微觀世界藏玄機：從螞蟻的視角來感受“世界的參差”
我們使用一個不完全恰當(dāng)?shù)谋扔鱽砻枋隼碚撐锢恚?/span>它就像正在上演的一部大戲。戲劇最重要的成分有3個：舞臺、演員和劇本。對理論物理而言也是如此：大舞臺就是我們的宇宙；世間萬物，或者說構(gòu)成萬物的基本元素，是舞臺上形形色色的各種“角色”，即演員；而萬物遵循的物理規(guī)律便是“劇本”。
在弦論之前的物理學(xué)中，無論是牛頓還是愛因斯坦，大多數(shù)理論的舞臺就是我們眾所周知的三維空間，再加上時間，被稱為“4維時空”。例如，曾經(jīng)介紹過的標(biāo)準模型，便是61種“基本粒子”在“4維時空”中遵循量子規(guī)律的情況下上演的一部大戲。這些基本粒子包括傳遞相互作用的玻色子，和構(gòu)成物質(zhì)的費米子。所有基本粒子都被認為是沒有結(jié)構(gòu)和大小的“點”狀粒子。
圖1：弦論的空間與眾不同
如圖1所示，左圖中各粒子在四維空間的舞臺上各施拳腳，但到了右側(cè)弦理論的舞臺，“三要素”雖然不變，但它們的內(nèi)容改變了。舞臺從4維變成了超弦理論的10維，或者M理論的11維；角色從（0維）點粒子變成了（1維）的“弦”（或者可以推廣到2維膜、3維等等）；“劇本”，即萬物遵循的規(guī)律，在弦論中也有所不同。以后各篇將陸續(xù)介紹這些不同點，本篇僅涉及第一個要素：弦論的舞臺，即弦論中與時空和維度有關(guān)的概念。
撰文 | 張?zhí)烊?/span>
責(zé)編 | 寧 茜、呂浩然
眾所周知，我們生活的空間是3維的，也就是通常所說的“前后（Y軸）、左右（X軸）、上下（Z軸）”3個不同的方向。如果再加上時間這一維度的話，也可以說，我們的世界是一個4維時空（3維空間+1維時間）。用更為通俗直觀的話來說，就是任何發(fā)生的事件，需要用4個數(shù)值來表示。
例如，有新聞報道說“北京時間2021年1月15日20時32分在（北緯38.43度、東經(jīng)97.35度、深度9千米）處發(fā)生地震?！边@兒的“北緯、東經(jīng)、深度、時間”4個數(shù)值，便標(biāo)志了地震發(fā)生的一個4維時空點。
僅就數(shù)學(xué)意義而言，維度是可以擴展的，多幾個維度不過就是多幾個描述事件的數(shù)值而已。例如上文所指地震發(fā)生的事件，除了“北緯、東經(jīng)、深度、時間”4個“時空點”數(shù)值之外，還可以加上“震級”“烈度”“死亡數(shù)”等其它參數(shù)來描述，這就相當(dāng)于擴展了事件的維度數(shù)。
然而，在超弦論中，并非簡單地增加維度，而是認為宇宙的“時空”就是10維的。也就是說，除了1維時間之外，超弦理論認為我們生活的空間是9維的。這是怎么一回事？應(yīng)該到哪兒去尋找這些多出來的、我們感覺不到的6個空間維度呢？弦論學(xué)家們對此的解釋是：因為那幾個額外的維度被“卷縮”起來并且“隱藏”在了一個非常小的尺度中。或者用專業(yè)術(shù)語來描述：這些額外維度形成的空間被“緊致化”了。
那么，我們首先梳理一下物理理論中的不同“尺度”。
普朗克尺度（Planck scale）被認為是現(xiàn)代物理中的最小尺度，包括“普朗克尺度”（The Planck length）和 “普朗克時間”（Planck time）。它們標(biāo)志著現(xiàn)代物理學(xué)認為可能測量的最小極限長度和極限時間。它們的數(shù)值是：
凡是冠以“普朗克”的物理量，大多數(shù)都與量子現(xiàn)象有關(guān)。從上面兩個公式也可知，普朗克尺度lp和時間tp，均與標(biāo)志微觀量子物理的普朗克常數(shù)h（也計作?）相關(guān)。因此，它們是非常小的數(shù)值。到底有多小呢？圖2中列出了構(gòu)成物質(zhì)的基本單元之尺度大小的比較。例如，從圖中顯示的數(shù)據(jù)可知，普朗克尺度（大約10-33cm）比原子的平均尺度（約10-8cm）還要小上25個數(shù)量級。
圖2中標(biāo)出了原子、質(zhì)子、電子以及普朗克尺度大約的數(shù)量級。由圖中可見：弦論中的“弦”，以及空間多余的維度，都卷曲在不可觀測的普朗克尺度以下。在如此小的尺度下，通常的物理定律包括現(xiàn)有的量子力學(xué)及粒子物理標(biāo)準模型等，都已經(jīng)完全失效。引力開始展現(xiàn)量子效應(yīng)，甚至我們傳統(tǒng)上對時間、空間的概念也可能會全盤瓦解。
圖2：各種尺度大小比較的示意圖
實際上，我們并不清楚小于普朗克尺度范圍內(nèi)的物理規(guī)律，因為根據(jù)量子力學(xué)的不確定性原理，我們無法使用現(xiàn)有的技術(shù)，在那么小的尺度做出任何準確測量。
換言之，對小于普朗克尺度范圍內(nèi)物理系統(tǒng)的情況和狀態(tài)，實驗和測量無能為力，科學(xué)家們只能發(fā)揮及大的想象力來進行大膽的假設(shè)和猜測。盡管這樣的假設(shè)和猜測無法在普朗克尺度范圍之內(nèi)被直接觀察和驗證，但卻可以以此建立適應(yīng)更大外圍空間（普朗克尺度之外）的物理理論。這些理論有可能解決現(xiàn)有理論尚未解決的問題，并且可以間接地被實驗證實或證偽。
例如，理論物理的兩大支柱：量子和引力，似乎水火不相容。沒有現(xiàn)有的理論能將它們很好地統(tǒng)一起來。弦論便是如此應(yīng)運而生的一種理論，而以上所描述的“卷縮隱藏的維度”，便是弦論學(xué)家們所作的基本假設(shè)和猜測之一。這也就是為什么即使無法用實驗驗證，物理學(xué)家們?nèi)匀蛔巫尾痪氲嘏ρ芯肯艺摚驗樗麄兤诖眠@個深層模型，克服標(biāo)準模型和其它量子理論的困難，解決這些物理理論不能解決的問題，將萬物統(tǒng)一到一個單一的理論框架中。事實上，這個目標(biāo)已經(jīng)完成了一部分，弦論是迄今為止最有希望統(tǒng)一所有相互作用和粒子的物理理論。
在日常生活中，我們只能感受到3維空間和1維時間，卻從未觀察到多余的“額外維度”。那是因為如剛才說到的，額外的空間維度卷縮隱藏在極小的尺度中。或者用數(shù)學(xué)的語言說，這些空間是“緊致化”的。
圖3：隱藏著的額外1維空間（圓）
空間既然能“卷縮”，必然是彎曲的，如圖3中隱藏著的1維圓圈。那么，首先我們要明白什么叫“彎曲的時空”。這需要從愛因斯坦的廣義相對論講起。
廣義相對論認為，我們生活的4維時空也是彎曲的，只要有物質(zhì)存在，時空就會彎曲（圖4）。
圖4：物質(zhì)使時空彎曲
因此，從廣義相對論的角度看，本文開頭將物質(zhì)和空間分別比喻為“演員和舞臺”兩種獨立實體是不太恰當(dāng)?shù)摹Ｓ钪娴膶嶋H情況是：物質(zhì)和時空不可分割、互相影響。物質(zhì)使得時空彎曲，時空決定了物質(zhì)的運動。不過，4維時空的彎曲程度比起弦論中額外維度的彎曲，要小得多。所以，在介紹弦論的這幾篇文章中，我們可以暫且將我們生活的、并能感受到的4維時空看成平直的，僅僅只考慮極度“彎曲和緊致”的額外6個極小維度。
在物理學(xué)中引進額外的、緊致的空間維度，并非從弦論開始，早在1921年就有人試驗過了。
愛因斯坦的廣義相對論將引力場幾何化后，一位德國數(shù)學(xué)家西奧多·卡魯扎（Theodor Franz Eduard Kaluza，1885-1954）曾企圖將電磁作用也幾何化，在4維時空的基礎(chǔ)上加上了額外的第五維，以此來容納與電磁場有關(guān)的變量，達到電磁和引力的統(tǒng)一。
根據(jù)卡魯扎的想法，可以將廣義相對論使用的4維時空上，加上一個額外的空間維，這一維代表電磁場，應(yīng)該與電荷q或電磁勢A有關(guān)系，其中還包括了一個額外的標(biāo)量場f，這個標(biāo)量場所對應(yīng)的粒子被卡魯扎稱之為“radion（放射微粒）”，見圖5。
圖5：卡魯扎-克萊因五維時空理論
根據(jù)這個五維時空的構(gòu)想，卡魯扎可以得到好幾組方程式，其中包括等價于愛因斯坦場方程的一組、等價于麥克斯韋方程組的一組，以及關(guān)于標(biāo)量場f的方程。后來，瑞典物理學(xué)家奧斯卡·克萊因（Oskar Benjamin Klein，1894-1977）又將此理論納入量子力學(xué)，由此建立了卡魯扎-克萊因理論（Kaluza–Klein theory）。
如何解釋理論中的第五維這個額外維度？卡魯扎和克萊因認為，我們之所以不能看到第五維空間，是因為它卷曲成了一個很小的圓，這個新穎的想法打開了多維空間之先河，是第一個高維宇宙的模型，影響了之后的物理學(xué)家們建立標(biāo)準模型及弦論時關(guān)于額外維度的幾何構(gòu)想。
如圖5c（或圖3）所示，第五維就像是在原來4維時空中的每一點（圖5c中用平面的2維時空網(wǎng)格代替），加上了一個極小的圓圈，當(dāng)這些圓圈的尺寸太小時，我們就觀測不到它的存在，就像在現(xiàn)代的紡織機器織出的某些纖維布料中，我們看不到一些非常小的圈形纖維結(jié)構(gòu)一樣，但它們卻是真實存在的。物理學(xué)家計算出了卡魯扎-克萊因5維時空中圓圈的大小，只有約為10-30cm的數(shù)量級。
類似圓圈的第五維可以被理解成復(fù)數(shù)平面上的旋轉(zhuǎn)。實際上，電磁理論就是對應(yīng)于復(fù)數(shù)平面上的旋轉(zhuǎn)，這是數(shù)學(xué)家外爾（Hermann Weyl，1885-1955）后來建立的電磁場與量子化電子場相互作用的規(guī)范場的關(guān)鍵模型，后來又被推廣到楊-米爾斯理論（Yang-Mills Theory）等。愛因斯坦曾經(jīng)思考過卡魯扎-克萊因理論，事實上卡魯扎最原始的論文就是在他的支持和推薦下得以發(fā)表的。但愛因斯坦最終放棄了這個思想，沒有在這條路上進一步走下去。
用上一段介紹的對5維模型的理解方式，同樣可以理解更多維數(shù)的宇宙空間。這些多余的維度，卷曲在人們無法感覺到的微小尺度（比普朗克尺度更小）中，如圖6所示。
圖6：宇宙空間的額外維度
維數(shù)太高的空間是難以直觀想象的。如圖7所示，0維空間表示一個點，1維是直線，2維是面，3維是體積。到了4維，還可以想象成“體積”的變動，但維數(shù)大于4的空間，就不那么直觀了。所以我們最終不能只依賴于幾何圖形，必須從理論上來深入探究：什么是維數(shù)？額外維度的意義何在？
圖7：維數(shù)的幾何表示
簡單而言，維數(shù)是數(shù)學(xué)中獨立參數(shù)的數(shù)目。所以，維數(shù)增加是什么意思呢？是增加了表示某個事物所需要的變量數(shù)。從這個意義上來說，我們在日常生活中其實也經(jīng)常和“高維空間”打交道。例如，要記錄一個新生兒出生時的情況，僅僅4個時空數(shù)值是遠遠不夠的，除了他的出生地點、年、月、日、時刻之外，還有體重、身長、血型、心跳快慢、呼吸次數(shù)等許多數(shù)據(jù)，這些獨立參數(shù)的結(jié)合，就形成了一個多維空間，每一維都有其物理意義。
物理理論中，幾何空間維度的增加，是為了描述更多的對稱性。也就是說，是為了描述更多的物理規(guī)律，因為物理規(guī)律總是和某種對稱性聯(lián)系在一起。例如，當(dāng)年的卡魯扎試圖統(tǒng)一引力和電磁力而將時空增加到5維。而超弦理論（Superstring Theory）企圖統(tǒng)一的，除了引力和電磁力之外，還有強相互作用、弱相互作用以及構(gòu)成宇宙萬物的所有基本粒子，1個額外維度顯然包容不了這么多。為了滿足所有的對稱性要求，使得超弦中的空間額外維度增加到了6維，如圖6b所示。
在圖3中，我們眼中的電纜線是1維的，但在螞蟻的眼中，那根電纜線卻是2維的，在我們看到的1維電纜上的每一個點，螞蟻都看見一個額外的“小圈”。
同樣的道理可以用來描述弦論的世界：目前，我們只能觀測到3維空間，觀察、測量到在3維空間中活動的基本粒子。然而，如果存在普朗克尺度以下的“極小”生物的話，它們便可能感覺到9（3+6）維的空間。也就是說，在我們感覺到的3維空間的每一個點，這些小生物都感覺到一個額外的“6維小團”。話說回來，這樣的小生物不可能存在，但不妨如此想象一下，或許能幫助我們更好地理解這個額外維度。
這個“6維小空間”具有什么樣的物理性質(zhì)？數(shù)學(xué)上如何描述它？這就是我們在“這個物理理論未被實驗證實，卻已對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了極大影響”中曾經(jīng)提到過的、我們下一篇文章將要介紹的內(nèi)容——卡拉比-丘空間。
制版編輯 | Morgan
