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Q：您主要的工作集中于低維拓?fù)漕I(lǐng)域，更確切地說(shuō)是三維流形和雙曲幾何這方面，您能比較通俗地說(shuō)一下這個(gè)領(lǐng)域的概況以及它的起源嗎？

A：如果將基礎(chǔ)數(shù)學(xué)各領(lǐng)域大致分一下的話，幾何和拓?fù)湓谝粔K兒，代數(shù)和數(shù)論在一塊兒，分析和方程在一塊兒。申請(qǐng)國(guó)外學(xué)校，大方向一般就這么分。幾何和拓?fù)淅锩?，偏幾何的有辛幾何、?fù)幾何、黎曼幾何等。偏拓?fù)涞模械娜嗽谧龃鷶?shù)拓?fù)?，比如同倫論，另外有所謂的低維拓?fù)洹?/span>

低維拓?fù)涑霈F(xiàn)的時(shí)間已經(jīng)比較長(zhǎng)。龐加萊在給拓?fù)鋵W(xué)奠基的時(shí)候就提出過(guò)龐加萊猜想。他當(dāng)時(shí)提出的問(wèn)題、概念——你隨便翻一本拓?fù)鋵W(xué)的基本教材都可以看到——發(fā)展到現(xiàn)在也有一兩百年的歷史了。而我所做的這一塊（三維流形和雙曲幾何），大概在二十世紀(jì)七八十年代有一道分界線。

之前用的方法更加經(jīng)典一些。之后的話，在那個(gè)時(shí)期出現(xiàn)了William P. Thurston，他用今天所謂幾何化的觀點(diǎn)來(lái)考慮三維流形的拓?fù)?。沿著他的這套傳統(tǒng)下來(lái)，會(huì)比較強(qiáng)調(diào)用八種三維幾何去研究三維流形。

這八種幾何里面七種都比較容易處理，剩下比較不容易處理的、流形最多的就是雙曲幾何。這也是為什么，從那時(shí)候到現(xiàn)在，大家經(jīng)常能在三維拓?fù)涞恼撐暮蛨?bào)告中看到雙曲幾何的身影。

荷蘭畫(huà)家M.C. Escher創(chuàng)作的《圓極限》之三（Circle Limit III，1959）。作品藝術(shù)化地展現(xiàn)了雙曲平面（Poincaré圓盤(pán)模型）的一種多邊形鑲嵌。離散群的雙曲幾何是今天低維拓?fù)涞闹匾芯恳暯?。圖片來(lái)源于維基百科（https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_Limit_III）。

Q：那么高維的拓?fù)浜偷途S的拓?fù)淠膫€(gè)更難？或者說(shuō)低維和高維的差別是什么？

A：這是個(gè)非常好的問(wèn)題（笑），而且我覺(jué)得它特別能反映非專業(yè)和專業(yè)看法有時(shí)很不一樣。假如我沒(méi)有做拓?fù)?，我也?huì)很自然地把拓?fù)浞譃榈途S和高維，但其實(shí)這不完全符合實(shí)際。低維有各種幾何、代數(shù)和分析的結(jié)構(gòu)。它交匯得比較多，就像河流交匯處經(jīng)常有大城市一樣，位置決定了它的內(nèi)容豐富。而說(shuō)到高維，我們并不是研究完三維研究四維，然后五維、六維，一層一層上去，而是更強(qiáng)調(diào)某種規(guī)律性的結(jié)構(gòu)。

比如你會(huì)經(jīng)?？吹窖芯?n加幾維、8n加幾維的流形；不是特定的哪個(gè)流形怎樣，而是在這些維數(shù)上面，有什么樣的拓?fù)洳蛔兞?。因此低維與高維的對(duì)立，主要不在于數(shù)量上的增長(zhǎng)，而在于我們看問(wèn)題方式的改變，包括討論的細(xì)致程度，以及整個(gè)思考框架的不同。

事實(shí)上我自己的經(jīng)驗(yàn)是，跟一些做拓?fù)涞牧?，做低維的會(huì)很高興地說(shuō)“我是做低維拓?fù)涞摹保呛孟窈苌倥龅秸l(shuí)說(shuō)“我是做高維拓?fù)涞摹?/span>（笑）。有人會(huì)說(shuō)“我是做代數(shù)拓?fù)涞摹?，或者“做同倫論的”。你確實(shí)能看見(jiàn)差別。

其實(shí)很多數(shù)學(xué)分支也有類似，我們外圍地去看和專門(mén)地做問(wèn)題的時(shí)候，思考的模式會(huì)很不一樣。比如平常地去想，我們可能感覺(jué)費(fèi)馬大定理陳述比較簡(jiǎn)潔，說(shuō)不定比較容易處理，但顯然不是這樣。它真正的證明，也沒(méi)有三四五六那樣一路證明下去，它是以另外的一種組織方式被完成的。

這個(gè)圖形叫做Alexander角球，和球面同胚但放在三維空間的方式不同，由此似乎也能想見(jiàn)高維球面的某些性質(zhì)可以很不直觀。圖片來(lái)源于維基百科（https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_horned_sphere）。

Q：在這個(gè)領(lǐng)域，大家目前想解決的是什么樣的問(wèn)題？核心問(wèn)題是什么？

A：我的理解，現(xiàn)在低維拓?fù)漕I(lǐng)域想找出一個(gè)核心的問(wèn)題來(lái)可能不太容易。當(dāng)然也有光滑龐加萊猜想這種。龐加萊猜想的拓?fù)浒姹臼撬芯S數(shù)都已經(jīng)證出來(lái)了的，但四維光滑情形還沒(méi)有解決：四維的光滑的同倫球是否光滑同胚于標(biāo)準(zhǔn)的四維球？

另外有一些問(wèn)題，屬于那種“它有朝一日被證出來(lái)了就會(huì)成為核心的問(wèn)題”（笑），但要是沒(méi)有方法奔著它去做的話，也可能放個(gè)五年十年沒(méi)有太多的進(jìn)展，大概就不算通常意義上的核心。

這類問(wèn)題在三維里面，有扭結(jié)的體積猜想，其實(shí)它最近有一些類比的情形還挺活躍。四維里面，八分之十一猜想（英文：11/8 Conjecture）是與微分拓?fù)溆嘘P(guān)的。還有的問(wèn)題，跟多個(gè)方向的聯(lián)系有關(guān)，更像一種目標(biāo)或者期待，比方說(shuō)想把規(guī)范理論和雙曲群論之類的東西聯(lián)系起來(lái)。

這部分現(xiàn)在只有些初步的猜想，比如，是不是所有雙曲四維流形的Seiberg-Witten不變量都是零？像這樣大大小小的猜想，哪一個(gè)做出來(lái)都能使得幾年內(nèi)的幾個(gè)細(xì)分領(lǐng)域進(jìn)步一大步。

Q：所以其他領(lǐng)域的研究可以為您的科研帶來(lái)幫助嗎？我也曾在一些代數(shù)的報(bào)告和短期課程上看到您。

A：特別是三維雙曲幾何會(huì)如此。它和很多數(shù)學(xué)分支都有聯(lián)系。比如和有限體積的雙曲流形有關(guān)系的，直接的就有單李群的調(diào)和分析、表示論；然后，因?yàn)榛救菏请p曲群，所以雙曲流形和幾何群論有關(guān)；因?yàn)楹芏嗳S雙曲流形能做成圓圈上的曲面叢，于是它們可以和曲面動(dòng)力系統(tǒng)產(chǎn)生聯(lián)系，同調(diào)群上還可以和矩陣的動(dòng)力系統(tǒng)產(chǎn)生聯(lián)系；還有算術(shù)雙曲流形，它們是通過(guò)某個(gè)數(shù)域的整數(shù)環(huán)構(gòu)造出來(lái)的，所以可以和算術(shù)產(chǎn)生聯(lián)系。

所以說(shuō)這個(gè)領(lǐng)域確實(shí)和很多數(shù)學(xué)相關(guān)。這種感覺(jué)在你寫(xiě)論文的時(shí)候或許還不強(qiáng)烈，但是你去讀論文，或者去開(kāi)稍微大一點(diǎn)兒的會(huì)，坐在會(huì)場(chǎng)里面，臺(tái)上作報(bào)告的人提到的背景知識(shí)常常就涉及前面的各個(gè)領(lǐng)域。我想這應(yīng)該是低維拓?fù)漕I(lǐng)域共同的特點(diǎn)，尤其在今天，它就是和不同分支相互勾連。甚至有的工作需要你真讀過(guò)其它領(lǐng)域的論文才能明白。

數(shù)學(xué)中心學(xué)術(shù)活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)

Q：所以三維流形這個(gè)領(lǐng)域還是和其他分支聯(lián)系得非常緊密的。但現(xiàn)在有一部分人認(rèn)為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)分支之間愈發(fā)展離得愈遠(yuǎn)，可能做分析的聽(tīng)不懂做代數(shù)的在干什么。但是像您之前說(shuō)的，在有些問(wèn)題上可能確實(shí)要用到不同分支的知識(shí)才能解決。像這樣一種有些對(duì)立的情況您是怎么看的？

A：首先，我覺(jué)得你說(shuō)的兩種感覺(jué)無(wú)疑都是存在的, 而且都是真實(shí)的（笑）。但分支間的隔閡其實(shí)沒(méi)有傳言地那么大。學(xué)數(shù)學(xué)的都有些共同的背景，比如本科、研究生時(shí)代打下的基礎(chǔ)。那么跨界的交談更可能是這樣：如果我們?cè)谶^(guò)道碰上，你飛快一說(shuō)，我聽(tīng)不懂；但如果我們?cè)谵k公室聊一個(gè)鐘頭，我大概也能有一點(diǎn)懂。

人與人交談的時(shí)候，能夠最有效傳遞的信息，往往不是證明的底層實(shí)現(xiàn)，像“我這個(gè)反證法怎么著推出矛盾”，而是在整體框架上的，比如我告訴別人，我在用某種分層的樹(shù)狀的歸納法處理手上的問(wèn)題，那即使別人不是做拓?fù)涞?，也多少能夠理解?/span>

又比如，經(jīng)常有一些數(shù)學(xué)話題，盡管沒(méi)有統(tǒng)一的理論，但在兩套系統(tǒng)中的行為非常像。我們討論的時(shí)候就會(huì)說(shuō)“我說(shuō)的這個(gè)就相當(dāng)于你說(shuō)的那個(gè)”，也很有用，甚至還有啟發(fā)?？傊制绮⒉粯?gòu)成一種絕對(duì)的阻礙，至少今天的數(shù)學(xué)還是如此。

當(dāng)前工作

Q：因?yàn)槔蠋熋髂暌趪?guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上做45分鐘的報(bào)告，所以想請(qǐng)您簡(jiǎn)要介紹一下您最近的工作?；蛘呦雴?wèn)下您明年準(zhǔn)備講什么樣的內(nèi)容？

A：明年我要講的應(yīng)該主要是以前做的McMullen猜想。這是曲面自映射里邊出來(lái)的問(wèn)題。在可定向閉曲面的自同胚里，我們有比較經(jīng)典的Nielsen-Thurston分類，即一個(gè)結(jié)構(gòu)性的分類：它把曲面分成若干不變的部分，每一部分的作用有特定的形式，就像幾何化一樣。

其中有兩種關(guān)鍵的形式，一種周期的，一種叫偽Anosov的（英文：pseudo-Anosov）。周期的比較簡(jiǎn)單，它迭代幾次就回來(lái)了。偽Anosov的比較復(fù)雜，因此做動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)家引進(jìn)一個(gè)叫熵的概念去描寫(xiě)它。熵這個(gè)詞原來(lái)就是用來(lái)描寫(xiě)復(fù)雜性的。

猜想的雛形是問(wèn)：只要這個(gè)自同胚的對(duì)應(yīng)分解里邊有偽Anosov的部分，是不是它誘導(dǎo)在同調(diào)群上的作用，就有一個(gè)模長(zhǎng)大于1的特征值？不過(guò)，只看同調(diào)（基本群的交換化）誘導(dǎo)的作用會(huì)丟失很多信息，很有可能這就是個(gè)平凡的作用。所以，問(wèn)得更高明一點(diǎn)兒是：如果有偽Anosov的部分，是否存在一個(gè)有限覆疊，使得提升上去的同胚在同調(diào)上可以看見(jiàn)一個(gè)模長(zhǎng)大于1的特征值？

這就是McMullen的猜想，我之前有篇文章證明了它。其實(shí)初看起來(lái)，這不是三維流形的問(wèn)題，它只涉及二維、曲面的自同胚。但對(duì)于偽Anosov的自同胚，如果把它乘以一個(gè)區(qū)間，再把乘積空間兩端（通過(guò)自同胚）粘起來(lái)，就得到一個(gè)三維流形。幾何化定理告訴我們這是個(gè)雙曲流形，從而雙曲群的一些技巧是可以使用的。

更進(jìn)一步，你還可以分析它的周期軌道，就是它上面的所謂懸掛流（英文：suspension flow）的周期軌道。于是這樣一個(gè)看起來(lái)不太像三維的問(wèn)題卻可以用它們的方法去解決。像這樣把三維雙曲流形最近的發(fā)展和原來(lái)Nielsen-Thurston分類產(chǎn)生的曲面動(dòng)力系統(tǒng)理論聯(lián)系起來(lái)，這是我主要想講的部分。

由D. Sullivan和W.P. Thurston在1971年繪制的壁畫(huà)。原圖畫(huà)在美國(guó)加利福尼亞大學(xué)伯克利分校的數(shù)學(xué)系走廊墻上（今已抹去），內(nèi)容為平面上的標(biāo)記三點(diǎn)和一條簡(jiǎn)單閉曲線。與之相關(guān)的辮群的數(shù)學(xué)啟發(fā)Thurston思考了偽Anosov自同胚理論。照片摘自L. Mosher的簡(jiǎn)介短文“What is a train track?”（Notices AMS, Vol. 50, No. 3.）

Q：那么您是怎么會(huì)想要去做現(xiàn)在這個(gè)問(wèn)題？他跟您之前的工作有沒(méi)有什么聯(lián)系，是怎么樣從一個(gè)起點(diǎn)一步一步走到這兒的？

A：其實(shí)我到目前做過(guò)的幾個(gè)問(wèn)題都是互相聯(lián)系著的。比較早的時(shí)候——大概2012年前后我博士畢業(yè)那會(huì)兒——有人曾經(jīng)提出過(guò)一個(gè)有關(guān)同調(diào)撓率增長(zhǎng)率（英文：homological torsion growth）的猜想。

那個(gè)猜想考慮的是三維雙曲流形整系數(shù)同調(diào)群的撓元素部分。它的數(shù)量在有限覆疊上的增長(zhǎng)指數(shù)，猜測(cè)可能和雙曲流形的體積有聯(lián)系。這不是一個(gè)表述確信無(wú)疑的猜想，還需要方方面面的嘗試。某個(gè)時(shí)候，我感覺(jué)它可能和L2-Alexander 撓率有關(guān)系，就去學(xué)這方面的內(nèi)容，再考慮原來(lái)的問(wèn)題。我之前有個(gè)結(jié)果就是這個(gè)過(guò)程里證出來(lái)的。

當(dāng)然還會(huì)有一種情況：你奔著某個(gè)方向努力，最后也不一定能證出來(lái)。但在這期間讀到別人的工作，你可能更容易領(lǐng)會(huì)其中的精神，產(chǎn)生想法，從而解決一些其他的問(wèn)題，像我在McMullen猜想上那種經(jīng)歷。通常來(lái)講，許多數(shù)學(xué)家平時(shí)心里都有若干不同的問(wèn)題，不同的方向?？紤]的時(shí)候它們互相都能有啟發(fā)。

輪胎面到自身的Anosov自同胚的一例，把單位正方形對(duì)邊粘合起來(lái)看作輪胎面，上方左下角的貓頭通過(guò)線性變換的兩次迭代變成下方斜向拉伸的復(fù)雜圖案。這幅著名的插圖摘自V.I. Arnol’d和A. Avez合著的《經(jīng)典力學(xué)的遍歷問(wèn)題》（Ergodic Problems of Classical Mechanics），稱為Arnol’d的貓映射（cat map）。

數(shù)學(xué)家是怎樣煉成的

Q：那么對(duì)于您的數(shù)學(xué)生涯來(lái)說(shuō)，誰(shuí)是對(duì)您影響比較大的人？他是怎樣影響您的？

A：數(shù)學(xué)上對(duì)我影響最大的人……這個(gè)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)答案當(dāng)然是“我的導(dǎo)師”，對(duì)吧？（笑）他確實(shí)對(duì)我影響很大，而且就我觀察，很多學(xué)生都多少?gòu)膶?dǎo)師身上學(xué)到一些東西。比如想問(wèn)題、看問(wèn)題的方法。

我現(xiàn)在想起來(lái)，我導(dǎo)師拿到一個(gè)定理，（這個(gè)定理）可能是用很fancy（花哨）的語(yǔ)言寫(xiě)出來(lái)的，但他會(huì)慢慢地看，然后用一種特別基礎(chǔ)的語(yǔ)言翻譯出來(lái)，比如說(shuō)“這個(gè)定理實(shí)際上就是證明了矩陣的秩小于等于它的行數(shù)和列數(shù)”。

他就是用這種所謂“down-to-earth（落實(shí)）”的方式去理解數(shù)學(xué)，哪怕它原本呈現(xiàn)出來(lái)的是一種很fancy的形式。我和他接觸，在這些點(diǎn)滴細(xì)節(jié)方面，我想他對(duì)我的潛移默化的影響是非常大的。

Q：我也曾經(jīng)上過(guò)您的課，感覺(jué)您課講得挺好的。想問(wèn)下有一些這方面關(guān)于上課、給報(bào)告的經(jīng)驗(yàn)或建議嗎？

A：最簡(jiǎn)單的建議就是要多講吧。講的時(shí)候聽(tīng)眾會(huì)提問(wèn)，我們自己會(huì)想著怎么安排。當(dāng)我沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)的時(shí)候，有的細(xì)節(jié)可能會(huì)拿捏不好。

比如，我在筆記本上引理1、引理2，邏輯順序?qū)懙梅浅Ｇ宄?，一直到最后，證畢，方框。但實(shí)際講的時(shí)候，第一，我可能就寫(xiě)不完……意識(shí)到寫(xiě)不完，我可能就寫(xiě)得很快。聽(tīng)眾沒(méi)有習(xí)慣我的這種風(fēng)格，可能就會(huì)失去耐心。

但多講幾次過(guò)后，你會(huì)知道哪里應(yīng)該講個(gè)例子，或者在什么地方可以把前面打廣告說(shuō)的話再說(shuō)一遍，甚至在什么時(shí)候應(yīng)該停一下，帶著大家一起回顧一下。有時(shí)候并不是說(shuō)你在黑板上寫(xiě)下一個(gè)完整的證明就是最好的，而是應(yīng)該挑出關(guān)鍵的部分。比如你可以講一個(gè)證明，它的困難在哪里，然后啟發(fā)式地去說(shuō)，解決這個(gè)困難可以走哪些途徑。

經(jīng)常作報(bào)告、跟同行交流以及講課，有了一些經(jīng)驗(yàn)后，你對(duì)自己的講解能力會(huì)有一些把握，對(duì)于聽(tīng)眾平均的理解能力也有一定把握。再加上一些處理突發(fā)狀況的經(jīng)驗(yàn)，你的課堂、學(xué)術(shù)報(bào)告之類就有希望控制得比較好。

劉毅老師在數(shù)學(xué)中心做學(xué)術(shù)報(bào)告

Q：您之前是在（美國(guó)加州大學(xué)）伯克利分校攻讀博士，在加州理工做博士后，并且之后也在國(guó)內(nèi)外多個(gè)機(jī)構(gòu)訪問(wèn)過(guò)。所以想問(wèn)下您，國(guó)內(nèi)和國(guó)外現(xiàn)在這種研究的環(huán)境有什么不同嗎？

A：研究環(huán)境上，我感覺(jué)比較明顯的是和聽(tīng)報(bào)告、作報(bào)告有關(guān)的部分。在美國(guó)的知名大學(xué)，基本上每個(gè)星期都有各個(gè)方向的討論班。微分幾何有一個(gè)，拓?fù)湟灿幸粋€(gè)，等等。

并且很方便就能從（美國(guó)）國(guó)內(nèi)各個(gè)學(xué)校請(qǐng)來(lái)博士生、博士后，講他們正在進(jìn)行的工作，或是之前的工作。我們這種機(jī)會(huì)就不太多，博士生來(lái)給報(bào)告的就更少。相對(duì)多的是國(guó)際訪問(wèn)學(xué)者給報(bào)告，或者國(guó)內(nèi)學(xué)者互相給報(bào)告。

由此帶來(lái)的區(qū)別是，比如在一個(gè)像我這樣的留學(xué)生看來(lái)，每個(gè)星期布告欄上的討論班都是滿的，經(jīng)常去聽(tīng)就比較容易聽(tīng)到現(xiàn)在大家正在做的、并且可能是對(duì)于年輕學(xué)者來(lái)說(shuō)更容易上手的問(wèn)題。

在這種良性循環(huán)的環(huán)境下，你比較容易聽(tīng)到新鮮的課題，并且聽(tīng)多了你自然就會(huì)找來(lái)看，就像現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)某個(gè)推送到了你手上，你大概率會(huì)點(diǎn)開(kāi)（笑）。我感覺(jué)國(guó)內(nèi)在這種交流的頻率上，以及它的層次上，還是有改進(jìn)的空間的。

北京國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心辦公院落外景

Q：剛才我們聊到對(duì)學(xué)生方面的期望，那么想問(wèn)一下您對(duì)學(xué)生有什么樣的要求或者建議？

A：我想建議是要試著去了解、去想象你所在的領(lǐng)域或者更大范圍的數(shù)學(xué)，它到底是什么樣子的？具體比如說(shuō)，跟你最切近的這些問(wèn)題或者方向，它最近幾年的來(lái)龍去脈，最近十幾年、二三十年或者再長(zhǎng)時(shí)段的來(lái)龍去脈，你應(yīng)該要能說(shuō)出來(lái)。世界上現(xiàn)在有哪些人、哪些機(jī)構(gòu)在這個(gè)方向？你做的或是你關(guān)心的東西，它們邏輯上可能和數(shù)學(xué)的哪些分支有聯(lián)系？它們之間的橋是怎么搭起來(lái)的？

這樣的知識(shí)很難說(shuō)會(huì)有人提溜著耳朵告訴你，很多時(shí)候要通過(guò)自己給自己提問(wèn)（來(lái)獲得）。你自己想辦法從網(wǎng)上、從文獻(xiàn)里挖也好，跟人交流也好，或者你通過(guò)聽(tīng)報(bào)告，甚至是讀一些什么名著、傳記之類的來(lái)得到答案?？傊阋ㄟ^(guò)自己的方法把它構(gòu)建起來(lái)。

你現(xiàn)在構(gòu)建的這么一個(gè)圖景，它可以是錯(cuò)的。它應(yīng)該是動(dòng)態(tài)的，經(jīng)過(guò)時(shí)間，它是可以不斷地被修改、被完善的。最終它將會(huì)長(zhǎng)成你的知識(shí)樹(shù)、技能樹(shù)的一部分?？傊?，我覺(jué)得同學(xué)們除了在課程布置的任務(wù)之外，還要試著自己去建立這樣一種認(rèn)知體系，以及培養(yǎng)建立它的那種素質(zhì)。

Q：您在做問(wèn)題的時(shí)候肯定會(huì)遇到做不來(lái)的或是做不下去的時(shí)候，這時(shí)候您會(huì)做些什么事情呢？

A：其實(shí)我問(wèn)過(guò)我導(dǎo)師這個(gè)問(wèn)題！他當(dāng)時(shí)說(shuō)：“Then you do something else.（那你就干點(diǎn)兒別的事情。）”然后他又想了一下：“Well, something math.（好吧，數(shù)學(xué)的事情。）”（笑）

我想，也不光是說(shuō)目前一個(gè)問(wèn)題做不下去了，才再看些其他的數(shù)學(xué)。有時(shí)候你可以暫停手上的活兒，去刻意地看些離你比較遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)：它可以是你十幾年前學(xué)的時(shí)候就沒(méi)學(xué)明白的，現(xiàn)在抓起來(lái)再看一看。也可以是今天聽(tīng)的報(bào)告，誰(shuí)誰(shuí)誰(shuí)提到扭結(jié)和素?cái)?shù)之間的類比，我之前完全不知道這方面的內(nèi)容，去找一找相關(guān)的講述。

無(wú)論如何，我想做不出什么東西的時(shí)候，一個(gè)比較好的應(yīng)對(duì)確實(shí)是去做些其他的事情，多多少少跟數(shù)學(xué)有些關(guān)系的事情，保持和數(shù)學(xué)的接觸。你的接觸面總是能夠產(chǎn)生學(xué)習(xí)，像晶體生長(zhǎng)一樣的。

其實(shí)，作為做數(shù)學(xué)的人，在經(jīng)過(guò)了充分長(zhǎng)的時(shí)間后，你應(yīng)該會(huì)想到：本科生讀數(shù)學(xué)，這只是他的學(xué)業(yè)；而研究員或者大學(xué)教授，數(shù)學(xué)就是他的職業(yè)生涯里最主要的一部分。這個(gè)時(shí)候，數(shù)學(xué)在你面前就會(huì)感覺(jué)不太一樣。

你的目標(biāo)會(huì)分得更散一些，你看到的數(shù)學(xué)不再是那么的整套。更多的時(shí)候，你是在讀某幾篇有所圍繞的文章，去梳理某個(gè)問(wèn)題的發(fā)展，“我想把它看清楚”；或者是在學(xué)習(xí)某個(gè)名詞、某個(gè)概念，“我想把這個(gè)東西搞明白”。

數(shù)學(xué)呈現(xiàn)為更分散的目標(biāo)，并且當(dāng)這種目標(biāo)達(dá)成得足夠多了過(guò)后，數(shù)學(xué)在你面前就不再是像平時(shí)所說(shuō)的代數(shù)、分析、幾何，這么三塊兒分出來(lái)。它更像是一種互相之間原本就聯(lián)系著的什么，是那種枝葉交通的感覺(jué)。

Q：您論文里要用到“virtual” （如“virtual homological spectral radius”）這個(gè)詞，您在中文里把它翻譯成“庶幾”。感覺(jué)這個(gè)翻譯挺有趣的，您當(dāng)時(shí)是怎么想到的？

A：其實(shí)我一般給報(bào)告的時(shí)候，能避開(kāi)說(shuō)它的中文我都會(huì)盡量避開(kāi)。不過(guò)中文的材料里有時(shí)你得抓一個(gè)翻譯。英文的“virtual”這個(gè)詞是從“almost”過(guò)去的, 但是“almost”當(dāng)時(shí)已經(jīng)被用掉了，所以（群論里面）開(kāi)始用“virtual”。

在中文里，你需要找一個(gè)跟“幾乎”同義的、形容詞和副詞都能用的、代入能造句的、放在文章里長(zhǎng)得不太突兀的、最好看上去還知道是術(shù)語(yǔ)的詞。這樣好像也就剩不下幾個(gè)詞了……目前這個(gè)詞沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)翻譯。