時(shí)間晶體 ，物質(zhì)的新奇狀態(tài)
時(shí)間晶體到底是怎么一回事？| 圖源：pixabay.com
一個(gè)宏觀系統(tǒng)即使處于能量最低的狀態(tài)（物理學(xué)術(shù)語叫基態(tài)），其物理量仍然可以表現(xiàn)出隨時(shí)間的周期振蕩。
這個(gè)設(shè)想如果成立，那將是非常令人驚奇的：因?yàn)轶w系的能量已經(jīng)達(dá)到最低，無從耗散 ，所以其振蕩也不會衰減。
他最初的設(shè)想后來被證明并不可行[3,4]，但是其新奇和大膽仍然激發(fā)了領(lǐng)域內(nèi)的研究熱情。
在過去的十年里，物理學(xué)家取得了對量子物理系統(tǒng)的時(shí)間動力學(xué)性質(zhì)更為深刻的認(rèn)識。研究者們提出，類似于時(shí)間晶體的現(xiàn)象，仍然可以在周期性驅(qū)動的量子體系中存在[5-7]，被稱為 “Floquet時(shí)間晶體”。Floquet（1847-1920）是法國數(shù)學(xué)家，他研究了參數(shù)在隨時(shí)間周期變化下的系統(tǒng)運(yùn)動方程。
撰文｜吳從軍（西湖大學(xué)物理學(xué)講席教授）
責(zé)編｜邸利會
最近，在谷歌的量子計(jì)算模擬中，研究人員發(fā)現(xiàn)了時(shí)間晶體存在的證據(jù) [13]。這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)還有很多有意義的方向值得進(jìn)一步探索 [14,15]，這些研究將拓展人類對時(shí)間本質(zhì)的認(rèn)識，和對非平衡物質(zhì)狀態(tài)的理解。
那么，時(shí)間晶體到底是怎么一回事呢？
對 稱
理解時(shí)間晶體，要先從 “對稱性”（symmetry）和 “對稱性自發(fā)破缺” （symmetry spontaneous breaking）講起。這是凝聚態(tài)物理學(xué)乃至整個(gè)現(xiàn)代物理學(xué)的核心觀念之一，也是物質(zhì)的一個(gè)基本組織原理。
物質(zhì)體系類似于人類 “社會”，體系內(nèi)的各個(gè)粒子就像是社會里的 “公民”。粒子之間的相互作用導(dǎo)致它們不僅競爭而且合作，產(chǎn)生了各式各樣的物質(zhì)狀態(tài)，簡稱物態(tài)。
美國物理學(xué)家菲利普·安德森（P. W. Anderson）在他的名篇《多者異也》（“More is different ”）中, 明確地闡述了 “呈展論”（Emergentism）的觀點(diǎn)——
當(dāng)系統(tǒng)中的粒子數(shù)大到宏觀量級后，新的物態(tài)組織原理就開始涌現(xiàn)，而它們并不能根據(jù)少量粒子的行為簡單地推測而來。
比如，對稱性自發(fā)破缺就是體系中大量粒子相互作用的結(jié)果，而晶體和時(shí)間晶體與時(shí)空對稱性及其破缺密切相關(guān)。
對稱性， 顧名思義，指的是系統(tǒng)具有平衡的結(jié)構(gòu)。最直觀的例子是時(shí)空對稱性。比如，把自由空間平移一段距離，它還是保持原樣，這是空間均勻性的體現(xiàn)。用物理術(shù)語說，就是自由空間具有平移對稱性。時(shí)間也是均勻的，體現(xiàn)出時(shí)間平移對稱性。
因?yàn)閷ΨQ性意味著體系在變換下不變，所以可以自然地推測，每個(gè)基本物理量的守恒律，都由一個(gè)體系的對稱性來保障。這是現(xiàn)代物理學(xué)的一個(gè)重要的結(jié)論，被稱為諾特（Nother）定理。比如，動量守恒是空間均勻性（也就是平移對稱性）的結(jié)果；能量守恒是時(shí)間平移對稱性的結(jié)果。
物理體系還可以具有抽象的內(nèi)部對稱性，導(dǎo)致更豐富的守恒律。比如，電荷守恒是U(1)對稱性的結(jié)果。整體的對稱性可以升級到局部變換下的對稱性，這種升級版被稱為 “規(guī)范對稱性”（gauge symmetry）。規(guī)范對稱性在高能物理中起著至關(guān)重要的作用，決定了標(biāo)準(zhǔn)模型中基本粒子間的相關(guān)作用形式。
對稱性自發(fā)破缺的含義有兩點(diǎn)。
其一是 “破缺”，指的是特定的狀態(tài)可以不滿足體系的對稱性。比如，液態(tài)水具有空間平移不變性，其中水分子的分布在統(tǒng)計(jì)平均后是空間均勻的。但是當(dāng)溫度降低到冰點(diǎn)以下，冰是一種晶體，其中的水分子分布就不再是均勻的了，而是排成了晶格，不具有普遍的平移對稱性。
其二是 “自發(fā)”，指的是對稱性破缺后的狀態(tài)不是唯一的。比如，把結(jié)晶后的晶格平移任意一段距離，就得到一個(gè)新的晶格位形，這和原先的晶格位形是等價(jià)的。體系在這些可能的位形中選擇哪一個(gè)，則是由外界擾動等隨機(jī)因素決定的。
當(dāng)一個(gè)具體的晶格位形被確定后，從一個(gè)晶格位形轉(zhuǎn)變到另外一個(gè)的幾率趨于零。這是因?yàn)閮蓚€(gè)晶格位形之間存在著全局性的差別，不可能通過調(diào)整局部的原子結(jié)構(gòu)，來使得晶格做宏觀上整體的移動。用術(shù)語說，它們之間的勢壘在宏觀系統(tǒng)中趨于無窮高。所以，對稱性自發(fā)破缺后的狀態(tài)具有穩(wěn)定性。
對稱性自發(fā)破缺產(chǎn)生了長程有序。比如，在理想的晶體中，只要一個(gè)晶格原胞的位形確定了，其他位置的晶體位形就確定了，而不論相隔有多遠(yuǎn)。長程序的穩(wěn)定性表現(xiàn)在所謂的 “廣義剛度”。比如說，晶體可以承受一定范圍內(nèi)的剪切應(yīng)力而維持其形狀，而液體沒有長程晶格序，不能保持固定的形狀。
對稱性自發(fā)破缺之后，仍然對系統(tǒng)的集體激發(fā)有重要的影響。晶體振動的集體模式是聲波，量子化的形式被稱為是聲子。在波長趨于無窮長時(shí)，聲波相當(dāng)于晶體的整體移動。平移對稱性要求聲波頻率在這個(gè)極限下趨于零，也就是無能隙的。這是所謂的古德斯通（Goldstone）零能模式的一個(gè)例子，可以被形象地理解成系統(tǒng)在試圖恢復(fù)其已經(jīng)被破缺了的對稱性。
早在1930年代，現(xiàn)代凝聚態(tài)物理學(xué)的奠基人之一列夫·朗道（Lev Landau) ，開創(chuàng)了采用對稱性自發(fā)破缺來描寫相變的新范式。他提出了 “序參量”（order parameter）的概念來表征有序態(tài)。對應(yīng)于晶格周期，晶體中粒子密度分布的傅里葉頻譜有著特征的分布，可以作為晶格序的序參量。這個(gè)序參量在液體狀態(tài)下為零。
此外，還有很多其他序參量的例子。比如，鐵磁體的磁矩和鐵電體的電偶極矩可以分別作為它們的序參量。自發(fā)磁化和自發(fā)電極化都有確定的方向，從而破缺了轉(zhuǎn)動對稱性。此外自發(fā)磁化還破缺了時(shí)間反演對稱性，自發(fā)電極化還破缺了空間反演對稱性。
對稱性自發(fā)破缺在高能物理中也非常重要，比如希格斯（Higgs）玻色子就是由規(guī)范對稱性的自發(fā)破缺而產(chǎn)生，這就是著名的 “Anderson-Higgs” 機(jī)制。
超越常識的想法
幾乎所有常見的對稱性都可以被自發(fā)破缺，產(chǎn)生相應(yīng)的有序態(tài)。那么時(shí)間平移對稱性可以被自發(fā)破缺嗎？
維爾切克提出：如果一個(gè)系統(tǒng)的哈密頓量（簡單地說，可以理解成能量，盡管并不嚴(yán)格）不依賴于時(shí)間，而且其基態(tài)可以自發(fā)地破缺時(shí)間平移對稱性，從而基態(tài)中的物理量可以表現(xiàn)出時(shí)間上的周期振蕩，那么則稱之為 “時(shí)間晶體”。
這個(gè)想法超出了常識。
如果把能量和動量的依賴關(guān)系畫作一條曲線，一般來說，它是光滑的。如果這樣，在經(jīng)典物理的框架下，系統(tǒng)在能量最低時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)，也就是說所有粒子的速度都為零。
為了繞開這個(gè)結(jié)論，維爾切克設(shè)計(jì)了一個(gè)有尖點(diǎn)的能量—?jiǎng)恿壳€，這使得體系在能量最低時(shí)，仍然在運(yùn)動 [1]。這種有奇異性的解，雖然不排除在原則上成立的可能性，但是在現(xiàn)實(shí)的體系里難以實(shí)現(xiàn)。
維爾切克接著提出了 “量子時(shí)間晶體” 的概念 [2]。
設(shè)想一個(gè)帶電的粒子沿著一個(gè)圓環(huán)運(yùn)動，圓環(huán)里有磁通。磁場可以用磁力線來形象地描述，而磁通就是通過圓環(huán)的磁力線的根數(shù)。在量子力學(xué)中，磁通會影響粒子速度，即使粒子處于基態(tài)，其速度仍然存在。但是在這種量子狀態(tài)里，粒子均勻地彌散于整個(gè)環(huán)中，其位置不能被確定，這就使得粒子密度分布反而是靜態(tài)的。
為了繞過這個(gè)困難，他轉(zhuǎn)而考慮在圓環(huán)上放置大量的粒子，并假設(shè)它們是量子統(tǒng)計(jì)意義下的玻色子。玻色子可以發(fā)生玻色—愛因斯坦凝聚，如果它們之間的吸引力太強(qiáng)，凝聚體會塌縮成一個(gè)球。如果粒子數(shù)很大，球就像是一個(gè)經(jīng)典的物體，就可以被定位。它沿著圓環(huán)的運(yùn)動，使得粒子的空間分布表現(xiàn)出隨時(shí)間的變化。
類似的想法已經(jīng)在帶電離子系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)。帶電離子在一維環(huán)上形成電荷密度波，也就是離子排成了晶格。實(shí)驗(yàn)上觀察到，這個(gè)晶格在磁通的影響下轉(zhuǎn)動了起來 [10]。
可好事往往多磨，進(jìn)一步的研究表明，上述的狀態(tài)并不符合維爾切克對時(shí)間晶體最初的定義。Bruno證明了這樣的狀態(tài)，其實(shí)不是系統(tǒng)的基態(tài) [3]，其能量比基態(tài)的要高。對于真正的基態(tài)，隨著球中粒子數(shù)的增加到宏觀量級，球的運(yùn)動速度逐漸減小到零。
隨后，H. Watanabe 和 M. Oshikawa 嚴(yán)格地證明了一個(gè)不可能（“no-go”）定理：如果系統(tǒng)的哈密頓量不依賴于時(shí)間，在相當(dāng)普遍的條件下，系統(tǒng)的基態(tài)都不會是時(shí)間晶體 [4]。這個(gè)結(jié)論對有限溫度的熱平衡態(tài)也是成立的。維爾切克的時(shí)間晶體似乎無法實(shí)現(xiàn)了。
類似的時(shí)間晶體
好在，“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”。
以K. Sacha [5]，C. Nayak [6]，N. Y. Yao, A. Vishwanath [7]，R. Moessner 和S. L. Sondhi [8] 等為代表的多個(gè)研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)，雖然最初的設(shè)想不可行，但是類似于時(shí)間晶體的物態(tài)—— “Floquet時(shí)間晶體”， 可以在周期性驅(qū)動的量子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)。
一般來說，參量隨時(shí)間周期變化的系統(tǒng)被稱為Floquet系統(tǒng)，它們不具有一般的時(shí)間平移不變性，其能量不再守恒，也沒有通常意義上的基態(tài)和熱平衡態(tài)。然而，在Floquet系統(tǒng)中，仍然可以定義 “準(zhǔn)能量本征態(tài)”。當(dāng)系統(tǒng)處于準(zhǔn)能量本征態(tài)時(shí)，其中物理量的振蕩周期和驅(qū)動周期是一致的。
研究者們設(shè)想了一個(gè)空間一維的磁性系統(tǒng)，每個(gè)格點(diǎn)上存在一個(gè)自旋自由度，代表著該格點(diǎn)的磁矩。磁矩之間存在著相互作用，該相互作用在空間上是無序的。磁矩受到以磁場為代表的一些參量的驅(qū)動，而這些參量隨時(shí)間呈周期性變化。所以說，這是一個(gè)Floquet系統(tǒng)。
研究者們發(fā)現(xiàn)，該系統(tǒng)的大部分的準(zhǔn)能量本征態(tài)是類似于“薛定諤貓”的狀態(tài)，由 “生態(tài)” 和 “死態(tài)” 兩種狀態(tài)迭加而成。
在 “生態(tài)” 中，磁矩在空間分布呈某種分布，而“死態(tài)”則是把“生態(tài)”中所有的磁矩都翻轉(zhuǎn)了180度。
然而，這種準(zhǔn)能量本征態(tài)是非常不穩(wěn)定的，系統(tǒng)要演化到兩個(gè)準(zhǔn)能量本征態(tài)的迭加才會穩(wěn)定下來。它們之間的量子干涉效應(yīng)，使得體系在生態(tài)和死態(tài)之間振蕩。一個(gè)驅(qū)動周期過后，“生態(tài)” 演化到 “死態(tài)”，還要再過一個(gè)周期，才從 “死態(tài)” 變回到 “生態(tài)”。
如圖(a)中所示，時(shí)間上平移一個(gè)驅(qū)動周期，系統(tǒng)的參量沒有變，但是系統(tǒng)的狀態(tài)變了。也就是說，磁矩的振蕩周期是驅(qū)動周期的兩倍。這樣的狀態(tài)，是一種新含義下的時(shí)間晶體，被稱為 “Floquet時(shí)間晶體”。
這種新型的對稱性自發(fā)破缺，被稱為 “離散時(shí)間平移對稱性的自發(fā)破缺”。把這個(gè)狀態(tài)，在時(shí)間上平移一個(gè)驅(qū)動周期，則得到另外一個(gè)等價(jià)的Floquet時(shí)間晶體。
Floquet時(shí)間晶體要面對一個(gè)核心問題，即如何避免系統(tǒng)的熱化。被驅(qū)動的系統(tǒng)，可以從驅(qū)動源吸收能量，在經(jīng)過了很長的時(shí)間后，系統(tǒng)通常被熱化到很高的溫度。這樣的話，就不會有對稱性自發(fā)破缺了，也不會有量子相關(guān)性。
這個(gè)問題的解決基于 “多體局域化” 的概念 [8]。簡單的說，量子多體系統(tǒng)可以處于被激發(fā)的狀態(tài)，而且可以在長時(shí)間內(nèi)，仍然保持量子相干性，而不是把能量耗散到體系中很多其他的狀態(tài)中（物理術(shù)語叫 “退相干”）。
形象的說，這意味著 “多體局域化” 態(tài)和體系中其他的態(tài)相隔絕。作為統(tǒng)計(jì)物理和熱力學(xué)基礎(chǔ)之一的 “各態(tài)歷經(jīng)” 假設(shè)，對這類系統(tǒng)不再成立。
“多體局域化” 可以在一維空間無序的自旋鏈系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)，是相互作用和空間無序共同影響下的結(jié)果。如果系統(tǒng)處在多體局域化狀態(tài)中，那么在合適的驅(qū)動參數(shù)下，就可以在 “生態(tài)” 和 “死態(tài)” 之間來回地翻轉(zhuǎn)。系統(tǒng)仍然保持相干性，熵并沒有增加。平均下來，體系沒有從驅(qū)動源那里吸收凈的能量。
這和非線性經(jīng)典耗散系統(tǒng)中的倍周期響應(yīng)有本質(zhì)的不同。耗散的存在，使得系統(tǒng)的熵持續(xù)地增加?！皶r(shí)間晶體” 也表現(xiàn)出對稱性自發(fā)破缺后應(yīng)具有的穩(wěn)定性。比如，如果驅(qū)動力有少許的隨機(jī)偏差，磁矩振蕩的“時(shí)間晶體”序還是穩(wěn)定的。
Floquet時(shí)間晶體的理論圖景，激發(fā)了實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家們極大的興趣，來實(shí)現(xiàn)這種新奇的物態(tài)。
實(shí)驗(yàn)的體系包括離子阱 [9,10] 和鉆石 [11] 兩類系統(tǒng)，都有可喜的進(jìn)展。另一方面，Khemani, Sondhi, Moessner和Google懸鈴木（Sycamore）團(tuán)隊(duì)另辟蹊徑，對時(shí)間晶體進(jìn)行了卓有成效的量子模擬 [12]。量子比特的兩種狀態(tài)模擬磁矩的上下方向，由超導(dǎo)量子器件實(shí)現(xiàn)。他們實(shí)現(xiàn)了一個(gè)20位量子比特的系統(tǒng)，用量子編程來控制系統(tǒng)的驅(qū)動和演化。
量子模擬的突出優(yōu)勢是在于可以容易地調(diào)節(jié)系統(tǒng)中的驅(qū)動參數(shù)、相互作用和空間無序。量子模擬可以實(shí)現(xiàn) “多體局域化” 和 “多體退局域化” 兩種物相，分別在其中測試在驅(qū)動下的響應(yīng)。
研究團(tuán)隊(duì)觀察到了系統(tǒng)在兩個(gè) “多體局域態(tài)” 之間翻轉(zhuǎn)，也就是輾轉(zhuǎn)于 “生態(tài)” 和 “死態(tài)” 之間。振蕩周期也被驗(yàn)證是驅(qū)動周期的兩倍，這正是Floquet時(shí)間晶體所要求的。Floquet時(shí)間晶體的穩(wěn)定性，比如其對驅(qū)動力偏差的容忍，也在模擬中得到了證實(shí)。
局限的對稱
目前，時(shí)間晶體研究所涉及到對稱性模式還是非常局限的。事實(shí)上，凝聚體物理和超冷原子物理中有大量被驅(qū)動體系，比如激光驅(qū)動的晶格、動態(tài)的光子和聲子晶體、動態(tài)的冷原子光晶格等。一類重要的動態(tài)系統(tǒng)具有時(shí)空周期性。它們沒有表現(xiàn)出對稱性自發(fā)破缺，所以不是時(shí)間晶體，為了區(qū)別，我們稱之為 “動態(tài)晶體”。
在通常的研究框架中，動態(tài)晶體的時(shí)間和空間對稱性被分開地處理。近年來，研究者把它們耦合起來，并構(gòu)造了 “時(shí)空群”（space-time group）的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)對新的時(shí)空對稱性進(jìn)行分類 [13]。
正如每一種晶體結(jié)構(gòu)都由一種空間群對稱性決定一樣，每一種動態(tài)晶體都由一種時(shí)空群對稱性決定。已經(jīng)發(fā)現(xiàn)在1+1維的時(shí)空（1維空間加1維時(shí)間）中，有13種時(shí)空群，而在2+1維時(shí)空中，有275種時(shí)空群。
體系可以表現(xiàn)出時(shí)空耦合的非點(diǎn)式對稱性，包括時(shí)間螺旋軸對稱性和時(shí)間滑移面對稱性。前者的例子是時(shí)鐘，時(shí)鐘的指針破壞了轉(zhuǎn)動對稱性，但是其運(yùn)動在旋轉(zhuǎn)和時(shí)間平移的聯(lián)合操作下不變；后者的例子是蹺蹺板，其運(yùn)動在空間反射和時(shí)間平移半個(gè)周期的聯(lián)合操作下保持不變。
可以設(shè)想把 “時(shí)空群” 對稱性和 “時(shí)間晶體” 的研究結(jié)合起來，來思考如何自發(fā)地生成具有豐富對稱性模式的 “時(shí)空群時(shí)間晶體”，這將是一個(gè)有趣的研究方向。
與對稱性自發(fā)破缺密切相關(guān)的一個(gè)問題是相應(yīng)的拓?fù)浼ぐl(fā)，也可以叫拓?fù)淙毕?。比如，晶體中不同晶相間疇壁，就是晶格的拓?fù)淙毕?。?“分立時(shí)間對稱性自發(fā)破缺” 所導(dǎo)致的Floquet時(shí)間晶體，具有不同但等價(jià)的狀態(tài)（如圖(a)中所示）。
上海交通大學(xué)蔡子研究組發(fā)現(xiàn)了這兩個(gè)Floquet時(shí)間晶體位形之間的躍遷過程，可以形象地叫做 “隧穿” [14]。這個(gè)過程類比于晶體中晶相間的疇壁。他們考慮在系統(tǒng)的驅(qū)動力上加一些擾動，如果擾動的頻率很高，則Floquet時(shí)間晶體仍然保持穩(wěn)定。但是當(dāng)擾動的頻率低于一個(gè)臨界頻率時(shí) ，系統(tǒng)可以從一個(gè)時(shí)間晶體態(tài)變到另外一個(gè)。這類似于量子力學(xué)里的隧穿過程，但是這個(gè)隧穿是發(fā)生在兩個(gè)宏觀的量子狀態(tài)之間的。研究時(shí)間晶體中的拓?fù)淙毕莼蚣ぐl(fā)，也是研究非平衡物態(tài)的一個(gè)重要的方向。
時(shí)間的本質(zhì)
時(shí)間晶體及相關(guān)研究對理解時(shí)間的本質(zhì)有著重要的意義。
時(shí)間的本質(zhì)是困擾歷代物理學(xué)家和人文學(xué)家的重要問題。和空間相比，它總是表現(xiàn)得那么的不同。比如，古希臘哲學(xué)家赫拉克利特（Heraclitus，約公元前530年—前470年）說過 “人不能兩次踏入同一條河流”，說的是時(shí)間的單向性。這一點(diǎn)即使在相對論的四維時(shí)空觀里，也沒法被改變，盡管時(shí)空已經(jīng)被統(tǒng)一成一個(gè)整體。
時(shí)間的平移對稱性則是另外一個(gè)和空間的性質(zhì)非常不同的地方。空間平移對稱性很容易被自發(fā)地破缺，就像在晶體中發(fā)生的那樣，而維爾切克所設(shè)想的連續(xù)時(shí)間對稱性，至今都無法被自發(fā)破缺。Floquet時(shí)間晶體的研究至少表明了離散的時(shí)間對稱性是可以被自發(fā)破缺的，從而邁出了第一步。
量子模擬對時(shí)間晶體的研究的推動，也有著很大的象征意義。這表明量子模擬已經(jīng)可以對當(dāng)代物理學(xué)的量子多體物理的研究起到實(shí)質(zhì)性的作用了。量子模擬也拓展了物理實(shí)驗(yàn)研究的范圍，它使得物理學(xué)家有望不再受限于真實(shí)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，可以在更廣闊的范圍內(nèi)研究新奇的物態(tài)。
至于時(shí)間晶體的應(yīng)用前景，誠實(shí)地說，目前還不清楚其有什么實(shí)際的用途。
基礎(chǔ)科學(xué)研究探索的驅(qū)動力是對未知世界的好奇，這是需要被尊重的科學(xué)發(fā)展的一般規(guī)律。比如，在18世紀(jì)，富蘭克林（B. Franklin）曾冒著生命危險(xiǎn)用風(fēng)箏追逐閃電，他是要驗(yàn)證天上的電和是實(shí)驗(yàn)室里萊頓瓶里的電是否是一回事。在那個(gè)時(shí)候，除了讓物理學(xué)家和化學(xué)家著迷以外，電還遠(yuǎn)沒有什么實(shí)際的用處。
可以設(shè)想，對時(shí)間本質(zhì)的研究，將極大地深化人類對自然的認(rèn)知，進(jìn)而增強(qiáng)改造自然的能力。
制版編輯 | 盧卡斯
