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圖23-1：卡西米爾（圖源：nationaal archief）

撰文 | 張?zhí)烊?/span>

責(zé)編 | 寧 茜 呂浩然

上一篇中我們?yōu)檎婵彰枥L了一幅直觀的圖像：充滿了各種類型的虛粒子。“充滿了”的說(shuō)法是不太恰當(dāng)?shù)?，因?yàn)榭赡苡腥藭?huì)說(shuō)：把這些虛粒子移走吧，那才是真正的真空。不過，從量子場(chǎng)論的角度分析解釋，這是不可能做到的?？梢员弧耙谱摺钡氖菍?shí)粒子，虛粒子是不可能被移走的，因?yàn)閷?shí)際上它們并不是什么“粒子”，而只是能量最低的“基態(tài)”，是具有能量的瞬息萬(wàn)變又永遠(yuǎn)存在的各種“場(chǎng)”，它們之間有相互作用，像大雜燴一樣混在一起，且不可分離。盡管如此，我們?nèi)匀幌矚g使用“虛粒子”一詞，因?yàn)樗蜗?、?jiǎn)單，在一定的程度上抽象出了相互作用的本質(zhì)。

那好，既然真空中有這么多具有能量的虛粒子，我們可不可以探測(cè)到它們的存在？有人又進(jìn)一步地異想天開：能不能把這些能量釋放一些出來(lái)，供人類利用呢？

釋放出來(lái)？聽起來(lái)有點(diǎn)像要造永動(dòng)機(jī)，可以暫不考慮，但想出某種方法探測(cè)真空能是可行的。早在70多年前就有科學(xué)家作此建議，也有許多科學(xué)家一直在對(duì)此作孜孜不倦地探索。這其中的實(shí)例之一就是：卡西米爾提出的卡西米爾效應(yīng)（Casimir effect）。

亨里克·卡西米爾（Hendrik Brugt Gerhard Casimir，1909-2000）是荷蘭物理學(xué)家，他在保羅·埃倫費(fèi)斯特（Paul Ehrenfest，1880 -1933）的指導(dǎo)下于萊頓大學(xué)學(xué)習(xí)，并獲得理論物理博士學(xué)位。讀博期間他曾經(jīng)到哥本哈根研究所，追隨玻爾（Niels Henrik David Bohr，1885 -1962）做研究。玻爾當(dāng)時(shí)在丹麥大名鼎鼎，實(shí)際上，那個(gè)年代的其他大物理學(xué)家也一樣，被自己國(guó)家的民眾廣泛認(rèn)可和崇敬，猶如現(xiàn)代的歌星影星。

卡西米爾曾經(jīng)講過一個(gè)有趣的故事來(lái)說(shuō)明當(dāng)年玻爾的名氣：他讓自己在荷蘭的父母給在丹麥的他寫一封信，信封上的地址只寫“卡西米爾/尼爾斯·玻爾，丹麥”，不寫別的。果然，這封信在幾天之內(nèi)就從荷蘭準(zhǔn)時(shí)到達(dá)了卡西米爾的手中。博士畢業(yè)后，卡西米爾又在泡利（Wolfgang E.Pauli，1900-1958）的指導(dǎo)下作博士后研究。

名師出高徒。才華橫溢、成就頗豐的卡西米爾對(duì)理論物理有許多貢獻(xiàn)。包括在數(shù)學(xué)上證明了半單李群（semi-simple Lie group）的完全可約表示；提出了核四極矩假設(shè)，計(jì)算超精細(xì)結(jié)構(gòu)；給出了順磁弛豫現(xiàn)象的熱力學(xué)解釋；解決了超導(dǎo)態(tài)的熱力學(xué)理論等。有名的卡西米爾效應(yīng)是他二戰(zhàn)后（1948年）在飛利浦物理實(shí)驗(yàn)室（Philips Natuurkundig Laboratorium）工作時(shí)提出的[1]，這個(gè)效應(yīng)的研究豐富了量子場(chǎng)論的真空觀念，啟發(fā)了科學(xué)家們對(duì)自然規(guī)律多方面的積極思考，其影響一直延續(xù)至今。

卡西米爾不僅是位優(yōu)秀的理論物理學(xué)家，他還從事多項(xiàng)工業(yè)方面的相關(guān)研究。不過，20世紀(jì)30年代的學(xué)術(shù)界并不鼓勵(lì)科學(xué)家參與考慮技術(shù)問題，卡西米爾是個(gè)特例。他同時(shí)重視理論和應(yīng)用的所作所為，使科學(xué)大師們感到困惑。泡利就曾嘲諷卡西米爾為“總工先生”，并懷疑他是否能在工業(yè)環(huán)境中繼續(xù)開展科學(xué)研究。事實(shí)證明了卡西米爾在這方面的遠(yuǎn)見卓識(shí)，他的后半生作為飛利浦研究實(shí)驗(yàn)室的主任，完美地結(jié)合了科學(xué)和技術(shù)這兩個(gè)不同的領(lǐng)域。卡西米爾成為這兩方面的領(lǐng)軍人物。

圖23-2：卡西米爾效應(yīng)

科學(xué)和技術(shù)是相互依存的，提出卡西米爾效應(yīng)的過程也證明了這點(diǎn)：這個(gè)發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生于他在飛利浦實(shí)驗(yàn)室對(duì)用于工業(yè)的石英粉末懸浮液的研究。如圖23-2所示，卡西米爾效應(yīng)指的是真空中兩片中性（不帶電）的金屬板會(huì)出現(xiàn)吸力而互相靠近的現(xiàn)象。理想情形下，要求平板是無(wú)窮大和無(wú)窮薄的。這種似乎是無(wú)中生有的吸引力，在經(jīng)典理論中是不會(huì)出現(xiàn)的，一般被解釋為是量子場(chǎng)論的一個(gè)重要結(jié)果，因?yàn)樗C實(shí)了零點(diǎn)能的存在。

晚年的卡西米爾將他的經(jīng)驗(yàn)發(fā)展成一種研究模式，稱其為科學(xué)——技術(shù)互惠模式，即科學(xué)研究和工業(yè)技術(shù)研發(fā)互相依存，共同發(fā)展的模式。

研究膠體分子間的范德華力（Van Der Waals Force）給了瓦西米爾啟發(fā)，讓他開始計(jì)算卡西米爾力。卡西米爾與德克?波爾德（Dirk Polder，1919-2001）合作，考慮膠體分子問題的相對(duì)論修正之后，進(jìn)一步思考兩個(gè)宏觀物體之間的色散吸引力問題。當(dāng)他向玻爾談?wù)撨@項(xiàng)工作時(shí)，玻爾嘟囔著說(shuō)了一句：這一定與零點(diǎn)能有關(guān)。敏感的卡西米爾受到啟發(fā)后，完成了兩平板之間吸引力的計(jì)算，得到了著名的卡西米爾力公式。

這是最廣為人知的真空?qǐng)黾捌鋱?chǎng)效應(yīng)的例子?？梢院?jiǎn)單地用真空漲落來(lái)理解：兩個(gè)平面之間的真空漲落不同于平面外面的真空漲落，其原因其實(shí)是靠得很近的平面限制了其中能容許的某些虛光子的頻率（或波長(zhǎng)）。

圖23-3：簡(jiǎn)單估算單位面積的卡西米爾力F

如圖23-3所示，假設(shè)兩個(gè)平面之間的距離為d，只有波長(zhǎng)λ小于2d的波動(dòng)才能存在于兩個(gè)平板之間?；蛘邚牧Ｗ拥慕嵌葋?lái)說(shuō)，就是平板之間只能容納頻率v大于c/(2d)的光子。受此限制，束縛于平面之間的虛光子數(shù)，要比外面的虛光子數(shù)少很多，因此，漲落的能量也就更小。平面內(nèi)外真空漲落的差異，就會(huì)對(duì)平板產(chǎn)生一個(gè)向內(nèi)的推力F（單位面積的力），使得它們表現(xiàn)為互相吸引的卡西米爾效應(yīng)。

當(dāng)我們計(jì)算真空零點(diǎn)能的時(shí)候，由于不確定性原理，所有頻率的量子漲落模式都需要考慮，用圖23-3中的能量譜密度（ρ0(ω)）的計(jì)算公式對(duì)所有的頻率積分，這個(gè)計(jì)算顯然會(huì)帶來(lái)無(wú)窮大的零點(diǎn)能，這也正是量子場(chǎng)論紫外發(fā)散的體現(xiàn)。不過，當(dāng)我們計(jì)算卡西米爾平板“內(nèi)外”的兩個(gè)真空漲落之差時(shí)，兩個(gè)趨于無(wú)窮大的表達(dá)式相減，許多項(xiàng)互相抵消了。所以，會(huì)得出一個(gè)隨著板間距離d變化的、大小有限的、單位面積的卡西米爾力F，如圖23-3右邊藍(lán)框中的表達(dá)式。

由圖中表達(dá)式可見，單位面積的卡西米爾力F與普朗克常數(shù)?成正比，這正是量子效應(yīng)的表現(xiàn)，因?yàn)楦鶕?jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，兩個(gè)中性導(dǎo)體板之間不可能有經(jīng)典力存在。同時(shí)，F(xiàn)也和光速c成正比，這是電磁場(chǎng)的特征常數(shù)，也因?yàn)橛?jì)算中考慮了相對(duì)論效應(yīng)的緣故。此外，F(xiàn)與板間距離d的四次方成反比，說(shuō)明隨著距離的減小，F(xiàn)增加很快；F的負(fù)號(hào)，則代表這是一個(gè)方向向內(nèi)的吸引力。

卡西米爾力很小，只有在兩平板距離非常之小時(shí)才可以被檢測(cè)到。然而，該效應(yīng)有令人驚嘆之處。例如，考慮距離d=1微米的情況，卡西米爾壓強(qiáng)大約是1.3 mPa，這已經(jīng)是一個(gè)宏觀的數(shù)值。如果距離d=10納米（大概是一個(gè)原子尺度的100倍）時(shí)，卡西米爾效應(yīng)能產(chǎn)生1個(gè)大氣壓的壓力（101.3千帕）！因此，卡西米爾力可以看作是量子效應(yīng)在宏觀上的體現(xiàn)。

不過，盡管卡西米爾力可看作量子效應(yīng)的宏觀體現(xiàn)，可它仍然難以用實(shí)驗(yàn)檢測(cè)，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)條件要求太高：兩個(gè)平行金屬板要相距很小距離（如1微米），還要做到“嚴(yán)格平行”，且表面“純凈無(wú)雜質(zhì)”等等。因此，直到卡西米爾效應(yīng)被預(yù)言的10年之后，斯帕納伊（M. J. Sparnaay，1923-2015）才完成了對(duì)卡西米爾力的首次測(cè)量[2]。實(shí)驗(yàn)的精度雖然不高，卻證實(shí)了該效應(yīng)的存在，人們也第一次對(duì)檢測(cè)卡西米爾力有了實(shí)踐認(rèn)知。

1997年，當(dāng)時(shí)在美國(guó)華盛頓大學(xué)的史蒂夫·拉莫洛克斯（Steve Lamoreaux）首次對(duì)卡西米爾的理論提供了堅(jiān)定的實(shí)驗(yàn)證實(shí)[3]。他們利用新的方法，對(duì)卡西米爾力進(jìn)行了更精確的測(cè)量，

雖然卡西米爾力最初的理論是用于平行板，但實(shí)際上以這種方式測(cè)量力是很困難的，因?yàn)楹茈y將靠得很近、具有一定面積的兩個(gè)金屬板，對(duì)齊得足夠好以得到精確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。對(duì)此，拉莫洛克斯在1997年實(shí)現(xiàn)了根本的突破，他（們）測(cè)量了金屬板和金屬球之間的卡西米爾力，這種設(shè)置不需要精確對(duì)準(zhǔn)兩個(gè)平面，因?yàn)槿鐖D23-4a中的公式所示，這時(shí)候的卡西米爾力與平面的面積無(wú)關(guān)。

圖23-4：測(cè)量卡西米爾效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)

拉莫洛克斯的實(shí)驗(yàn)結(jié)果在距離大約為1微米時(shí)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在5%～10%的誤差內(nèi)與理論一致。與之前的測(cè)量相比，這是一個(gè)了不起的成就。所以，拉莫洛克斯對(duì)方法的改進(jìn)算是卡西米爾實(shí)驗(yàn)的一個(gè)里程碑。自此之后，物理學(xué)家們考慮、計(jì)算、測(cè)試了大量不同幾何形狀的金屬表面之間的卡西米爾效應(yīng)。

此外，卡西米爾力有時(shí)還表現(xiàn)可以為斥力[4,5]，不是通常的吸引力，和朗道（Lev Davidovich Landau，1908-1968）一起寫《理論物理學(xué)教程》的栗弗席茲（Е.М.Лифшиц，1915-1985）最早計(jì)算了這種產(chǎn)生斥力的結(jié)構(gòu)[4]。如圖23-5：左邊球殼上的卡西米爾力是排斥性的，如果將球中充滿了介質(zhì)（圖23-5右圖）又會(huì)變成吸引力。 

圖23-5：卡西米爾效應(yīng)的排斥和吸引作用

卡西米爾力最重要的意義在于它是量子現(xiàn)象的宏觀效應(yīng)。近年來(lái)，卡西米爾力不僅在其實(shí)驗(yàn)檢測(cè)方面有突破，理論研究也有所進(jìn)展。一個(gè)有趣的事實(shí)是：卡西米爾當(dāng)年的研究起始于對(duì)范德華力的計(jì)算，幾十年之后，理論上已經(jīng)證明，這看起來(lái)完全不同的兩種力，本質(zhì)上是一樣的。都是起源于真空漲落[6]，因此，兩者的界限已經(jīng)開始模糊，可以說(shuō)范德華力其實(shí)是分子尺度的卡西米爾效應(yīng)。有關(guān)范德華力和卡西米爾力的相關(guān)研究還涉及到一個(gè)有趣的事實(shí)：壁虎能爬墻的原因，之前用范德華力來(lái)理解，現(xiàn)在也可以將它說(shuō)成是卡西米爾力，這正印證了“量子現(xiàn)象的宏觀效應(yīng)”那句話。

卡西米爾效應(yīng)在納米技術(shù)中也有所表現(xiàn)，它對(duì)納米尺度微型器件的設(shè)計(jì)和制造，既有不良的影響，也有好的應(yīng)用，因?yàn)楫?dāng)距離小于幾十納米時(shí)，和其他力相比，卡西米爾力占據(jù)了主導(dǎo)地位。例如，它有可能使得本來(lái)可移動(dòng)的部件粘結(jié)在一起，使得可移動(dòng)元件坍縮到本來(lái)不動(dòng)的元件上，對(duì)系統(tǒng)造成巨大的破壞。人們也利用此類有害現(xiàn)象，達(dá)到有用的目的：例如有人開發(fā)了由卡西米爾力驅(qū)動(dòng)的微型機(jī)械裝置；有人在微米級(jí)機(jī)械組件MEMS的設(shè)計(jì)中，利用卡西米爾效應(yīng)控制器件中導(dǎo)電板的運(yùn)動(dòng)等，此類研究方興未艾。

總之，卡西米爾物理已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了70多年前最初研究工作探索的范疇，成為一個(gè)物理意義豐富的、有趣而活躍的研究題目。

卡西米爾效應(yīng)等已經(jīng)讓我們切實(shí)地體會(huì)到了真空中虛粒子的存在，但近幾年科技界的絕活兒遠(yuǎn)不止這點(diǎn)兒。虛粒子不僅存在，一定的條件下還能“轉(zhuǎn)化成”實(shí)粒子！這包括如下幾個(gè)熱門題材：卡西米爾動(dòng)力學(xué)效應(yīng)、黑洞的霍金輻射……我們將在下一篇介紹這些現(xiàn)象，以及真空與宇宙學(xué)常數(shù)的關(guān)聯(lián)等。

參考資料  

[1] Casimir H B G. On the attraction between two perfectly conducting plates. Proc K Ned Akad Wet, 1948, 51:793-795.

[2] Sparnaay M J. Measurements of attractive forces between flat plates. Physica, 1958, 24:751-764.

[3] Lamoreaux S K. Demonstration of the Casimir force in the 0.6 to 6 mm range. Phys Rev Lett, 1997, 78:5-8.

[4] Lifshitz, E. M. The theory of molecular attractive forces between solids. Sov. Phys. JETP 2, 73–83 (1956)

[5] Boyer T H. Quantum electromagnetic zero-Point energy of a conducting spherical shell and the Casimir model for a charged particle. Phys Rev, 1968, 174（5）:1764-76.

[6] Klimchitskaya, G. L.; Mostepanenko, V. M. (July 2015). "Casimir and van der Waals Forces: Advances and Problems". Proceedings of Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University (517): 41–65. arXiv:1507.02393