時間晶體 ，物質(zhì)的新奇狀態(tài)
時間晶體到底是怎么一回事？| 圖源：pixabay.com
一個宏觀系統(tǒng)即使處于能量最低的狀態(tài)（物理學術(shù)語叫基態(tài)），其物理量仍然可以表現(xiàn)出隨時間的周期振蕩。
這個設想如果成立，那將是非常令人驚奇的：因為體系的能量已經(jīng)達到最低，無從耗散 ，所以其振蕩也不會衰減。
他最初的設想后來被證明并不可行[3,4]，但是其新奇和大膽仍然激發(fā)了領(lǐng)域內(nèi)的研究熱情。
在過去的十年里，物理學家取得了對量子物理系統(tǒng)的時間動力學性質(zhì)更為深刻的認識。研究者們提出，類似于時間晶體的現(xiàn)象，仍然可以在周期性驅(qū)動的量子體系中存在[5-7]，被稱為 “Floquet時間晶體”。Floquet（1847-1920）是法國數(shù)學家，他研究了參數(shù)在隨時間周期變化下的系統(tǒng)運動方程。
撰文｜吳從軍（西湖大學物理學講席教授）
責編｜邸利會
最近，在谷歌的量子計算模擬中，研究人員發(fā)現(xiàn)了時間晶體存在的證據(jù) [13]。這個領(lǐng)域內(nèi)還有很多有意義的方向值得進一步探索 [14,15]，這些研究將拓展人類對時間本質(zhì)的認識，和對非平衡物質(zhì)狀態(tài)的理解。
那么，時間晶體到底是怎么一回事呢？
對 稱
理解時間晶體，要先從 “對稱性”（symmetry）和 “對稱性自發(fā)破缺” （symmetry spontaneous breaking）講起。這是凝聚態(tài)物理學乃至整個現(xiàn)代物理學的核心觀念之一，也是物質(zhì)的一個基本組織原理。
物質(zhì)體系類似于人類 “社會”，體系內(nèi)的各個粒子就像是社會里的 “公民”。粒子之間的相互作用導致它們不僅競爭而且合作，產(chǎn)生了各式各樣的物質(zhì)狀態(tài)，簡稱物態(tài)。
美國物理學家菲利普·安德森（P. W. Anderson）在他的名篇《多者異也》（“More is different ”）中, 明確地闡述了 “呈展論”（Emergentism）的觀點——
當系統(tǒng)中的粒子數(shù)大到宏觀量級后，新的物態(tài)組織原理就開始涌現(xiàn)，而它們并不能根據(jù)少量粒子的行為簡單地推測而來。
比如，對稱性自發(fā)破缺就是體系中大量粒子相互作用的結(jié)果，而晶體和時間晶體與時空對稱性及其破缺密切相關(guān)。
對稱性， 顧名思義，指的是系統(tǒng)具有平衡的結(jié)構(gòu)。最直觀的例子是時空對稱性。比如，把自由空間平移一段距離，它還是保持原樣，這是空間均勻性的體現(xiàn)。用物理術(shù)語說，就是自由空間具有平移對稱性。時間也是均勻的，體現(xiàn)出時間平移對稱性。
因為對稱性意味著體系在變換下不變，所以可以自然地推測，每個基本物理量的守恒律，都由一個體系的對稱性來保障。這是現(xiàn)代物理學的一個重要的結(jié)論，被稱為諾特（Nother）定理。比如，動量守恒是空間均勻性（也就是平移對稱性）的結(jié)果；能量守恒是時間平移對稱性的結(jié)果。
物理體系還可以具有抽象的內(nèi)部對稱性，導致更豐富的守恒律。比如，電荷守恒是U(1)對稱性的結(jié)果。整體的對稱性可以升級到局部變換下的對稱性，這種升級版被稱為 “規(guī)范對稱性”（gauge symmetry）。規(guī)范對稱性在高能物理中起著至關(guān)重要的作用，決定了標準模型中基本粒子間的相關(guān)作用形式。
對稱性自發(fā)破缺的含義有兩點。
其一是 “破缺”，指的是特定的狀態(tài)可以不滿足體系的對稱性。比如，液態(tài)水具有空間平移不變性，其中水分子的分布在統(tǒng)計平均后是空間均勻的。但是當溫度降低到冰點以下，冰是一種晶體，其中的水分子分布就不再是均勻的了，而是排成了晶格，不具有普遍的平移對稱性。
其二是 “自發(fā)”，指的是對稱性破缺后的狀態(tài)不是唯一的。比如，把結(jié)晶后的晶格平移任意一段距離，就得到一個新的晶格位形，這和原先的晶格位形是等價的。體系在這些可能的位形中選擇哪一個，則是由外界擾動等隨機因素決定的。
當一個具體的晶格位形被確定后，從一個晶格位形轉(zhuǎn)變到另外一個的幾率趨于零。這是因為兩個晶格位形之間存在著全局性的差別，不可能通過調(diào)整局部的原子結(jié)構(gòu)，來使得晶格做宏觀上整體的移動。用術(shù)語說，它們之間的勢壘在宏觀系統(tǒng)中趨于無窮高。所以，對稱性自發(fā)破缺后的狀態(tài)具有穩(wěn)定性。
對稱性自發(fā)破缺產(chǎn)生了長程有序。比如，在理想的晶體中，只要一個晶格原胞的位形確定了，其他位置的晶體位形就確定了，而不論相隔有多遠。長程序的穩(wěn)定性表現(xiàn)在所謂的 “廣義剛度”。比如說，晶體可以承受一定范圍內(nèi)的剪切應力而維持其形狀，而液體沒有長程晶格序，不能保持固定的形狀。
對稱性自發(fā)破缺之后，仍然對系統(tǒng)的集體激發(fā)有重要的影響。晶體振動的集體模式是聲波，量子化的形式被稱為是聲子。在波長趨于無窮長時，聲波相當于晶體的整體移動。平移對稱性要求聲波頻率在這個極限下趨于零，也就是無能隙的。這是所謂的古德斯通（Goldstone）零能模式的一個例子，可以被形象地理解成系統(tǒng)在試圖恢復其已經(jīng)被破缺了的對稱性。
早在1930年代，現(xiàn)代凝聚態(tài)物理學的奠基人之一列夫·朗道（Lev Landau) ，開創(chuàng)了采用對稱性自發(fā)破缺來描寫相變的新范式。他提出了 “序參量”（order parameter）的概念來表征有序態(tài)。對應于晶格周期，晶體中粒子密度分布的傅里葉頻譜有著特征的分布，可以作為晶格序的序參量。這個序參量在液體狀態(tài)下為零。
此外，還有很多其他序參量的例子。比如，鐵磁體的磁矩和鐵電體的電偶極矩可以分別作為它們的序參量。自發(fā)磁化和自發(fā)電極化都有確定的方向，從而破缺了轉(zhuǎn)動對稱性。此外自發(fā)磁化還破缺了時間反演對稱性，自發(fā)電極化還破缺了空間反演對稱性。
對稱性自發(fā)破缺在高能物理中也非常重要，比如希格斯（Higgs）玻色子就是由規(guī)范對稱性的自發(fā)破缺而產(chǎn)生，這就是著名的 “Anderson-Higgs” 機制。
超越常識的想法
幾乎所有常見的對稱性都可以被自發(fā)破缺，產(chǎn)生相應的有序態(tài)。那么時間平移對稱性可以被自發(fā)破缺嗎？
維爾切克提出：如果一個系統(tǒng)的哈密頓量（簡單地說，可以理解成能量，盡管并不嚴格）不依賴于時間，而且其基態(tài)可以自發(fā)地破缺時間平移對稱性，從而基態(tài)中的物理量可以表現(xiàn)出時間上的周期振蕩，那么則稱之為 “時間晶體”。
這個想法超出了常識。
如果把能量和動量的依賴關(guān)系畫作一條曲線，一般來說，它是光滑的。如果這樣，在經(jīng)典物理的框架下，系統(tǒng)在能量最低時處于靜止狀態(tài)，也就是說所有粒子的速度都為零。
為了繞開這個結(jié)論，維爾切克設計了一個有尖點的能量—動量曲線，這使得體系在能量最低時，仍然在運動 [1]。這種有奇異性的解，雖然不排除在原則上成立的可能性，但是在現(xiàn)實的體系里難以實現(xiàn)。
維爾切克接著提出了 “量子時間晶體” 的概念 [2]。
設想一個帶電的粒子沿著一個圓環(huán)運動，圓環(huán)里有磁通。磁場可以用磁力線來形象地描述，而磁通就是通過圓環(huán)的磁力線的根數(shù)。在量子力學中，磁通會影響粒子速度，即使粒子處于基態(tài)，其速度仍然存在。但是在這種量子狀態(tài)里，粒子均勻地彌散于整個環(huán)中，其位置不能被確定，這就使得粒子密度分布反而是靜態(tài)的。
為了繞過這個困難，他轉(zhuǎn)而考慮在圓環(huán)上放置大量的粒子，并假設它們是量子統(tǒng)計意義下的玻色子。玻色子可以發(fā)生玻色—愛因斯坦凝聚，如果它們之間的吸引力太強，凝聚體會塌縮成一個球。如果粒子數(shù)很大，球就像是一個經(jīng)典的物體，就可以被定位。它沿著圓環(huán)的運動，使得粒子的空間分布表現(xiàn)出隨時間的變化。
類似的想法已經(jīng)在帶電離子系統(tǒng)的實驗中實現(xiàn)。帶電離子在一維環(huán)上形成電荷密度波，也就是離子排成了晶格。實驗上觀察到，這個晶格在磁通的影響下轉(zhuǎn)動了起來 [10]。
可好事往往多磨，進一步的研究表明，上述的狀態(tài)并不符合維爾切克對時間晶體最初的定義。Bruno證明了這樣的狀態(tài)，其實不是系統(tǒng)的基態(tài) [3]，其能量比基態(tài)的要高。對于真正的基態(tài)，隨著球中粒子數(shù)的增加到宏觀量級，球的運動速度逐漸減小到零。
隨后，H. Watanabe 和 M. Oshikawa 嚴格地證明了一個不可能（“no-go”）定理：如果系統(tǒng)的哈密頓量不依賴于時間，在相當普遍的條件下，系統(tǒng)的基態(tài)都不會是時間晶體 [4]。這個結(jié)論對有限溫度的熱平衡態(tài)也是成立的。維爾切克的時間晶體似乎無法實現(xiàn)了。
類似的時間晶體
好在，“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”。
以K. Sacha [5]，C. Nayak [6]，N. Y. Yao, A. Vishwanath [7]，R. Moessner 和S. L. Sondhi [8] 等為代表的多個研究團隊發(fā)現(xiàn)，雖然最初的設想不可行，但是類似于時間晶體的物態(tài)—— “Floquet時間晶體”， 可以在周期性驅(qū)動的量子系統(tǒng)中實現(xiàn)。
一般來說，參量隨時間周期變化的系統(tǒng)被稱為Floquet系統(tǒng)，它們不具有一般的時間平移不變性，其能量不再守恒，也沒有通常意義上的基態(tài)和熱平衡態(tài)。然而，在Floquet系統(tǒng)中，仍然可以定義 “準能量本征態(tài)”。當系統(tǒng)處于準能量本征態(tài)時，其中物理量的振蕩周期和驅(qū)動周期是一致的。
研究者們設想了一個空間一維的磁性系統(tǒng)，每個格點上存在一個自旋自由度，代表著該格點的磁矩。磁矩之間存在著相互作用，該相互作用在空間上是無序的。磁矩受到以磁場為代表的一些參量的驅(qū)動，而這些參量隨時間呈周期性變化。所以說，這是一個Floquet系統(tǒng)。
研究者們發(fā)現(xiàn)，該系統(tǒng)的大部分的準能量本征態(tài)是類似于“薛定諤貓”的狀態(tài)，由 “生態(tài)” 和 “死態(tài)” 兩種狀態(tài)迭加而成。
在 “生態(tài)” 中，磁矩在空間分布呈某種分布，而“死態(tài)”則是把“生態(tài)”中所有的磁矩都翻轉(zhuǎn)了180度。
然而，這種準能量本征態(tài)是非常不穩(wěn)定的，系統(tǒng)要演化到兩個準能量本征態(tài)的迭加才會穩(wěn)定下來。它們之間的量子干涉效應，使得體系在生態(tài)和死態(tài)之間振蕩。一個驅(qū)動周期過后，“生態(tài)” 演化到 “死態(tài)”，還要再過一個周期，才從 “死態(tài)” 變回到 “生態(tài)”。
如圖(a)中所示，時間上平移一個驅(qū)動周期，系統(tǒng)的參量沒有變，但是系統(tǒng)的狀態(tài)變了。也就是說，磁矩的振蕩周期是驅(qū)動周期的兩倍。這樣的狀態(tài)，是一種新含義下的時間晶體，被稱為 “Floquet時間晶體”。
這種新型的對稱性自發(fā)破缺，被稱為 “離散時間平移對稱性的自發(fā)破缺”。把這個狀態(tài)，在時間上平移一個驅(qū)動周期，則得到另外一個等價的Floquet時間晶體。
Floquet時間晶體要面對一個核心問題，即如何避免系統(tǒng)的熱化。被驅(qū)動的系統(tǒng)，可以從驅(qū)動源吸收能量，在經(jīng)過了很長的時間后，系統(tǒng)通常被熱化到很高的溫度。這樣的話，就不會有對稱性自發(fā)破缺了，也不會有量子相關(guān)性。
這個問題的解決基于 “多體局域化” 的概念 [8]。簡單的說，量子多體系統(tǒng)可以處于被激發(fā)的狀態(tài)，而且可以在長時間內(nèi)，仍然保持量子相干性，而不是把能量耗散到體系中很多其他的狀態(tài)中（物理術(shù)語叫 “退相干”）。
形象的說，這意味著 “多體局域化” 態(tài)和體系中其他的態(tài)相隔絕。作為統(tǒng)計物理和熱力學基礎之一的 “各態(tài)歷經(jīng)” 假設，對這類系統(tǒng)不再成立。
“多體局域化” 可以在一維空間無序的自旋鏈系統(tǒng)中實現(xiàn)，是相互作用和空間無序共同影響下的結(jié)果。如果系統(tǒng)處在多體局域化狀態(tài)中，那么在合適的驅(qū)動參數(shù)下，就可以在 “生態(tài)” 和 “死態(tài)” 之間來回地翻轉(zhuǎn)。系統(tǒng)仍然保持相干性，熵并沒有增加。平均下來，體系沒有從驅(qū)動源那里吸收凈的能量。
這和非線性經(jīng)典耗散系統(tǒng)中的倍周期響應有本質(zhì)的不同。耗散的存在，使得系統(tǒng)的熵持續(xù)地增加?！皶r間晶體” 也表現(xiàn)出對稱性自發(fā)破缺后應具有的穩(wěn)定性。比如，如果驅(qū)動力有少許的隨機偏差，磁矩振蕩的“時間晶體”序還是穩(wěn)定的。
Floquet時間晶體的理論圖景，激發(fā)了實驗物理學家們極大的興趣，來實現(xiàn)這種新奇的物態(tài)。
實驗的體系包括離子阱 [9,10] 和鉆石 [11] 兩類系統(tǒng)，都有可喜的進展。另一方面，Khemani, Sondhi, Moessner和Google懸鈴木（Sycamore）團隊另辟蹊徑，對時間晶體進行了卓有成效的量子模擬 [12]。量子比特的兩種狀態(tài)模擬磁矩的上下方向，由超導量子器件實現(xiàn)。他們實現(xiàn)了一個20位量子比特的系統(tǒng)，用量子編程來控制系統(tǒng)的驅(qū)動和演化。
量子模擬的突出優(yōu)勢是在于可以容易地調(diào)節(jié)系統(tǒng)中的驅(qū)動參數(shù)、相互作用和空間無序。量子模擬可以實現(xiàn) “多體局域化” 和 “多體退局域化” 兩種物相，分別在其中測試在驅(qū)動下的響應。
研究團隊觀察到了系統(tǒng)在兩個 “多體局域態(tài)” 之間翻轉(zhuǎn)，也就是輾轉(zhuǎn)于 “生態(tài)” 和 “死態(tài)” 之間。振蕩周期也被驗證是驅(qū)動周期的兩倍，這正是Floquet時間晶體所要求的。Floquet時間晶體的穩(wěn)定性，比如其對驅(qū)動力偏差的容忍，也在模擬中得到了證實。
局限的對稱
目前，時間晶體研究所涉及到對稱性模式還是非常局限的。事實上，凝聚體物理和超冷原子物理中有大量被驅(qū)動體系，比如激光驅(qū)動的晶格、動態(tài)的光子和聲子晶體、動態(tài)的冷原子光晶格等。一類重要的動態(tài)系統(tǒng)具有時空周期性。它們沒有表現(xiàn)出對稱性自發(fā)破缺，所以不是時間晶體，為了區(qū)別，我們稱之為 “動態(tài)晶體”。
在通常的研究框架中，動態(tài)晶體的時間和空間對稱性被分開地處理。近年來，研究者把它們耦合起來，并構(gòu)造了 “時空群”（space-time group）的數(shù)學結(jié)構(gòu)對新的時空對稱性進行分類 [13]。
正如每一種晶體結(jié)構(gòu)都由一種空間群對稱性決定一樣，每一種動態(tài)晶體都由一種時空群對稱性決定。已經(jīng)發(fā)現(xiàn)在1+1維的時空（1維空間加1維時間）中，有13種時空群，而在2+1維時空中，有275種時空群。
體系可以表現(xiàn)出時空耦合的非點式對稱性，包括時間螺旋軸對稱性和時間滑移面對稱性。前者的例子是時鐘，時鐘的指針破壞了轉(zhuǎn)動對稱性，但是其運動在旋轉(zhuǎn)和時間平移的聯(lián)合操作下不變；后者的例子是蹺蹺板，其運動在空間反射和時間平移半個周期的聯(lián)合操作下保持不變。
可以設想把 “時空群” 對稱性和 “時間晶體” 的研究結(jié)合起來，來思考如何自發(fā)地生成具有豐富對稱性模式的 “時空群時間晶體”，這將是一個有趣的研究方向。
與對稱性自發(fā)破缺密切相關(guān)的一個問題是相應的拓撲激發(fā)，也可以叫拓撲缺陷。比如，晶體中不同晶相間疇壁，就是晶格的拓撲缺陷。由 “分立時間對稱性自發(fā)破缺” 所導致的Floquet時間晶體，具有不同但等價的狀態(tài)（如圖(a)中所示）。
上海交通大學蔡子研究組發(fā)現(xiàn)了這兩個Floquet時間晶體位形之間的躍遷過程，可以形象地叫做 “隧穿” [14]。這個過程類比于晶體中晶相間的疇壁。他們考慮在系統(tǒng)的驅(qū)動力上加一些擾動，如果擾動的頻率很高，則Floquet時間晶體仍然保持穩(wěn)定。但是當擾動的頻率低于一個臨界頻率時 ，系統(tǒng)可以從一個時間晶體態(tài)變到另外一個。這類似于量子力學里的隧穿過程，但是這個隧穿是發(fā)生在兩個宏觀的量子狀態(tài)之間的。研究時間晶體中的拓撲缺陷或激發(fā)，也是研究非平衡物態(tài)的一個重要的方向。
時間的本質(zhì)
時間晶體及相關(guān)研究對理解時間的本質(zhì)有著重要的意義。
時間的本質(zhì)是困擾歷代物理學家和人文學家的重要問題。和空間相比，它總是表現(xiàn)得那么的不同。比如，古希臘哲學家赫拉克利特（Heraclitus，約公元前530年—前470年）說過 “人不能兩次踏入同一條河流”，說的是時間的單向性。這一點即使在相對論的四維時空觀里，也沒法被改變，盡管時空已經(jīng)被統(tǒng)一成一個整體。
時間的平移對稱性則是另外一個和空間的性質(zhì)非常不同的地方。空間平移對稱性很容易被自發(fā)地破缺，就像在晶體中發(fā)生的那樣，而維爾切克所設想的連續(xù)時間對稱性，至今都無法被自發(fā)破缺。Floquet時間晶體的研究至少表明了離散的時間對稱性是可以被自發(fā)破缺的，從而邁出了第一步。
量子模擬對時間晶體的研究的推動，也有著很大的象征意義。這表明量子模擬已經(jīng)可以對當代物理學的量子多體物理的研究起到實質(zhì)性的作用了。量子模擬也拓展了物理實驗研究的范圍，它使得物理學家有望不再受限于真實的實驗系統(tǒng)，可以在更廣闊的范圍內(nèi)研究新奇的物態(tài)。
至于時間晶體的應用前景，誠實地說，目前還不清楚其有什么實際的用途。
基礎科學研究探索的驅(qū)動力是對未知世界的好奇，這是需要被尊重的科學發(fā)展的一般規(guī)律。比如，在18世紀，富蘭克林（B. Franklin）曾冒著生命危險用風箏追逐閃電，他是要驗證天上的電和是實驗室里萊頓瓶里的電是否是一回事。在那個時候，除了讓物理學家和化學家著迷以外，電還遠沒有什么實際的用處。
可以設想，對時間本質(zhì)的研究，將極大地深化人類對自然的認知，進而增強改造自然的能力。
制版編輯 | 盧卡斯
