“獨(dú)孤信印”上了高考數(shù)學(xué)試卷
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撰文 | 劉 鈍
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今年全國高考理科數(shù)學(xué)II卷有一道填空題，涉及到一個(gè)叫做 “獨(dú)孤信印” 的多面體。筆者曾在《數(shù)學(xué)文化》2018年第1期發(fā)表一篇小文，詳細(xì)描繪了獨(dú)孤信印的由來、幾何構(gòu)造及求棱長的算法。不知命題人是否看過那一期的《數(shù)學(xué)文化》或推送過該文的《科學(xué)春秋》微信公眾號（獨(dú)孤信印與秦漢酒骰的幾何學(xué)），但可以肯定的是，中學(xué)數(shù)學(xué)教科書不含半正多面體的內(nèi)容，此前從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的角度來討論這一出土文物的似乎也僅見筆者一家。難怪連日來網(wǎng)上關(guān)于這道題的討論熱鬧非凡，有人留言說 “果然是獨(dú)孤天下了”，大概是說題目出得有些偏。
以下為原題：
2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)II試卷第16題
依筆者看，這個(gè)題目還是蠻好的，除了前述拙文介紹的解析幾何解法外，還可以借助普通的平面幾何、立體幾何或三角知識來解，難度不算太大，分?jǐn)?shù)比例也不高（兩小問共5分），但有利于拉開善于靈活解題考生與啃書族的差距，特別是有助于考察優(yōu)秀學(xué)生的幾何直觀。
現(xiàn)在網(wǎng)上已經(jīng)公布了所有解答題的標(biāo)準(zhǔn)解法，唯選擇與填空題只給出正確答案而不及解法。這里筆者再提供一個(gè)利用平面幾何求此半正多面體棱長的解法，關(guān)鍵是要根據(jù)提示的“所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上”畫出這個(gè)正方體來，如下圖：
48等邊半正多面體棱長與其外切正方體棱長的關(guān)系
根據(jù)形體對稱與頂點(diǎn)在正方體面上這兩個(gè)條件，可知上圖中三角形ABC是個(gè)等腰直角三角形，
至于這個(gè)半正多面體的面數(shù)，根據(jù)圖示并考慮形體的對稱性，不難看出共有26個(gè)面：其中18個(gè)為正方形，8個(gè)為正三角形。
媒體上有個(gè)留言頗合吾意，說 “終于有媒體在高考結(jié)束之后討論數(shù)學(xué)題了，算是全民數(shù)學(xué)啟蒙的開始吧，數(shù)十年來，每次高考結(jié)束，所有媒體都在討論語文試卷，討論語文作文，高考只考語文嗎？不是的，因?yàn)槊襟w記者們只看得懂語文，數(shù)學(xué)物理化學(xué)生物，理科類的高考內(nèi)容是在媒體人們的理解外的。全民科普，普及理科知識也是重中之重?。 ?至于 “沒事就應(yīng)該多帶孩子逛逛博物館”，乃至這兩天陜西省博物館里這個(gè)小物件前擠滿了學(xué)生和家長；還有對 “最牛老丈人” “最美大將軍” 的關(guān)注，那都超出筆者的預(yù)期了。
附. 立體解析幾何求棱長法
將48等邊半正多面（獨(dú)孤信印的幾何體）及其外切立方體置于三維直角坐標(biāo)系內(nèi)，如上圖。設(shè)半正多面體棱長為a，已知立方體棱長為1，則有： 
參考文獻(xiàn)：
劉鈍.2018.獨(dú)孤信印與秦漢酒骰的幾何學(xué).數(shù)學(xué)文化.第9卷第1期.62-69.（互見《科學(xué)春秋》公眾號）
2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)II試卷.
制版編輯 | 皮皮魚
