似是而非的答案：概率論悖論 | 張?zhí)烊貙冢ǘ?/h3>
2017/03/31
導(dǎo)讀
基于經(jīng)驗(yàn)的直覺(jué)往往并不靠譜！很多時(shí)候都需要用概率的計(jì)算去打破直覺(jué)的錯(cuò)誤。
?你知道嗎？天氣預(yù)報(bào)其實(shí)是一種隨機(jī)變量預(yù)報(bào)
導(dǎo)語(yǔ)：
如今，“概率”一詞在我們的生活中隨處可見(jiàn)，被人們使用得越來(lái)越廣泛和頻繁。這是一個(gè)多變的世界，一切都在變化，由變量構(gòu)成了我們的世界，其中包括決定性變量。例如，新聞中提到的“北京時(shí)間2016年11月3日20時(shí)43分，長(zhǎng)征五號(hào)在海南文昌成功發(fā)射”，此處的時(shí)間、地點(diǎn)都是固定的決定性變量。我們的生活中還有許多隨機(jī)變量，比如明天霾污染的程度、某公司的股票值等等，都是不確定的隨機(jī)變量。
隨機(jī)變量一般用概率來(lái)描述，生活中處處是隨機(jī)變量，因而處處有概率。氣象預(yù)報(bào)員會(huì)告訴你今天早上8點(diǎn)鐘的“降水概率”是90%；股市的信息可能是一種股票3個(gè)月之后翻倍的概率是67%；你的朋友會(huì)告訴你，你所買(mǎi)彩票的中頭獎(jiǎng)的概率只有一億分之一！概率可以被粗糙地定義為事件發(fā)生的頻率，即發(fā)生次數(shù)與總次數(shù)的比值。更準(zhǔn)確地說(shuō)，是總次數(shù)趨于無(wú)限時(shí)，這個(gè)比值趨近的極限。
今天，我們就來(lái)聊聊概率中的隨機(jī)變量以及其中的概率論悖論。
撰文 | 張?zhí)烊?（美國(guó)德州大學(xué)奧斯汀分校理論物理博士）
責(zé)編 | 呂浩然
● ● ●
概率論專欄：
雖然概率的定義不難懂，似乎人人都能理解，但你可能不知道，概率計(jì)算的結(jié)果經(jīng)常違背我們的直覺(jué)。概率論中有許多難以解釋、似是而非的悖論，從中人們得到的結(jié)論是：不能完全相信直覺(jué)！
人類的大腦有它的誤區(qū)和盲點(diǎn)，就像開(kāi)汽車(chē)的駕駛員視覺(jué)中有“盲點(diǎn)”一樣，需要幾面反光鏡來(lái)幫助克服。我們的思維過(guò)程中也有盲點(diǎn)，需要計(jì)算和思考來(lái)幫助澄清。概率論是一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)與直覺(jué)相悖的奇怪結(jié)論的領(lǐng)域，連數(shù)學(xué)家也是稍有不慎便會(huì)錯(cuò)得一塌糊涂?，F(xiàn)在，我們就來(lái)看看經(jīng)典概率中的幾個(gè)著名悖論和謬誤。
基本比率謬誤（Base Rate Fallacy）
先看一個(gè)生活中的例子。
王宏去醫(yī)院作驗(yàn)血實(shí)驗(yàn)，檢查他患上了X疾病（患病比率為千分之一）的可能性，其結(jié)果為陽(yáng)性。網(wǎng)上的資料顯示，實(shí)驗(yàn)總是有誤差的，這種實(shí)驗(yàn)有“百分之一的假陽(yáng)性率和百分之一的假陰性率”。這句話的意思是說(shuō)，在得病的人中做實(shí)驗(yàn)，有1%的人是假陽(yáng)性（即實(shí)際是陰性，卻得到陽(yáng)性的結(jié)果），99％的人是真陽(yáng)性。而在未得病的人中做實(shí)驗(yàn)，有1%的人是假陰性，99％的人是真陰性。于是，王宏根據(jù)這種解釋，估計(jì)他感染X疾病的可能性（即概率）為99%。王宏想，既然只有百分之一的假陽(yáng)性率，那么，百分之九十九都是真陽(yáng)性，那我感染X病的概率便應(yīng)該是99%。
可是，醫(yī)生卻告訴他，他被感染的概率只有0.09左右。這是怎么回事呢？王宏的誤區(qū)在哪里？
醫(yī)生說(shuō)：“99％是測(cè)試的準(zhǔn)確性，不是你得病的概率。你忘了一件事：這種X疾病的患病比率并不大，每千人中只有一個(gè)人患X病?！?/p>
醫(yī)生的計(jì)算方法是這樣的：因?yàn)闇y(cè)試的誤報(bào)率是1%，1000個(gè)人將有10個(gè)被診斷為假陽(yáng)性，而根據(jù)X病在人口中的比率（1/1000=0.1%），真陽(yáng)性只有1個(gè)。所以，大約11個(gè)測(cè)試為陽(yáng)性的人中只有一個(gè)是真陽(yáng)性（患?。?/span>的，因此，王宏被感染的幾率是大約1/11，即0.09（9%）。
實(shí)際上，王宏犯了“基本比率謬誤”的錯(cuò)誤，即忽略了“X病患者在人口中的基本比例為千分之一”這個(gè)事實(shí)。
談到基本比率謬誤，應(yīng)先從概率論中著名的貝葉斯定理[1]說(shuō)起。托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes ，1701-1761）是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家，貝葉斯定理是他對(duì)概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)作出的最大貢獻(xiàn)，是當(dāng)今人工智能中常用的機(jī)器學(xué)習(xí)之基礎(chǔ)框架，它的思想之深刻遠(yuǎn)出一般人的認(rèn)知，也許貝葉斯自己生前對(duì)此也認(rèn)識(shí)不足。值得一提的是，如此重要的成果卻并未在他生前發(fā)表，而是在他死后的1763年才由他的朋友發(fā)表。本篇將對(duì)貝葉斯定理稍作介紹，我們?cè)诒鞠盗械暮髱灼瑢⒂懻撠惾~斯學(xué)派以及貝葉斯理論在人工智能中的應(yīng)用。
粗略地說(shuō)，貝葉斯定理涉及到兩個(gè)隨機(jī)變量A和B的相互影響，專業(yè)注釋為：利用B帶來(lái)的新信息，應(yīng)如何修改B不存在時(shí)A的“先驗(yàn)概率”P(pán)(A)，從而得到B存在時(shí)的“條件概率”P(pán)(A|B)?；蛘哳愃频兀部梢詫、B反過(guò)來(lái)敘述，即如何從B的“先驗(yàn)概率”P(pán)(B)，得到B的“條件概率”P(pán)(B|A)。正反兩種敘述方式分別對(duì)應(yīng)于下圖中的實(shí)線和虛線。
通過(guò)前述王宏的經(jīng)歷我們就能很好的理解這個(gè)公式：隨機(jī)變量A表示“王宏感染X病”；隨機(jī)變量B表示“王宏的檢查結(jié)果”。先驗(yàn)概率P(A)指的是王宏沒(méi)有檢查結(jié)果時(shí)得X病的概率（即X病在公眾的基本概率0.1%），而條件概率（或后驗(yàn)概率）P(A|B)指的是王宏“檢查結(jié)果為陽(yáng)性”的條件下得X病的概率（9%）。也就是說(shuō)，王宏的檢查結(jié)果將先驗(yàn)概率P(A)（ 0.1%）修正成為9%。
貝葉斯定理是十八世紀(jì)的產(chǎn)物，卻在二十世紀(jì)七十年代遇到了挑戰(zhàn)，該挑戰(zhàn)來(lái)自于卡尼曼和特維爾斯基提出的“基礎(chǔ)概率謬誤”（Base Rate Fallacy）。丹尼爾·卡尼曼（Daniel Kahneman，1934－）是以色列裔美國(guó)心理學(xué)家，2002年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主。基礎(chǔ)概率謬誤并不是否定貝葉斯定理，而是探討一個(gè)使人困惑的問(wèn)題：為什么人的直覺(jué)經(jīng)常與貝葉斯公式計(jì)算的結(jié)果相悖？如同剛才的例子所示，人們?cè)谑褂弥庇X(jué)的時(shí)候經(jīng)常會(huì)忽略基礎(chǔ)概率?？崧仍谒奈恼?《思考，快與慢》 （<Thinking, Fast and Slow>）中舉了一個(gè)出租車(chē)的例子來(lái)啟發(fā)人們思考這個(gè)影響人們“決策”的原因：
某城市有兩種顏色的出租車(chē)：藍(lán)和綠（比率為15:85）。一輛出租車(chē)夜間肇事后逃逸，一位目擊者認(rèn)定肇事的出租車(chē)是藍(lán)色的。然而，他“目擊的可信度”如何呢？公安人員經(jīng)過(guò)在相同環(huán)境下對(duì)該目擊者進(jìn)行“藍(lán)綠”測(cè)試得出結(jié)論：正確識(shí)別率為80%，20%的情況不正確。也許有讀者立刻就得出了結(jié)論：肇事車(chē)輛是藍(lán)色的概率應(yīng)該是80%。如果你作此回答，你便是犯了與前文提到的王宏同樣的錯(cuò)誤，忽略了先驗(yàn)概率，沒(méi)有考慮在這個(gè)城市中“藍(lán)綠”車(chē)的基本比例。
那么，肇事車(chē)輛是藍(lán)色的（條件）概率應(yīng)為多少？貝葉斯公式能給出正確的答案。首先我們必須考慮藍(lán)綠出租車(chē)的基本比例（15: 85）。也就是說(shuō)，在沒(méi)有目擊證人的情況下，肇事車(chē)輛是藍(lán)色的概率只有15%，即“A=藍(lán)車(chē)肇事”的先驗(yàn)概率P(A)=15%。現(xiàn)在，一位目擊者的出現(xiàn)改變了事件A出現(xiàn)的概率。目擊者看到車(chē)是“藍(lán)”色的。不過(guò)，他的目擊能力也要打折扣，只有80%的準(zhǔn)確率，即也是一個(gè)隨機(jī)事件（記為B）。
我們的目的是要得出在有目擊證人“看到藍(lán)車(chē)”的條件下肇事車(chē)輛“真正是藍(lán)色”的概率，即條件概率P(A|B)。后者應(yīng)該大于先驗(yàn)概率的15%，因?yàn)槟繐粽呖吹健八{(lán)車(chē)”。如何修正先驗(yàn)概率？需要計(jì)算P(B|A)和P(B)。
因?yàn)锳=車(chē)為藍(lán)色、B=目擊藍(lán)色，所以P(B|A)是在“車(chē)為藍(lán)色”的條件下“目擊藍(lán)色”的概率，即P(B|A) ＝80％。最后還要算總概率P(B)，它的計(jì)算麻煩一點(diǎn)。P(B)指的是“目擊證人看到一輛車(chē)為藍(lán)色的概率”，等于兩種情況的概率相加：一種是車(chē)為藍(lán)，辨認(rèn)也正確；另一種是車(chē)為綠，錯(cuò)看成藍(lán)。所以：
P(B) = 15%×80% + 85%×20% = 29%
從貝葉斯公式：
可以算出在有目擊證人情況下肇事車(chē)輛是藍(lán)色的幾率=41%，同時(shí)也可求得肇事車(chē)輛是綠車(chē)的概率為59%。被修正后的“肇事車(chē)輛為藍(lán)色”的條件概率41%大于先驗(yàn)概率15%很多，但是仍然小于肇事車(chē)為綠的概率0.59。
幾何概型和貝特朗悖論[2]
拋硬幣、擲骰子之類游戲中涉及的概率，是離散的，拋丟結(jié)果的數(shù)目有限（硬幣僅有兩種結(jié)果，骰子為6種）。如果硬幣或骰子是對(duì)稱的，每個(gè)基本結(jié)果發(fā)生的概率相等。這種隨機(jī)事件被稱為古典概型。數(shù)學(xué)家們將古典概型推廣到某些幾何問(wèn)題中，使得隨機(jī)變量的結(jié)果變成了連續(xù)的、結(jié)果數(shù)目無(wú)限多的概型，這種隨機(jī)事件被稱之為“幾何概型”。古典概型向幾何概型的推廣，類似于有限多個(gè)整數(shù)向“實(shí)數(shù)域”的推廣。了解幾何概型很重要，因?yàn)榕c之相關(guān)的“測(cè)度” 概念（長(zhǎng)度、面積等），是現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)。
布豐投針問(wèn)題，是第一個(gè)被研究的幾何概型。
?圖1：布封（Buffon）投針問(wèn)題
十八世紀(jì)的法國(guó)，有一個(gè)著名的博物學(xué)家：?jiǎn)讨巍げ钾S伯爵（George Buffon，1707-1788）。他研究過(guò)不同地區(qū)相似環(huán)境中的各種生物族群，也研究過(guò)人和猿的相似之處，以及兩者來(lái)自同一個(gè)祖先的可能性，他的作品對(duì)現(xiàn)代生態(tài)學(xué)影響深遠(yuǎn)，他的思想對(duì)達(dá)爾文創(chuàng)建進(jìn)化論影響很大。
難得的是，布豐同時(shí)也是一位數(shù)學(xué)家，是最早將微積分引入概率論的人之一。他提出的布豐投針問(wèn)題（圖1）是這樣問(wèn)的：
用一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)的針，隨機(jī)地投向相隔為D的平行線（L < D），針壓到線的概率是多少？
布豐投針問(wèn)題中，求的也是概率，但這時(shí)投擲的不是硬幣或骰子，而是一根針。硬幣投下去只有“正反”兩種基本結(jié)果，每種概率1/2。骰子有6種結(jié)果，每一個(gè)面出現(xiàn)的概率為1/6。而布豐投針卻不同，按照?qǐng)D1a所示的數(shù)學(xué)模型，投針投下之后的狀態(tài)可以用兩個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述，針的中點(diǎn)的位置x，以及針與水平方向所成的角度θ。x在-D/2到D/2之間變化，θ在0到2π間變化。因?yàn)閤和θ的變化是連續(xù)的，所以其結(jié)果有無(wú)限多。古典概率中的求和在幾何概率中用積分代替，使用積分的方法不難求出布豐探針壓線的幾率為2L/(Dπ)。
因?yàn)椴钾S投針中的概率是對(duì)于x和θ的2微積分，所以概率的計(jì)算可以簡(jiǎn)化為如圖1b所示的幾何圖形的面積計(jì)算，即所求概率等于圖1b中陰影面積與矩形面積之比。
布豐投針的結(jié)果提供了一個(gè)用概率實(shí)驗(yàn)來(lái)確定圓周率π的方法（蒙特·卡羅法）。因?yàn)棣?2L/(DP)，當(dāng)針投擲的次數(shù)足夠大，得到的概率P足夠精確時(shí)，便可以用以上公式計(jì)算π。這種方法的確有些出乎意料之外，用一根針丟來(lái)丟去也能丟出一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)來(lái)！
從上面的介紹可知，幾何概型將古典概型中的離散隨機(jī)變量擴(kuò)展到了連續(xù)隨機(jī)變量，求和變成積分，變量的樣本空間也從離散和有限擴(kuò)展到了無(wú)窮。幾何概型和古典概型都使用“等概率假設(shè)”。然而，只要涉及到無(wú)窮大，便經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生一些怪異的結(jié)果。布豐投針問(wèn)題中條件清楚，因此并沒(méi)有引起什么悖論。而著名的幾何概型悖論——法國(guó)學(xué)者貝特朗（Joseph Bertrand，1822 –1900）于1889年提出的貝特朗悖論則不同。
貝特朗提出的問(wèn)題是：在圓內(nèi)任作一弦，求其長(zhǎng)度超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)L的概率。奇怪之處在于，這個(gè)問(wèn)題可以有三種不同的解答，結(jié)果完全不同但聽(tīng)起來(lái)卻似乎都有道理。
?圖2：貝特朗悖論
求解貝特朗問(wèn)題中的概率，不需要用微積分，只需要利用幾何圖形的對(duì)稱性便能得到答案。與計(jì)算布封投針問(wèn)題中概率的情況類似（圖1b），一般來(lái)說(shuō)，可以將幾何概率的計(jì)算變換成幾何圖形的計(jì)算，即計(jì)算弧長(zhǎng)或線段的長(zhǎng)度，或者計(jì)算面積、體積，從如下計(jì)算貝特朗問(wèn)題的3種不同方法，讀者可以更為深入地理解這點(diǎn)。
方法1：首先假設(shè)弦的一端固定在圓上某一點(diǎn)（比如A），如圖2a，弦的另一端在圓周上移動(dòng)。移動(dòng)端點(diǎn)落在弧BC上的弦，長(zhǎng)度均超過(guò)圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)L，而其余弦的長(zhǎng)度都小于L。由于對(duì)稱性，BC弧長(zhǎng)占整個(gè)圓周的1/3，所以可得弦長(zhǎng)大于L的概率為BC弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)之比，即P=1/3。
方法2：首先選擇圓的一個(gè)直徑，比如圖2b中的AD。過(guò)該直徑上的任何點(diǎn)作直徑的垂線，與圓相交形成弦。從圖2b中可以看出：當(dāng)直徑上動(dòng)點(diǎn)的位置在B和C之間時(shí)，所得弦的弦長(zhǎng)大于正三角形的邊長(zhǎng)L，動(dòng)點(diǎn)位置在BC之外的弦長(zhǎng)小于L。因?yàn)榫€段BC的長(zhǎng)度是整個(gè)直徑的一半，所以由此可得弦長(zhǎng)大于L的概率為P=1/2。
方法3：如圖2c所示，作一個(gè)半徑只有圓的半徑的二分之一的同心圓（稱為小圓），稱原來(lái)的圓為“大圓”。考慮大圓上任意弦的中點(diǎn)的位置可知：當(dāng)中點(diǎn)位于小圓內(nèi)部時(shí)，弦長(zhǎng)符合大于L的要求。因?yàn)樾A的面積是大圓面積的1/4。所以，概率也為P=1/4。
以上3種方法聽(tīng)起來(lái)都“振振有辭”，但得出的結(jié)果卻不盡相同，如何解釋呢？
按照傳統(tǒng)解釋，關(guān)鍵在于“隨機(jī)”選擇弦的方法。方法不同，“等概率假設(shè)” 的應(yīng)用區(qū)間也不一樣。方法1假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布（即等概率）；方法2假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布；方法3則假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布。圖3給出了3種解法中弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)的分布情形。圖4則是用3種方法直接畫(huà)出弦，以比較弦在圓內(nèi)的分布情形。也可以說(shuō)，貝特朗悖論不是悖論，只是問(wèn)題中沒(méi)有明確規(guī)定隨機(jī)選擇的方法，方法一旦選定，問(wèn)題自然也就有了確定的答案。
?圖3：弦的“中點(diǎn)”在3種方法中的分布情況
?圖4：“弦”在3種方法中的分布情況
概率論中的悖論還有很多，基于經(jīng)驗(yàn)的直覺(jué)判斷很多時(shí)候往往并不靠譜。下一篇將介紹的本福特定律，也是一條初看起來(lái)有些奇怪、不合直覺(jué)的定律，不過(guò)這條定律用處卻很大，甚至還能幫助偵破“財(cái)務(wù)造假”，且聽(tīng)下回分解。
參考資料：
【1】維基百科-貝葉斯定理：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E5%AE%9A%E7%90%86
【2】wikipidia：Bertrand_paradox_(probability)
https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)
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?你知道嗎？天氣預(yù)報(bào)其實(shí)是一種隨機(jī)變量預(yù)報(bào)
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如今，“概率”一詞在我們的生活中隨處可見(jiàn)，被人們使用得越來(lái)越廣泛和頻繁。這是一個(gè)多變的世界，一切都在變化，由變量構(gòu)成了我們的世界，其中包括決定性變量。例如，新聞中提到的“北京時(shí)間2016年11月3日20時(shí)43分，長(zhǎng)征五號(hào)在海南文昌成功發(fā)射”，此處的時(shí)間、地點(diǎn)都是固定的決定性變量。我們的生活中還有許多隨機(jī)變量，比如明天霾污染的程度、某公司的股票值等等，都是不確定的隨機(jī)變量。
隨機(jī)變量一般用概率來(lái)描述，生活中處處是隨機(jī)變量，因而處處有概率。氣象預(yù)報(bào)員會(huì)告訴你今天早上8點(diǎn)鐘的“降水概率”是90%；股市的信息可能是一種股票3個(gè)月之后翻倍的概率是67%；你的朋友會(huì)告訴你，你所買(mǎi)彩票的中頭獎(jiǎng)的概率只有一億分之一！概率可以被粗糙地定義為事件發(fā)生的頻率，即發(fā)生次數(shù)與總次數(shù)的比值。更準(zhǔn)確地說(shuō)，是總次數(shù)趨于無(wú)限時(shí)，這個(gè)比值趨近的極限。
今天，我們就來(lái)聊聊概率中的隨機(jī)變量以及其中的概率論悖論。
撰文 | 張?zhí)烊?（美國(guó)德州大學(xué)奧斯汀分校理論物理博士）
責(zé)編 | 呂浩然
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概率論專欄：
雖然概率的定義不難懂，似乎人人都能理解，但你可能不知道，概率計(jì)算的結(jié)果經(jīng)常違背我們的直覺(jué)。概率論中有許多難以解釋、似是而非的悖論，從中人們得到的結(jié)論是：不能完全相信直覺(jué)！
人類的大腦有它的誤區(qū)和盲點(diǎn)，就像開(kāi)汽車(chē)的駕駛員視覺(jué)中有“盲點(diǎn)”一樣，需要幾面反光鏡來(lái)幫助克服。我們的思維過(guò)程中也有盲點(diǎn)，需要計(jì)算和思考來(lái)幫助澄清。概率論是一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)與直覺(jué)相悖的奇怪結(jié)論的領(lǐng)域，連數(shù)學(xué)家也是稍有不慎便會(huì)錯(cuò)得一塌糊涂?，F(xiàn)在，我們就來(lái)看看經(jīng)典概率中的幾個(gè)著名悖論和謬誤。
基本比率謬誤（Base Rate Fallacy）
先看一個(gè)生活中的例子。
王宏去醫(yī)院作驗(yàn)血實(shí)驗(yàn)，檢查他患上了X疾病（患病比率為千分之一）的可能性，其結(jié)果為陽(yáng)性。網(wǎng)上的資料顯示，實(shí)驗(yàn)總是有誤差的，這種實(shí)驗(yàn)有“百分之一的假陽(yáng)性率和百分之一的假陰性率”。這句話的意思是說(shuō)，在得病的人中做實(shí)驗(yàn)，有1%的人是假陽(yáng)性（即實(shí)際是陰性，卻得到陽(yáng)性的結(jié)果），99％的人是真陽(yáng)性。而在未得病的人中做實(shí)驗(yàn)，有1%的人是假陰性，99％的人是真陰性。于是，王宏根據(jù)這種解釋，估計(jì)他感染X疾病的可能性（即概率）為99%。王宏想，既然只有百分之一的假陽(yáng)性率，那么，百分之九十九都是真陽(yáng)性，那我感染X病的概率便應(yīng)該是99%。
可是，醫(yī)生卻告訴他，他被感染的概率只有0.09左右。這是怎么回事呢？王宏的誤區(qū)在哪里？
醫(yī)生說(shuō)：“99％是測(cè)試的準(zhǔn)確性，不是你得病的概率。你忘了一件事：這種X疾病的患病比率并不大，每千人中只有一個(gè)人患X病?！?/p>
醫(yī)生的計(jì)算方法是這樣的：因?yàn)闇y(cè)試的誤報(bào)率是1%，1000個(gè)人將有10個(gè)被診斷為假陽(yáng)性，而根據(jù)X病在人口中的比率（1/1000=0.1%），真陽(yáng)性只有1個(gè)。所以，大約11個(gè)測(cè)試為陽(yáng)性的人中只有一個(gè)是真陽(yáng)性（患?。?/span>的，因此，王宏被感染的幾率是大約1/11，即0.09（9%）。
實(shí)際上，王宏犯了“基本比率謬誤”的錯(cuò)誤，即忽略了“X病患者在人口中的基本比例為千分之一”這個(gè)事實(shí)。
談到基本比率謬誤，應(yīng)先從概率論中著名的貝葉斯定理[1]說(shuō)起。托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes ，1701-1761）是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家，貝葉斯定理是他對(duì)概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)作出的最大貢獻(xiàn)，是當(dāng)今人工智能中常用的機(jī)器學(xué)習(xí)之基礎(chǔ)框架，它的思想之深刻遠(yuǎn)出一般人的認(rèn)知，也許貝葉斯自己生前對(duì)此也認(rèn)識(shí)不足。值得一提的是，如此重要的成果卻并未在他生前發(fā)表，而是在他死后的1763年才由他的朋友發(fā)表。本篇將對(duì)貝葉斯定理稍作介紹，我們?cè)诒鞠盗械暮髱灼瑢⒂懻撠惾~斯學(xué)派以及貝葉斯理論在人工智能中的應(yīng)用。
粗略地說(shuō)，貝葉斯定理涉及到兩個(gè)隨機(jī)變量A和B的相互影響，專業(yè)注釋為：利用B帶來(lái)的新信息，應(yīng)如何修改B不存在時(shí)A的“先驗(yàn)概率”P(pán)(A)，從而得到B存在時(shí)的“條件概率”P(pán)(A|B)?；蛘哳愃频兀部梢詫、B反過(guò)來(lái)敘述，即如何從B的“先驗(yàn)概率”P(pán)(B)，得到B的“條件概率”P(pán)(B|A)。正反兩種敘述方式分別對(duì)應(yīng)于下圖中的實(shí)線和虛線。
通過(guò)前述王宏的經(jīng)歷我們就能很好的理解這個(gè)公式：隨機(jī)變量A表示“王宏感染X病”；隨機(jī)變量B表示“王宏的檢查結(jié)果”。先驗(yàn)概率P(A)指的是王宏沒(méi)有檢查結(jié)果時(shí)得X病的概率（即X病在公眾的基本概率0.1%），而條件概率（或后驗(yàn)概率）P(A|B)指的是王宏“檢查結(jié)果為陽(yáng)性”的條件下得X病的概率（9%）。也就是說(shuō)，王宏的檢查結(jié)果將先驗(yàn)概率P(A)（ 0.1%）修正成為9%。
貝葉斯定理是十八世紀(jì)的產(chǎn)物，卻在二十世紀(jì)七十年代遇到了挑戰(zhàn)，該挑戰(zhàn)來(lái)自于卡尼曼和特維爾斯基提出的“基礎(chǔ)概率謬誤”（Base Rate Fallacy）。丹尼爾·卡尼曼（Daniel Kahneman，1934－）是以色列裔美國(guó)心理學(xué)家，2002年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主。基礎(chǔ)概率謬誤并不是否定貝葉斯定理，而是探討一個(gè)使人困惑的問(wèn)題：為什么人的直覺(jué)經(jīng)常與貝葉斯公式計(jì)算的結(jié)果相悖？如同剛才的例子所示，人們?cè)谑褂弥庇X(jué)的時(shí)候經(jīng)常會(huì)忽略基礎(chǔ)概率?？崧仍谒奈恼?《思考，快與慢》 （<Thinking, Fast and Slow>）中舉了一個(gè)出租車(chē)的例子來(lái)啟發(fā)人們思考這個(gè)影響人們“決策”的原因：
某城市有兩種顏色的出租車(chē)：藍(lán)和綠（比率為15:85）。一輛出租車(chē)夜間肇事后逃逸，一位目擊者認(rèn)定肇事的出租車(chē)是藍(lán)色的。然而，他“目擊的可信度”如何呢？公安人員經(jīng)過(guò)在相同環(huán)境下對(duì)該目擊者進(jìn)行“藍(lán)綠”測(cè)試得出結(jié)論：正確識(shí)別率為80%，20%的情況不正確。也許有讀者立刻就得出了結(jié)論：肇事車(chē)輛是藍(lán)色的概率應(yīng)該是80%。如果你作此回答，你便是犯了與前文提到的王宏同樣的錯(cuò)誤，忽略了先驗(yàn)概率，沒(méi)有考慮在這個(gè)城市中“藍(lán)綠”車(chē)的基本比例。
那么，肇事車(chē)輛是藍(lán)色的（條件）概率應(yīng)為多少？貝葉斯公式能給出正確的答案。首先我們必須考慮藍(lán)綠出租車(chē)的基本比例（15: 85）。也就是說(shuō)，在沒(méi)有目擊證人的情況下，肇事車(chē)輛是藍(lán)色的概率只有15%，即“A=藍(lán)車(chē)肇事”的先驗(yàn)概率P(A)=15%。現(xiàn)在，一位目擊者的出現(xiàn)改變了事件A出現(xiàn)的概率。目擊者看到車(chē)是“藍(lán)”色的。不過(guò)，他的目擊能力也要打折扣，只有80%的準(zhǔn)確率，即也是一個(gè)隨機(jī)事件（記為B）。
我們的目的是要得出在有目擊證人“看到藍(lán)車(chē)”的條件下肇事車(chē)輛“真正是藍(lán)色”的概率，即條件概率P(A|B)。后者應(yīng)該大于先驗(yàn)概率的15%，因?yàn)槟繐粽呖吹健八{(lán)車(chē)”。如何修正先驗(yàn)概率？需要計(jì)算P(B|A)和P(B)。
因?yàn)锳=車(chē)為藍(lán)色、B=目擊藍(lán)色，所以P(B|A)是在“車(chē)為藍(lán)色”的條件下“目擊藍(lán)色”的概率，即P(B|A) ＝80％。最后還要算總概率P(B)，它的計(jì)算麻煩一點(diǎn)。P(B)指的是“目擊證人看到一輛車(chē)為藍(lán)色的概率”，等于兩種情況的概率相加：一種是車(chē)為藍(lán)，辨認(rèn)也正確；另一種是車(chē)為綠，錯(cuò)看成藍(lán)。所以：
P(B) = 15%×80% + 85%×20% = 29%
從貝葉斯公式：
可以算出在有目擊證人情況下肇事車(chē)輛是藍(lán)色的幾率=41%，同時(shí)也可求得肇事車(chē)輛是綠車(chē)的概率為59%。被修正后的“肇事車(chē)輛為藍(lán)色”的條件概率41%大于先驗(yàn)概率15%很多，但是仍然小于肇事車(chē)為綠的概率0.59。
幾何概型和貝特朗悖論[2]
拋硬幣、擲骰子之類游戲中涉及的概率，是離散的，拋丟結(jié)果的數(shù)目有限（硬幣僅有兩種結(jié)果，骰子為6種）。如果硬幣或骰子是對(duì)稱的，每個(gè)基本結(jié)果發(fā)生的概率相等。這種隨機(jī)事件被稱為古典概型。數(shù)學(xué)家們將古典概型推廣到某些幾何問(wèn)題中，使得隨機(jī)變量的結(jié)果變成了連續(xù)的、結(jié)果數(shù)目無(wú)限多的概型，這種隨機(jī)事件被稱之為“幾何概型”。古典概型向幾何概型的推廣，類似于有限多個(gè)整數(shù)向“實(shí)數(shù)域”的推廣。了解幾何概型很重要，因?yàn)榕c之相關(guān)的“測(cè)度” 概念（長(zhǎng)度、面積等），是現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)。
布豐投針問(wèn)題，是第一個(gè)被研究的幾何概型。
?圖1：布封（Buffon）投針問(wèn)題
十八世紀(jì)的法國(guó)，有一個(gè)著名的博物學(xué)家：?jiǎn)讨巍げ钾S伯爵（George Buffon，1707-1788）。他研究過(guò)不同地區(qū)相似環(huán)境中的各種生物族群，也研究過(guò)人和猿的相似之處，以及兩者來(lái)自同一個(gè)祖先的可能性，他的作品對(duì)現(xiàn)代生態(tài)學(xué)影響深遠(yuǎn)，他的思想對(duì)達(dá)爾文創(chuàng)建進(jìn)化論影響很大。
難得的是，布豐同時(shí)也是一位數(shù)學(xué)家，是最早將微積分引入概率論的人之一。他提出的布豐投針問(wèn)題（圖1）是這樣問(wèn)的：
用一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)的針，隨機(jī)地投向相隔為D的平行線（L < D），針壓到線的概率是多少？
布豐投針問(wèn)題中，求的也是概率，但這時(shí)投擲的不是硬幣或骰子，而是一根針。硬幣投下去只有“正反”兩種基本結(jié)果，每種概率1/2。骰子有6種結(jié)果，每一個(gè)面出現(xiàn)的概率為1/6。而布豐投針卻不同，按照?qǐng)D1a所示的數(shù)學(xué)模型，投針投下之后的狀態(tài)可以用兩個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述，針的中點(diǎn)的位置x，以及針與水平方向所成的角度θ。x在-D/2到D/2之間變化，θ在0到2π間變化。因?yàn)閤和θ的變化是連續(xù)的，所以其結(jié)果有無(wú)限多。古典概率中的求和在幾何概率中用積分代替，使用積分的方法不難求出布豐探針壓線的幾率為2L/(Dπ)。
因?yàn)椴钾S投針中的概率是對(duì)于x和θ的2微積分，所以概率的計(jì)算可以簡(jiǎn)化為如圖1b所示的幾何圖形的面積計(jì)算，即所求概率等于圖1b中陰影面積與矩形面積之比。
布豐投針的結(jié)果提供了一個(gè)用概率實(shí)驗(yàn)來(lái)確定圓周率π的方法（蒙特·卡羅法）。因?yàn)棣?2L/(DP)，當(dāng)針投擲的次數(shù)足夠大，得到的概率P足夠精確時(shí)，便可以用以上公式計(jì)算π。這種方法的確有些出乎意料之外，用一根針丟來(lái)丟去也能丟出一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)來(lái)！
從上面的介紹可知，幾何概型將古典概型中的離散隨機(jī)變量擴(kuò)展到了連續(xù)隨機(jī)變量，求和變成積分，變量的樣本空間也從離散和有限擴(kuò)展到了無(wú)窮。幾何概型和古典概型都使用“等概率假設(shè)”。然而，只要涉及到無(wú)窮大，便經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生一些怪異的結(jié)果。布豐投針問(wèn)題中條件清楚，因此并沒(méi)有引起什么悖論。而著名的幾何概型悖論——法國(guó)學(xué)者貝特朗（Joseph Bertrand，1822 –1900）于1889年提出的貝特朗悖論則不同。
貝特朗提出的問(wèn)題是：在圓內(nèi)任作一弦，求其長(zhǎng)度超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)L的概率。奇怪之處在于，這個(gè)問(wèn)題可以有三種不同的解答，結(jié)果完全不同但聽(tīng)起來(lái)卻似乎都有道理。
?圖2：貝特朗悖論
求解貝特朗問(wèn)題中的概率，不需要用微積分，只需要利用幾何圖形的對(duì)稱性便能得到答案。與計(jì)算布封投針問(wèn)題中概率的情況類似（圖1b），一般來(lái)說(shuō)，可以將幾何概率的計(jì)算變換成幾何圖形的計(jì)算，即計(jì)算弧長(zhǎng)或線段的長(zhǎng)度，或者計(jì)算面積、體積，從如下計(jì)算貝特朗問(wèn)題的3種不同方法，讀者可以更為深入地理解這點(diǎn)。
方法1：首先假設(shè)弦的一端固定在圓上某一點(diǎn)（比如A），如圖2a，弦的另一端在圓周上移動(dòng)。移動(dòng)端點(diǎn)落在弧BC上的弦，長(zhǎng)度均超過(guò)圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)L，而其余弦的長(zhǎng)度都小于L。由于對(duì)稱性，BC弧長(zhǎng)占整個(gè)圓周的1/3，所以可得弦長(zhǎng)大于L的概率為BC弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)之比，即P=1/3。
方法2：首先選擇圓的一個(gè)直徑，比如圖2b中的AD。過(guò)該直徑上的任何點(diǎn)作直徑的垂線，與圓相交形成弦。從圖2b中可以看出：當(dāng)直徑上動(dòng)點(diǎn)的位置在B和C之間時(shí)，所得弦的弦長(zhǎng)大于正三角形的邊長(zhǎng)L，動(dòng)點(diǎn)位置在BC之外的弦長(zhǎng)小于L。因?yàn)榫€段BC的長(zhǎng)度是整個(gè)直徑的一半，所以由此可得弦長(zhǎng)大于L的概率為P=1/2。
方法3：如圖2c所示，作一個(gè)半徑只有圓的半徑的二分之一的同心圓（稱為小圓），稱原來(lái)的圓為“大圓”。考慮大圓上任意弦的中點(diǎn)的位置可知：當(dāng)中點(diǎn)位于小圓內(nèi)部時(shí)，弦長(zhǎng)符合大于L的要求。因?yàn)樾A的面積是大圓面積的1/4。所以，概率也為P=1/4。
以上3種方法聽(tīng)起來(lái)都“振振有辭”，但得出的結(jié)果卻不盡相同，如何解釋呢？
按照傳統(tǒng)解釋，關(guān)鍵在于“隨機(jī)”選擇弦的方法。方法不同，“等概率假設(shè)” 的應(yīng)用區(qū)間也不一樣。方法1假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布（即等概率）；方法2假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布；方法3則假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布。圖3給出了3種解法中弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)的分布情形。圖4則是用3種方法直接畫(huà)出弦，以比較弦在圓內(nèi)的分布情形。也可以說(shuō)，貝特朗悖論不是悖論，只是問(wèn)題中沒(méi)有明確規(guī)定隨機(jī)選擇的方法，方法一旦選定，問(wèn)題自然也就有了確定的答案。
?圖3：弦的“中點(diǎn)”在3種方法中的分布情況
?圖4：“弦”在3種方法中的分布情況
概率論中的悖論還有很多，基于經(jīng)驗(yàn)的直覺(jué)判斷很多時(shí)候往往并不靠譜。下一篇將介紹的本福特定律，也是一條初看起來(lái)有些奇怪、不合直覺(jué)的定律，不過(guò)這條定律用處卻很大，甚至還能幫助偵破“財(cái)務(wù)造假”，且聽(tīng)下回分解。
參考資料：
【1】維基百科-貝葉斯定理：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E5%AE%9A%E7%90%86
【2】wikipidia：Bertrand_paradox_(probability)
https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)
