從一聲啁啾中，如何窺得一絲宇宙的奧秘？ | 天問專欄
?圖片來源： LIGO/T. Pyle
導(dǎo)讀：
2015年9月14日，人類首次捕獲來自雙黑洞合并的引力波，似一聲鳴啼，就此開啟了引力波天文學(xué)的新時(shí)代。隨著引力波探測水平的不斷進(jìn)步，我們有望在不遠(yuǎn)的將來聽見數(shù)以千計(jì)的啁啾（zhōu jiū）。
物理學(xué)家如今正在思考，如何從這些啁啾所攜帶的豐富信息中提取雙黑洞軌道的形狀，進(jìn)而了解其周邊環(huán)境的特征。利用這些線索，我們也許有機(jī)會解密隱藏在黑暗宇宙中最引人入勝的玄機(jī)。
本期《天問專欄》將從一聲啁啾中，窺得一絲宇宙的奧秘。
撰文 | 鮮于中之
責(zé)編 | 呂浩然
天問專
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在虛茫無垠的宇宙深處，曾有兩顆30倍太陽質(zhì)量左右的黑洞，彼此環(huán)繞，逐漸靠近，經(jīng)過了不知多久的相伴，終于在幾秒鐘內(nèi)完成了最后一千米的沖刺，劇烈地?fù)肀г谝黄?。隨后，相當(dāng)于3個(gè)太陽的質(zhì)量化為時(shí)空的顫栗，飛散開來。這瞬間的能量，比宇宙中所有已知星系發(fā)出的光還要強(qiáng)10倍。
此后，時(shí)空的漣漪以光速飛行了上億年，終于在2015年9月14日到達(dá)地球。那一天，在美國激光干涉引力波天文臺（LIGO）兩架巨大且精致的干涉儀中，懸掛的鏡面在這漣漪的擾動下出現(xiàn)了異乎尋常的抖動。而抖動的幅度，比原子核的尺寸還要小許多。不過，LIGO的鏡面仿佛極端靈敏的鼓膜，足以聽清那抖動中所攜帶的信號，猶如一聲短促的啼鳴。這就是人類首次直接觀測到的引力波信號，科學(xué)家稱之為GW150914。
?視頻1: 引力波的啁啾，視頻來源：LIGO
像GW150914這樣來自雙體系統(tǒng)合并的引力波信號，LIGO和VIRGO目前已公布了六例，其中一例來自一對中子星（GW170817），伴有各波段的光學(xué)信號。隨著今后LIGO和VIRGO靈敏度的進(jìn)一步升級、以及更多地面與空間引力波探測器的加入，我們對引力波的聽覺將會愈加靈敏。
據(jù)現(xiàn)有觀測結(jié)果預(yù)計(jì)，在LIGO以接近其設(shè)計(jì)靈敏度的水平運(yùn)行時(shí)，一年的觀測時(shí)間將能捕獲成百上千的雙黑洞合并。這樣的統(tǒng)計(jì)量將在真正意義上開啟引力波天文學(xué)和宇宙學(xué)的新時(shí)代。自此以往，人類就擁有了一種傾聽宇宙的全新感官，幫助我們探索視線難以觸及的未知世界。
你也許會好奇，同樣是雙黑洞合并，一次事件與一千次事件，有何區(qū)別？收集一千個(gè)事例，難道只是為了將愛因斯坦百年前的預(yù)言驗(yàn)證一千次？若是這樣，這篇文章就要到此為止了。實(shí)際上，相較于個(gè)別的獨(dú)立事件，物理學(xué)家對事件背后的統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)更感興趣，因?yàn)檫@些關(guān)聯(lián)也許能幫助我們回答一些非?；镜膯栴}。在物理學(xué)家看來， 陣陣啼鳴的背后另有玄機(jī)。也許，它們能幫助我們檢驗(yàn)各種關(guān)于萬有引力的基本理論，或者，它們能幫助我們識別暗物質(zhì)和暗能量的蹤跡。
對于這些基本的問題，我們目前還無從回答。但無論如何，它們的答案必須從傾聽和分析引力波的聲音中揭曉，而這就需要我們對雙黑洞合并的啼鳴有足夠好的理解。因此，我們將在這篇文章中從一個(gè)更具體地問題出發(fā)，為讀者展示如何通過聽辨雙黑洞合并的啼鳴來獲知它們背后的物理。這個(gè)問題很好陳述：就好像我們從一個(gè)人說話的口音大致可以推測他的故鄉(xiāng)一樣，我們想知道，雙黑洞合并的鳴啼聲的音調(diào)和音色中隱藏著多少關(guān)于它們“故鄉(xiāng)”的訊息。為了解釋這個(gè)問題，讓我們先對黑洞的啁啾做一點(diǎn)初淺的解析。
?圖1: LIGO擬合GW150914信號的波形模版，顯示了雙黑洞合并引力波信號的三階段。圖片引自：Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016)
從雙黑洞合并的引力波波形中（圖1），我們可以辨認(rèn)出三個(gè)階段。在持續(xù)時(shí)間最長的第一階段，引力波的幅度緩慢增加、頻率逐漸升高。這一階段稱為“旋近”（圖1中inspiral部分），因?yàn)樗鼘?yīng)于一對黑洞在各自引力的作用下圍繞對方相互旋轉(zhuǎn)。
與此同時(shí)，它們的間距由于引力波輻射帶走能量而逐漸縮小。LIGO只能捕捉到這一極為漫長的階段最后的尾聲。這是因?yàn)?，如同人耳有一定的聽覺范圍（約20Hz至20000Hz），LIGO的聽覺范圍也有限（約10Hz至數(shù)千Hz）。
在短暫的第二階段，引力波的波幅達(dá)到極大，呈現(xiàn)出劇烈的振蕩，這對應(yīng)于雙黑洞快速的“合并”（圖1中merger部分）。在第三階段，波幅迅速衰減，最終歸于靜寂。這對應(yīng)于雙黑洞合并的產(chǎn)物通過引力波釋放能量，最終形成一個(gè)穩(wěn)定的新黑洞。因此，這最終的階段稱為“鈴宕”（圖1中ringdown部分）。
在物理學(xué)家看來，“合并”階段的信號最為復(fù)雜難解。由于此時(shí)黑洞的相互旋轉(zhuǎn)速度快、引力強(qiáng)，通常的低速弱場近似都失效，因而只能在廣義相對論的框架下，通過數(shù)值計(jì)算的方式進(jìn)行研究。與此相對，我們有足夠好的近似理論處理旋近和鈴宕兩個(gè)階段，因而有機(jī)會從中提取很多寶貴的信息。比如，鈴宕的過程，就可以看作高度激發(fā)的黑洞向基態(tài)衰變的過程，因此鈴宕的信號可以幫助我們了解黑洞激發(fā)態(tài)的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而了解黑洞自身的結(jié)構(gòu)。
而在旋近階段，雙黑洞間的引力不算強(qiáng)，旋轉(zhuǎn)的速度也不太快。比如，一對總質(zhì)量為太陽20倍的雙黑洞在進(jìn)入LIGO的觀測窗口時(shí)，其旋轉(zhuǎn)速度大致為光速的六分之一。因此，我們可以用牛頓力學(xué)作為零級近似，將相對論效應(yīng)視作微擾，按黑洞速度與光速的比值作系統(tǒng)的微擾展開。這種方法，叫做“后牛頓展開”（post-Newtonian expansion）。
用牛頓力學(xué)處理雙體系統(tǒng)的運(yùn)動，就是后牛頓展開的領(lǐng)頭階。在這一級近似下，處于圓軌道的雙體系統(tǒng)，激發(fā)的引力波頻率恰好是繞軌道旋轉(zhuǎn)頻率的兩倍。由于引力波會從雙體系統(tǒng)中帶走能量，隨著時(shí)間的推移，二者的間距會逐漸縮小，旋轉(zhuǎn)速度逐漸加快，頻率逐漸升高。
因此，引力波在領(lǐng)頭階呈現(xiàn)出頻率隨時(shí)間升高的單頻音，這就是雙黑洞“啁啾信號”（chirp signal）的由來。從啁啾音調(diào)上揚(yáng)的快慢，我們可以“聽”出雙黑洞總體的輕重，而從這信號幅度的大小，則可以聽出雙黑洞的遠(yuǎn)近——因?yàn)檎穹趥鞑サ倪^程中會衰減，與傳播的距離成反比。
領(lǐng)頭階的引力波只能告訴我們兩顆黑洞總體有多重。要為每顆黑洞單獨(dú)稱重，需要進(jìn)入后牛頓展開的下一階。后牛頓展開的高階修正里隱藏著豐富的信息，除了每顆黑洞的質(zhì)量外，還有它們的自旋。對于雙中子星系統(tǒng)，高階修正里還攜帶著關(guān)于中子星物態(tài)的信息。不過，我們不再繼續(xù)討論高階修正，而是在領(lǐng)頭階，討論一個(gè)更有趣的問題：如何改變雙體系統(tǒng)引力波的音色。
人們能夠輕易地分辨出小提琴和長笛的聲音，是因?yàn)樗鼈冇胁煌囊羯?。音色反映了聲波中不同頻率成分的相對比重，對于引力波亦是如此。上文提到，啁啾信號在領(lǐng)頭階是單頻信號，仿佛一支音調(diào)隨時(shí)間升高的音叉。
這單頻信號背后的原因在于，雙黑洞沿圓軌道的旋轉(zhuǎn)在一個(gè)周期內(nèi)近乎勻速。倘若將軌道改為橢圓，黑洞的速度在同一周期內(nèi)就會有快有慢。這種不均勻的運(yùn)行，就會產(chǎn)生頻率為軌道頻率各個(gè)正整數(shù)倍的諧波，黑洞就有了不同的音色。
不難想象，黑洞軌道越扁，引力波的頻譜就越偏離圓軌道的單頻信號。因此，我們從啁啾信號的音色，就可以辨認(rèn)出軌道的形狀。橢圓軌道“扁”的程度由離心率刻畫。離心率的取值在0到1之間，0對應(yīng)于正圓，而越接近1就越扁。下面的視頻是用后牛頓近似的領(lǐng)頭階計(jì)算模擬出的不同離心率軌道的啁啾，你聽出它們的區(qū)別了嗎？（視頻2）
?視頻2: 具有不同軌道離心率的雙體系統(tǒng)在旋入階段產(chǎn)生的引力波輻射，視頻中四段聲音的離心率e分別為0，0.1，0.4，0.7。
實(shí)際上，在LIGO已公布的雙體合并事件中，引力波信號都十分接近完美的圓軌道，沒有明顯的離心率。比如，GW150914中雙黑洞軌道的離心率小于0.1。然而，這并不出乎意料。根據(jù)牛頓力學(xué)，能量決定了橢圓軌道的半長軸，角動量則決定了它的離心率。引力波不僅會從雙體系統(tǒng)中帶走能量，也會帶走角動量，因此在縮小軌道尺寸的同時(shí)，也會改變軌道的形狀，仿佛在不停地“打磨”它。
計(jì)算顯示，在漫長的旋近過程中，引力波會非常高效地將橢圓軌道磨得越來越圓。由于LIGO只能探測該過程的最后一瞬，即使雙體系統(tǒng)在更早的某一時(shí)刻具有相當(dāng)大的離心率（即軌道呈非常扁的橢圓），經(jīng)過引力波漫長地打磨，在進(jìn)入LIGO的觀測范圍之后，原有的離心率也早已被打磨干凈，難覓蹤影。
所以，如果LIGO聽見了橢圓軌道的啁啾，大體上只有兩種可能?；蛘?，這對黑洞的軌道曾經(jīng)具有非常大的離心率，直到進(jìn)入LIGO窗口時(shí)還沒有被引力波打磨殆盡；再或者，兩顆黑洞原本不是一對，它們只是碰巧，幾乎頭對頭地撞在一起，同時(shí)闖入LIGO的聽覺窗口。
對于孤立的雙黑洞而言，這兩種可能性都極難實(shí)現(xiàn)。粗略地講，它們都要求雙黑洞在形成的時(shí)刻對彼此有近乎完美的瞄準(zhǔn)：想象在太陽和地球的位置上各有一顆黑洞飛向彼此。如果它們在進(jìn)入LIGO窗口時(shí)具有可觀的離心率，就必須將瞄準(zhǔn)的誤差控制在千公里的量級。換言之，百步穿楊還不夠，你得在百步之外打中樹葉上一條指定的葉脈才行。
看來，如果我們在LIGO中觀測到橢圓軌道的雙體系統(tǒng)，很可能意味著這對雙體系統(tǒng)并不孤立，而是受到了周遭環(huán)境的影響。不過，通過周邊的物質(zhì)分布來擾動雙黑洞的軌道，也是極為困難的事情。因?yàn)?，雙黑洞系統(tǒng)異常地致密而“堅(jiān)硬”。
這并不難理解：當(dāng)一對總質(zhì)量數(shù)十倍于太陽的黑洞進(jìn)入LIGO的探測器時(shí)，它們的軌道間距只有區(qū)區(qū)幾千公里。要知道，太陽的半徑也有70萬公里。所以，就算你在雙黑洞周圍堆滿太陽，其密度也只有雙黑洞系統(tǒng)的億分之一。
或許你已經(jīng)想到，我們可以在雙黑洞信號進(jìn)入LIGO探測器之前，在它們軌道間距更大、還不那么堅(jiān)硬的時(shí)期去干擾它們、為它們的軌道“注入”額外的離心率。這當(dāng)然可能，可是別忘了，引力波在一刻不停地打磨軌道。你擾動得越早，就得克服越長久的打磨。
因此，通過擾動注入的離心率就必須足夠大才行?？墒?，期望隨機(jī)偶遇的第三者來注入足夠大的離心率，無異于守株待兔。事實(shí)上，更好的辦法是，通過一種持續(xù)的擾動，以相干共振的方式來注入離心率。這就是下一小節(jié)要介紹的“古在機(jī)制”（Kozai mechanism）。
古在機(jī)制，是通過第三者的潮汐力為雙體系統(tǒng)注入離心率的一種方式，最初由物理學(xué)家米哈伊爾·里多夫（Mikhail Lidov）和古在由秀（Yoshihide Kozai）發(fā)現(xiàn)于上世紀(jì)六十年代[1]。為了解釋這種機(jī)制，讓我們將眼下的雙體系統(tǒng)看作整體，稱為“小雙體”，并將它與居于遠(yuǎn)處的第三者一道，看作一個(gè)更大的雙體系統(tǒng)，稱為“大雙體”。
這樣的三體系統(tǒng)，稱為“分級三體”（hierarchical triple）。它其實(shí)很常見：太陽、地球、月亮就可以看作分級三體。其中，地球與月亮構(gòu)成小雙體，而地月系統(tǒng)作為整體，與太陽一道構(gòu)成大雙體。
小雙體系統(tǒng)兩個(gè)成員的空間位置不同，感受到第三者的引力也不同。兩者感受的引力差，就是第三者對小雙體系統(tǒng)的潮汐力。古在機(jī)制說，當(dāng)小雙體的軌道面相對于大雙體的軌道面有很大的傾角時(shí)（大于39度），第三者的潮汐力就會觸發(fā)小雙體軌道的離心率與傾角的周期振蕩。
特別是，如果初始的軌道傾角非常大，比如說90度左右，那么小雙體軌道的離心率就可以非常接近1，也就是變得非常扁（圖2）。幸好，月球軌道相對于黃道面的傾角只有5度，不足以激活古在機(jī)制。否則，月球軌道很大的離心率意味著地月距離將發(fā)生大幅振蕩，對地球上的生物無疑是一場災(zāi)難。
?圖2: 小雙體系統(tǒng)軌道的離心率e隨時(shí)間的演化。前半段呈現(xiàn)出古在機(jī)制引起的振蕩，振幅和周期的變化來自相對論修正。在最后階段，引力波迅速將軌道磨圓。
古在機(jī)制是合成高離心率雙體系統(tǒng)的理想方式，然而要實(shí)現(xiàn)它就需要分級三體。在星系中，我們該去哪里尋找這樣的三體系統(tǒng)呢？構(gòu)成分級三體的恒星系統(tǒng)在星系盤中并不罕見，可是，要找到LIGO足以觀察到的三黑洞系統(tǒng)，就不那么容易了。要想大量合成這樣的黑洞三體，就必須借助非常稠密的環(huán)境。在星系里，物質(zhì)分布最密集的區(qū)域要屬球狀星團(tuán)和星系中心（圖3）。
?圖3: 美麗的草帽星系（Sombrero Galaxy），距離地球約三千萬光年。星系暈中許多不起眼的亮點(diǎn)，就是球狀星團(tuán)，而在該星系中心則很可能有一個(gè)10億倍太陽質(zhì)量的特大質(zhì)量黑洞，圖片來源：NASA/ESA and The Hubble Heritage Team (STScI/AURA)
球狀星團(tuán)，是散布在星系暈中的球狀密集區(qū)域，它們可能是星系中最早形成、最古老的群體，其中密布著大量恒星質(zhì)量或更重的天體。據(jù)理論推測，球狀星團(tuán)可能富含雙體黑洞，而兩個(gè)黑洞雙體系統(tǒng)通過散射，就有機(jī)會合成一個(gè)穩(wěn)定的分級三體系統(tǒng)。因此，球狀星團(tuán)被認(rèn)為是合成三體黑洞的理想場所[2]。
另一方面，星系的中心一般會有一個(gè)特大質(zhì)量黑洞（supermassive black hole），質(zhì)量可達(dá)太陽的十萬倍到十億倍。在特大質(zhì)量黑洞附近，也許會有豐富的恒星質(zhì)量級別的雙黑洞系統(tǒng)。這些雙黑洞與中心的大黑洞一道，也構(gòu)成分級三體系統(tǒng)[3]。
在球狀星團(tuán)和星系中心這些稠密且富含雙黑洞的區(qū)域，雙黑洞都有可能通過古在機(jī)制獲得很高的離心率。雙體系統(tǒng)的高離心率將會大幅增強(qiáng)引力波的輻射，繼而提高雙黑洞間距縮小的效率、縮短黑洞合并所需的時(shí)間。據(jù)推測，在LIGO與未來的引力波探測器將能捕捉到的雙體合并事件中，由古在機(jī)制造成的橢圓軌道信號會有相當(dāng)可觀的貢獻(xiàn)。
由上可見，LIGO中音色異乎尋常的橢圓軌道雙體系統(tǒng)，很可能來自星系中最為稠密的區(qū)域。當(dāng)我們擁有足夠的統(tǒng)計(jì)量時(shí)，就能夠?qū)ふ疫@些事件中離心率的統(tǒng)計(jì)分布以及它們與其它參數(shù)的關(guān)聯(lián)。由于這些關(guān)聯(lián)非常依賴雙黑洞周遭的環(huán)境，對它們的測量和分析就可以幫助我們分辨這些雙黑洞的合成途徑，甚至幫助我們提取雙黑洞所在環(huán)境的信息。
我們現(xiàn)在對特大質(zhì)量黑洞附近的物質(zhì)分布還知之甚少：恒星如何分布？黑洞如何分布？更進(jìn)一步：不同的暗物質(zhì)模型對這些分布會有怎樣的貢獻(xiàn)、對引力波信號各參數(shù)的統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)會有怎樣的影響？所有這些，在目前都還是有待探索的開放問題。
物理學(xué)家通常使用大量的數(shù)值模擬來推測這些條件對可觀測量的影響。與此同時(shí)，也有研究開始試圖用解析的方法將雙黑洞合成時(shí)的初條件直接映射到可觀測量的分布，以期獲得雙黑洞演化更清晰的物理圖像，并提高分析的效率[4]。
這些研究顯示，通過古在機(jī)制等方式造就的橢圓軌道雙體系統(tǒng)在進(jìn)入LIGO探測器之后，大多數(shù)事例的離心率仍然很小。非常粗略地估計(jì)，90%以上事例在進(jìn)入LIGO窗口時(shí)的離心率會小于0.1，而LIGO能夠分辨的最小離心率也許可達(dá)百分之幾。因此，LIGO有望繪制出一幅漂亮的離心率分布圖，只是它并不完整。
受探測頻率范圍所限，LIGO這類地面探測器只能聽見雙黑洞合并剎那的絕唱。而在此之前，這些雙體系統(tǒng)在其漫長的生命歷程中也在不斷釋放頻率更低、持續(xù)時(shí)間更長的引力波，如同暗弱而低沉的笛聲。要捕捉這些信號，就必須借助空間引力波探測裝置。
在地面和空間的引力波探測器的協(xié)同觀測下，我們將能夠通過多個(gè)聲道，監(jiān)聽雙黑洞系統(tǒng)更長、更完整的生命歷程。我們還將有機(jī)會捕捉到其它種類的引力波源，更全面地還原來自宇宙暗處的引力波交響曲。而LIGO捕捉到的啁啾，只不過是這部交響曲的高聲部。
言及此處，讓我們不要忘記，宇宙中大約95%的能量都隱沒在暗物質(zhì)和暗能量的黑暗世界中，我們對它們零星的了解，全都依賴它們與可見物質(zhì)的引力作用。引力波天文學(xué)與宇宙學(xué)的重要意義，由此不言而喻。說不定，這部用引力波演奏的天籟交響曲，能夠幫助我們理解黑暗宇宙最深刻的奧秘也未可知。
作者簡介
· 鮮于中之，物理學(xué)博士。2015年畢業(yè)于清華大學(xué)，目前在哈佛大學(xué)從事博士后研究，研究方向?yàn)榱Ｗ游锢砗陀钪鎸W(xué)理論，最近的研究興趣包括暴脹理論、原初擾動與新物理、引力波等。
參考文獻(xiàn)：
[1] M. L. Lidov and S. L. Ziglin, Celestial Mechanics, 13, 471 (1976)
[2] L. Wen, Astrophys. J. 598, 419 (2003) [arXiv:astro-ph/0211492].
[3] F. Antonini and H. B. Perets, Astrophys. J. 757, 27 (2012) [arXiv:1203.2938 [astro-ph.GA]].
[4] L. Randall and Z. Z. Xianyu, Astrophys. J. 853, 93 (2018) [arXiv:1708.08569 [gr-qc]]; arXiv:1802.XXXXX.
