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撰文 | 陳省身

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我于1923年1月進(jìn)天津扶輪中學(xué)。那是一所四年制的高級中學(xué)，我獲準(zhǔn)插班入一年級就讀第二學(xué)期。該校的數(shù)學(xué)課程有： 

（1）第一年，算術(shù)，使用中文課本； 
（2）第二年，代數(shù)，使用Hall與Knight的課本； 
（3）第三年，幾何，使用Wentworth與Smith的課本； 
（4）第四年，三角學(xué)和高級代數(shù)，分別使用Wentworth-Smith及Hall-Knight的課本。 

我的老師都很有能力，又極富獻(xiàn)身精神，我做了大量習(xí)題。到第四年，我已能做許多Hall-Knight的書中引用的劍橋大學(xué)榮譽(yù)學(xué)位考試的題目。 

1926年我從扶輪畢業(yè)；同年我進(jìn)南開大學(xué)，實際上是跳了兩級，因此我從未上過解析幾何課。更糟的是，我必須參加南開大學(xué)的入學(xué)考試，其數(shù)學(xué)試題中解析幾何占很重的份量。

考試前的三個星期，我自學(xué)了Young與Morgen的《數(shù)學(xué)分析》（Mathematical analysis）如果記得不錯的話，我的考卷位列第二。不過在很長的一段時間內(nèi)，「圓錐曲線的焦點」這一概念令我大傷腦筋，直到幾年后學(xué)了射影幾何學(xué)我才茅塞頓開。 

進(jìn)南開大學(xué)后，我很快就發(fā)現(xiàn)自己做實驗笨手笨腳，于是數(shù)學(xué)便成為我唯一的選擇。我有幸得姜立夫教授為師，他1918年獲哈佛大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位，導(dǎo)師是J. Coolidge，論文題目是關(guān)于非歐幾里得空間中線球接觸變換的。

因此，我在大學(xué)第四年，花了許多功夫?qū)W幾何，所讀的書中有 Coolidge 的《非歐幾何學(xué)》（Noneuclidean Geometry）與《圓和球的幾何學(xué)》（Geometry of the circle and sphere），Solmon的《圓錐曲線》（conic sections）與《立體解析幾何》（Analytic Geometry of Three Dimmensions），以及Castelnuovo的《解析幾何與射影幾何》（Analytic and Projective Geometry）等。

尤其使我著迷的是Otto Staude的二卷本著作《線構(gòu)造》（Fadenkonstruktionen）。二次超曲面的幾何是數(shù)學(xué)中優(yōu)美的篇章。我很高興看到J. Moser1979年在可積哈密頓系統(tǒng)和譜理論的研究中繼續(xù)這方面的工作。（參見3）甚至在今日，研究 Salmon 的東西可能仍是有價值的，至少在我看來是有趣的。 

1930年我從南開畢業(yè)，去北平清華大學(xué)從孫鎕教授工作。孫先生在當(dāng)時是中國發(fā)表數(shù)學(xué)研究論文的唯一的數(shù)學(xué)家。孫的研究領(lǐng)域是射影微分幾何，他曾是芝加哥大學(xué)E.P.Lane的博士生。

這個主題由E.J. Wilczynsky于1901年創(chuàng)立，是那時已經(jīng)支配幾何學(xué)近一世紀(jì)的射影幾何的一個自然產(chǎn)物。我熟悉了這方面的文獻(xiàn)，并寫了幾篇論文，其中包括我的有關(guān)射影線幾何的碩士論文。

繼Plücker與Klein之后，線幾何一直是幾何學(xué)家們喜愛的主題。事實上，Klein的學(xué)位論文就是關(guān)于二次線體的，即Plücker坐標(biāo)下的二次方程所確定的線軌（line loci）。二次線體具有許多背景中也有許多線幾何的內(nèi)容。 

我的論文研究線匯，即線的二維子流形以及它們的通過二次線體的密切（osculation）。 

在我的研究生學(xué)業(yè)接近結(jié)束時，即大約1934年左右，我開始認(rèn)識到整體微分幾何（當(dāng)時稱為大范圍微分幾何）的重要性。我的主要靈感來自W. Blaschke的關(guān)于微分幾何的那些著作。 

很清楚，代數(shù)拓?fù)涫钦麄€領(lǐng)域的基礎(chǔ)。而代數(shù)拓?fù)浔旧懋?dāng)時還處于發(fā)展階段。Veblen于1922年發(fā)表的analysis situs引進(jìn)了「同調(diào)不變量」（homology characters）即根據(jù)關(guān)聯(lián)矩陣得出的Betti數(shù)和撓系數(shù)。Lefschetz的《拓?fù)鋵W(xué)》于1930年出版，但該書對初學(xué)者進(jìn)入這個領(lǐng)域并無裨益。

我曾聽過Emanuel Sperner的講課（1933～1934年）。當(dāng)時Sperner正在北京大學(xué)訪問，他的課包含有對Erhard Schmidt關(guān)于約當(dāng)曲線定理的證明的嚴(yán)密而詳細(xì)的論述。

我也聽過江澤涵講授的以Lefschetz的書為藍(lán)本的「位置分析」課，江是Marston Morse過去的學(xué)生，曾擔(dān)任Lefschetz的助手。而我當(dāng)時的感覺是我只是剛剛站在代數(shù)拓?fù)溥@座偉大殿堂的門口。到1934年Seifert-Threlfall的書和1935年Alexandroff-Hopf的書問世，情況才有了巨大的變化。 

1932年春季，Blaschke訪問了北平，作了關(guān)于「微分幾何中的拓?fù)鋯栴}」的系列演講。這是真正的局部微分幾何。他采用全體微分同胚構(gòu)成的偽群取代經(jīng)典微分幾何中的李群，并研究了局部不變量。

我能跟上Blaschke的演講并去閱讀發(fā)表在漢堡大學(xué)數(shù)學(xué)討論會論文集（Hamburger Abhandlungen）及其它雜志上的包含在這同一個總標(biāo)題下的許多論文。這個主題現(xiàn)在稱為網(wǎng)幾何（web geometry）。由于有此接觸，之前又已掌握 Blaschke 的微分幾何書中的知識，所以當(dāng)1934年獲得一筆獎學(xué)金時，我決定去漢堡留學(xué)。 

1934年～1936年我在漢堡，1936年獲理學(xué)博士學(xué)位；并曾在巴黎隨Elie Cartan從事一年博士后研究，去漢堡的選擇實屬幸運之舉。漢堡大學(xué)有一個很強(qiáng)的數(shù)學(xué)系，Blaschke、Artin以及Hecke是那里的教授，較資淺的成員包括E. K?hler、H. Petersson和H. Zassenhaus。 

那時Blaschke的數(shù)學(xué)興趣正從網(wǎng)幾何轉(zhuǎn)向積分幾何。1934年9月我剛見到他時，他給了我一大疊關(guān)于網(wǎng)幾何的抽印本。我開始對網(wǎng)的秩的概念和具有最大的秩的網(wǎng)產(chǎn)生了興趣。大家知道，Rn中一個余維是1的d網(wǎng)由處于一般位置的d個超曲面葉結(jié)構(gòu)組成。

設(shè)x1,...,xn是Rn的坐標(biāo)，葉狀結(jié)構(gòu)由方程給定。形如 的方程被稱為是Abel方程。線性無關(guān)的Abel方程的最大個數(shù)被稱為是這個網(wǎng)的秩。如果d-網(wǎng)由Rn空間里的d類代數(shù)曲線的超平面定義，它就具有這樣的Abel方程，它們是將Abel定理應(yīng)用Abel微分獲得的。因而這個d-網(wǎng)的秩至少是該曲線的虧格（genus）。

在一篇短文中我確定了Rn中所有余維為1的d-網(wǎng)的最大秩。根據(jù) Castelnuovo的一個定理，這個整數(shù)等于n維射影空間Pn里不屬于任意超平面Pn-1的d次代數(shù)曲線的最大虧格。

值得注意的事實是，并非所有具有最大秩的網(wǎng)都是由上述方式描述的具有最大虧格的代數(shù)曲線給出的；這里存在怪異的具有最大秩的網(wǎng)，這些網(wǎng)的葉并非都是超平面。這些Abel方程本質(zhì)上是函數(shù)方程，因為在經(jīng)典情形中，這些方程變成眾所周知的超越函數(shù)的加法定理。

在平面上（n=2），曲線的5-網(wǎng)的最大秩為6，而且存在一個怪異網(wǎng)（Bol網(wǎng)），這個網(wǎng)的Abel方程含二重對數(shù)。1978年Griffiths和我研究了Rn中具有最大秩且余維為1的d-網(wǎng)問題，但我們沒有獲得最后結(jié)果。我認(rèn)為確定這樣的怪異網(wǎng)是一個非常有趣且很重要的問題。 

1934年～1935年間我的主要精力用于參加K?hler的討論班。討論班以K?hler剛出版不久的著名小冊子《微分方程組理論導(dǎo)引》（Einführung in die Theorie Systeme von Differentialgleichangen）為基礎(chǔ)。主要成果就是后來所稱的Cartan-K?hler定理。

所有的人，包括Blaschke、Artin與Hecke，都出席了首次討論會，每人還得到一本上述的小冊子。但參加者減少得很快，我是堅持到底的極少數(shù)人之一。我把這一理論用于R2r中r維子流形的3-網(wǎng)。Blaschke和K?hler都認(rèn)為這個結(jié)果與我先前關(guān)于最大秩的結(jié)果已足夠?qū)懗梢黄獙W(xué)位論文了。到1935年底我的學(xué)位論文已準(zhǔn)備就緒。 

Blaschke及其學(xué)派主要關(guān)心積分幾何，Blaschke開過積分幾何的課程。這一主題最漂亮的結(jié)果是由L.A. Santalò發(fā)現(xiàn)的。一個結(jié)果是用正項的無窮和表示平面凸曲線的等周虧量，其中每個正項均具幾何意義。Santalò的工作使他成為積分幾何方面的世界級領(lǐng)袖。他原籍西班牙，后來移民到阿根廷。 

我的另一位學(xué)友是代數(shù)幾何學(xué)家周煒良，他為了跟Hermann Weyl做研究從芝加哥來到哥廷根。但是哥廷根乃至整個德國政局的變化使這一愿望成為泡影，他又轉(zhuǎn)往萊比錫隨Van der Waerden工作。由于某種原因，他住在漢堡，有時來參加討論班。

周煒良當(dāng)時正在發(fā)展他的「配型」（zugeordnete Formen），即后來所稱「周氏坐標(biāo)」。周是一位有創(chuàng)見的數(shù)學(xué)家。他對代數(shù)幾何作出了重要貢獻(xiàn)，包括他的緊子簇定理和相交理論。周出身于中國一個高層官宦家族，它很早就認(rèn)識到西化的必要，因此這個家族出了不少杰出人物。周習(xí)慣夜間工作。當(dāng)他來訪時我就得犧牲一些睡眠，但卻學(xué)得一些數(shù)學(xué)。 

無論如何，只要可能，我就去聽Artin的講課。二年間他開過的課包括復(fù)變函數(shù)論、代數(shù)拓?fù)?、相對論和丟番圖逼近等。我還聽過Hecke主要按他的書講的代數(shù)數(shù)論課。我在漢堡的學(xué)術(shù)生涯是很理想的，但是政局不允許這種生活繼續(xù)下去。 

1936年～1937年我可從事一年博士后研究。當(dāng)我征求Blaschke的意見時，他建議我或繼續(xù)留漢堡跟Artin研究數(shù)論，或去巴黎跟隨Elie Cartan。這兩個方案都有吸引力，我最后選擇了后者。 

這一抉擇非常理想。那年Cartan開了一門外微分系統(tǒng)的課程；講義后來以書的形式出版了。那些后來成為Bourbaki的「年輕的」法國數(shù)學(xué)家開始活躍起來。他們組織了一個「Julia討論班」，每二周聚一次，致力于對每年選定的一個專題進(jìn)行研究。1936年～1937年的專題是「E. Cartan的工作」。 

Cartan是位極好的導(dǎo)師。他提出的「小」問題，有些成為我論文的主題。大概由于我對他所提問題作的解答，他允許我大約每二周去他家一次。見面后的第二天我通常會收到他的信，信中往往說：「你走后我又考慮了他的問題。......這問題似乎很有趣......」這一年過得有趣而令人難忘。 

我還聽過Montel有關(guān)多復(fù)變的講課，參加過Hadamard在法蘭西學(xué)院舉辦的討論班。在每次討論班結(jié)束時Hadamard總會作總結(jié)，它通常比討論班上的演講本身更清楚更豐富。 

在獲悉中日戰(zhàn)爭爆發(fā)的消息后，我懷著沉重的心情于1937年7月10日告別巴黎返回中國。 

1937年夏我離歐返華時，本打算去北平就任清華大學(xué)教授之職，由于中日戰(zhàn)爭之故，十年后才達(dá)到此目的。當(dāng)時清華大學(xué)先搬到長沙，1938年又遷至昆明，在那兒一直滯留到1945年夏戰(zhàn)爭結(jié)束。 

昆明是座美麗的城市。雖然處于戰(zhàn)事中的國家物資匱乏、局勢動蕩，但在生活的其它方面倒是愉快的。清華大學(xué)與北京大學(xué)、南開大學(xué)聯(lián)合，組成了西南聯(lián)合大學(xué)，昆明立刻成為戰(zhàn)時中國知識界的中心。我的數(shù)學(xué)同仁包括華羅庚和許寶騄。我開了代數(shù)拓?fù)?、李群、球幾何及外微分系統(tǒng)等方面的課程和討論班，吸引了一批學(xué)生。

主要的不便是此地與外界的聯(lián)系被切斷了：有段時間連「緬甸信道」也關(guān)閉了，與外界的聯(lián)系只有靠空運。我有個私人小書庫。起初，我做了以前想做而沒時間做的事：讀了些書，思考些問題，還覺得有趣。

但挫折很快就降臨了，而且必須克服。我將此情信告E. Cartan，他寄給我許多他的抽印本，包括一些過去的論文。我花了大量時間研讀這些論文，考慮其內(nèi)涵及應(yīng)用。這確實使我受益匪淺。

在30年代，人們已開始認(rèn)識到Cartan的工作的重要性，如Weyl、Blaschke和K?hler，但幾乎沒有人去讀Cartan舊時的論文（有關(guān)李代數(shù)的論文除外）。我很幸運能因環(huán)境之故把這些論文都遍讀無遺。 

駐華盛頓的中國大使胡適博士空郵來一本Hurewicz-Wallman寫的有關(guān)《維數(shù)論》的書?，F(xiàn)今習(xí)慣于靜電復(fù)印的人也許很難想象我把除最后一章外的整本書抄了一遍。在最后一章中，作者是在沒有正合序列概念的情況下處理正合序列的問題，我覺得很難理解。其實當(dāng)時讀論文作筆記是很普通的。復(fù)印大量資料并不能說明自己取得了多少進(jìn)步。 

我開始有了一些學(xué)生，其中有王憲鐘和嚴(yán)志達(dá)。王后來對拓?fù)鋵W(xué)作出了許多貢獻(xiàn)，盡管他最出名的成果是王序列。嚴(yán)最早給出所有例外李群的 Betti 數(shù)的正確值。 

回首往事，我并不認(rèn)為自已對作為整體的數(shù)學(xué)有完善的見地。我清楚自己的某些不足并渴望得到充實。我的數(shù)學(xué)實力在于我能算。至今我不在乎繁復(fù)的計算，直到數(shù)年前我做這樣的計算還很少出現(xiàn)差錯。這方面的訓(xùn)練現(xiàn)在不大流行，也得不到鼓勵，但在處理許多問題時它仍有很大的好處。 

Gauss-Bonnet公式曾使我著迷，我知道它的最概念化的證明是通過結(jié)構(gòu)方程來表示聯(lián)絡(luò)形式的外微分。當(dāng)1943年我去普林斯頓時，它已為為我在數(shù)學(xué)工作中最得意的一篇論文開了題。 

我于1943年8月抵達(dá)普林斯頓。氣氛的變化令人難忘。那段日子高等研究院很清靜，大多數(shù)人已離去為戰(zhàn)事服務(wù)。

Hermann Weyl對我的工作很感興趣。我訪問之前他曾為《數(shù)學(xué)紀(jì)事》（Annals of Mathematics）審閱過我一篇有關(guān)迷向曲面的論文，并寫了一個很長的給予好評的報告。這件事是他親自泄露給我的。報告提出了改進(jìn)的建議，這說明他仔細(xì)地看了全文。我們經(jīng)常交談。Weyl的深刻洞察之一是預(yù)言代數(shù)幾何有非常美好的前景。 

Andre Weil那時在附近的Lehigh大學(xué)，我們很快就見了面并有好多可談的內(nèi)容。當(dāng)時Weil剛剛發(fā)表與Allendoerfer合作的關(guān)于Gauss-Bonnet公式的論文，它立刻成為我們討論的話題。

根據(jù)我對二維情況的埋解，我知道正確的證明應(yīng)該建基于我們現(xiàn)在稱之為超度（transgression）的概念之上。困難則有兩個：

（1）當(dāng)時我對關(guān)于向量場的奇點的 Poincare-Hopf 定理不甚清楚；

（2）超度必須在單位切叢中而不是在主叢中實現(xiàn)，這就涉及到一個不平凡的技術(shù)困難。

這兩個困難我都在短時間克服了，事情有了一個滿意的結(jié)果。我仍認(rèn)為這是我做得最好的工作。 

其后自然要把這個結(jié)果擴(kuò)展到Stiefel-Whitney類。那時即使在普林斯頓，談起纖維叢也必得從定義開始。那時沒有矢量叢，只有球叢。我注意到復(fù)示性類較簡單，容許局部曲率表示。這項工作不難，但它并非那個時代拓?fù)鋵W(xué)的時尚課題。 

我雖是高等研究院的成員，但很多時間是在普林斯頓大學(xué)的范氏大樓度過的。Chevalley那時正在寫他的有關(guān)李群的書。Lefschetz則固執(zhí)己見，他不愿用當(dāng)時盛行的常規(guī)方法研究微分幾何。當(dāng)時請我為《數(shù)學(xué)紀(jì)事》審閱一篇論文而建議退稿后，他讓我擔(dān)任該刊的副主編（associate editor）。 

普林斯頓的環(huán)境與工作節(jié)拍令我十分愜意。我對數(shù)學(xué)的看法成熟多了。留居普林斯頓的日子使我感到極大的樂趣。近年來科學(xué)競爭已使科學(xué)家的生活大煞風(fēng)景，盡管在數(shù)學(xué)方面的情況要好得多。我認(rèn)為沒有非要如此快地出成果的必要，我也不為電子郵件的發(fā)現(xiàn)所動。 

1945年底我告別普林斯頓回中國。踏上故土立即受命組建中國的科學(xué)院，即中央研究院的數(shù)學(xué)研究院，其時二次大戰(zhàn)雖已結(jié)束，中國卻由于內(nèi)戰(zhàn)而處于分裂狀態(tài)。我向Hermann Weyl發(fā)出訪華邀請，他欣然接受。但是中國當(dāng)時的形勢使這一訪問未能實現(xiàn)。 

1948年底南京政府處于崩潰之中，感謝高等研究院主動安排我離華。1949年冬季學(xué)期我在高等研究院，是Veblen的微分幾何討論班的主講人。講稿兩年后補(bǔ)寫出來，流傳甚廣。

這些講稿現(xiàn)收錄在已出版的我的《論文選集》第四卷內(nèi)。主要結(jié)果是Weil同態(tài)。這是陳類從酉群到任意李群的一個推廣。1944年我在寫有關(guān)復(fù)示性類的論文時就知道這個結(jié)果；由于未熟練掌握李群，當(dāng)時未能證明它。Weil通過考慮聯(lián)絡(luò)族，提供了一個關(guān)鍵性的思想。我把這個結(jié)果稱為Weil同態(tài)。朋友們認(rèn)為我應(yīng)該分享這一榮譽(yù)，對此我自然不持異議。 

二次大戰(zhàn)后，Marshall Stone應(yīng)召重組芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系，并任系主任。他最早發(fā)出的兩份聘約分別送達(dá)Hassler Whitney與Andre Weil，這是他洞鑒數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)界的一個證明。Whitney謝絕了，而Weil經(jīng)過數(shù)次協(xié)商后接受了。 

我在中國時Stone就曾寫信給我談起要在芝加哥為我提供一個訊問職位的事。1949年我來美國后，芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系決定長期聘我。我認(rèn)為芝加哥大學(xué)是美國唯一的其主要目標(biāo)是「知識進(jìn)步」而非教育的大學(xué)。我有許多朋友在那里的數(shù)學(xué)系；1949年夏我成了該系的成員。由此引出了一段愉快而有益的合作。 

1949年～1950學(xué)年我開了一門名為「大范圍微分幾何」的課程，有一批才華橫溢的學(xué)生。我自己正在開辟自己的道路，我的學(xué)生及時更正了我的許多錯誤和疏忽，這是生氣勃勃而又有趣的結(jié)合。我還記得Arnord Shapiro，他曾主持許多這樣的討論。

回想起來，當(dāng)時我對微分幾何的了解還是初步的。這門學(xué)科中一些爭論問題至今未決，也許正反映了它的力量之所在。例如，曲面是什么？是嵌入還是浸入，或是由可能有奇點的方程所定義的？另一方面，我的課上涉及的許多課題，也獲得了新的多方面的發(fā)展。 

我與Weil聯(lián)系密切。他隨時都有準(zhǔn)備，隨時都可合作。在與我討論過數(shù)學(xué)的眾多數(shù)學(xué)家中，Weil是極少數(shù)能迅速抓全我的思想并給予有益的評說的數(shù)學(xué)家之一。我們常沿著密執(zhí)安湖畔長時間的漫步，這在當(dāng)時還很安全。 

我對代數(shù)拓?fù)湟哺信d趣，偶爾開一門這方面的課。我與Ed Spanier在球叢的研究上進(jìn)行過合作。所獲結(jié)果之一是把Gysin的工作寫成一個正合序列。Rene Thom把它做得更明白化了，這個結(jié)果現(xiàn)在通常稱為Thom同構(gòu)。 

我覺得芝加哥和漢堡都非常令人愉快。我認(rèn)為兩者的規(guī)模都很合適。不幸的是數(shù)學(xué)的發(fā)展已使一切都膨脹了。 

1960年我遷往伯克利（Berkeley）。對我來說這地方并不陌生。我在中國的老師姜立夫教授就是在伯克利獲得理學(xué)學(xué)位的。1946年和1949年我曾兩度駐足伯克利并在伯克利數(shù)學(xué)系呆過一段時間。

伯克利數(shù)學(xué)系是第一流的，它由G.C. Evans創(chuàng)建。Evans曾在若干場合詢問過我對去伯克利有無興趣。Evans的兄弟曾是天津著名的西文書店的老板。我曾在那兒買過一些課本，而書價一般貴得嚇人。 

Evans要退休了，我去伯克利工作的事變得認(rèn)真了，確實，我有時想到，自己年紀(jì)大了，伯克利較溫暖的氣候很有吸引力。當(dāng)然，伯克利數(shù)學(xué)系在擴(kuò)展，空運的發(fā)達(dá)已使加利福尼亞不再像從前那么孤立等因素，亦促成了我的這次遷居。 

伯克利一直在提高它在數(shù)學(xué)界的地位，吸引著許多優(yōu)秀的學(xué)生。在我指導(dǎo)下有31名研究生獲博士學(xué)位，當(dāng)然我還影響其它一些學(xué)生。我開始以「第二作者身份」與年輕人合作撰寫論文，如與Bott，Griffiths、Moser，以及Simons等合作就是如此。在這種情況下我感覺責(zé)任較輕。生活越來越覺舒暢。 
　　

與我在學(xué)術(shù)上交往密切的同事有Hans Lewy和Chuck Morrey，他們都是有創(chuàng)見、能力很強(qiáng)的分析學(xué)家。Lewy和對R6中的三維黎曼度量的局部等距嵌入問題進(jìn)行過一段時問的研究。它把我們導(dǎo)向三次漸近錐面的研究，我們弄清楚那是雙曲的，但僅止于此。 

數(shù)學(xué)中的微分的作用很奇妙。通常人們傾向于認(rèn)為代數(shù)和拓?fù)涫菙?shù)學(xué)的兩根支柱。但是事情并非那樣簡單；牛頓和萊布尼茲玩的是絕技。這一時期已經(jīng)看到微分幾何匯入了數(shù)學(xué)的主流。

我的生命歷程正在接近終點，我唯一的考慮是怎樣度過這段時光。答案很簡單，我將繼續(xù)擺弄數(shù)學(xué)。體育運動我從來就不在行，現(xiàn)在就更不用說了。聽音樂對我一直是浪費時間，偶爾介入此道，純粹出于社交之故。所幸的是整體微分幾何還有許多基本問題，盡管在其發(fā)展中我很可能僅是一名觀眾。

我認(rèn)為，研究對象限于光滑流形只是由于技術(shù)上的原因，也是不能令人滿意的。不僅很自然地存在著非光滑的流形，而且即使從光滑流形開始，諸如包絡(luò)這樣一些幾何構(gòu)造也將導(dǎo)致非光滑流形，Whitney引進(jìn)了分層流形（Stratifiad manifold）的概念，它允許有奇點并可應(yīng)用無窮小分析。

最近Robert McPherson的工作又帶來了新的希望。Cheeger-Goresky-McPherson相交同調(diào)和McPherson陳類已揭示出這一概念的本質(zhì)。（見2） 

對我來說，Riemann結(jié)構(gòu)是否像最新的進(jìn)展所表明的那樣基本還不清楚。畢竟Riemann在那篇歷史性的論文中，允許他的度量是一種4次形式的4次根。更一般情形現(xiàn)在稱之為Finsler度量。我在最近的一篇中指出，只要采取適當(dāng)?shù)挠^點，F(xiàn)insler幾何可以很簡單地加以展開。進(jìn)一步的發(fā)展則是必然的。 

正如Griffiths曾注意到的，我之所以喜歡代數(shù)手法起因于我的經(jīng)歷。局部微分幾何需要這樣去作，但是要得到漂亮的局部性定理是困難的。很清楚，前面討論過的有關(guān)最大秩的網(wǎng)的問題是很重要的問題，它將受到我的關(guān)注。