秦九韶，道古橋與《數(shù)書九章》
杭州城內(nèi)，離開西湖北岸的寶石山不遠，有一條小路叫西溪路。在西溪路的東段，與杭大路的交叉口西側(cè)（也在浙江大學西溪校區(qū)與玉泉校區(qū)之間，靠近西溪校區(qū)），有一座石橋，叫道古橋。始建于南宋嘉熙年間（1237-1241），初名西溪橋。南宋咸淳初年《臨安志》有載：“‘西溪橋’，本府試院東，宋代嘉熙年間道古建造”。這個造橋的道古不是別人，正是南宋大數(shù)學家秦九韶，道古是他的字。
道古橋在杭州的位置圖（梁津銘繪）
秦九韶（1202-1261）祖籍河南范縣，該縣位處魯豫交界處，縣城有數(shù)百年設在山東莘縣境內(nèi)，故他自稱山東魯郡人。秦九韶出生在四川普州（今成渝之間）安岳，并在那里長大。其父中過進士（據(jù)筆者了解，家鄉(xiāng)人傳秦家三代進士），曾任巴州（今川東北巴中）地方長官。1219年，巴州發(fā)生了一起兵變，促使其離開故鄉(xiāng)，調(diào)任首都臨安（杭州），全家住在西溪河畔。原來，1201年，臨安發(fā)生了一場著名的大火，燒了三天三夜，燒掉太廟、三省、六部、御史臺等，受災居民達三萬五千多家，部分朝廷命官及家眷便遷居當時屬于郊外的西溪河畔，秦家來臨安后也住那里。
九韶自幼聰穎好學，興趣廣泛，他的父親來臨安后一度出任工部郎中，后任秘書少監(jiān)，掌管圖書，其下屬機構(gòu)設有太史局，這使他有機會博覽群書，學習天文歷法、土木工程和數(shù)學、詩詞等。1225年，秦父又被任命為潼川（今四川三臺）知府，該地靠近吐蕃部落，為邊關重地。秦父決定把家眷安置在離開臨安不遠的湖州，只攜帶了心儀的小兒子九韶前往赴任。九韶曾出任擢郪縣（今三臺縣郪江鄉(xiāng)）縣尉，故也有九韶為義兵首的說法，他有領兵打仗的才能。
宋理宗趙昀，曾接見秦九韶，寵愛奸臣賈似道的貴妃姐姐。
1232年，秦九韶也考中進士，先后在四川、湖北、安徽、江蘇、江西、廣東等地為官。1236年，元兵攻入四川，嘉陵江流域戰(zhàn)亂頻繁，在故鄉(xiāng)為官的九韶不得不時常參與軍事活動。在《數(shù)書九章》序言中，九韶也對這一段生活有所描述。1238年，秦九韶回臨安丁父憂（后移居湖州，繼續(xù)為父奔喪），見河上無橋，兩岸人民往來很不便，便親自設計，再通過朋友從府庫得到銀兩資助，在西溪河上造了一座橋。
橋建好后，原本沒有名字，因橋建在西溪河上，習慣上被叫作“西溪橋”。直到元代初年，另一位大數(shù)學家、游歷四方的北方人朱世杰（1249-1314）來到杭州，才倡議將“西溪橋” 更名為“道古橋” ，以紀念造橋人、他所敬仰的前輩數(shù)學家秦九韶，并親自將橋名書鐫橋頭。
網(wǎng)友提供的原道古橋（疑似）
道古橋一直存在到新千年之交（筆者在附近居住了十九年，歷史上有無重建不得而知），因為西溪路擴建改造，原先的橋和溪流被夷（填）為平地（曾經(jīng)有過的道古橋居委會也隨之消失），并建起高樓大廈，諸如國際商務中心、浙江省國土資源廳和黃龍世紀雅苑，只留一個公交車站名道古橋（據(jù)說還有地圖上未顯示的道古橋路）。
2005年，道古橋附近天目山路（杭州東西主干道）南側(cè)西溪支流沿山河上修建了一座人行石橋（在杭大路的馬登橋和黃龍路的沿山河橋之間，離開道古橋原址約百米左右，比原先的長且寬闊）。我曾數(shù)度實地勘察，發(fā)現(xiàn)此橋跨河而建，兩岸垂柳披掛，風景優(yōu)美，且鬧中取靜，關鍵是尚未命名，故而引導我突發(fā)奇想。
道古新橋。作者攝于杭州
1244年，秦九韶任建康府（南京）通判期間，因母喪離任，回浙江湖州守孝三年。正是在這次守孝期間，秦九韶專心研究數(shù)學，完成了二十多萬字的巨著《數(shù)書九章》（1247年9月），名聲大震加上他在天文歷法方面的豐富知識和成就，曾受皇帝（宋理宗趙昀）召見。他在皇帝面前闡述自己的見解，并呈奏稿和“數(shù)術大略”或“數(shù)學大略”（即《數(shù)書九章》）?？梢哉f，秦九韶是第一個受皇帝接見的中國數(shù)學家。幾年以后，河北的數(shù)學家李冶也曾三度被忽必烈召見。
《數(shù)書九章》線裝版封面（吳文俊作序）
《數(shù)書九章》分九類十八卷，每類九個問題，應該說全面超越了古典名著《九章算術》。其中，最重要的成果無疑要數(shù)第一卷大衍類的“大衍總數(shù)術”和第九卷“市易類”的“正負開方術”?！伴_方正負術”或“秦九韶算法”給出了一般n次代數(shù)方程正根的解法，系數(shù)可正可負。此類方程求解需要迭代運算，那樣需要反復求取該多項式的值，而每次求值原本需經(jīng)n（n+1）/2次乘法和n次加法。秦九韶將其轉(zhuǎn)化為n個一次式的求解，只需n次乘法和n次加法，他并給出了最高10次21個方程的例子。直到19世紀初，這一算法才被英國數(shù)學家霍納發(fā)現(xiàn)，稱霍納算法，即便在計算機時代的今天，秦九韶（霍納）算法仍有重要的意義。
“大衍總數(shù)術”給出了孫子定理的一般表述。大約在公元四、五世紀成書的《孫子算經(jīng)》里有所謂的“物不知數(shù)”問題。即“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”“答曰二十三”。換句話說，孫子只是給出了一個特殊例子。而在江蘇淮安的民間傳說里，這個故事可溯源到公元前二、三世紀西漢名將韓信點兵的故事。
用現(xiàn)代數(shù)學語言來描述“大衍總數(shù)術”就是：設有k個兩兩互素的大于1的正整數(shù)
，其乘積為M，則對任意k個整數(shù)
，存在唯一不超過M的正整數(shù)x，x被各個相除所得余數(shù)依次為。秦九韶并給出了求解的過程，為此他發(fā)明了“輾轉(zhuǎn)相除法”（歐幾里得算法）和“求一術”。后者是指，設a和m是互素的正整數(shù)，m大于1，可以求得唯一不超過m的正整數(shù)x，使得a和x的乘積被m除后余數(shù)為1。
遺憾的是，由于古代中國沒有素數(shù)的概念（要到清朝康熙年間才有，叫數(shù)根），且當時的用途并非在理論上，而主要用于解決歷法、工程、賦役和軍旅等實際問題，秦九韶對他發(fā)現(xiàn)的定理沒有給出嚴格的證明。但對求解型的定理來說，這個并不十分重要。實際上，他還允許模不兩兩互素，并給出了可靠的計算程序?qū)⑵浠癁閮蓛苫ニ氐那樾?。值得一提的是，大衍求一術和歐拉定理是20世紀密碼學中赫赫有名的“RSA公鑰體系”中的兩個關鍵因素。
此外，秦九韶還給出了“三斜求積術”，此乃著名的海倫公式（已知三角形的三條邊長求面積）的等價形式。在第二章天時類，秦九韶給出了歷法推算和雨雪量的計算。在南京北極閣氣象博物館里，有古代著名氣象學家的雕像，其中也有秦九韶，雕像的石碑上寫著：他用“平地得雨之數(shù)”（即單位面積內(nèi)得雨）量度雨水，在世界上最早為雨量和雪量測定奠定了科學理論依據(jù)。
1801年，數(shù)學王子高斯的名著《算術研究》（第2篇第7節(jié)）里，也給出了上述“大衍求一術”，此前瑞士數(shù)學家歐拉已作了深入研究，但他們都不知道中國的數(shù)學家早已經(jīng)有這個結(jié)果。直到1852年，秦九韶的結(jié)果和方法被英國傳教士偉烈亞力（與清代數(shù)學家李善蘭合作譯完歐幾里得《幾何原本》）譯介到歐洲，他的論文《中國科學史札記》在歐洲學術界受到廣泛關注，并被迅速從英文轉(zhuǎn)譯成德文和法文，此文同時也介紹了秦九韶算法。至于何時何人命名了中國剩余定理，仍是個未解之謎，但應不晚于1929年。
《數(shù)書九章》插圖，相傳畫的是湖州飛英塔。
嚴格來講，孫子定理應稱為秦九韶定理，我在拙作 《數(shù)之書》（以及近作《經(jīng)典數(shù)論的現(xiàn)代導引》）中、英文版里也的確這么做了。之所以被命名為孫子定理，應與下文要講的秦九韶的道德疑難有關。而據(jù)筆者的先師潘承洞教授分析，西方人之所以稱其為中國剩余定理，是因為古代中國數(shù)學家注重計算，缺乏理論建樹，因而是一種輕視。無論如何，她都可以說是中國人發(fā)現(xiàn)的最具世界性影響的定理，是中外任何一本基礎數(shù)論教科書不可或缺的，同時也被拓廣到另一數(shù)學分支——抽象代數(shù)里面。此外，還被廣泛應用到密碼學，數(shù)值分析里的多項式插值計算，哥德爾不完全性定理的證明，丟番圖方程可解性的判斷（希爾伯特第十問題之否定），以及快速傅里葉變換理論等諸多領域。
德國著名數(shù)學史家莫里茨·康托爾贊揚秦九韶是“最幸運的天才”，這是因為當時西方尚未為這個命題命名。此前法國大數(shù)學家拉格朗日也是這樣稱贊牛頓的。拉格朗日認為，發(fā)現(xiàn)萬有引力定律只有一次機會。有著“科學史之父”美譽的美國科學史家喬治·薩頓認為，秦九韶是“他那個民族，他那個時代，并且確實也是所有時代最偉大的數(shù)學家之一?！?005年，牛津大學出版社出版了《數(shù)學史，從美索不達米亞到現(xiàn)代》，該書重點介紹的12位數(shù)學家中，秦九韶是唯一的中國人。
劍橋的數(shù)學橋，相傳為牛頓設計。作者攝
秦九韶造橋的故事，堪與英國數(shù)學家牛頓造橋的故事媲美?，F(xiàn)今劍橋大學的皇后學院內(nèi)，流經(jīng)的劍河上有一座橋叫數(shù)學橋，只因傳說原橋設計師是17世紀的數(shù)學家牛頓。據(jù)稱牛頓造橋時沒用到一根釘子，后來有好事者悄悄把橋拆下來，發(fā)現(xiàn)真是這樣，卻再也無法安裝回去，只好在原址重新造了一座橋。時至今日，數(shù)學橋早已成為一處名勝，可以說是到訪劍橋旅客的必游之地。
相比之下，道古橋的故事不僅更為古老（比牛頓早四個世紀），且與兩位古代大數(shù)學家有關（可惜當年宣傳甚少，甚至杭州多數(shù)數(shù)學工作者都不知道，道古即秦九韶）。如果得以（重新）命名，酌情在橋頭設立一塊石碑，必將為杭州這座歷史文化名城增添一處不可多得的科學人文景觀（此建議后來被杭州市政府采納，我并請數(shù)學家王元先生題寫了橋名）。
必須要指出的是，由于秦九韶的學術成就未被同代人認識，加上一些不好的傳聞和描述，稱其貪贓枉法、生活無度，甚至犯有人命、非復人類，他在暮年和后世成了一個有爭議的人物。所有宋史和地方志都未為秦九韶列傳，他的名字和橋名時隱時現(xiàn)，后裔也下落不明。不僅中文數(shù)論教科書里不出現(xiàn)他的名字，中國校園里也只張貼或雕塑祖沖之的像，甚至英國BBC新近制作播出的四集紀錄片《數(shù)學的故事》在夸贊他的學術成就之余（秦是唯一被提及的中國數(shù)學家，也是七位東方數(shù)學家中鏡頭最多的一位），也渲染其道德污點。
經(jīng)筆者多方求證和討教，得知有關秦九韶的傳聞主要有兩個出處，其內(nèi)容大有互通。比秦九韶年長十五歲的福建詞人劉克莊《后村先生大全集》中的《繳秦九韶知臨江軍奏狀》（1260）在前，比秦九韶小三十歲的湖州文人周密《癸辛雜識·續(xù)集》中的《秦九韶》（共兩頁，癸辛是杭州的街名，宋亡后周密留居此地）在后，后者曾被清代（乾隆年間）的《四庫全書》列入“小說家之類”流傳?？梢哉f，劉周兩人都是南宋文學史上有一定影響和地位的人。
廣東梅州，秦九韶的謝世地。作者攝
到了嘉慶年間，文理兼?zhèn)涞膿P州學派著名學者焦循，浙江巡撫、經(jīng)學家、教育家阮元，以及晚清湖州學者、藏書家陸心源等人相繼批駁周密，指其造謠誹謗，始有人為秦九韶列傳。而劉克莊生前便趨奉賈似道，被認為諛詞產(chǎn)語，連章累牘，為人所譏。1842年，《數(shù)書九章》由歷算名家宋景昌校訂后第一次印刷出版，結(jié)束了近六百年的傳抄史。之前，其抄本先后被收入明代的《永樂大典》和《四庫全書》。在傳抄過程中，一度被稱為《數(shù)學九章》，后被明末戲劇家王應遴定名為《數(shù)書九章》。從這個意義上，《數(shù)書九章》堪與荷馬史詩媲美。
必須指出的，吳潛和賈似道是宋理宗時一忠一奸的宰相，秦九韶和劉克莊分別與兩人過從甚密。吳潛出身狀元，以正直無私、憂國憂民、忠義愛國聞名，還是一代詞人、水利專家和抗倭英雄；賈似道惡貫滿盈，卻是皇帝寵愛的貴妃的同父異母弟弟，人稱蟋蟀宰相。1261年，秦九韶去世那年，年近七旬的吳潛被賈似道羅織罪名，再度被罷免宰相，流放循州（今廣東龍川），與秦九韶的謝世地梅州（今梅縣）相去不遠，且次年便暴病身亡（疑被投毒）。
吳潛是安徽寧國人（一說是湖州德清人），那里與湖州毗鄰，秦九韶在巴州任職時便與之相識，后一同在湖州丁憂母?；蛟S，秦九韶從吳潛贈送的地基上建起的房子有些奢華，引得當?shù)匚娜酥苊艿募刀?。特別是，周密是湖州本地人而秦九韶是異鄉(xiāng)人。除了擅長作詞以外，周密還愛好史學、畫帖、醫(yī)學，甚至算學。他的《志雅堂雜鈔》也是一本雜書，有趣的是，里頭居然有韓信點兵的描述，他稱之為“鬼谷算”或“隔墻算”。
秦九韶紀念館，四川安岳。作者攝
另一方面，秦九韶的駢儷詩詞也頗有造詣，并曾得著名詞人李劉指點，因此也不排除文人相輕的可能性。秦九韶的遭遇無疑是政治斗爭的犧牲品，他生命的最后六年是在梅州度過的。事實上，在金人和蒙古大軍南下時，吳潛和賈似道分屬主戰(zhàn)派和主和派。筆者曾專程前往梅州，只見周圍群山環(huán)抱，城內(nèi)主要街道栽滿了榕樹。我想起造紙術的發(fā)明人蔡倫，他和秦九韶在科學、技術上的成就在中國古代無人可以匹敵。蔡倫因為發(fā)明造紙術被封侯，晚年卻在寵愛他的皇太后過世后恥于被政敵侮辱，沐浴后穿戴整齊，喝毒藥而死。
有意思的是，后來曾有無名氏作《長相思》：“去年秋，今年秋，湖上人家樂復憂，西湖依舊流。吳循州，賈循州，十五年前一轉(zhuǎn)頭，人生放下休?！币簿褪钦f，15年以后，賈似道也被貶到當年吳潛遭貶去世的地方，且途中被富有正義感的監(jiān)押官殺死。到了清代，吳潛的后裔吳魯又考中狀元、光宗耀祖，吳氏家族多居住在福建，其中泉州涂門街的吳氏大宗祠又名東觀西臺。至于秦九韶的最后歲月、下葬地及其后裔，筆者雖曾在梅州努力探訪，仍無從知曉。假如真的如劉周文章所言，他早應被處斬或入獄，如何只是被貶官且仍“治政不輟”？
值得一提的是，《數(shù)書九章》里有一幅著名的插圖，是用來計算圖中的寶塔塔尖高度的，通過觀察角度的調(diào)整和正切函數(shù)的運用，便可以求得。這座寶塔與湖州城內(nèi)的唐代古寺飛英寺里的飛英塔造型相似，此塔內(nèi)是石塔外是磚木塔，因為塔中有塔而別具一格，屬于全國重點文物保護單位。雖然內(nèi)塔和外塔分別建于唐代和北宋年間，但在12世紀前后遭到拆毀，現(xiàn)在的塔重建于13世紀30年代，剛好在秦九韶寓居湖州之前。
最后，我想談談秦九韶為《數(shù)書九章》這部唯一的著作所作的序詩（每卷一首）和序言。第一卷是大衍類，即最有價值的一次同余式求解理論。他在這卷序詩里寫道，“巍巍昆侖，氣勢磅礴；世界本原，在于數(shù)學。”第二卷是關于天文歷法，序詩曰，“七大行星，蒼穹回旋；世間諸事，變化多端。”第三卷是關于土地面積測量，序詩的開頭是，“百姓雖小，當放首位；審時度勢，以觀世界?！?/span>
接下來的幾卷先后涉及測量計算、運輸稅收、糧谷容積、建筑施工、軍需供應、交易利息等。在賦役一卷中他寫道，“當官的要施仁政，為民著想，設身處地，猶如自己挨餓受災。如果賦稅徭役分配不均，難道能讓人心安理得嗎?”因此可以說，這部著作不只談論數(shù)學，還涉及自然現(xiàn)象和社會生活，成為后人了解當時社會政治和經(jīng)濟生活的重要參考文獻。
秦九韶紀念館，四川安岳。作者攝
在“錢谷”一卷，序詩更是針砭時弊，有理有據(jù)?！凹{糧上稅，要看等級，糧食入庫，要看時節(jié)。一粒粒粟，一寸寸絲， 都是男女勞動所得?！薄斑_官貴人相互攀緣，欺榨百姓，大小貪官，用盡心機。”“治理財政，理當猶如智者治水。正本清源，有條不亂，治標治本，消除隱患?！薄澳切┗韫僖暥灰姡嗣癖瘧K，用刑不斷。離開理智愈來愈遠，為官不仁！可嘆可嘆！”
在序言的開頭，秦九韶便提到，周朝數(shù)學屬于“六藝”（禮、樂、射、御、書、數(shù)）之一。學者和官員們歷來重視、崇尚數(shù)學。人們因為要認識世界的規(guī)律，產(chǎn)生了數(shù)學。從大的方面說，數(shù)學可以認識自然，理解人生；從小的方面說，數(shù)學可以經(jīng)營事務，分類萬物。秦九韶堅信，世間萬物都與數(shù)學相關，這與古希臘的畢達哥拉斯學派不謀而合。
蔡天新在南京北極閣氣象博物館秦九韶塑像旁
這也正是數(shù)學吸引秦九韶的地方，他向?qū)W者、能人求教，深入探索數(shù)學之精微?！拔以谇嗌倌陼r代曾隨父親到過都城臨安，有機會訪問國家天文臺的歷算家，向他們學習歷算。此外，我還從隱君子那里學習數(shù)學?！边@里的隱君子并非指吸毒（煙）成癮的人，而是指隱居逃避塵世的人。其時，元軍入侵四川，九韶有時卻不得不在戰(zhàn)亂中長途跋涉，可是他仍不忘鉆研數(shù)學。
與此同時，秦九韶也感嘆，數(shù)學家的地位和作用，而今不被人們所認識，這里他主要指的是純粹數(shù)學和暫時無法用到的方法技巧。他認為，數(shù)學這門學問遭到鄙視，算學家只被當作工具使用，這就猶如制造樂器的人，僅僅撥弄出樂器的聲音。“原本我想要把數(shù)學提升到哲理（道）的高度，只是實在太難做到了?！庇纱宋覀兛梢酝茢?，這是一位有思想有品味的人，與傳言中的秦九韶實難相符。時光流逝了七個多世紀，秦九韶的道德污點也成為古代中國科學史上最大的疑案。
2012年5月，杭州
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作者簡介
蔡天新
浙江大學數(shù)學學院教授、博士生導師、求是特聘學者，近作有《小回憶》增訂版、《26城記》、《數(shù)學與藝術》、《經(jīng)典數(shù)論的現(xiàn)代導引》（中、英文版）、《完美數(shù)與契波那契序列》（即出），主編《地鐵之詩》、《高鐵之詩》。
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