數(shù)學簡史：現(xiàn)代數(shù)學的五大應用
?就讀劍橋大學時的麥克斯韋
編者按：
浙江大學數(shù)學學院教授、詩人蔡天新最新出版力作——《數(shù)學簡史》。《知識分子》征得作者本人及出版社同意，分三篇文章連載該書的第八章：《抽象化：20世紀以來》。今天繼續(xù)推送《數(shù)學簡史》第八章第二節(jié)：《數(shù)學的應用》。
撰文 | 蔡天新（浙江大學數(shù)學學院教授）
責編 | 呂浩然
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現(xiàn)在，我們來談談數(shù)學向人類文明的其它結晶（科學）的滲透。先來看物理學，18世紀是數(shù)學與經(jīng)典力學相結合的黃金時代，19世紀數(shù)學主要應用于電磁學，產(chǎn)生了劍橋大學數(shù)學物理學派，其中最具代表性的成就是麥克斯韋（Maxwell，1831—1879）建立的電磁學方程組，由4個簡潔的偏微分方程組成。據(jù)說麥克斯韋最初得到的方程組比較復雜，因為他相信表達物理世界的數(shù)學應該是美的，因而推倒重來。
麥克斯韋是蘇格蘭人，這個流行男子穿格子短裙的民族所產(chǎn)生的偉大發(fā)明家按人口比例堪稱世界之最。在麥克斯韋之前有（實用）蒸汽機發(fā)明人瓦特（Watt，1736—1819），之后有電話發(fā)明人亞歷山大·貝爾（Bell，1847—1922）、胰島素發(fā)明人麥克勞德（Macleod，1876—1935，與人合作）、青霉素發(fā)明人弗萊明（Fleming，1881—1955）、電視發(fā)明人貝爾德（Baird，1888—1946）。
此外，還有第一個將經(jīng)濟理論完整化和系統(tǒng)化的亞當·斯密（Adam Smith，1723—1790）。斯密的代表作《國富論》的中心思想是：看似混亂的自由市場實際上有一種自動調(diào)控機制，它傾向于以最合適的數(shù)量生產(chǎn)那些社會上最受歡迎和最需要的產(chǎn)品。
?愛因斯坦的數(shù)學老師閔可夫斯基
進入20世紀以后，數(shù)學相繼在相對論、量子力學以及基本粒子等理論物理學領域得到應用。1908年，德國數(shù)學家閔可夫斯基提出了空間和時間的四維時空結構R(3,1)，即通過（c為真空中的光速）
為愛因斯坦（Einstein，1879—1955）的狹義相對論（1905）提供了最適用的數(shù)學模型，這種結構后來被稱為“閔可夫斯基空間”。有趣的是，閔可夫斯基對他早年的學生愛因斯坦的數(shù)學才能卻毫無印象。
有了這個模型以后，愛因斯坦又進一步研究了引力場理論。等到1912年夏天，他已經(jīng)概括出這一理論的基本原理，可是由于他只會使用一些最簡單的數(shù)學工具，甚至微積分的方法也不會用（他自稱那樣會使讀者被驚呆），自然難以提煉出方程來。這個時候愛因斯坦在蘇黎世遇到一位數(shù)學家，后者幫助他學會了以黎曼幾何為基礎的微分學，后來他把它叫作“張量分析”。經(jīng)過三年多的努力，在1915年11月25日發(fā)表的一篇論文中，愛因斯坦給出了引力場方程：
其中gμv是度量張量，k為常數(shù)。愛因斯坦指出，“有了這個方程，廣義相對論作為一種邏輯結構終于成立了！”
?愛因斯坦故居，他在這里發(fā)明了相對論（作者攝于伯爾尼）
值得一提的是，雖然愛因斯坦在1915年創(chuàng)立了廣義相對論，但他的工作成果發(fā)表于1916年。巧合的是，幾乎是同時，另一個德國人、數(shù)學家希爾伯特沿著另一條道路也得到了上述引力場方程。希爾伯特采用的是公理化方法，同時運用了諾特關于連續(xù)群的不變量理論。他向哥廷根科學院提交這篇論文的時間是1915年11月20日，發(fā)表論文的時間也比愛因斯坦早了5天。
依照愛因斯坦的廣義相對論，時空整體上是不均勻的，只在微小的區(qū)域內(nèi)例外。在數(shù)學上，這個非均勻的時空可以借助下列的黎曼度量來描述：
廣義相對論的這個數(shù)學描述第一次揭示了非歐幾何學的現(xiàn)實意義，也成為歷史上最偉大的數(shù)學應用例子之一?？墒?，與建立萬有引力定律的牛頓相比，愛因斯坦稍顯遜色，因為牛頓力學的數(shù)學基礎——微積分是由牛頓自己創(chuàng)立的。
與相對論不同，量子力學與一群物理學家的名字相聯(lián)系。普朗克（Planck，1855—1947）、愛因斯坦、玻爾（Bohr，1855—1962）是開拓者，薛定諤（Schr?dinger，1887—1961）、海森堡（Heisenberg，1901—1976）、狄拉克等分別以波動力學、矩陣力學和變換理論的形式建立起量子力學。為了將這些理論融合成統(tǒng)一的體系，需要新的數(shù)學理論。希爾伯特使用積分方程等分析工具，馮·諾依曼進一步借助希爾伯特空間理論，去解決量子力學的特征值問題，并最終將希爾伯特的譜理論推廣到量子力學中經(jīng)常出現(xiàn)的無界算子情形，從而奠定了這門學科的嚴格的數(shù)學基礎。
在20世紀下半葉，還有多項物理學的工作需要應用抽象的純粹數(shù)學，例如著名的規(guī)范場理論和超弦理論。1954年，楊—米爾斯理論的提出揭示了規(guī)范不變性可能是自然界中所有4種力（電磁力、引力、強力和弱力）相互作用的共性，這使得已經(jīng)存在的規(guī)范場理論重新引起人們的注意，并試圖用這個理論來統(tǒng)一自然力的相互作用。
結果，數(shù)學家們很快發(fā)現(xiàn)，統(tǒng)一場論所需要的數(shù)學工具——纖維叢微分幾何早就有了，楊—米爾斯方程實際上是一組偏微分方程，對它們的進一步研究也推動了數(shù)學的發(fā)展。1963年被證明的阿蒂亞—辛格指標定理也在楊—米爾斯理論中獲得重要應用，成為連接純粹數(shù)學和理論物理的又一座橋梁，其研究方法涉及分析學、拓撲學、代數(shù)幾何、偏微分方程和多復變函數(shù)等諸多核心數(shù)學分支，因而常被用來論證現(xiàn)代數(shù)學的統(tǒng)一性。
超弦理論或弦理論興起于20世紀80年代，它把基本粒子看作一些伸展的一維弦線般的無質(zhì)量的實體（其長度約為10–33厘米，被稱為普朗克長度），以代替其他理論中所用的在時空中無尺寸的點。這個理論以引力理論、量子力學和粒子相互作用的統(tǒng)一數(shù)學描述為目標，成為數(shù)學家與物理學家攜手合作的一個最活躍的領域，其中所用到的數(shù)學涉及微分拓撲、代數(shù)幾何、微分幾何、群論、無窮維代數(shù)、復分析和黎曼曲面上的模理論等?？梢韵胂螅c它相聯(lián)系的物理學家和數(shù)學家不計其數(shù)。
除了物理學以外，數(shù)學還在其他自然科學和社會科學領域發(fā)揮了重要作用。限于篇幅，我們僅以生物數(shù)學和數(shù)理經(jīng)濟學為例。與物理學相比，生物學是一門年輕的學科，在17世紀顯微鏡發(fā)明以后才真正步入正軌，但它和物理學是自然科學的兩個最重要的分支。生物學研究中數(shù)學方法的引進也相對遲緩，大約始于20世紀初。多才多藝的英國數(shù)學家皮爾遜（Pearson，1857—1936）率先將統(tǒng)計學應用于遺傳和進化問題的研究，并于1899年創(chuàng)辦了《生物統(tǒng)計》雜志，這是最早的生物數(shù)學雜志。
1926 年，意大利數(shù)學家沃爾泰拉（Volterra，1860—1940）提出了下列微分方程，成功地解釋了地中海中不同魚種周期消長的現(xiàn)象，其中x表示被食小魚數(shù)，y表示食肉大魚數(shù)。這個方程組也被稱為“沃爾泰拉方程”，它開了用微分方程建立生物模型的先河。
20 世紀50年代，在英國和美國出現(xiàn)了兩項轟動性的成果，即描述神經(jīng)脈沖傳導的數(shù)學模型霍奇金—赫胥黎方程（此赫胥黎為安德魯·赫胥黎，他是達爾文進化論支持者托馬斯·赫胥黎之孫、小說家阿道司·赫胥黎之弟）和視覺系統(tǒng)側抑制作用的哈特蘭—拉特利夫方程，它們都是復雜的非線性方程，引起了數(shù)學家和生物學家的興趣。有意思的是，前三位分別因此獲得1963年和1967年的諾貝爾生理學或醫(yī)學獎，而拉特利夫（Ratliff，1919—1999）只因為這個方程和作為哈特蘭（Hartline，1903—1983）的前同事被人們記住。
?生理學家赫胥黎，生物學家赫胥黎之孫，作家赫胥黎之弟
?沃森、克里克和DNA模型
1953 年，即霍奇金—赫胥黎方程誕生的第二年，美國生物化學家沃森（Watson，1928—）和英國物理學家克里克（Crick，1916—2004），發(fā)現(xiàn)了脫氧核糖核酸（DNA）的雙螺旋結構，這不僅標志著分子生物學的誕生，也把抽象的拓撲學引入了生物學。因為在電子顯微鏡下可以看到，雙螺旋鏈有纏繞和紐結，這樣一來，代數(shù)拓撲學的紐結理論便有了用武之地，并應驗了一個多世紀前高斯的預言。1984年，新西蘭出生的美國數(shù)學家瓊斯（Jones，1952—）建立了關于紐結的不變量——瓊斯多項式，幫助生物學家對在DNA結構中觀察到的紐結進行分類，瓊斯也因此獲得了1990年的菲爾茲獎。
沃森和克里克獲得了1962年的諾貝爾生理學或醫(yī)學獎，但他們的發(fā)現(xiàn)的意義還沒有得到充分認識。這里我想多說幾句。先用物理學來做參照，它主要探討宏觀世界（原子內(nèi)部結構的重要性也在于核聚變和核裂變產(chǎn)生的巨大能量），而生物學則側重研究微觀的事物（細胞和基因）。達爾文的進化論和伽利略的自由落體運動定律一樣，主要表現(xiàn)了生命和物體運動的外在規(guī)律，而牛頓的萬有引力定律則發(fā)現(xiàn)了物體乃至宇宙運動的內(nèi)在規(guī)律和原因，與此相對應的生物學成就則是揭示了生命奧秘的DNA雙螺旋結構。值得一提的是，沃森和克里克是在他們平日和同事們常去的劍橋老鷹酒吧宣布這一里程碑式的發(fā)現(xiàn)的。
1979 年的諾貝爾生理學或醫(yī)學獎由兩位非本行的專家一起獲得，即南非出生的美國物理學家科馬克（Cormack，1924—1998）和英國電器工程師豪斯菲爾德（Housfield，1919—2004）。在開普頓一家醫(yī)院的放射科做兼職時，身為物理學講師的科馬克就對人體軟組織和不同密度組織層的X射線成像問題產(chǎn)生了興趣，到美國任教后，他建立起計算機掃描的數(shù)學基礎，即人體不同組織對X射線吸收量的計算公式。這個公式建立在積分幾何的基礎之上，解決了計算機斷層掃描的理論問題。這項工作促使豪斯菲爾德發(fā)明了第一臺計算機X射線斷層掃描儀，即CT掃描儀，并在臨床試驗中取得成功。
下面我們要談的是數(shù)理經(jīng)濟學，這門學科是由匈牙利數(shù)學家馮·諾依曼開啟的。他在與人合著的《博弈論與經(jīng)濟行為》（1944）中提出競爭的數(shù)學模型并應用于經(jīng)濟問題，這成為數(shù)理經(jīng)濟學的開端。整整半個世紀以后，美國數(shù)學家納什（Nash，1928—2015）和德國經(jīng)濟學家澤爾藤（Selten，1930—）因為博弈論研究獲得諾貝爾經(jīng)濟學獎。納什患有精神疾病，是被改編成電影的小說《美麗心靈》的主人公原型，他建立了納什均衡理論，解釋博弈雙方的策略和行動。納什因為在非線性偏微分方程方面所做的貢獻而獲得數(shù)學界的至高榮譽——阿貝爾獎，則是在他生命的最后一年。
?電影《美麗心靈》主人公原型納什
如果說前蘇聯(lián)數(shù)學家康托羅維奇（Kantorovich，1912—1986）的線形規(guī)劃論和荷蘭出生的美國經(jīng)濟學家?guī)炱章?span style="color: rgb(136, 136, 136);">（Koopmans，1910—1985）的生產(chǎn)函數(shù)所用的數(shù)學理論還比較簡單（他們因為在資源最佳配置理論方面的貢獻獲得1975年的諾貝爾經(jīng)濟學獎），那么法國出生的美國經(jīng)濟學家德布魯（Debreu，1927—2004）和另一位美國經(jīng)濟學家阿羅（Arrow，1921—2017）所用的凸集和不動點理論就較為深刻了，他們建立的均衡價格理論的后續(xù)研究使用了微分拓撲、代數(shù)拓撲、動力系統(tǒng)和大范圍分析等抽象的數(shù)學工具。有意思的是，阿羅和德布魯獲得諾貝爾經(jīng)濟學獎卻相隔多年（分別是在1972年和1983年）。
20 世紀70年代以來，隨著隨機分析進入經(jīng)濟學領域，尤其美國經(jīng)濟學家費希爾·布萊克（Black，1938—1995）和加拿大出生的美國經(jīng)濟學家斯科爾斯（Scholes，1941—）將期權的定價問題歸結為一個隨機微分方程的解，并導出與實際較為吻合的期權定價公式，即布萊克—斯科爾斯公式。在此以前，投資者無法精確地確定期權的價格，而這個公式把風險溢價因素計入期權價格，從而降低了期權投資的風險。后來美國經(jīng)濟學家默頓（Merton，1944—）消除了許多限制，使得該公式亦適用于金融交易的其他領域，如住房抵押。1997年，默頓和斯科爾斯分享了諾貝爾經(jīng)濟學獎。
可是，進入21世紀以來，美國發(fā)生了次貸金融危機，嚴重影響了世界經(jīng)濟的發(fā)展。在正常情況下，客戶一般向銀行申請貸款?？墒?，一部分客戶出于信用條件差或其他原因，銀行不愿意與他們簽訂貸款協(xié)議。于是，就有貸款機構發(fā)放信用要求寬松但利率較高的貸款。次級貸款蘊含較大的違約風險，主要原因在于其衍生產(chǎn)品。有關部門不愿意獨自承擔風險，往往會將這些產(chǎn)品打包出售給投資銀行、保險公司或?qū)_機構。這些衍生品看不見摸不著，其價格以及打包方式無法通過人為的簡單判斷來確定，這就催生了一個新興的數(shù)學分支——金融數(shù)學。
在衍生品的定價過程中，有兩個非常重要的參數(shù)，即折現(xiàn)率和違約概率，前者基于某個隨機微分方程，后者服從泊松分布。通過遭遇這次世界性的金融危機，人們發(fā)現(xiàn)這兩種數(shù)學手段以及其他估價手段還需要更精準。20世紀90年代，同一年（1947）出生的中國數(shù)學家彭實戈和法國數(shù)學家巴赫杜（Pardoux）合作創(chuàng)立了倒向隨機微分方程，現(xiàn)已成為研究金融產(chǎn)品定價的重要工具。
18世紀初，雅各布·伯努利說過，從事物理學研究而不懂數(shù)學的人，實際上處理的是意義不大的事情。到了21世紀，金融業(yè)或銀行業(yè)也出現(xiàn)了這種情況，有著200多年歷史的美國花旗銀行宣稱，他們有70%的業(yè)務依賴于數(shù)學，同時強調(diào)如果沒有數(shù)學花旗銀行就不可能生存下去。
最后，值得一提的是，康托羅維奇的線性規(guī)劃論是運籌學中最早成熟的研究內(nèi)容和分支之一。運籌學可以定義為，管理系統(tǒng)的人為了獲得關于系統(tǒng)運行的最優(yōu)解而必須使用的一種科學方法，主要依賴于數(shù)學方法和邏輯判斷。與運籌學幾乎同時脫胎于第二次世界大戰(zhàn)的應用數(shù)學學科還有控制論和信息論，其創(chuàng)始人分別是美國數(shù)學家維納（Wiener，1894—1964）和香農(nóng)（Shannon，1916—2001），兩人退休前都在麻省理工學院任教，也都是公眾人物。維納18歲就獲得哈佛大學博士學位，出版過兩本自傳——《昔日神童》和《我是一個數(shù)學家》；香農(nóng)則被譽為數(shù)字通信時代的奠基人。
在維納看來，控制論是一門研究機器、生物社會中的控制和通信的一般規(guī)律的科學，是研究動態(tài)系統(tǒng)在變的環(huán)境條件下如何保持平衡或穩(wěn)定狀態(tài)的科學。他創(chuàng)造了cybernetics這個詞，希臘文原意為“操舵術”，就是掌舵的方法和技術的意思。在柏拉圖的著作中，常用它來表示管理人的藝術。信息論是一門用數(shù)理統(tǒng)計方法來研究信息的度量、傳遞和變換規(guī)律的科學。
需要注意的是，這里的信息指的不是傳統(tǒng)的消息，而是一種秩序的等級或非隨機性的程度，可以測量或用數(shù)學方法處理，就像質(zhì)量、能量或其他物理量一樣。
一般來說，計算機是指能接收數(shù)據(jù)，按照程序指令進行運算并提供運算結果的自動電子機器。在計算機的歷史上，起重要革新作用的幾乎全是數(shù)學家。直到20世紀70年代末，中國大學里的電子計算機專業(yè)還大多設在數(shù)學系，就像康德時代數(shù)學隸屬于哲學系一樣。可是如今，多數(shù)大學都有了一兩個計算機學院。用機器來代替人工計算，一直是人類的夢想。
或許最早使用算盤的并非中國人，但長期以來使用最廣泛的當屬中國的算盤。在明代（1371）出版的一本書里，就有十檔算盤的插圖，但它的實際發(fā)明時間遠在此之前。數(shù)學家程大位（1533—1606）的《算法統(tǒng)宗》（1592）詳述了珠算的規(guī)則、口訣和方法，標志著珠算的成熟。這本書也流傳到朝鮮和日本，使得算盤在這兩個國家十分流行。
第一個提出機械計算機設計思想的是德國人席卡德（Schickard，1592—1635），他在與開普勒通信時闡述了這一想法。第一臺能進行加減計算的機械計算機是由帕斯卡發(fā)明的（1642），30年后萊布尼茨制造出一臺能進行乘除和開方運算的計算機。
使計算機擁有能對數(shù)據(jù)進行各種運算的裝置，是向現(xiàn)代計算機過渡的關鍵一步，由英國數(shù)學家巴貝奇（Babbage，1792—1871）首先邁出，在數(shù)論里有一個與二項式系數(shù)有關的同余式用他的名字命名。巴貝奇設計的“分析機”（1834）分為運算室和存儲庫，外加一個專門控制運算程序的裝置，他曾設想根據(jù)穿孔卡片上的“0”和“1”來控制運算的順序，這無疑是現(xiàn)代電子計算機的雛形。
?郵票上的巴貝奇
遺憾的是，即便巴貝奇付出后半生的絕大多數(shù)精力和財產(chǎn)，甚至失去劍橋大學的盧卡斯教授職位，也沒幾個人能理解他的思想。據(jù)說真正支持他的人只有三個：他的兒子——巴貝奇少將（在父親去世后還為分析機奮斗了許多年）、未來的意大利總理和詩人拜倫（Byron，1788—1824）的女兒阿達。
阿達（Ada，1815—1852）是拜倫和妻子的獨生女，她為某些函數(shù)編制了計算程序，可謂開現(xiàn)代程序設計之先河。由于時代的局限性，巴貝奇分析機的設計方案在技術實施上遇到了巨大的障礙，他借助通用程序控制數(shù)字計算機的天才設想，要再過一個多世紀才能實現(xiàn)。
20 世紀以來，科學技術的迅猛發(fā)展帶來了堆積如山的數(shù)據(jù)問題，尤其是在“二戰(zhàn)”期間，軍事上的計算需要更使計算速度的改進成為燃眉之急。起初，人們采用電器元件來代替機械齒輪。1944年，美國哈佛大學的數(shù)學家艾肯（Aiken，1900—1973）在IBM（國際商業(yè)機器公司）的支持下設計和制造出世界上第一臺能實際操作的通用程序計算機（占地170平方米），只部分使用了繼電器，不久后他又制成了一臺全部用繼電器的計算機。與此同時，在賓夕法尼亞大學，人們用電子管來代替繼電器，于1946年造出了第一臺通用電子數(shù)字積分計算機（ENIAC），效率提高了1000倍。
1947年，數(shù)學家馮·諾依曼（Neumann，1903—1957）提出了把ENIAC使用的外插程序改為存儲程序的想法，按照這種想法制成的計算機能按存儲器中的指令進行操作，從而大大加快了運算進程。1946年，他與人合作發(fā)表論文，提出了并行處理和存儲數(shù)據(jù)計算機的綜合設計理念，對后來的數(shù)字計算機的設計產(chǎn)生了深遠影響。馮·諾依曼出生在布達佩斯，屬于多才多藝的那類學者，在數(shù)學、物理學、經(jīng)濟學、氣象學、爆炸理論和計算機領域都取得了卓越的成就。據(jù)說他是在火車站等車時遇見了ENIAC的設計師，后者向他討教計算機的技術問題，從而激起了他的興趣。
?馮·諾依曼和他的電子計算機
?英國薩里大學的圖靈銅像
另一位對計算機設計理念做出杰出貢獻的是英國數(shù)學家圖靈（Turing，1912—1954），他為了解決數(shù)理邏輯中的基本理論問題——相容性，以及數(shù)學問題的機器可計算性的判定，而提出了他的“理想計算機”模型。直到今天，數(shù)字計算機都沒有跳出這個理想模型的范疇：
輸入/輸出裝置（帶子和讀寫頭）、存儲器和控制器。
圖靈還研究過可以制造出能思考的計算機的理論，這方面的構想已成為人工智能研究的基礎。可惜的是，圖靈后來因為不堪忍受對其性取向進行的強迫治療，吃下用氰化物溶液浸泡過的蘋果而自殺。為了紀念圖靈，1966年，英特爾公司出資設立了“圖靈獎”，這是計算機領域的最高獎項。1976年創(chuàng)建的蘋果電腦公司以一只被咬了一口的蘋果作為標志，這家以推出iPhone手機和iPad平板電腦風靡全球的公司的信念是：只有不完美才能促使進步去追求完美。
雖然數(shù)字計算機已歷經(jīng)四代的發(fā)展，但從電子管、晶體管到集成電路、超大規(guī)模集成電路，均是采用二進制撥碼開關。這一點不會改變，即使將來有一天，電子計算機被取代（比如量子計算機）。這自然與19世紀英國數(shù)學家布爾（Boole，1815—1864）所創(chuàng)立的布爾代數(shù)的符號邏輯體系分不開，他完成了兩個世紀前萊布尼茨未競的事業(yè)，即創(chuàng)立了一套表意符號，每一個符號代表一個簡單的概念，再通過符號的組合來表達復雜的思想。
布爾出身貧寒，他的父親是一個補鞋匠，他主要通過自學成材，后來成為愛爾蘭皇后學院（現(xiàn)名為科克大學）的數(shù)學教授，并入選英國皇家學會。不幸的是，布爾49歲那年因淋雨患肺炎去世。當年早些時候，他的小女兒出世，她便是小說《牛虻》的作者伏尼契（Voynich，1864—1960）。
作為抽象數(shù)學應用的一個光輝典范，計算機也已成為數(shù)學研究本身的有力工具和問題源泉，并推動了一個新的數(shù)學分支——計算數(shù)學的誕生。它不僅設計、改進各種數(shù)值計算方法，還研究與這些計算有關的誤差分析、收斂性和穩(wěn)定性等問題。馮·諾依曼是這門學科的奠基人之一，不僅與人合作建立了全新的數(shù)值計算法——蒙特卡羅方法，還領導一個小組利用ENIAC首次實現(xiàn)了數(shù)值天氣預報，后者的中心問題是求解有關的流體力學方程。值得一提的是，20世紀60年代，中國數(shù)學家馮康（1920—1993）獨立創(chuàng)建了一種數(shù)值分析方法——有限元法，可用于包括航空、電磁場和橋梁設計等在內(nèi)的工程計算。
1976 年秋，伊利諾伊大學的兩位數(shù)學家阿佩爾（Appel，1932—2013）和哈肯（Haken，1928—）借助電子計算機，證明了已有100多年歷史的地圖四色定理，這是利用計算機解決重大數(shù)學問題的最鼓舞人心的范例。說起地圖四色定理，這是由英國人提出的難得一見的著名猜想。1852年，剛剛在倫敦大學獲得雙學士學位的格斯里（Guthrie，1831—1899）來到一家科研單位做地圖著色工作，他發(fā)現(xiàn)只需用4種顏色即可填滿地圖并使得任何兩個鄰國呈現(xiàn)不同顏色。但是，不僅他和仍然在讀的弟弟無法證明這個猜想，就連他的老師摩根和哈密爾頓也無能為力。于是，凱萊經(jīng)過一番研究后在倫敦數(shù)學學會做了一個報告，使得這個問題出了名。
?地圖四色問題圖例
從那以后，數(shù)學家們更多地借助計算機研究純粹數(shù)學，這方面突出的例子是孤立子（soliton）和混沌（chaos）的發(fā)現(xiàn)，它們是非線性科學的核心問題，可謂兩朵美麗的“數(shù)學物理之花”。孤立子比四色定理出現(xiàn)得還早，1834年，英國工程師拉塞爾（Russell，1808—1882）在馬背上跟蹤觀察運河中船只突然停止所激起的水波，他發(fā)現(xiàn)它們在行進中形狀和速度沒有發(fā)生明顯的改變，于是稱其為“孤立波”。一個多世紀以后，數(shù)學家們又發(fā)現(xiàn)，兩個孤立波碰撞后仍是孤立波，因此被稱為“孤立子”，孤立子在光纖通信、木星紅斑活動、神經(jīng)脈沖傳導等領域大量存在?；煦缋碚撌敲枋鲎匀唤绮灰?guī)則現(xiàn)象的有力工具，被視為繼相對論和量子力學之后現(xiàn)代物理學的又一次革命。
計算機科學的飛速發(fā)展，不僅離不開數(shù)理邏輯，也促進了與之相關的其他數(shù)學分支的變革或創(chuàng)立，前者的一個例子是組合學，后者的一個典型代表是模糊數(shù)學。組合學的起源可以追溯至《易經(jīng)》中的“洛書”，萊布尼茨在《論組合的藝術》中率先提出了“組合”這個概念，后來數(shù)學家們從游戲中歸納出一些新問題，如哥尼斯堡七橋問題（衍生出“圖論”這一組合數(shù)學的主要分支）、歐拉36軍官問題、柯克曼女生問題和哈密爾頓環(huán)球旅行問題等。20世紀下半葉以來，在計算機系統(tǒng)設計和信息存儲、恢復中遇到的問題，為組合學研究注入了全新的強大動力。
相比古老的組合學，1965年誕生的模糊數(shù)學可以說是年輕的。按照經(jīng)典集合的概念，每一個集合必須由確定的元素構成，元素之于集合的隸屬關系是明確的，這一性質(zhì)可以用特征函數(shù)μA(x)來表示：
模糊數(shù)學的創(chuàng)始人是阿塞拜疆出生的伊朗裔美國數(shù)學家、電器工程師扎德（Zadeh，1921—），他把特征函數(shù)改寫成所謂的隸屬函數(shù)μA(x)：0≤μA(x)≤1，在這里A被稱為模糊集合，μA(x)為隸屬度。經(jīng)典集合論要求μA(x)取0或1兩個值，模糊集合則突破了這一限制，μA(x)=1表示百分之百隸屬于A，μA(x)=0表示完全不屬于A，還可以有20%隸屬于A，80%隸屬于A，等等。由于人腦的思維包括精確的和模糊的兩個方面，因此模糊數(shù)學在人工智能系統(tǒng)模擬人類思維的過程中起到了重要作用，它與新型的計算機設計密切相關。但是，作為一個數(shù)學分支，模糊數(shù)學尚未成熟。
?曼德勃羅集圖例
一方面，計算機的每一次飛躍都離不開數(shù)學家們的工作。另一方面，計算機的進步也推進了數(shù)學研究工作?，F(xiàn)在，我們來談談幾何學和計算機的奇妙結合。20世紀幾何學的兩次飛躍分別是從有限維到無限維（上半世紀）和從整數(shù)維到分數(shù)維（下半世紀），后者被稱為分形幾何學，它是新興的科學分支——混沌理論的數(shù)學基礎。擁有法國和美國雙重國籍、波蘭出生的數(shù)學家曼德勃羅（Mandelbrot，1924—2010）通過自相似性建立起這門全新的幾何學，這是有關斑痕、麻點、破碎、扭曲、纏繞、糾結的幾何學，它的維數(shù)居然可以不是整數(shù)。
1967 年，曼德勃羅發(fā)表了《英國的海岸線有多長？》的文章。在查閱了西班牙和葡萄牙、比利時和荷蘭的百科全書后，人們發(fā)現(xiàn)這些國家對于它們共同邊界的估計相差20%。事實上，無論是海岸線還是國境線，其長度取決于測量度的大小。一位試圖從人造衛(wèi)星上估計海岸線長度的觀察者，相比海灣和海灘上的踏勘者，將得出較小的數(shù)值。
而后者相較爬過每一枚鵝卵石的蝸牛來，又會得出較小的結果。常識告訴我們，雖然這些估值一個比一個大，可是它們會趨近于某個特定的值，即海岸線的真正長度。但曼德勃羅卻證明了任何海岸線在一定意義上都是無限長的，因為海灣和半島會顯露出越來越小的子海灣和子半島。這就是所謂的自相似性，它是一種特殊的跨越不同尺度的對稱性，它意味著遞歸，即圖案之中套著圖案。這個概念在西方文化中由來已久，早在17世紀，萊布尼茨就設想過一滴水中包含著整個多彩的宇宙；之后，英國詩人兼畫家威廉·布萊克（Blake，1757—1827）在詩中寫道：一顆沙里看出一個世界/一朵野花里有一個天堂。
曼德勃羅考慮了一個簡單的函數(shù)f(x)=x2+c，其中x是復變量，c是復參數(shù)。從某個初始值x0開始令xn+1=f(xn)，就產(chǎn)生了點集{xi,i=0,1,2…}。1980年，曼德勃羅發(fā)現(xiàn)，對于有些參數(shù)c，迭代會在復平面的某幾點之間循環(huán)反復；而對于另外一些參數(shù)c，迭代結果卻毫無規(guī)律可言。前一種參數(shù)c叫吸引子，后一種叫混沌，所有吸引子的復平面子集如今被命名為“曼德勃羅集合”。
由于復數(shù)迭代過程即便對于較為簡單的方程（動力系統(tǒng)）也需要海量的計算，因此分形幾何學和混沌理論的研究只有借助高速計算機才能進行，結果也產(chǎn)生了許多精美奇妙的分形圖案，不僅被用來做書籍插圖，還被出版商拿去制作掛歷。在實際應用中，分形幾何學和混沌理論在描述和探索許許多多的不規(guī)則現(xiàn)象（如海岸線形狀、大氣運動、海洋湍流、野生生物群，乃至股票、基金價格的漲落，等等）方面，均起到十分重要的作用。
?洛倫茲吸引子與“混沌蝴蝶”
就美學價值而言，新的幾何學賦予了硬科學特別的現(xiàn)代感，即追求野性、未開化、未馴養(yǎng)的天然情趣，這與20世紀70年代以來后現(xiàn)代主義藝術家所追逐的目標不謀而合。在曼德勃羅看來，令人滿足的藝術沒有特定的尺度，或者說它包含了一切尺寸的要素。他指出，巴黎的藝術宮殿作為摩天大樓的對立面，它的群雕和怪獸，突角和側柱，布滿旋渦花紋的拱壁和配有檐溝齒飾的飛檐，觀察者從任何距離望去都能看到某種賞心悅目的細節(jié)。而當你走近時，它的構造又發(fā)生了變化，展現(xiàn)出新的結構元素。
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彭實戈，數(shù)學家 美是數(shù)學的一個重要特征，這一特征體現(xiàn)在了數(shù)學發(fā)展的整個歷史進程中，但由于數(shù)學的嚴格性和抽象性而難以為“局外人”所體會。《數(shù)學簡史》做到了這一點，作者蔡天新是我們這個世界上難得的詩人數(shù)學家。在閱讀本書時體會其無處不在的詩韻本身就是一種享受，它是數(shù)學自身固有的美和作者優(yōu)雅的藝術品位的巧妙融合。
梁小民，經(jīng)濟學家
小時候我們常把聰明的同學稱為“數(shù)學腦瓜”，是指數(shù)學好才聰明。數(shù)學不僅僅是計算方法，更重要的是思維方式。我一直想推薦一本數(shù)學史，讀過幾本，覺得還是太專業(yè)，太難讀。但這本《數(shù)學簡史》我覺得任何人都會有興趣讀下去，且會有所收獲。數(shù)學的發(fā)展主要在西方，但作者并沒有忘記中國。更可貴的是，這本書著眼于從整個人類文明的角度來介紹數(shù)學，這就讓人讀起來興趣盎然了。
饒 毅，生物學家
人類智力高低的標準是什么？一直以來有較多的爭議。但數(shù)學作為人類智慧的結晶，卻是長久以來達成的共識。了解數(shù)學的歷史，既能了解作為高級動物的人類發(fā)展的歷史，更能窺見人類智力的進步。蔡天新的《數(shù)學簡史》敘述角度新穎、文字優(yōu)美，讓我們一起享受這本書帶來的智趣吧。
?《數(shù)學簡史》封面，蔡天新著，中信出版社
制版編輯： 呂浩然｜
