席卷六合 美玉微瑕 | 流體江湖風(fēng)云錄·柯老邪篇（叁章）
?安德雷·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov），來源：kolmogorov.com
編者按：
桃花影落飛神劍，碧海潮生按玉簫。
東邪黃藥師，天下五絕之一，武功超凡脫俗，已臻化境。他聰明絕頂，博覽群書，兼學(xué)百家，志趣深遠(yuǎn)。上通天文，下知地理，五行八卦、奇門遁甲、琴棋書畫、醫(yī)卜命相、術(shù)數(shù)縱橫，乃至農(nóng)田水利、經(jīng)濟(jì)兵略等亦無一不曉，無一不精。他薄湯武，非周孔，漠視禮法卻珍視大節(jié)，恃才傲物卻難掩溫情。他獨(dú)居?xùn)|海孤島，不問世事，快意瀟灑，卻在南宋江山岌岌可危之際，義助襄陽，主持戰(zhàn)局。此等人物，雖有沽名之嫌，遷怒之過，仍不得不為我輩所神往也。
而在流體力學(xué)發(fā)展的長河中，也曾有過這樣一位全才大師，以神來之筆在現(xiàn)代湍流發(fā)展史上寫下了濃墨重彩的一章。此人之才情，比之黃老邪亦有過之而無不及。他便是蘇聯(lián)數(shù)學(xué)大師安德雷·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov），“柯老邪”是也。
作者 | 潘玉林（麻省理工學(xué)院機(jī)械系博士生）
責(zé)編 | 呂浩然
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上回說到：在柯老邪劍指湍流領(lǐng)域的過程中，一座雄壯的樓閣也隨之拔地而起。最終，湍流界的九陰真經(jīng)——K41理論終成，為后世湍流結(jié)構(gòu)研究奠定了牢不可破的基礎(chǔ)。
前世今生
在科學(xué)發(fā)展史上，不乏有這樣一些理論，它們的光芒絢麗奪目，如一盞明燈，驅(qū)散了當(dāng)世的黑暗，點(diǎn)亮了后世的道路。然而，當(dāng)你回首來時(shí)路，卻發(fā)現(xiàn)理論的創(chuàng)立過程似乎平凡至極。它們?nèi)缤挿咫S意揮灑的太祖長拳，楊過大巧似拙的玄鐵重劍，看似平淡無奇卻又威力無窮。
柯老邪的K41理論也正是如此。他以一個(gè)物理假設(shè)為起點(diǎn)，以能級串過程為基礎(chǔ)，將問題層層肢解，直擊湍流的要害。整個(gè)過程一氣呵成，既無紛擾繁復(fù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，亦無艱深晦澀的數(shù)學(xué)證明。是何原因，讓一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)家敢于做出如此大膽的物理設(shè)想呢？
古人云：格物致知?？吕闲皩τ谕牧魑锢砟Ｐ偷耐茰y首先要?dú)w功于他對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析的數(shù)年之功。在專著“數(shù)學(xué)與力學(xué)”中，他這樣回憶自己初涉湍流領(lǐng)域時(shí)的想法：“我很快便意識到想要建立一套嚴(yán)格的純數(shù)學(xué)理論是不可能的。因此根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析來建立一些假想是湍流研究的必經(jīng)之路。（It soon became clear to me that there was no chance to develop a closed purely mathematical theory. For lack of such a theory it was necessary to use some hypotheses based on the results of treatment of experimental data.）” 柯老邪雖然自己不做實(shí)驗(yàn)，卻對于收集和分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)樂此不疲。在K41理論建立的三十年后，柯老邪還以暮年之身遠(yuǎn)航全球，為收集海洋湍流數(shù)據(jù)不懈努力著。
其次，柯老邪深厚的數(shù)學(xué)理論功底也不可或缺。今世的大多數(shù)流體力學(xué)教科書，提及K41理論必稱其為量綱分析之典范，如此或可使學(xué)生對于2/3律的推導(dǎo)過程有一個(gè)直觀的了解，卻往往忽視了柯老邪基于納維-斯托克斯方程對于湍流場分析的理論之功。提及這一時(shí)期莫斯科學(xué)派對湍流的理論分析，有兩項(xiàng)工作不得不談。
其一為奧布科夫于1941同年所發(fā)表的關(guān)于湍流能量譜的文章?；诳吕闲扒耙荒陮Ω怕收撝须S機(jī)過程能量譜的闡述，奧布科夫從納維-斯托克斯方程出發(fā)建立了湍流能量譜的半經(jīng)驗(yàn)式方程。此方程描述了這樣的物理過程：湍流能量在某一尺度上隨時(shí)間的變化與不同尺度渦結(jié)構(gòu)相互作用以及小尺度粘性耗散有關(guān)。
通過求解此方程，奧布科夫得到了與2/3標(biāo)度律所等價(jià)的湍流能量譜表述：E(k)～k-5/3 （k為波數(shù)，即尺度的倒數(shù)）。這兩篇文章于1941年同時(shí)發(fā)表?；蛟S由于柯老邪的方法更為簡潔明晰且適用度更為廣泛，世人對其更為青睞，因而忽視了奧布科夫的貢獻(xiàn)。但柯老邪本人卻對奧布科夫的工作十分尊敬，言必稱K41理論是他與奧布科夫共同所創(chuàng)，是以應(yīng)稱之為KO41理論更為妥帖。
其二為米林斯奇科夫于1941年所得到的對于湍流脈動速度二元關(guān)聯(lián)函數(shù)的控制方程。這項(xiàng)工作推導(dǎo)了脈動速度關(guān)聯(lián)函數(shù)的逐級表達(dá)方式，并通過四元函數(shù)與二元函數(shù)的聯(lián)系使控制方程閉合。其方法可視為后世計(jì)算機(jī)湍流模擬的鼻祖之一，功莫大焉。
而在同時(shí)代的中國，一位物理學(xué)家于1940年在“中國物理學(xué)報(bào)”上發(fā)表了題為“論雷諾求似應(yīng)力的方法的推廣和湍流的性質(zhì)”的文章，其方法與米林斯奇科夫有著異曲同工之妙。此人就是周培源先生，這也正是他被尊為“湍流模擬之父”的原因。
?周培源（1902 - 1993）
一招平淡無奇的量綱分析背后竟然蘊(yùn)涵著如此深厚的理論與實(shí)驗(yàn)之功。所謂重劍無鋒，大巧不工，劍招的威力并非在于劍鋒，而在于用劍之人的修為。唯有修為至深之人，方能化繁為簡，以拙勝巧。
更為有趣的是，據(jù)柯老邪弟子亞格洛姆回憶，米林斯奇科夫并非隨機(jī)場領(lǐng)域的專家。亞格洛姆因此推斷1941年關(guān)于湍流脈動速度關(guān)聯(lián)函數(shù)的文章一定是柯老邪親力親為的結(jié)果。米林斯奇科夫同時(shí)期的另一名弟子謝爾蓋·福明（Sergei Fomin）則證實(shí)了亞格洛姆的這一推測。無獨(dú)有偶，類似的事情也發(fā)生在亞格洛姆本人身上。1956年，柯老邪在一篇有關(guān)信息論的文章中宣稱其引入的某方程乃亞格洛姆之首創(chuàng)。而亞格洛姆本人卻對此毫不知情，直至看到柯老邪的文章后才意識到這個(gè)方程的存在。當(dāng)柯老邪被問及此事時(shí)，他含糊地回答說：自己的想法是在跟亞格洛姆某次談話之后產(chǎn)生的，因此這個(gè)方程應(yīng)該歸功于亞格洛姆。
諸如此類的莫名之喜在柯老邪的弟子中比比皆是。而對于柯老邪，或許其真正偉大的力量來源于心底的無私。
嗚呼哀哉，縱觀當(dāng)今天下，虛譽(yù)欺人而利欲熏心者有之，不學(xué)無術(shù)而搖唇鼓舌者有之，百無一能而大言不慚者有之，粗鄙齷齪而畏強(qiáng)凌弱者有之。江湖之上，投器使毒者眾多，內(nèi)修外斂者罕有，實(shí)可嘆大師凋零，人心不古也。
美玉微瑕
如果從一個(gè)很大的時(shí)間尺度上看歷史，似乎一切都按部就班，循規(guī)蹈矩。而如果身處某一時(shí)代的小尺度中，卻很難不被時(shí)代的任何異動所驚擾，仿佛一切都是這個(gè)時(shí)代跟人類開的一個(gè)個(gè)玩笑。物理學(xué)的發(fā)展亦是如此，在山重水復(fù)中柳暗花明，在一片坦途上卻又枝節(jié)橫生。
我們看到，在湍流這片混沌未開的亂世江湖中，柯老邪憑借一招量綱分析獨(dú)創(chuàng)K41理論，劍攜萬鈞之勢，隱隱有包舉宇內(nèi)，席卷六合，并吞八荒之意。天下學(xué)派云集響應(yīng)，似乎一統(tǒng)江湖即日可期。在如此大好形勢之下，誰又能料想，前路依然荊棘密布。而這一切困難險(xiǎn)阻，都來自于K41理論創(chuàng)立之初的一點(diǎn)隱憂。
1942年蘇聯(lián)科學(xué)院的一次研討會上，柯老邪進(jìn)行了一次K41理論的專題報(bào)告。到場的聽眾中，有一位顯得卓爾不群。他身材瘦削，已顯灰白的頭發(fā)蓬松凌亂，然而雙目如炬，似能洞悉一切。
此人名為列夫·朗道（Lev Landau），乃當(dāng)世蘇聯(lián)最杰出的理論物理學(xué)家。以修為之全面而論，朗道在物理學(xué)上的造詣或許并不輸于柯老邪在數(shù)學(xué)上的廣博。
?列夫·朗道 (1908-1968)
兩位絕世高手之間自是不消多言，柯老邪寥寥數(shù)語之間朗道便已盡得其精髓。饒是朗道平生為人狂傲，素來言辭尖銳，也不由得暗自稱贊K41理論之精妙。他評論道：“柯爾莫哥洛夫是第一個(gè)正確理解了湍流小尺度結(jié)構(gòu)的人。（Kolmogorov was the first to provide a correct understanding of the local structure of turbulent flow.）”
會后，K41理論在朗道腦海中久久揮之不去。他將其與自己平生所學(xué)一一印證，自覺妙用無窮。假以時(shí)日，以此為基礎(chǔ)解決湍流問題也未必不能實(shí)現(xiàn)。
翌年，朗道推導(dǎo)出有外流體所包裹的層流射流的理論解，并開始考慮將K41理論引入到湍流射流的研究中。然而這一次，他卻似乎發(fā)現(xiàn)了一些不妥之處。
如果將射流軸心視為湍流，外流體部分視為層流，那么兩部分之間必然有一塊湍流與層流交替存在的區(qū)域。由于動能耗散率ε與湍流強(qiáng)度相關(guān)，在此區(qū)域中，ε必然不會像K41理論中所描述的隨時(shí)間（和空間）不變，而是一定會隨時(shí)間（和空間）有所起伏（在層流區(qū)為零，在湍流區(qū)為正值）。此時(shí)，柯老邪的2/3律公式該如何運(yùn)用呢？如果將公式中的ε由瞬時(shí)值改為在時(shí)間上的平均值〈ε〉的話，似乎也并無不妥……
且慢！此處確有不妥！
朗道在電光火石之間的頓悟從根本上粉碎了K41理論作為湍流普適理論的可能性。
在1944年出版的由朗道及其學(xué)生撰寫的“理論物理教程（Course of Theoretical Physics）”第六卷“流體力學(xué)（Fluid Mechanics）”中，朗道將其想法加以總結(jié)并留下了這樣一段耐人尋味的文字：
“很多學(xué)者們或許認(rèn)為得到一個(gè)普適于任何湍流的公式從原則上講是可能的，這個(gè)公式可以描述小于尺度L的結(jié)構(gòu)函數(shù)S2(l)=〈δu(l)2〉 。然而，由于如下論證，這類公式并不可能存在：δu(l)2的瞬時(shí)值或許可以普適性的表述為動能耗散率ε瞬時(shí)值的函數(shù)?？墒牵瑢⒁陨媳硎鲞M(jìn)行時(shí)間平均后會依賴于ε在大時(shí)間尺度（對應(yīng)于大渦結(jié)構(gòu)）上的變化，而這個(gè)變化對于不同的流動是不一樣的。因此，時(shí)間平均的結(jié)果不可能是普適性的。(It might be thought that the possibility exists in principle of obtaining a universal formula, applicable to any turbulent flow, which should give〈δu(l)2〉for all distances l small compared with L. In fact, however, there can be no such formula, as follows from the following argument. The instantaneous value of δu(l)2 might in principle be expressed in a universal way via the energy dissipation ε at that very moment. However, averaging these expressions is dependent on the variation of ε over times of large-scale motions (scale L), and this variation is different for different specific flows. Therefore, the result of the averaging cannot be universal.)”
讓我們?yōu)槔实肋@招絕妙的破劍式靜默一分鐘。
朗道的核心觀點(diǎn)是這樣的：由于ε隨時(shí)間變化，因此我們只能尋找時(shí)均意義上的普適公式。即使我們假設(shè)δu(l)2=Cε2/3l2/3 律在每一瞬時(shí)是普適性的，但由于δu(l)2與ε的非線性關(guān)系，將瞬時(shí)公式進(jìn)行時(shí)間平均后并無法表述成〈δu(l)2〉=C〈ε〉2/3l2/3 ，而將會依賴于ε隨時(shí)間的變化。由于ε的變化對于不同流動是不同的，因此時(shí)均的表述不可能是普適的。
例如，272/3=9，82/3=4，但((27+8)/2)2/3=6.7而不等于4和9的平均值 。
我們再次回到“武林交通部”的例子，將朗道的論證與之做一類比。
在 “二十三省江湖人士不得闖黃燈”的禁令通達(dá)天下之后的一年內(nèi)，武林交通部高層三易其令。首先，武林交通部頒布了“魯蘇湘川四省人士可以闖黃燈”的政令，三分之一年后又出臺了“遼吉浙晉皖五省人士亦可以闖黃燈”的政令，最后的三分之一年干脆決定“其余十四省人士也可以闖黃燈”。
此一年中，相應(yīng)的省市區(qū)級部門分別按需整改機(jī)構(gòu)，以保證三條新政令在其分別的施政時(shí)間內(nèi)暢通無阻并持續(xù)不斷地傳遞給相應(yīng)的江湖人士。這三條新政令的傳遞均只需要一部分省市區(qū)級交通部門，相對于整個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，它們的機(jī)構(gòu)規(guī)模分別占據(jù)4/23, 5/23和14/23的比例。而且，三條政令的傳遞率也截然不同。對于規(guī)模較龐大的系統(tǒng)（如14/23的部分），其傳遞率也較大，反之亦然。如果按照δu(l)2=Cε2/3l2/3將它們量化，傳遞率ε則應(yīng)正比于其機(jī)構(gòu)規(guī)模的3/2次方，即(4/23)3/2=0.07，(5/23)3/2=0.10和(14/23)3/2=0.47 。
年終總結(jié)大會上，武林交通部高層首先對過去一年的施政方針進(jìn)行了總結(jié)。他們將三條政令的內(nèi)容進(jìn)行了平均，并聲稱：年中每一時(shí)段我們不斷下達(dá)著允許(4/23+5/23+14/23)/3=33%江湖人士闖黃燈的號令。隨后，各省市區(qū)級交通部門也對他們傳遞上級方針的效果做出了總結(jié)。在對三部分傳遞率進(jìn)行平均之后，他們聲稱：我們的平均信息傳遞率為(0.07+0.10+0.47)/3=0.21。此時(shí)，問題來了，33%3/2 =0.19，而不等于0.21。K41理論并不能用于平均結(jié)果。
一言以蔽之，武林交通部的朝令夕改使得各級交通部門疲于奔命，雖然在每一時(shí)刻都按照K41理論傳遞著信息，年終總結(jié)時(shí)卻發(fā)現(xiàn)其平均效果并不符合K41理論的描述。
而究其原因，K41理論對平均結(jié)果的失效是由于δu(l)2并非正比于ε。因此，即使兩者瞬時(shí)值滿足K41關(guān)系，其平均值卻未必滿足。
朗道的這一論證如K41理論本身一樣，簡潔明了卻直擊要害。它并不深究湍流更深層次的物理性質(zhì)，而是劍走偏鋒，以動能耗散率隨時(shí)間變化的推測為基礎(chǔ)，僅輔以初等數(shù)學(xué)的分析方法，便如釜底抽薪般地將K41理論的普適性瓦解于無形。
然而，這個(gè)有著瑕疵的K41理論所描述的2/3律仍然被一次次實(shí)驗(yàn)所重復(fù)著。相對于尖酸刻薄的朗道，自然界仿佛更青睞揮毫灑脫的柯老邪。這又是為什么呢？
欲知后事如何，且聽下回分解。
本文首發(fā)于《MIT科研范》，《知識分子》獲得作者授權(quán)刊發(fā)，內(nèi)容略有修訂。
作者簡介：
潘玉林，MIT機(jī)械系博士生，在Vortical Flow Research Lab從事流體力學(xué)方面的研究工作。研究領(lǐng)域包括理論與計(jì)算流體力學(xué)，非線性波浪力學(xué)，弱湍流理論，螺旋槳與機(jī)翼理論。
