是應(yīng)用于Weil猜想，而它確實是最終證明的主要因素之一。但是格洛騰迪克走得更遠，發(fā)展了motive的概念，他將此描述為“終極上同調(diào)不變量”，所有其他的上同調(diào)理論都是它的實現(xiàn)或者化身。Motive的完整理論至今還沒有發(fā)展起來，不過由它產(chǎn)生了大量好的數(shù)學(xué)。比如，在1970年代，高等研究院的Deligne和Robert Langlands猜想了motives和自守表示間的精確關(guān)系。這個猜想，現(xiàn)在是所謂Langlands綱領(lǐng)的一部分，首次以印刷形式出現(xiàn)在[Langlands]一文中。多倫多大學(xué)的James Arthur認為徹底證明這個猜想將是數(shù)十年后的事情。但他指出，Andrew Wiles的Fermat大定理的證明，本質(zhì)上就是證明了這個猜想在橢圓曲線所產(chǎn)生的2維motives的特殊情況。另外一個例子是高等研究院的Vladimir Voevodsky在motivic上同調(diào)的工作，由此他獲得2002年菲爾茲獎?wù)隆＿@個工作發(fā)展了格洛騰迪克關(guān)于motive的一些原始想法。
在此關(guān)于他數(shù)學(xué)工作的簡短回顧中，格洛騰迪克寫道，構(gòu)成它的精華和力量的，不是大的定理，而是“想法，甚至夢想”（第51頁）。
?格洛騰迪克在IHéS給學(xué)生上課，教SGA。圖片來源：the Grothendieck Circle
直到1970年第一次“蘇醒”的時候，我和我的學(xué)生們的關(guān)系，就如我和自己工作的關(guān)系一樣，是我感到滿意和快樂——這些是我生活的和諧感知的切實而無可指責(zé)的基礎(chǔ)之一——的一個源泉，至今仍有它的意義……
——《收獲與播種》，第63頁
在1961年秋訪問哈佛時，格洛騰迪克致信給Serre：“哈佛的數(shù)學(xué)氣氛真是棒極了，和巴黎相比是一股真正的清新空氣，而巴黎的情況則是一年年里越來越糟糕。這里有一大群學(xué)生開始熟悉概型的語言，他們別無所求，只想做些有趣的問題，我們顯然是不缺有趣的問題的”[Corr]。Michael Artin，其于1960年在Zariski指導(dǎo)下完成論文，此時正是哈佛的Benjamin Pierce講師。完成論文之后，Artin馬上開始學(xué)習(xí)新的概型語言，他也對平展上同調(diào)的概念感興趣。當格洛騰迪克1961年來哈佛的時候，“我詢問他平展上同調(diào)的定義，”Artin笑著回憶說。這個定義當時還沒有明確給出來。Artin說道：“實際上整個秋天我們都在辯論這個定義?！?/span>
1962年搬到麻省理工學(xué)院后，Artin開了個關(guān)于平展上同調(diào)的討論班。接下去兩年大部分時間他在IHéS度過，和格洛騰迪克一起工作。平展上同調(diào)的定義完成后，仍然還有許多工作要做來馴服這個理論，讓它變成一個可以真正使用的工具。“這個定義看上去很美，不過它不保證什么東西是有限的，也不保證可計算，甚至不保證任何東西，”Mumford評論道。這些就是Artin和格洛騰迪克要投入的工作；其中一個結(jié)果就是Artin可表定理。與Jean-Louis Verdier一起，他們主持了1963-1964年的討論班，其主題即平展上同調(diào)。這個討論班寫成為SGA4的三卷書，一共差不多1600頁。
可能有人不同意格洛騰迪克對1960年代早期巴黎數(shù)學(xué)氛圍“糟糕”的評價，但毫無疑問，當他在1961年回到IHéS，重新開始他的討論班時，巴黎的數(shù)學(xué)氛圍得到了相當大的加強。那里的氣氛“相當棒”，Artin回憶說。這個討論班參加者人數(shù)眾多，包括巴黎數(shù)學(xué)界的頭面人物以及世界各地來訪的數(shù)學(xué)家。一群出色而好學(xué)的學(xué)生圍繞在格洛騰迪克周圍，在他的指導(dǎo)下寫論文（由于IHéS不授予學(xué)位，名義上說他們是巴黎市內(nèi)外一些大學(xué)的學(xué)生）。1962年，IHéS搬到它的永久之家，位于巴黎郊區(qū)Bures-sur-Yvette一個叫Bois-Marie，寧靜而樹木叢生的公園里。那個舉行討論班的舞臺式建筑，及其大繪圖窗戶和所賦予的開放而通透的感覺，給這里提供了一種不凡而生動的背景。格洛騰迪克是所有活動的激情四射的中心?！斑@些討論班是非常交互式的，”Hyman Bass回憶說，他于1960年代訪問過IHéS，“不過不管格洛騰迪克是不是發(fā)言人，他都占著統(tǒng)治地位?！彼貏e嚴格而且可能對人比較苛求?！八皇遣簧菩?，但他也不溺愛學(xué)生?！盉ass說道。
格洛騰迪克發(fā)展了一套與學(xué)生工作的固定模式。一個典型例子是巴黎南大學(xué)的Luc Illusie（老耶律），他于1964年成為格洛騰迪克的學(xué)生。老耶律曾參加了巴黎的Henri Cartan和Laurent Schwartz討論班，正是Cartan建議老耶律或許可以跟隨格洛騰迪克做論文。老耶律其時還只學(xué)習(xí)過拓撲，很害怕去見這位代數(shù)幾何之“神”。后來表明，見面的時候格洛騰迪克相當友善，他讓老耶律解釋自己已經(jīng)做過的事情。老耶律說了一小段時間后，格洛騰迪克走到黑板前，開始討論起層、有限性條件、偽凝聚層和其他類似的東西。“黑板上的數(shù)學(xué)就象海一樣，象那奔流的溪流一樣，”老耶律回憶道。最后，格洛騰迪克說下一年他打算將討論班主題定為L-函數(shù)和l-adic上同調(diào)，老耶律可以幫助記錄筆記。當老耶律抗議說他根本不懂代數(shù)幾何時，格洛騰迪克說沒關(guān)系：“你很快會學(xué)會的?！?/p>
老耶律的確學(xué)會了?！八v課非常清楚，而且他花大力氣去回顧那些必需的知識，包括所有的預(yù)備知識，”老耶律評價道。格洛騰迪克是位優(yōu)秀的老師，非常有耐心而且擅于清楚解釋問題?！八麜〞r間去解釋非常簡單的例子，來證明這個機器的確可以運行，”老耶律說。格洛騰迪克會討論一些形式化的性質(zhì)，那些常常被人歸結(jié)到“平凡情況”因而太明顯而不需要討論的性質(zhì)。通?！澳悴粫ピ斒鏊?，你不會在它上面花時間，”老耶律說，但這些東西對于教學(xué)非常有用?！坝袝r有點冗長，但是它對理解問題很有幫助?！?/p>
格洛騰迪克給老耶律的任務(wù)是記錄討論班一些報告的筆記——準確說，是SGA5的報告I，II和III。筆記完成后，“當我將它們交給他時全身都在發(fā)抖，”老耶律回憶道。幾個星期后格洛騰迪克告訴老耶律到他家去討論筆記；他常常與同事和學(xué)生在家工作。格洛騰迪克將筆記拿出來放在桌子上后，老耶律看到筆記上涂滿了鉛筆寫的評語。兩個人會坐在那里好幾個小時來讓格洛騰迪克解釋每一句評語?！八赡茉u論一個逗號、一個句號的用法，可能評論一個聲調(diào)的用法，也可能深刻評論關(guān)于一個命題的實質(zhì)并提出另一種組織方法——各種各樣的評論都有，”老耶律說道，“但是他的評語都說到點子上。”這樣逐行對筆記做評論是格洛騰迪克指導(dǎo)學(xué)生很典型的方法。老耶律回憶起有幾個學(xué)生因為不能忍受這樣近距離的批評，最終在別人指導(dǎo)下寫了論文。有個學(xué)生一次見過格洛騰迪克后差點流眼淚了。老耶律說：“我記得有些人很不喜歡這樣的方式。你必須照這樣做……但這些批評不是吹毛求疵?！?/p>
Nicholas Katz在他以博士后身份于1968年訪問IHéS時也被給了個任務(wù)。格洛騰迪克建議Katz可以在討論班上做個關(guān)于Lefschetz pencils的報告。“我曾聽說過Lefschetz pencils，但除去聽說過它們之外我對它們幾乎一無所知，”Katz回憶說?！暗侥甑椎臅r候我已經(jīng)在討論班上做過幾次報告了，現(xiàn)在這些作為SGA7的一部分留傳了下來。我從這里學(xué)到了相當多的東西，這對我的未來起了很多影響?！盞atz說格洛騰迪克一周內(nèi)可能會去IHéS一次去和訪問學(xué)者談話?！敖^對令人驚訝的是他不知怎么可以讓他們對某些事情感興趣，給他們一些事情做，”Katz解釋說，“而且，在我看來，他有那種令人驚訝的洞察力知道對某個人而言什么問題是個好問題，可以讓他去考慮。在數(shù)學(xué)上，他有種很難言傳的非凡魅力，以至于大家覺得幾乎是一項榮幸——被請求在格洛騰迪克對未來的遠見卓識架構(gòu)里做些事情。”
哈佛大學(xué)的Barry Mazur至今仍然記得在1960年代早期在IHéS和格洛騰迪克最初一次談話中，格洛騰迪克給他提出的問題，那個問題起初是Gerard Washnitzer問格洛騰迪克的。問題是這樣的：定義在一個域上的代數(shù)簇能否由此域到復(fù)數(shù)域的兩個不同嵌入而得到不同的拓撲微分流形？Serre早前曾給了些例子說明兩個拓撲流形可能不一樣。受這個問題的激發(fā)，Mazur后來和Artin在同倫論上做了些工作。但在格洛騰迪克說起這個問題的時候，Mazur還是個全心全意的微分拓撲學(xué)家，而這樣的問題本來他是不會碰到的?！皩τ诟衤弪v迪克，這是個很自然的問題，”Mazur說道，“但對我而言，這恰好是讓我開始從代數(shù)方面思考的動力。”格洛騰迪克有種真正的天賦來“給人們搭配未解決問題。他會估量你的能力而提出一個問題給你，而它正是將為你照亮世界的東西。這是種相當奇妙而罕見的感知模式?！?/p>
?格洛騰迪克在IHéS給學(xué)生上課，教SGA。圖片來源：the Grothendieck Circle
在和IHéS的同事及學(xué)生工作外，格洛騰迪克和巴黎外一大群數(shù)學(xué)家保持著通信聯(lián)系，其中有些正在別的地方在部分他的綱領(lǐng)上進行工作。例如，加州大學(xué)伯克萊分校的Robin Hartshorne 1961年的時候正在哈佛上學(xué)，從格洛騰迪克在那所做的講座里，他得到關(guān)于論文主題的想法，即研究希爾伯特概型。論文完成后Hartshorne給已經(jīng)回到巴黎的格洛騰迪克寄了一份。在日期署為1962年9月27日的回信中，格洛騰迪克對論文做了些簡短的正面評價?！敖酉氯?到4頁全是他對我可能可以發(fā)展的更深定理的想法和其他些關(guān)于這個學(xué)科大家應(yīng)該知道的東西，”Hartshorne說。他注意到信中建議的有些事情是“不可完成的困難”，而其他一些則顯示了非凡的遠見。傾泄這些想法后，格洛騰迪克又回來談及論文，給了3頁詳細的評語。
在他1958年愛丁堡數(shù)學(xué)家大會的報告中，格洛騰迪克已經(jīng)概述了他關(guān)于對偶理論的想法，但由于他在IHéS討論班中正忙著別的一些主題，沒有時間來討論它。于是Hartshorne提出自己在哈佛開一個關(guān)于對偶的討論班并將筆記記錄下來。1963年夏天，格洛騰迪克給了Hartshorne大約250頁的教案（prenote），這將成為Hartshorne這年秋天開始的討論班的基礎(chǔ)。聽眾提出的問題幫助Hartshorne發(fā)展和提煉了對偶理論，他并開始將它系統(tǒng)記錄下來。他會將每一章都寄給格洛騰迪克來接受批評，“它回來的時候整個都布滿了紅墨水，”Hartshorne回憶道，“于是我將他說的都改正了并即給他寄新的版本。它被寄回時上面的紅墨水更多?！币庾R到這可能是個無窮盡的過程后，Hartshorne有天決定將手稿拿去出版；此書1966年出現(xiàn)在Springer的Lecture Notes系列里[Hartshorne]。
格洛騰迪克“有如此多的想法以至基本上他一個人讓那時候世界上所有在代數(shù)幾何上認真工作的人都很忙碌，”Hartshorne注意到。他是如何讓這個事業(yè)一直運行下來的呢？“我認為這沒有什么簡單答案，”Michael Artin回答說。不過顯然格洛騰迪克的充沛精力和知識寬度是一些原因?！八浅５木Τ渑妫宜w很多領(lǐng)域，”Artin說?！八軌蛲耆刂七@個領(lǐng)域達12年之久真是太不尋常了，這可不是個懶人集中營?！?/p>
在他IHéS的歲月里，格洛騰迪克對數(shù)學(xué)的奉獻是完全的。他的非凡精力和工作能力，以及對自身觀點的頑強堅持，產(chǎn)生了思維的巨浪，將很多人沖入它的奔涌激流中。他沒有在自己所設(shè)的令人畏懼的計劃面前退縮，反而勇往直前地投入進去，沖向大大小小的目標?！八臄?shù)學(xué)議程比起一個人能做的要多出很多，”Bass評價道。他將其中很多工作發(fā)包給他的學(xué)生們和合作者們來做，而自己也做了很大一部分的工作。給予他動力的，如他在《收獲與播種》里所解釋，就只是理解事情的渴望，而確實，那些知道他的人證明他不是由于什么形式的競賽來推動自己的?！霸谀菚r，從沒有過這樣要在別人之前證明某個東西的想法，”Serre解釋道。而且在任何時候，“他不會和別的任何人競賽，一個原因是他希望按他自己的方式來做事情，而幾乎沒有別的人愿意也這樣做。完成它需要太多工作了?！?br/>
格洛騰迪克學(xué)派的統(tǒng)治地位有些有害的效果。甚至格洛騰迪克IHéS的杰出同事，René Thom也感到有壓力。在[Fields]中，Thom寫道與其他同事的關(guān)系比較起來，他與格洛騰迪克的關(guān)系“不那么愉快”?！八募夹g(shù)優(yōu)勢太有決定性了，”Thom寫道?！八挠懻摪辔苏麄€巴黎數(shù)學(xué)界，而我則沒有什么新的東西可供給大家。這促使我離開了嚴肅數(shù)學(xué)世界而去處理更一般的概念，比如組織形態(tài)的發(fā)生，這個學(xué)科讓我更感興趣，引導(dǎo)我走向一個很一般形式的‘哲學(xué)’生物學(xué)?！?br/>
在他1988年的教材《本科生代數(shù)幾何》最后的歷史性評論中，Miles Reid寫道：“對格洛騰迪克的個人崇拜有些嚴重的副作用：許多曾經(jīng)花了一生很大一部分時間去掌握Weil的代數(shù)幾何基礎(chǔ)的人覺得受到了拒絕和羞辱…整整一代學(xué)生（主要是法國人）被洗腦而愚蠢地認為如果一個問題不能放置于高效能的抽象框架里就不值得去研究?！比绱恕跋茨X”可能是時代時尚無法避免的副產(chǎn)品，盡管格洛騰迪克自己從來不是為抽象化而追求抽象化的。
Reid也注意到，除去少數(shù)可以“跟上步伐并生存下來”的格洛騰迪克的學(xué)生，從他的思想里得益最多的是那些在一段距離外受影響的人，特別是美國，日本和俄國的數(shù)學(xué)家。Pierre Cartier在俄國數(shù)學(xué)家，如Vladimir Drinfeld，Maxim Kontsevich，Yuri Manin和Vladimir Voevodsky的工作中看到了格洛騰迪克思想的傳承。Cartier說：“他們抓住了格洛騰迪克的真正精神，但他們能夠?qū)⑺推渌麞|西結(jié)合起來?！?/p>
歐陽毅
湖南衡陽人，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，方向是數(shù)論和算術(shù)代數(shù)幾何。 1989年9月進入中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)習(xí)，1993年提前攻讀數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方向研究生，師從馮克勤教授。1995年獲得碩士學(xué)位，之后赴美國深造。2000年5月畢業(yè)于美國明尼蘇達大學(xué)，獲博士學(xué)位，方向是代數(shù)數(shù)論，導(dǎo)師Greg W. Anderson教授。論文獲學(xué)校年度Outstanding Thesis。 2000年7月到2003年6月在加拿大多倫多大學(xué)V. Kumar Murty教授手下從事博士后研究工作。2003年回國在清華大學(xué)工作，任副教授。2007年回科大數(shù)學(xué)系工作，任教授。 曾多次訪問法國高等科學(xué)研究院，巴黎十一大學(xué)，波爾多大學(xué)，荷蘭萊頓大學(xué)，意大利帕多瓦大學(xué)，國際理論物理中心（ICTP）等地。
點擊藍字查看本系列：
