畢達哥拉斯在鐵匠鋪稱錘子？看似 “科學” 的故事哪里錯了
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編者按
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關于畢達哥拉斯，有著這樣一個廣為流傳的故事：有一天，畢達哥拉斯路過一家鐵匠鋪，聽到鐵錘打擊鐵砧的聲音，辨聽出了四度、五度和八度三種和諧音。他猜想，是由于鐵錘重量的不同導致了聲音的不同，于是通過稱量不同鐵錘的重量確認了這種關系。他發(fā)現：和諧悅耳的敲擊聲是由重量為12、9、8、6磅的鐵錘兩兩搭配時發(fā)出的。
有的文章甚至進一步發(fā)揮，說畢達哥拉斯禁不住激動地呼喊：“?。“⒉_的和弦永遠在振動！”
與這個故事一起流傳的，還有下面這樣一幅版畫。
很可惜，這個故事文學上雖然生動，但科學上卻是錯的，應該是一個訛傳。
遺憾的是，無論在中文還是英文網站，懷疑這個傳說的文章是少數，大多數文章未加懷疑地接受并傳播，隨便搜索一下就能查到十幾篇，題目包括：數學家畢達哥拉斯、數學之父畢達哥拉斯、希臘數學作為自由學術的典范、和諧概念的意義、古希臘數秘術、科學家的故事、從數學中探究音樂美、感受數學之美、閑話數學與音樂、魅力數學、音樂中的數學、畢達哥拉斯琴弦實驗、音律中的數學原理、正兒八經學樂理、九年義務教育沒系統(tǒng)教給你的一項能力、音樂背后的數學、把數學學成了宗教、原創(chuàng)通識課、音樂冷知識、好聽的音樂是怎么來的等等。內容涵蓋了科學史專家論文、經典課程教學筆記、數學通俗圖書、音樂知識視頻、科普文章等，有的甚至還經過了名校一級教師的科學性把關。
另外我還看到，至少有兩本立意新穎、視角獨特、其他內容都很好的書，里面包含了這個傳說，可謂是一個訛傳壞了一鍋湯。不僅如此，這個故事的結論還出現在小學數學教師的培訓教材，成為某些培訓機構的考試題，甚至成為公民科學素質科普知識的問答題。
實際上，至少從文森佐·伽利萊（伽利略·伽利萊的父親）那時起，就有很多人不斷質疑這個傳說，但遺憾的是這么多年來，始終還是相信的人多。有的中學科學教師甚至明知這個傳說不是真的，但仍然認為這是一個很好的教學故事。因此，筆者覺得有必要寫一篇文章，講清楚這個傳說在科學上究竟錯在哪里。
為此，我們首先要討論一下，音樂的和諧是怎么回事。
音樂的和諧是怎么回事
音樂和諧與否或好聽與否是一種主觀感受，但我們可以通過已有的聲學原理，探尋這種主觀感受背后的客觀原因。
首先，我從手機應用商店中下載安裝了一個可播放不同頻率正弦波的應用軟件。（讀者可以用關鍵詞Oscillator在手機應用商店搜索，可以獲得多種類似的免費應用軟件。）
在下面這個視頻中，我們依次播放 220、330、440、550、660 和 880 赫茲的正弦波，然后將 440、550、660 和 880 赫茲的正弦波一起播放，大家可以聽一聽是否和諧。
上面這些音的頻率都是110赫茲的整倍數，與現代音樂中音符的對應如下：
為了照顧不太熟悉樂理的讀者，我們這里把音符、頻率與唱名之間的關系做個簡單的介紹?，F代鋼琴和大多數音樂團體都使用440赫茲作為音符A（有時標注為A4）的頻率基準，其他音符的頻率都由此按比例生成。我們平常唱歌時，任何音符都可以唱成 “哆”，比如在A大調中把A唱成 “哆”，把 “哆” 的頻率加倍，唱出來還是 “哆” 只不過是高了八度的 “哆”。同理把頻率減半，則降低八度，而音符和唱名不變。
如果一個音符的頻率與 “哆” 的頻率比值接近3:2，則這個音符聽上去是 “嗦”，比如我們上面表中的 330 與 660 赫茲（分別對應220和440赫茲）。如果一個音符的頻率與 “哆” 的頻率比值接近5:4，那么這個音符聽上去就是 “咪”，比如上面中的 550 赫茲（對應440赫茲）。
視頻中，我們將 440、550、660 和 880 赫茲的正弦波一起播放，這樣一個 “哆咪嗦哆” 的音符序列是一個很多音樂作品中都會使用的和弦，這是一個非常和諧好聽的頻率組合。
為什么這種幾個整倍數頻率關系的聲音組合在一起，人們會覺得好聽，或者說至少不難聽呢？準確的原因并不清楚，但我們可以猜測，原因之一也許是從自然感知而令人習以為常的。實際上，自然界中本來就存在著把這樣一種頻率組合放在一起的情形，例如，一頭牛悠揚長鳴 “哞——” 的聲音中，就存在基頻（基音的頻率，決定整個音的音高）以及基頻的2、3、4、5、6 等整數倍頻的成分。同樣，如果我們一展歌喉，拉個長音 “啊——”，也會得到如下圖所示的頻譜。
像牛叫這種單一音高穩(wěn)定持續(xù)的聲音，比起世間其他紛擾嘈雜的聲音，對人神經系統(tǒng)的刺激應該相對比較和緩，因而多數人不會感覺難聽。
回到音樂，當若干個聲音的頻率之間存在簡單的整倍數關系時，這些聲音組合起來，大多數人聽上去是和諧的。
畢達哥拉斯傳說中的問題
在畢達哥拉斯與鐵匠鋪和錘子的傳說中（包括上文插入的的版畫），有 16、12、9、8、6、4 等數字，如果這些數字指的是頻率的相對值，則沒有問題。這些數字之間存在簡單整數比：16/12 = 12/9 = 8/6 = 4/3 ，前面提到的 440 和 330 赫茲就是這種頻率比值，這種組合起來的聲音聽上去的確是和諧的。
如果這些數字指的是琴弦的長度，也是說得通的。因為對于一根琴弦來說，在張力不變的情況下，其振動頻率與長度成反比，這些長度成簡單整數比的琴弦，振動頻率也是簡單整數比，也是和諧的。類似的情況如版畫中右下圖，這些數字指的是直管樂器的長度，而直管樂器的空氣柱振動頻率與長度成反比，這些長度成簡單整數比的直管，其振動頻率也是簡單整數比，也沒有問題。
問題在于在這個傳說和版畫的前三幅圖中，這些數字指的是錘子的重量、鐘或水杯的重量及琴弦的張力，這些參量與物體的振動頻率之間雖然相關，但卻不是正比或反比關系。因此，當這些參量存在簡單整數比關系時，對應物體的振動頻率不是簡單整數比，發(fā)出的聲音不會和諧。下面我們具體分析幾個例子。
琴弦的張力與振動頻率
我們首先分析一個比較簡單的例子，版畫中左下圖描繪畢達哥拉斯用琴弦試驗，琴弦用不同重量的重物拉緊，琴弦的張力等于重物的重量。
琴弦的振動頻率由下面的公式給出，它與琴弦的長度 L、弦的張力 T 以及弦的粗細（即單位長度的質量，公式中的希臘字母μ）有關。
不難看出，在其他條件固定時，琴弦振動的頻率與長度成反比，越短的弦發(fā)出的聲音越尖銳。
雖然琴弦的振動頻率也與張力 T 相關，拉得越緊的弦越尖銳，但它們之間有個平方根。這樣一來，即使兩根弦的張力之間存在簡單整數比，它們振動的頻率也不是簡單整數比。
我們用掛了16和12單位重量重物的兩根弦來具體說明。當弦的粗細以及長度相同的時候，張力比較大的弦振動頻率比較高，這兩根弦的張力比值為是一個簡單整數比（16/12=4/3），版畫的作者大概期待這兩根弦的頻率也是這個比值，但實際上卻不是。這兩根弦的振動頻率比值為（4/3）的平方根，亦即：sqrt(4/3)=1.1547，不是簡單整數比，因此，這兩個頻率的聲音組合起來是不和諧的。
如果張力為 12 的那根弦振動頻率為 440 赫茲，則張力為 16 的那根弦振動頻率為 440x1.1547 = 508 赫茲，在鋼琴上壓根沒有這個音符，它的頻率在 B 和 C 兩個鍵之間的 “縫” 里。如果把 440 赫茲唱成 “哆”，則 508 赫茲聽上去有點像 “來”，實際上要比 “來” 高半度的一半左右。我用手機生成了這樣兩個頻率，大家可以在下面的視頻中聽一聽，比較一下。
錘子的重量與振動頻率
金屬實心物體受到激勵會振動，從而發(fā)聲。通常情況下，一個物體會存在多個振動模式，每一種振動模式會有不同的頻率。一般而言，這些振動模式的振動頻率與傳說中錘子的重量（或體積）沒有簡單的正比或反比關系。因此，傳說中所謂 “和諧悅耳的敲擊聲是由重量為12、9、8、6磅的鐵錘兩兩搭配發(fā)出的” 這種情況幾乎不會出現。
如果我們硬要人為地希望這種情況出現：使某一個振動模式的頻率與錘子重量成正比或反比，則需要專門設計錘子的形狀，比如把錘子設計成圓柱體，這樣的錘子看上去更像鋼釬或者金箍棒，這種金箍棒的某些縱向振動模式與其長度成反比。如果畢達哥拉斯去的鐵匠鋪是用這種金箍棒打鐵，那么他倒是有可能通過稱重認識到和諧背后的數字原因，但鐵匠師傅們大概會被累死。而且這種振動模式必須沿著棒的軸線搗才能激勵出來，如果橫著敲，就會激勵出橫向振動模式，其頻率不再與長度成反比，而是與長度的平方成反比。
如果不限制錘子的三維尺寸，甚至可能出現有的情況下大錘子比小錘子頻率低、而有的情況下大錘子比小錘子頻率高的情形。這就更無法通過稱量不同鐵錘的重量認識聲音和諧背后的數量關系了。
關于鐘與水杯
版畫的右上圖顯示了幾個鐘，這是個值得聊一聊的話題。
在中國，已知最早的編鐘是在湖北隨州葉家山古墓出土的，年代為西周早期，距今3000多年。
而2500余年前的曾侯乙編鐘，則更加宏偉輝煌。曾侯乙編鐘在每個八度已經有了完整的十二音，可以旋宮轉調（由于宮音在十二律上的位置移動而造成的調式轉換）。
編鐘是用青銅鑄造出來的，鑄造出來后，需要經過鏟銼調音，才能獲得需要的音高。根據曾侯乙編鐘的銘文，考古學家們確認，調音是 “以弦定律”。也就是說，古代工匠們是利用琴弦的長度來確定兩個音符的頻率比例的。
因此，古人應該是先通過人聲、管樂器與弦樂器等，師法自然，逐步認識了音律以及音符之間的和諧關系，然后才有可能制作出編鐘，而不會反著來。
版畫中還出現了水杯，水杯中水的質量確實會影響振動的頻率，但這個影響同樣不是簡單的正比或者反比關系。如果將水杯簡化為簡諧振子（物理學中特定的重復運動質點，例如懸掛在彈簧上的質塊的振動），則振動的頻率與質量的平方根成反比。前面我們已經討論過，這樣一個平方根關系會破壞簡單整數比，從而無法產生和諧的頻率比。
很好的教學故事？
通過前面的分析，我們已經知道畢達哥拉斯這個傳說在科學上是站不住腳的。這個故事和版畫出現于畢達哥拉斯死后至少幾百年，雖然寫這個故事的人努力讓故事符合當時人們的常識，可是如果常識不會出錯，我們就不需要伽利略、牛頓、愛因斯坦和楊振寧了。
歷史上的傳說有很多是沒有史實根據的，對于非史實傳說，并不需要一概排斥，而應該具體問題具體分析。
有些傳說雖然沒有史實根據，但本身并沒有科學性錯誤，這種傳說是可以作為教學故事的。比如伽利略從比薩斜塔上向下拋球，牛頓被蘋果砸頭等。
另有一些本身是以宗教神話等面目、而不是以科學故事的面目出現的，這些也不會給受眾帶來誤導。比如女媧補天、亞當肋骨塑造夏娃、芝麻開門等等。
而一些傳說明明有科學錯誤，卻以科學故事的面目進行傳播，這是最成問題的。這類傳說包括愛迪生救媽媽之類，還有本文所述畢達哥拉斯在鐵匠鋪稱錘子的故事。希望大家今后在介紹這個故事時，至少應該說明這個故事是有科學錯誤的，以避免進一步傳播誤導性信息。
此外，筆者還看到這個傳說的若干修改版本，大概修改者也意識到無法從鐵錘重量得出聲音和諧，于是修改成畢達哥拉斯從打鐵節(jié)奏獲得和諧的靈感，然后再回家發(fā)現音高上的和諧等等。筆者沒有在其他出處看到過這個觀察打鐵節(jié)奏的說法，這種說法應該是近些年來的一些附會。
還有一個版本說：畢達哥拉斯聽到不同重量的鐵塊發(fā)出不同聲調的音，受到啟發(fā)，回家還繼續(xù)在琴弦上做實驗，發(fā)現相同的弦在不同的負重（即不同的張力）下，會發(fā)出不同的音高；而且他發(fā)現，如果兩者負重之比是2：1時，音高則相差正好八度，兩者負重之比是3:2時，音高則相差五度，負重之比是4：3時，音高相差四度。這個版本用了另一個科學錯誤來代替原來版本的科學錯誤：正如我們前面所指出的，琴弦的張力和頻率之間存在一個平方根的關系，而不是簡單的正反比關系。比如當張力之比為2:1時，頻率之比為（根號2）：1，即1.414 : 1，這種情況下音高相差不是八度。
故事的其他版本：黃金分割比
畢達哥拉斯在鐵匠鋪的傳說還有一個版本，說他聽到打鐵聲音和諧（或者節(jié)奏好聽）后經過稱重研究，發(fā)現了黃金分割比。這種說法同樣沒有可信出處，至少很多研究者復述的傳說中沒有提及黃金分割比的事情。
音樂中不同音符的和諧，源于它們頻率之間的比值為簡單整數比，和黃金分割并沒有關系。如果我們故意用黃金分割比（1.618 = 1/0.618）生成兩個頻率的聲音，合在一起并不好聽。比如把第一個音的頻率設定為 440 赫茲，即 A 大調的 “哆”，則第二個音的頻率為 440 x 1.618 = 712 赫茲。這個音在鋼琴鍵盤上不存在，處在兩個琴鍵的 “縫” 里，聽上去有點像 “啦”，但又比 “啦” 低。我們用手機生成這兩個頻率的正弦波，大家可以在下面的視頻中聽一聽，比較一下。
怎樣盡量避免科普內容出現科學性錯誤？
科學內容的準確是科學傳播文章的生命，現在的科普文章經常會在互聯網上來回轉載，有時還會被其他作者參考改寫，甚至直接復制粘貼。因此一篇文章不慎出錯，往往會造成 “流毒甚廣” 的尷尬局面。畢達哥拉斯這個傳說的傳播者，很多都是熱心的科普作者，可是出了錯，還要其他熱心作者花力氣寫文章指出錯誤，澄清相關科學概念。
筆者自己的文章也出過錯，而更多的是所謂 “near miss”，也就是說幾乎出錯，但幸運地在發(fā)表前被改正了。人非圣賢孰能無過，寫文章出錯很難絕對避免，關鍵是怎樣盡量減少出錯。對此，筆者愿意與大家分享一下自己的看法。
首先對網上搜到的東西一定要自己理解消化，去偽存真。我們經常會有一種潛意識，以為網上搜到的東西就是對的。這就需要我們用一種顯意識來克服這種潛意識，時時對科學問題的正確性保持警覺，對自己文章講的東西要自己真的理解明白，有一說一。
另外，在寫作心態(tài)上，應盡量減少非科學的成分?？破展ぷ魇羌檬?，其中利他成分遠大于利己成分，值得而且應該做好。但如果把科學傳播工作過分神圣化，把自己想象成盜火者啟蒙者，把受眾想象成矇昧之眾，這是不行的。在這種虛假優(yōu)越感的非科學心態(tài)干擾下，寫作者容易誤以為自己寫的都對，寫錯了讀者也不懂，因而不肯花功夫確保其內容的嚴謹性。
所以，對科學保持敬畏，對讀者保持敬畏，這是減少科學傳播內容出錯的必要條件。以上所思，謹與大家共勉。
制版編輯 | 盧卡斯
