在生前身后相當(dāng)長時(shí)間內(nèi)，拉馬努金一直不被普通公眾所重視，直至2015年，他的故事被拍成了電影《知無涯者》（The Man Who Knew Infinity），拉馬努金的名字才進(jìn)入大眾文化視野，因其傳奇的數(shù)論天賦為世人熟知。
今天是拉馬努金誕辰的132周年紀(jì)念日。在他逝世后的近一個(gè)世紀(jì)，人們?nèi)匀幌硎苤臄?shù)學(xué)遺產(chǎn)，并期待更多奇跡的發(fā)現(xiàn)。
2012年印度國家數(shù)學(xué)日紀(jì)念郵票（圖源：Wikipedia）
撰文 | 楊梟
編輯 | 趙坤 小賽
面對(duì)天才，我們只有一種捍衛(wèi)的可能，那就是愛他。
數(shù)學(xué)離不開證明，但有一位數(shù)學(xué)家常常跳過這一關(guān)鍵步驟。1913年，他給身在劍橋的哈代（G. H. Hardy），寄去了一堆幾乎沒有什么證明的公式，比如：
這是一個(gè)積分求解的公式。盡管教科書上有上百種求解微積分的方法，然而任意給出的一個(gè)函數(shù)很大可能無法求積。這封信上的公式相當(dāng)于一個(gè)求解的捷徑。為了證明這個(gè)公式，哈代頗費(fèi)了一番功夫。
除此之外，哈代發(fā)現(xiàn)信上還有更多讓他驚呼“完全打敗了我”、“我從沒見過像這樣的東西”的公式。能讓被譽(yù)為“20世紀(jì)英國分析學(xué)派代表人物”的哈代發(fā)出如此贊嘆之人，究竟是誰？這些繁雜公式的主人叫作??????????????????????????（Srinivasa Ramanujan），是個(gè)印度泰米爾人。在生前身后相當(dāng)長時(shí)間內(nèi)，他一直不被普通公眾所重視，直至2015年，他的故事被拍成了電影《知無涯者》（The Man Who Knew Infinity），拉馬努金的名字才進(jìn)入大眾文化視野，因其傳奇的數(shù)論天賦為世人熟知。
在印度
拉馬努金于1887年12月22日出生在印度的泰米爾納德邦的金奈（舊稱馬德拉斯），并成長在一個(gè)虔誠的印度教家庭。11歲時(shí)，通過從房客那里借閱高等數(shù)學(xué)書，他掌握了當(dāng)時(shí)大學(xué)數(shù)學(xué)的全部知識(shí)。16歲時(shí)，他從朋友那里獲得了《純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)基本結(jié)果概要》（A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics）的圖書館副本，其中收錄了5000個(gè)定理。這本書喚醒了拉馬努金的數(shù)學(xué)才華，使他從此開始在筆記本上涂涂畫畫，記錄數(shù)學(xué)女神給他的靈感。
然而，獨(dú)特天賦并沒有讓他獲得全面的報(bào)償。無論是獎(jiǎng)學(xué)金考試還是大學(xué)畢業(yè)考試，他都只能通過其中有關(guān)數(shù)學(xué)的部分。沒有學(xué)位，無人指導(dǎo)，他只能私下獨(dú)自研究數(shù)學(xué)。拉馬努金家是正統(tǒng)的婆羅門，在印度教種姓制度下屬于祭祀貴族，一家人雖然精神上很富足，物質(zhì)上卻非常貧窮。接下來的幾年拉馬努金窮困潦倒，甚至食不果腹。
1910年，拉馬努金遇到了印度數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的創(chuàng)始人耶爾（V. Ramaswamy Aiyer）。為了能夠在稅務(wù)部門找到一份工作糊口，他向耶爾展示了自己的數(shù)學(xué)筆記。于是，耶爾成為了拉馬努金的第一位伯樂。在耶爾的幫助下，拉馬努金結(jié)識(shí)了當(dāng)?shù)赜忻臄?shù)學(xué)家們，并經(jīng)過推薦，得以將數(shù)學(xué)成果發(fā)表在《印度數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)雜志》（Journal of the IndianMathematical Society）上。雜志在每期開始時(shí)，總會(huì)提出娛樂讀者的挑戰(zhàn)性問題，拉馬努金就提出了這樣一個(gè)問題：
拉馬努金期待會(huì)有人回復(fù)他，但事實(shí)證明，天才的問題可能只能由天才自己解答，他在六個(gè)月后給出解法，為此，他又提供了一個(gè)創(chuàng)造性的公式，
通過該公式，代入x=2, n=1, a=0，就能求解上述問題。這個(gè)等式說明，任何一個(gè)數(shù)分成x，n，a三部分后，就可以用一個(gè)無窮嵌套的平方根表示。拉馬努金極其偏愛“無窮”，他不僅研究無窮嵌套的平方根，還有連分?jǐn)?shù)（分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)……），還有無窮級(jí)數(shù)。有數(shù)學(xué)家曾經(jīng)評(píng)價(jià)“無窮級(jí)數(shù)是拉馬努金的初戀”。這也是為什么傳記作家卡尼格爾（Robert Kanigel）稱其為“知無涯者”。拉馬努金的第一篇論文是有關(guān)伯努利數(shù)的，就是用無窮級(jí)數(shù)定義的數(shù)。在長達(dá)17頁的論文《伯努利數(shù)的一些性質(zhì)》（Some Properties of Bernoulli's Numbers）中，拉馬努金給出了三個(gè)證明、兩個(gè)推論和三個(gè)猜想。他的作品最初有許多瑕疵，正如其編輯所說：“拉馬努金先生的方法是如此的簡潔和新穎，他的表達(dá)是如此的缺乏清晰和精確，以至于普通的數(shù)學(xué)讀者，不習(xí)慣這種智力體操，很難跟上他的思路?！?/section>1913年，在印度數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)的幫助下，拉馬努金將研究寄給了英國的數(shù)學(xué)家。盡管其因證明內(nèi)容混亂而遭到幾位數(shù)學(xué)家的冷遇，但是當(dāng)時(shí)英國頂級(jí)的數(shù)學(xué)家哈代還是發(fā)現(xiàn)，寫信的人是個(gè)天才。拉馬努金在信中提到了這樣一個(gè)乍一看很像小學(xué)奧數(shù)題的公式：
這一公式對(duì)哈代來講非常新穎，它由一類超幾何級(jí)數(shù)函數(shù)派生出來，這類函數(shù)最初是由歐拉和高斯研究出來的。哈代發(fā)現(xiàn)這些結(jié)果比高斯在積分上的工作“更有趣”。在手稿的最后一頁看到其關(guān)于連分?jǐn)?shù)的定理后，哈代說這些定理“一定是真的，因?yàn)?，如果它們不是真的，沒有人有想象力去創(chuàng)造它們”。
20世紀(jì)的數(shù)學(xué)已經(jīng)高度系統(tǒng)化，哈代很難想象一位未經(jīng)專業(yè)訓(xùn)練過的人，能夠作出如此天才的工作。正如文章開始描述的那樣，哈代對(duì)拉馬努金贊譽(yù)有加。在幾次通信后，哈代便邀請拉馬努金來到劍橋工作。
去劍橋
拉馬努金前往劍橋的過程頗費(fèi)了些周折。由于他的家庭是正統(tǒng)的婆羅門，出于宗教的考慮，到外國去便可能失去種姓，因此拉馬努金一開始拒絕前往英國。后來，他的母親做了一個(gè)夢，夢中Namagiri女神命令她，不要再阻礙自己的兒子追求理想。拉馬努金的劍橋之旅這才得以成行。在海上漂泊了近一個(gè)月后，拉馬努金來到了劍橋。接著，哈代和利特爾伍德（J. E. Littlewood）著手研究他的筆記本。雖然在之前的信中，哈代已經(jīng)收到了120個(gè)定理，但拉馬努金的筆記本中還有更多。哈代發(fā)現(xiàn)其中有些定理已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)了，只是拉馬努金還不知道，但還有一些是真正的突破。哈代和拉馬努金個(gè)性截然不同。哈代是一位無神論者，證明和數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的倡導(dǎo)者；拉馬努金則是一位篤信宗教的人，他非常依賴自己的直覺和洞見。哈代盡其所能填補(bǔ)對(duì)方教育上的空白，并在需要正式的證據(jù)來支持研究結(jié)果的情況下指導(dǎo)他。他們在劍橋合作了五年。后來，當(dāng)哈代被問到什么是他對(duì)數(shù)學(xué)最大的貢獻(xiàn)時(shí)，他不加思索地回答，是發(fā)現(xiàn)了拉馬努金。他稱他們之間的合作關(guān)系為：“我人生中的一個(gè)浪漫的意外”（theone romantic incident in my life.）。1916年3月，拉馬努金因其在高度合成數(shù)[注]方面的研究獲得了理學(xué)學(xué)士學(xué)位（后來更名為博士學(xué)位），該學(xué)位研究成果第一部分以論文的形式發(fā)表在《倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)學(xué)報(bào)》（Proceedings of the LondonMathematical Society）上。這篇長達(dá)50多頁的論文，證明了這些數(shù)字的各種性質(zhì)，是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)研究中最不尋常的論文之一——拉馬努金在處理它時(shí)表現(xiàn)出了非凡的獨(dú)創(chuàng)性。拉馬努金提出了一系列非凡的命題，但因他的數(shù)學(xué)表達(dá)常常與其他數(shù)學(xué)家相異，很多命題沒有得到證明而被稱作拉馬努金猜想。其中，最著名的是他斷定了拉馬努金τ函數(shù)的大小。1916年，拉馬努金發(fā)表了一篇關(guān)于一個(gè)算數(shù)函數(shù)的文章，想要求解，即n的因子的s次冪的和。這個(gè)問題導(dǎo)向了τ函數(shù)，他發(fā)現(xiàn)了該函數(shù)的一些性質(zhì)，但未能給出顯式。直到1974年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家德利涅（Pierre Deligne）才證得這一猜想，并因而獲得了菲爾茲獎(jiǎng)。1917年12月6日，拉馬努金入選倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)。1918年，他被選為英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。他是第二位入選的印度人，也是皇家學(xué)會(huì)歷史上最年輕的成員之一。1918年10月13日，他成為第一位當(dāng)選劍橋大學(xué)三一學(xué)院院士的印度人。
回故鄉(xiāng)
雖然榮譽(yù)紛至沓來，但拉馬努金的身體狀態(tài)每況愈下。實(shí)際上，他的一生都飽受健康問題的困擾。早年在印度時(shí)，長期的貧困與饑餓導(dǎo)致拉馬努金一直飽受病痛的折磨?；楹?，他患上睪丸鞘膜積水，不得不動(dòng)手術(shù)，一家人卻負(fù)擔(dān)不起手術(shù)費(fèi)，直到一位醫(yī)生自愿免費(fèi)為他治療。然而，這只是他體弱多病的開始。到了英國之后，由于當(dāng)?shù)貧夂蜿幱赀B綿，再加上一戰(zhàn)期間定量配給造成的長期食物匱乏，拉馬努金的健康狀況惡化，他被診斷出患有肺結(jié)核和嚴(yán)重的維生素缺乏癥，并被關(guān)進(jìn)了療養(yǎng)院。1919年，他帶著成就與病痛回到了印度，然而故鄉(xiāng)的氣候與飲食也無力回天。臨終前，拉馬努金給哈代寫了一封信。信中描述了幾個(gè)新的函數(shù)，它們與已知的模形式（一種解析函數(shù)）有不同的表現(xiàn)，但又緊密地模仿了它們。他推測，他的模擬模形式與之前由雅可比（Carl Jacobi）確定的普通模形式相對(duì)應(yīng)，并且這兩種形式最終都將得到類似的輸出。遺憾的是，當(dāng)時(shí)沒有人明白拉馬努金到底在講什么。2012年，在拉馬努金誕辰125周年的紀(jì)念日上，幾位數(shù)學(xué)家宣布，他們解決了拉馬努金留下的謎語。他們利用了一種當(dāng)時(shí)還未開發(fā)出來的現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具，證明模擬模形式可以像拉馬努金預(yù)測的那樣進(jìn)行計(jì)算。模形式展開是計(jì)算黑洞熵的基本工具之一。雖然一些黑洞并不是模塊化的，但是基于拉馬努金設(shè)想的新公式，可以讓物理學(xué)家像計(jì)算普通物理系統(tǒng)的熵一樣計(jì)算黑洞的熵。不過，連證明都常常跳過的拉馬努金，大概不會(huì)在意這些公式的實(shí)際應(yīng)用。他常說：“一個(gè)等式對(duì)我來說沒有意義，除非它代表了神的思想?！袄R努金以一種天真無邪的方式使用了自己非凡的洞察力，僅僅是為了欣賞數(shù)學(xué)之美。拉馬努金死后，他的兄弟編纂了他留下的手寫筆記，里面還有諸多奇異模、超幾何級(jí)數(shù)和連分?jǐn)?shù)的公式等待發(fā)現(xiàn)。
Google紀(jì)念拉馬努金誕辰125周年的首頁涂鴉（圖源：Google）
今天是拉馬努金誕辰的132周年紀(jì)念日。在他逝世后的近一個(gè)世紀(jì)，人們?nèi)匀幌硎苤臄?shù)學(xué)遺產(chǎn)，并期待更多奇跡的發(fā)現(xiàn)。
【注】高度合成數(shù)是指任何比它小的自然數(shù)的因子數(shù)目均比這個(gè)數(shù)的因子數(shù)目少，例如1,2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180……
參考資料
[1] Kanigel, Robert (1991). The Man Who KnewInfinity: a Life of the Genius Ramanujan. New York: Charles Scribner's Sons.
[2] https://www.newscientist.com/article/mg21628904-200-mathematical-proof-reveals-magic-of-ramanujans-genius/
[3] https://arxiv.org/pdf/1905.04060.pdf
[4] https://www.sciencedaily.com/releases/2012/12/121217091604.htm
[5] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%88%88%E5%BC%97%E9%9B%B7%C2%B7%E5%93%88%E7%BD%97%E5%BE%B7%C2%B7%E5%93%88%E4%BB%A3
[6] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AF%E9%87%8C%E5%B0%BC%E7%93%A6%E7%91%9F%C2%B7%E6%8B%89%E9%A9%AC%E5%8A%AA%E9%87%91
