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走向融合:牛奶、咖啡與2020年阿貝爾獎

2020/04/29
導(dǎo)讀
因為“融合”了各個分離已久的數(shù)學(xué)分支,出生在德國和出生在蘇聯(lián)的兩位數(shù)學(xué)家分享了2020年的阿貝爾獎。

截至北京時間4月29日16時,全球新冠肺炎累計確診病例數(shù)超310萬,其中,死亡病例數(shù)超21萬。
制圖:賽先生(數(shù)據(jù)來源:Worldometer)

“所謂數(shù)學(xué)家,就是能夠發(fā)現(xiàn)定理之間相似之處的人。好的數(shù)學(xué)家能夠看到證明之間的相似。最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家則能夠看到理論之間的相似。可以想象,終極的數(shù)學(xué)家應(yīng)該能夠看到相似之間的相似?!?/span>
 
              ——斯特凡·巴拿赫(Stefan Banach,1892–1945)

撰文 | 方 弦
責(zé)編 | 李珊珊

圖源:abelprize.no

取來一杯黑咖啡,在電腦前坐下來,你將準備好的牛奶倒進咖啡,然后用勺子慢慢攪拌,咖啡很快就從黑白分明變成了棕色,散發(fā)出溫和的香味。然后你在電腦上看到這樣的文字:
 
假設(shè)X是一個上密度為正的自然數(shù)集合,那么對于所有的正整數(shù)k,在X中都存在一個長度為k的等差數(shù)列。
 
這似乎跟你和你的咖啡毫不相干,但阿貝爾獎,也可以說是數(shù)學(xué)界的終身成就獎,今年的兩位得主希勒爾·弗斯滕伯格(Hillel Furstenberg)和格里戈里·馬爾古利斯(Grigory Margulis)獲獎的原因,正是他們看到了攪拌咖啡和代數(shù)、數(shù)論以及組合的某些問題之間的相似性,并由此解決了許多問題,發(fā)展出了新的數(shù)學(xué)分支。
 
但在具體解釋兩位獲獎?wù)叩墓ぷ髦埃覀兿葋砜紤]一個問題:為什么將加了牛奶的咖啡攪拌之后,它就會慢慢變得均勻?

—1—

結(jié)局與路線

圖源:pixabay.com

這個問題似乎太簡單了,本來分開的東西,攪拌一下就會混合起來,咖啡是這樣,顏料也是這樣,這都是天經(jīng)地義的事情,還用問嗎?
 
問題在于,這并不是天經(jīng)地義。比如說水和油,如果隨便攪拌一下的話,只消靜置幾分鐘,水和油就又分離開來了。雖然在特定的條件下,油可以分為極其細小的油滴懸浮在水中,與水均勻混合,比如說牛奶就是這樣,但這種狀態(tài)并不是絕對穩(wěn)定的。比如說,拿起半瓶牛奶用力搖晃十幾分鐘后,你就會發(fā)現(xiàn)牛奶分成了固體和液體兩部分,固體部分就是奶油,也就是原來懸浮著的油滴。
 
那么,為什么牛奶和咖啡可以輕易混合,但水和油卻不行呢?物理中的熱力學(xué)給出了答案:水分子和油脂分子非常不喜歡靠近對方,硬要混合它們就需要很大的能量,而如果順其自然的話,假以時日它們會逐步到達能量最低的地方,也就是水油分離。牛奶和咖啡的分子沒有這個問題,所以能夠均勻混合。
 
這是個很好的解釋,但并沒有回答我們一開始的問題。熱力學(xué)告訴我們咖啡和牛奶能夠混合均勻,但卻沒有告訴我們攪拌在其中扮演了什么角色。熱力學(xué)能告訴我們結(jié)局,但對于如何到達這個終點卻是無可奉告。就像人終有一死,這是熱力學(xué)的答案,但我們更關(guān)心的是這個人經(jīng)歷了什么,是重于泰山還是輕于鴻毛。能告訴我們這些的,是物理的另一門分支,也就是動力學(xué)。
 
太陽系,圖源:pixabay.com
 
動力學(xué)研究脫胎于龐加萊對天體力學(xué)的研究。自從牛頓發(fā)現(xiàn)天體流轉(zhuǎn)和蘋果落地同樣遵循萬有引力的同一套微分方程之后,人們就開始利用微積分的語言來描述和研究行星的運動,也依此發(fā)現(xiàn)了海王星。自此之后,數(shù)學(xué)家將同樣的一套方法論應(yīng)用到不同的物理體系甚至數(shù)學(xué)體系中,也就形成了一門新的學(xué)科。
 
動力學(xué)研究的,就是物理系統(tǒng)怎么樣從一種狀態(tài)演變?yōu)榱硪环N狀態(tài)。被攪拌著的咖啡和牛奶構(gòu)成了一個所謂的“動力系統(tǒng)”,而動力學(xué)研究的,則是各種各樣的動力系統(tǒng)如何隨時間而演變。無論是鐘擺來回搖動,還是氣象風(fēng)起云涌,甚至連太陽系的運轉(zhuǎn),都可以看成某種動力系統(tǒng)。而對動力系統(tǒng)的研究,隨著研究對象越來越多,也逐漸變得越來越抽象,最后演變?yōu)橐婚T獨立的數(shù)學(xué)分支。

—2—

飄搖的軌跡


為了研究不同的動力系統(tǒng),數(shù)學(xué)家引入了狀態(tài)空間的概念,在物理學(xué)中也叫相空間,它是一個抽象的幾何空間,其中每個點都對應(yīng)于動力系統(tǒng)的某個特定的狀態(tài)。
 
比如說,如果考慮太陽系行星這個動力系統(tǒng)的話,可以固定太陽的位置為原點,而八大行星各自的位置和速度就組成了動力系統(tǒng)的狀態(tài)。每個行星的位置和速度都分別需要3個數(shù)來描述,合起來的話,要描述太陽系行星這個動力系統(tǒng)就需要48個變量,而它對應(yīng)的狀態(tài)空間也就是一個48維的空間。動力系統(tǒng)隨時間的演變就相當于狀態(tài)空間中點的軌跡,而動力系統(tǒng)理論研究的就是這些軌跡的行為。
 
不同的動力系統(tǒng),對應(yīng)的狀態(tài)空間中也有著各種各樣的軌跡。比如說太陽系對應(yīng)的狀態(tài)空間,有的軌跡經(jīng)過一段時間就會一去不復(fù)返,這就意味著某個行星永遠地離開了我們;有的軌跡是閉合的,一次又一次地重復(fù)自身,形成動態(tài)穩(wěn)定的體系;有的軌跡雖然不會完全重復(fù)自身,但卻會無限靠近某條閉合的軌道;有的軌跡卻更加任性妄為,行為捉摸不定,但卻像被某種奇異的力量吸引著,永遠不會遠走高飛??梢哉f,這些軌跡就決定了動力系統(tǒng)的性質(zhì),所以動力系統(tǒng)理論的研究目的之一,就是刻畫這些軌跡的性質(zhì)以及它們之間的關(guān)系,還有確定某個特定的狀態(tài)會遵循什么樣的軌跡等等。
 

范德波爾振蕩器


因為動力系統(tǒng)發(fā)源于物理學(xué),所以人們最初研究的那些動力系統(tǒng),比如星體和天氣,都遵循著刻畫物理規(guī)律的微分方程,對其的研究也緊緊遵循著數(shù)學(xué)分析的傳統(tǒng),其中的重鎮(zhèn)就是俄國數(shù)學(xué)家亞歷山大·李雅普諾夫,他對于連續(xù)動力系統(tǒng)中軌跡穩(wěn)定性的判定有著極為重要的貢獻。此外,數(shù)學(xué)家也意識到,有時候我們并不需要知道整個系統(tǒng)在任何時間的行為,而只需要知道在某些特定的時間間隔中系統(tǒng)的行為。由此得到的就是離散動力系統(tǒng)的概念,其中連續(xù)的時間變成了離散的時刻,而動力系統(tǒng)本身就決定了這個時刻的狀態(tài)會如何變換成下一個時刻的狀態(tài)。
 

 洛倫茲吸引子
(圖片截自數(shù)學(xué)電影《混沌》)

但隨著對動力系統(tǒng)研究的深入,人們發(fā)現(xiàn)了那些捉摸不定但卻永不遠離的軌跡,只要它們的初始狀態(tài)有一絲一毫的偏離,經(jīng)過一段時間的演化,它們就會踏上完全不同的道路。這就是混沌現(xiàn)象,而對這種現(xiàn)象的研究也已經(jīng)發(fā)展成混沌理論這一獨立的學(xué)科,它與概率論、分形都有密切的關(guān)系。同時,隨著數(shù)學(xué)家研究的動力系統(tǒng)越來越復(fù)雜,他們發(fā)現(xiàn)確定性的微分方程似乎已經(jīng)落后于時代,反而是描述隨機性的概率論和描述一般空間的拓撲學(xué)更加符合他們的需要。
 
動力系統(tǒng)的研究方法就慢慢轉(zhuǎn)向概率以及拓撲,也就此取得了更大的成果,也由此擴展到了更為廣泛的對象,不一定是連續(xù)的空間,也可以是離散的對象。這就給弗斯滕伯格和馬爾古利斯的工作埋下了伏筆。
 

—3—

走遍每個角落


讓我們回到咖啡的例子。之前說到,熱力學(xué)說明咖啡和牛奶組成的體系最終會到達能量最低的狀態(tài),但其實牛奶剛剛倒進咖啡之后,它們的能量就已經(jīng)是最低的了!也就是說,熱力學(xué)并沒有說明為什么在攪拌之后兩者會混合起來而不是仍然分離。
 
如果你熟悉熱力學(xué),你可能會說這就是熱力學(xué)第二定律的結(jié)論,因為體系會停留在熵最大的宏觀狀態(tài),也就是對應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)最多的宏觀狀態(tài)。對于咖啡和牛奶來說,就是完全混合的狀態(tài)。此話不假,但實際上正是熱力學(xué)第二定律包含了一個隱含的假設(shè):體系處于能量相同的任意微觀狀態(tài)的可能性都是相同的。這個假設(shè)被稱為遍歷假設(shè),“遍歷”的意思就是體系可以經(jīng)歷所有狀態(tài),而且這些狀態(tài)對它來說都是平等的。
 
遍歷假設(shè)自然可以推出熱力學(xué)第二定律,但在動力學(xué)上卻并非顯然正確,因為完全有可能存在某個狀態(tài)永遠不能達到。于是,想辦法證明某種類似的結(jié)論就成了數(shù)學(xué)家心頭的一大問題。
 
把牛奶加入咖啡中,攪拌之后牛奶還是那么多,只不過分散在了整杯咖啡之中,攪拌的操作不會改變牛奶的多寡。許多動力系統(tǒng)也是如此:我們可以在狀態(tài)空間中定義某種“容積”的概念,用術(shù)語來說就是測度,使得一組占據(jù)一定容積的系統(tǒng)狀態(tài),無論經(jīng)過多少時間,仍會占據(jù)著相同的容積。這種動力系統(tǒng)被稱為“保測動力系統(tǒng)”,“保測”的意思就是“保持測度”。
 
龐加萊在研究天體力學(xué)時就已經(jīng)注意到任何由常微分方程定義的動力系統(tǒng)都滿足這一條件,也就是說,所有通過經(jīng)典力學(xué)構(gòu)建的動力系統(tǒng)都是保測動力系統(tǒng)。同時,它們因此有著特殊的性質(zhì):如果系統(tǒng)中沒有任何軌跡會無限遠離的話,那么從任何初始狀態(tài)出發(fā)的軌跡,假以時日,即使不能回到初始狀態(tài),也可以到達離它要多近有多近的某個狀態(tài)。這就是龐加萊復(fù)現(xiàn)定理。
 
龐加萊復(fù)現(xiàn)定理也被另一位數(shù)學(xué)家策梅洛用于質(zhì)疑熱力學(xué)第二定律:如果系統(tǒng)總是能返回初始狀態(tài)的話,那么混合好的咖啡和牛奶也終有一天會重新涇渭分明,這似乎正是熱力學(xué)第二定律所禁止的。
 
幸而,正如熱力學(xué)只告訴我們最終結(jié)局,龐加萊復(fù)現(xiàn)定理也只告訴我們最終會回到某個非??拷跏紶顟B(tài)的地方,但沒有說清楚需要多少時間。通過仔細計算,我們能夠得到大概所需的時間,也就是所謂的龐加萊復(fù)現(xiàn)時間。對于一杯加了牛奶的咖啡來說,這個時間比宇宙的年齡還要長得多,這就保住了熱力學(xué)第二定律作為經(jīng)驗法則的地位。但這也意味著,如果我們希望考慮系統(tǒng)長期的變化,也許不應(yīng)該著眼于單個時刻的狀態(tài),而更應(yīng)該考慮長期變化的平均值。
 
在二十世紀30年代,馮諾依曼和伯克霍夫等人各自在這個方向上的努力最終結(jié)出了成果。他們證明了所謂的“遍歷定理”:
 
假設(shè)由常微分方程定義的動力系統(tǒng)滿足某些假設(shè),那么給定狀態(tài)空間中的某個領(lǐng)域,從任意狀態(tài)出發(fā)的演化過程通過這個領(lǐng)域的時間比例幾乎必然會趨近于領(lǐng)域在整個狀態(tài)空間中所占據(jù)的空間比例。比如說,如果攪拌的方法滿足某些假設(shè),那么即使我們不去追蹤咖啡杯里牛奶的某個液滴劃過的軌跡,也可以確定它大概有一半時間會呆在咖啡杯左半邊。這就相當于證明了遍歷假設(shè)在平均意義上是正確的,于是熱力學(xué)第二定律也是如此。
 
那么,遍歷定理中的“某些假設(shè)”到底是什么呢?
 
說起來也簡單。在狀態(tài)空間中,我們考慮某個容積不為零,但嚴格小于整個空間的區(qū)域。直覺上來說,如果所有能夠到達這個區(qū)域的狀態(tài)恰好就是這個區(qū)域內(nèi)的所有狀態(tài)的話,那么遍歷假設(shè)顯然就不成立,因為區(qū)域以外的大量狀態(tài)無法進入這一區(qū)域。神奇的是,只要假定這種區(qū)域不存在,遍歷定理就必然成立。滿足這個條件的保測動力系統(tǒng)就是所謂的遍歷系統(tǒng),而遍歷理論就是對遍歷系統(tǒng)的研究。
 
伯克霍夫也意識到,他的遍歷定理實際上并沒有局限于常微分方程定義的動力系統(tǒng),而是應(yīng)該對于其他遍歷系統(tǒng)也成立。后來的研究者沿著這個方向,將遍歷定理進行了大量的推廣。隨著研究的逐漸深入,人們意識到,雖然保測動力系統(tǒng)脫胎于微分方程描述的物理系統(tǒng),但它的定義只牽涉到狀態(tài)空間上的測度。也就是說,保測動力系統(tǒng)系統(tǒng)實際上相當于某個測度空間上的保測變換,正是這個保測變換讓我們能從一個狀態(tài)達到下一個狀態(tài),而遍歷系統(tǒng)所需的條件也能完全用測度的語言來描述。
 
所以說,遍歷系統(tǒng)的本質(zhì)在于測度,而具體的狀態(tài)空間到底表示什么,是整個系統(tǒng)的狀態(tài)還是牛奶液滴的位置,這都只是表象,可以忽略的表象。正因為遍歷系統(tǒng)的本質(zhì)在于測度和保測變換,所以即使遍歷系統(tǒng)本身沒有包含任何不確定性,但遍歷理論與同樣建基于測度的概率論仍然有著許多共通之處。這兩個領(lǐng)域中的研究互相滲透,已經(jīng)得到了豐碩的成果。
 
但遍歷理論和概率論畢竟仍然屬于廣義上的分析,它們與廣義上的代數(shù)似乎相差甚遠。想必任何學(xué)過大學(xué)數(shù)學(xué)課程的人都會感覺微積分與線性代數(shù)就像兩個完全不同的世界。弗斯滕伯格和馬爾古利斯的貢獻,就在于他們借助遍歷系統(tǒng)本身的抽象性,成功跨越了分析和代數(shù)之間的鴻溝,將遍歷理論的方法應(yīng)用到了代數(shù)和組合的廣泛領(lǐng)域中,得到了大量的成果,開創(chuàng)了全新的領(lǐng)域。
 
一如莊子所言:凡物無成與毀,復(fù)通為一。唯達者知通為一。
 

—4—

弗斯滕伯格:

整數(shù)中的遍歷系統(tǒng)

 
Furstenberg,圖源:abelprize.no
 
弗斯滕伯格出生在1935年的德國柏林。對于一名猶太人來說,這個時機實在太壞。他可能也不太記得在德國的生活,因為在1939年的水晶之夜之后,為了活命,他父母就帶著一家人逃到了美國。顛沛流離之后接下來的并不是好日子,弗斯滕伯格的父親去世之后,他們一家的生活過得更為拮據(jù)。但這并沒有阻礙弗斯滕伯格求學(xué)的腳步。他就讀了專門為猶太人開設(shè)的宗教學(xué)校,然后升入了當?shù)氐拇髮W(xué)。就在那里他接觸到了數(shù)學(xué)的美,并就此走上了數(shù)學(xué)的道路。
 
在大學(xué)的期間,他就已經(jīng)在數(shù)學(xué)方面嶄露頭角,因為利用拓撲的語言證明了素數(shù)有無限個而小有名氣。這也許也預(yù)示了他能在不同數(shù)學(xué)分支之間看到相似性的能力。之后他到了普林斯頓大學(xué)就讀博士,博士導(dǎo)師是同樣由德國逃出來的博赫納(Salomon Bochner)。當時博赫納正在深入研究概率,而弗斯滕伯格的博士論文,題為《預(yù)測理論》(Prediction Theory),自然也是有關(guān)概率的。這篇博士論文講述了對時間序列進行預(yù)測的理論,其中也牽涉到遍歷理論。對于這篇論文的水平,某位評委的評語是“這是一篇具有高度原創(chuàng)性的第一流博士論文,涉及的課題也相當困難”。
 
博士畢業(yè)之后,弗斯滕伯格開始嘗試將概率論的方法應(yīng)用到別的數(shù)學(xué)對象之中。他通過對于隨機矩陣乘積的研究,開始探索所謂“半單李群”這一類代數(shù)對象的結(jié)構(gòu),并且在一系列論文中逐步明晰定義了所謂的“弗斯滕伯格邊界”,用以刻畫半單李群上的調(diào)和函數(shù)。他的這項工作利用概率論的工具剖析了某些群的結(jié)構(gòu),即使這些結(jié)構(gòu)與隨機性毫無瓜葛。這一跨界的工作也對相關(guān)的代數(shù)研究產(chǎn)生了巨大的影響。
 
這一系列論文之后,弗斯滕伯格名聲大噪,很快就得到了美國明尼蘇達大學(xué)的教授職位。但此后不久,他就離開美國移居以色列,并在這個猶太人魂牽夢縈的“應(yīng)許之地”扎下了根。在那里,他開始嘗試繼續(xù)鉆研遍歷理論,提出了不少重要的概念與猜想。比如說,通過類比整數(shù)之間互質(zhì)的關(guān)系,弗斯滕伯格提出了遍歷系統(tǒng)之間的“不相交性”(disjointness)。這個概念相當自然,但人們發(fā)現(xiàn)其實它也極為深刻,在分形幾何、信號處理等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用。
 
但弗斯滕伯格最激動人心,大概也是最容易解釋的工作還在后頭。在他就職的耶路撒冷希伯來大學(xué),經(jīng)常有不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家來做講座。有一次,一位訪客做了一個關(guān)于組合數(shù)論的報告,其中提到了當時剛剛被塞邁雷迪(Szemerédi Endre)證明的一個精彩定理。假設(shè)有一個整數(shù)的集合A,如果無論取多大的正整數(shù)n,都有一個比它更大的正整數(shù)N,使得在-N到N之間的整數(shù)至少有某個固定的比例包含在集合A中,那么A就必定包含任意長度的等差數(shù)列。用數(shù)學(xué)術(shù)語來說,就是擁有正上密度的整數(shù)集合A必然包含任意長度的等差數(shù)列。

 
這是個奇妙的結(jié)果。我們對集合A的要求相當弱,只要不算太稀疏,滿足這個條件的集合A可以隨意包含任何元素,自然也可能混亂得毫無章法。但無論集合A多么混亂,只要它的上密度為正,那么我們必定可以在這種混亂中找到某種結(jié)構(gòu),在這里就是要多長有多長的等差數(shù)列!這種斷言我們必定能在混亂中找到結(jié)構(gòu)的定理,屬于所謂“拉姆齊理論”的范疇,它的研究牽涉到組合數(shù)學(xué)和數(shù)理邏輯,其中有著許多困難的問題,而這個后來被命名為塞邁雷迪定理的結(jié)論也是其中之一。
 
當時塞邁雷迪對塞邁雷迪定理的證明驚動一時,不僅是因為定理本身的難度,還因為塞邁雷迪在證明中提出了一個重要的引理,后來又將其推廣,成為了今天所說的塞邁雷迪正則性引理。這個引理在圖論中有著非常廣泛的應(yīng)用,甚至可以說,這個引理比塞邁雷迪定理本身更為重要。
 
但弗斯滕伯格在這個定理中卻看到了別的東西。在講座結(jié)束之后不久,他就給講者發(fā)了一封電子郵件:“我可能找到了這個定理的另一種證明?!彼谌~雷迪定理中看到的,自然是動力系統(tǒng)。
 
我們考慮所有由整數(shù)組成的集合,這些集合組成了一個狀態(tài)空間。對于某個集合A,如果將其中的每個整數(shù)都加上1,我們就得到了另一個集合,這種變換又叫平移變換。
 
弗斯滕伯格利用平移變換,定義了有關(guān)整數(shù)集合的一些保測動力系統(tǒng),而塞邁雷迪定理就相當于斷言這些保測動力系統(tǒng)假以時日必定會以特定的方式多次“回歸”初始狀態(tài),就像龐加萊復(fù)現(xiàn)定理所證明的那樣。接下來,弗斯滕伯格洞察到,這個結(jié)論不僅對于這些有關(guān)整數(shù)集合的保測動力系統(tǒng)成立,而且對更廣泛的雙射保測動力系統(tǒng)也成立。于是他將龐加萊復(fù)現(xiàn)定理推廣到多次回歸的情況,證明了所謂的“弗斯滕伯格多次復(fù)現(xiàn)定理”,由此也就推出了塞邁雷迪定理。
 
弗斯滕伯格對于他的多次復(fù)現(xiàn)定理的證明也很耐人尋味。首先,定理中的動力系統(tǒng)可以分解為遍歷系統(tǒng),所以我們可以利用遍歷理論的工具來研究這一點。雖然遍歷系統(tǒng)數(shù)不勝數(shù),但它們之所以擁有遍歷這一性質(zhì),基本上出于兩種原因:要么系統(tǒng)本身幾乎是周期性的,也就是說,經(jīng)過一定時間之后,系統(tǒng)中的狀態(tài)會幾乎回到原始狀態(tài),但卻有一點點偏差,日積月累的話,靠這種偏差就能逼近所有狀態(tài);要么系統(tǒng)本身就處于混沌之中,不同部分的狀態(tài)在經(jīng)過一些時間之后就會均勻地混合在一起無法區(qū)分,而每個狀態(tài)也會很快“忘記”自己的起點,和光同塵。雖然本質(zhì)并不相同,但這兩類遍歷系統(tǒng)中都存在多次復(fù)現(xiàn)的現(xiàn)象。然后弗斯滕伯格證明了,他考慮的動力系統(tǒng)中必定包含前面其中一種遍歷系統(tǒng),從而也會有多次復(fù)現(xiàn)的現(xiàn)象。這個證明就很有拉姆齊理論的風(fēng)格:無論動力系統(tǒng)如何復(fù)雜混亂,都能從中找出擁有特定規(guī)律的一部分。
 
弗斯滕伯格的證明的意義在于,它打開了利用動力系統(tǒng)的工具來研究困難組合問題的大門。塞邁雷迪原本的證明雖然很有意義,但卻非常艱深,用到了復(fù)雜的技術(shù),不容易推廣到更普遍的情況。但弗斯滕伯格的證明,雖然用到了看似復(fù)雜的動力系統(tǒng),但總體而言更直觀更容易理解,也容易推廣。之后不久,弗斯滕伯格和他的合作者就將這個動力系統(tǒng)證明進行了各種各樣的推廣,獲得了與塞邁雷迪定理類似的數(shù)個更為強大的結(jié)論。在弗斯滕伯格等人的開拓下,利用遍歷理論對類似問題的研究已經(jīng)成為了一門名為“遍歷拉姆齊理論”的分支,也結(jié)出了相當?shù)某晒?/span>
 
雖然弗斯滕伯格除此以外還有不少其他方向的研究,但他在整數(shù)中看到動力系統(tǒng)的這一洞察,將原本屬于連續(xù)的方法延伸到了離散,用全新的視角得出了出人意料而又困難的結(jié)論,并且他開辟的這條道路仍然有著大量的問題等待探索??梢哉f,弗斯滕伯格的這項成果,屬于數(shù)學(xué)中第一流的貢獻。
 

—5—

馬爾古利斯:

代數(shù)中的遍歷系統(tǒng)


Margulis,圖源:abelprize.no


另一位獲獎?wù)吒窭锔昀铩ゑR爾古利斯的運氣相對來說稍微好一些。他也是猶太人,然而他出生于1946年蘇聯(lián)的莫斯科,雖然也被歧視,但起碼性命無虞。馬爾古利斯很早就展露出了數(shù)學(xué)天賦,16歲時參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克就獲得了銀獎,之后也進入了在數(shù)學(xué)方面最負盛名的莫斯科國立大學(xué)就讀。因為是猶太人,所以馬爾古利斯想必也攻破了在入學(xué)口試中專門用于防止猶太人入學(xué)的“棺材問題”,也就是有著初等解答但卻極端困難的問題。他居然能夠作為一名猶太人入讀莫斯科國立大學(xué),只能說明他的數(shù)學(xué)天賦實在是出類拔萃。
 
在博士期間,馬爾古利斯師從動力系統(tǒng)專家雅科夫·西奈(Yakov Sinai,2014年獲阿貝爾獎),動力系統(tǒng)也就成了他研究的主線。但他研究的并不算是傳統(tǒng)的動力系統(tǒng)理論,而是動力系統(tǒng)理論在代數(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用。
 
我們身邊的許多東西都有著令人驚異的對稱性。五瓣的梅花旋轉(zhuǎn)72度后,與原來絲毫不差;六芒的雪花,如果將它旋轉(zhuǎn)60度,或者沿著某根主軸翻到另一面,也保持與原來幾乎相同的形態(tài);光盤更是無論如何旋轉(zhuǎn),幾乎都無法與原本的狀態(tài)區(qū)分開來。所有這些東西,如果對它們執(zhí)行某些特定的動作,那么得到的結(jié)果與原來的狀態(tài)沒有區(qū)別,這就是它們對稱性的一種體現(xiàn)。對稱性越高,符合這種條件的動作也越多。我們會覺得輪胎比梅花更對稱,因為旋轉(zhuǎn)梅花時,如果角度不是72的倍數(shù),那么花瓣就會錯位,但光盤無論旋轉(zhuǎn)什么角度都幾乎不變。從這種對稱性抽象而來的數(shù)學(xué)對象就是群,那些動作就是群的元素,而群論就是通過群這種抽象結(jié)構(gòu)來研究種種對稱性的數(shù)學(xué)分支。
 
數(shù)學(xué)中有著各種各樣的群,而數(shù)學(xué)家花了大量的精力來對這些群進行分類。最簡單的分類之一就是連續(xù)群和離散群。光盤的對稱群就是連續(xù)的,因為我們可以旋轉(zhuǎn)任何角度,稍微多轉(zhuǎn)一點少轉(zhuǎn)一點,對于光盤來說無關(guān)緊要。也就是說,光盤的對稱群中的元素是可以連續(xù)變化的。另一方面,梅花的對稱群就是離散的,要保持形狀完全不變,旋轉(zhuǎn)角度就必須是72的倍數(shù),多一點少一點都不行。所以,梅花的對稱群中每個元素之間都被遠遠地分隔開來,這就是它被稱為“離散群”的原因。
 
不同的群之間可以有各種各樣的關(guān)系,最直白的就是一個群可以包含另一個群,這時我們也說后者是前者的子群。比如說光盤的對稱群就包含了梅花的對稱群,因為梅花的對稱群中的元素都是角度各異的旋轉(zhuǎn),而光盤的對稱群包含了所有角度的旋轉(zhuǎn),自然也包含了梅花的對稱群中的所有元素。容易發(fā)現(xiàn),連續(xù)群中可以包含離散群,但離散群卻無法包含連續(xù)群。數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn),對于某些連續(xù)群來說,只需要研究它包含的離散群,就能得出許多關(guān)于連續(xù)群本身的重要性質(zhì)。馬爾古利斯的研究就處于這個方向,而他研究的群,專業(yè)術(shù)語里被稱為“半單李群”,而其中包含的離散群被稱為“格子群”。
 
但這些群跟動力系統(tǒng)又有什么關(guān)系呢?
 
之前提到,群可以看成保持某些結(jié)構(gòu)不變的操作組成的集合,但這個結(jié)構(gòu)完全可以是這個群本身!
 
我們可以將整個群看成一個狀態(tài)空間,而群里的元素就是狀態(tài)。但群里的元素也可以看作對狀態(tài)空間的變換。于是,我們可以通過選取合適的元素作為變換,在整個群中定義出各種各樣的動力系統(tǒng)。此外,在群中也可以定義某種特定的“容積”,也就是測度,使得所有這些通過群里元素定義的動力系統(tǒng)都是保測動力系統(tǒng)。從這里開始,遍歷理論就能派上用場了。
 
在馬爾古利斯之前的數(shù)學(xué)家就已經(jīng)意識到,通過某些特定的連續(xù)動力系統(tǒng)的性質(zhì),就能推測出連續(xù)群的各種性質(zhì),而馬爾古利斯在前人的基礎(chǔ)上更進一步,利用動力系統(tǒng)以及概率論的方法,證明了半單李群格子群的許多重要結(jié)論。其中最重要的大概是他在1975年證明的“超剛性定理”,刻畫了半單李群中被稱為“算術(shù)格子群”的一類有著重大意義的格子群,還有他在1978年證明的“正規(guī)子群定理”,刻畫了半單李群格子群的重要性質(zhì)。正因為做出了這些重要的工作,他被選為1978年菲爾茲獎的四位獲獎?wù)咧弧?/span>
 
但32歲的他并沒能親自領(lǐng)到這一獎項。
 
1978年,冷戰(zhàn)正酣。雖然幾年前美蘇和歐洲各國簽訂了赫爾辛基條約,在歐洲換得了暫時的和緩,但很快雙方關(guān)系又因為其他沖突繼續(xù)惡化。在當時的蘇聯(lián),出境必須預(yù)先向政府報批,而馬爾古利斯未能獲批去往赫爾辛基參加國際數(shù)學(xué)家大會。這也許是蘇聯(lián)的傳統(tǒng),馬爾古利斯的前輩謝爾蓋·諾維科夫(Sergei Novikov)在八年前也獲得了菲爾茲獎,同樣由于未受蘇聯(lián)政府批準出境而無法出席領(lǐng)獎。只有到12年后的1990年,蘇聯(lián)已然茍延殘喘時,他們的后輩弗拉基米爾·德林費爾德(Vladmir Drinfeld)才能夠親身領(lǐng)到屬于他的菲爾茲獎。
 
而即使已然躋身頂尖數(shù)學(xué)家的行列,這也沒有給馬爾古利斯帶來多少好處,因為他是蘇聯(lián)的猶太人。在博士畢業(yè)之后,盡管已是同齡人中的佼佼者,他卻無法在蘇聯(lián)數(shù)學(xué)水平最高的莫斯科國立大學(xué)找到教職,只能就職于信息通訊問題研究所(Institute for Information Transmission Problems)。這個研究所的名字,一看就知道與馬爾古利斯所研究的數(shù)學(xué)相去甚遠。
 
但這也許并不完全是一件壞事。馬爾古利斯在研究所的同事主要研究計算機科學(xué)。有一次,他們向馬爾古利斯提到了擴展圖的概念。擴展圖是一種特殊的組合對象,在復(fù)雜度理論中,它可以將少數(shù)幾個隨機比特擴增為一大批隨機性足夠強的偽隨機數(shù)來提供給隨機算法使用。因此,研究者會利用它將某些隨機算法“去隨機化”,將其轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定性的算法。但在1973年,人們只知道擴展圖必定存在,但卻沒有人知道如何明確構(gòu)造一系列的擴展圖。馬爾古利斯聽到這個問題之后不久,就找到了一個明確的構(gòu)造回答了這一問題,而他的構(gòu)造利用了他在研究半單李群格子群時用到的所謂“卡日丹(Kazhdan)性質(zhì)(T)”,一個牽涉代數(shù)表示論的性質(zhì)。深奧的代數(shù)結(jié)論帶來的重要構(gòu)造,在計算機科學(xué)的歷史上可以說鳳毛麟角,而這一跨界行為也展現(xiàn)出馬爾古利斯解決各種問題的能力。
 
 擴展圖
圖源:https://www.researchgate.net/figure/Ramanujan-expander-graph-GV-E-X-X-5-17-with-18-nodes-where-each-node-has-6_fig2_224675919
 
然而,馬爾古利斯之后的跨界更為驚人。
 
我們在中學(xué)都學(xué)過多項式,比如說xy+yz+xz就是一個三元二次多項式。不僅如此,因為它的每一項都是二次的,所以我們也說它是一個齊次的多項式。數(shù)學(xué)家猜想,對于至少包含三個變量的實數(shù)多項式,假設(shè)它的取值可以為正也可以為負,而且所有系數(shù)同時除以任何實數(shù)都不會同時得到有理數(shù)的話,那么隨便選取一個實數(shù)x,都能找到一些整數(shù),將它們代入多項式之后得到的值可以離x要多近有多近。這就是所謂的奧本海姆猜想,它屬于“丟番圖逼近”這一領(lǐng)域,也就是關(guān)于用整數(shù)或者有理數(shù)通過不同的方法來逼近任意實數(shù)的研究,屬于數(shù)論的范疇。
 
一般來說,丟番圖逼近的問題都不怎么容易,通常會用到分析數(shù)論或者代數(shù)數(shù)論的深奧結(jié)論。奧本海姆猜想也不例外,但那些常用方法在這里卻碰到了死胡同。但在1987年,馬爾古利斯利用遍歷理論漂亮地證明了這個猜想。他首先觀察到一個已知的結(jié)果:奧本海姆猜想等價于有關(guān)某個特殊的半單李群格子群的斷言。然后通過之前對半單李群格子群的研究,他找到了這個斷言與某些遍歷系統(tǒng)之間的關(guān)系,從而利用遍歷理論中的方法得出了證明。
 
馬爾古利斯的這一證明,給丟番圖逼近這一領(lǐng)域引入了全新的方法。自此之后,人們開始關(guān)注動力系統(tǒng)與丟番圖逼近之間的關(guān)系。而更重要的是,馬爾古利斯利用遍歷理論的方式非常新穎,從中發(fā)展出了一門名為齊性動力系統(tǒng)的全新分支,并且由此得到了大量與數(shù)論等其他領(lǐng)域相關(guān)的重要結(jié)果。
 
與弗斯滕伯格一樣,馬爾古利斯除此之外還有眾多重要的工作,但他利用動力系統(tǒng)的視角去解決代數(shù)問題,然后又在數(shù)論問題中覺察到代數(shù)結(jié)構(gòu),然后再利用動力系統(tǒng)與代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系去解決數(shù)論問題的這一洞察力實在令人贊嘆,不僅在數(shù)學(xué)的不同分支之間看到了相似的結(jié)構(gòu),而且還能活用這種相似性來解決困難的問題,甚至連解決辦法本身都引出了更深入的研究方向。毫無疑問,對于數(shù)學(xué)來說,這同樣是第一流的貢獻。
 
順帶一提,馬爾古利斯在獲得菲爾茲獎之后,雖然職位和待遇一時并沒有發(fā)生什么變化,但出國訪問比較容易獲得批準了。之后他經(jīng)常出國訪問,在蘇聯(lián)解體之后也很快移居到了美國,就任耶魯大學(xué)的教授,直到退休。
 

—6—

獎給跨界的抽象


縱觀弗斯滕伯格和馬爾古利斯的工作,可以說,他們各自的工作將動力系統(tǒng)這一原本更偏向于概率論的數(shù)學(xué)分支,與代數(shù)、組合、數(shù)論等看似風(fēng)馬牛不相及的數(shù)學(xué)分支聯(lián)系了起來,由此創(chuàng)造了新的數(shù)學(xué)分支。他們證明的結(jié)論不僅重要,而且富有洞察性,為數(shù)學(xué)開辟了新的道路。兩人都曾獲得沃爾夫數(shù)學(xué)獎,這次同時獲得沃爾夫獎這一數(shù)學(xué)界的終身成就獎,完完全全實至名歸。
 
數(shù)學(xué),是研究抽象結(jié)構(gòu)及其之間關(guān)系的學(xué)科。雖然數(shù)學(xué)被人為分成了無數(shù)的分支,不同的數(shù)學(xué)分支有著不同的方法論,對抽象結(jié)構(gòu)的著眼點也各不相同,但抽象結(jié)構(gòu)本身卻并不專屬于任何一個分支,而是可以在截然不同的分支之中同時出現(xiàn)。然而,只有那些智者,才能洞察那些繁雜的數(shù)學(xué)分支,發(fā)現(xiàn)它們之中有著相同的抽象結(jié)構(gòu),從而將一個分支的方法,通過同一個抽象結(jié)構(gòu),用于解決另一個分支的問題。在科研越來越細化的今天,這種能力越發(fā)珍貴。

(本文作者方弦為法國居斯塔夫·埃菲爾大學(xué)計算機系副教授,業(yè)余科普工作者。)
參考資料

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[3] Eskin, Alex, "Unipotent Flows and Applications", Clay Mathematics Proceedings, Volume 10. 2010.

[4] Furstenberg, Hillel; Katznelson, Yitzhak; Ornstein, Donald Samuel. "The ergodic theoretical proof of Szemerédi's theorem". Bull. Amer. Math. Soc. 7 (3): 527–552. 1982.

[5] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Grigory Margulis", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.

[6] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Hillel Furstenberg", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.

[7] "Furstenberg and Smale Receive 2006–2007 Wolf Prize" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 54 (4): 631–632. 2007.

[8] "A biography of Grigory Margulis". The Abel Prize. Retrieved 2020-03-22.

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[10] "Citation by the Abel Committee for the Abel Prize 2020". The Abel Prize. Retrieved 2020-04-02.

[11] "Ergodic hypothesis". Wikipedia. Retrieved 2020-04-02.

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[13] "Grigory Margulis". Wikipedia. Retrieved 2020-04-02.

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