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公平的骰子

2019/09/18
導(dǎo)讀
一粒骰子見(jiàn)世界，道是無(wú)常卻有常。
pixabay.com

作者 | 孫夢(mèng)逸
責(zé)編 | 夏志堅(jiān)
 
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斯坦福大學(xué)的佩爾西·戴康尼斯（Persi Diaconis）教授是舉世著名的概率學(xué)家。他一生的經(jīng)歷頗為傳奇：15歲輟學(xué)離家（并且再也沒(méi)有回去），跟隨現(xiàn)代近景魔術(shù)的開(kāi)山鼻祖戴·福農(nóng)（Dai Vernon）學(xué)習(xí)魔術(shù)。魔術(shù)師經(jīng)常要跟紙牌、骰子和硬幣打交道。而紙牌，骰子和硬幣的運(yùn)行，往往是由統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律所決定的。在研究這些道具的過(guò)程中，戴康尼斯對(duì)概率統(tǒng)計(jì)產(chǎn)生了濃厚的興趣，于是在幾經(jīng)顛沛流離之后，重新回到學(xué)校學(xué)習(xí)，并從此走上概率論大家的道路。

成名之后的戴康尼斯可謂初心不改。他的研究往往還是以紙牌、骰子和硬幣的規(guī)律做為引子。比如他最著名的工作，就是研究一副紙牌要洗多少次才可以稱得上洗得均勻，證明過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，大家只要記住結(jié)論就好了——如果用交錯(cuò)洗牌法（Riffle shuffle），一副撲克牌要洗七次才算得上均勻。

這樣一位文體兩開(kāi)花的學(xué)術(shù)大牛，卻在某次給本科生上基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程的時(shí)候，在他最擅長(zhǎng)的方向上栽了個(gè)小跟頭。當(dāng)時(shí)他正手舞足蹈，繪聲繪色地給大家講解基礎(chǔ)幾何學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)經(jīng)典結(jié)論：這個(gè)世界上，正多面體只有五種：正四面體、正六面體（正方體）、正八面體、正十二面體和正二十面體。直覺(jué)上，這些正多面體的每一個(gè)面都是一樣的，因此都可以用來(lái)做骰子：正多面體的骰子，任何一個(gè)面朝上的概率都會(huì)相等。

“所以” ，他得意地總結(jié)道， “這個(gè)世界上只有五種公平的骰子。” 這個(gè)時(shí)候，一個(gè)本科生舉起了小手，說(shuō)道： “可是我有一個(gè)三十面體的骰子?！?教授瞪大了眼睛，說(shuō)道： “不，你沒(méi)有。” “我有。” 本科生堅(jiān)持道。

他的確有一個(gè)三十面體的骰子。準(zhǔn)確地說(shuō)，叫做菱形三十面體。

圖片來(lái)源：Walmart

這個(gè)骰子有三十個(gè)面，每個(gè)面都是一樣的菱形。每個(gè)面也都鄰接著其他四個(gè)面。因?yàn)槊總€(gè)面都是一樣的，每個(gè)面朝上的概率也均等。這個(gè)三十面體的骰子，的確是公平的。

不過(guò)，這個(gè)骰子并不是正多面體。正多面體，不僅每一個(gè)面是一樣的，每一條邊，每一個(gè)頂點(diǎn)都是一樣的。如果你認(rèn)真觀察上圖的那個(gè)骰子，會(huì)發(fā)現(xiàn)并不是每一個(gè)頂點(diǎn)都是一樣：面26，27和面30共用的頂點(diǎn)，由三條邊交會(huì)組成，而面17，18，19，27，和面26共用的頂點(diǎn)，卻由五條邊交會(huì)組成。所以，這個(gè)骰子并沒(méi)有正多面體那么對(duì)稱。

這個(gè)小小的差錯(cuò)，促使戴康尼斯開(kāi)始思考一個(gè)（看起來(lái)并沒(méi)有什么用的）問(wèn)題：那么，這個(gè)世界上到底有多少種公平的骰子呢？這個(gè)問(wèn)題等于是問(wèn)，這個(gè)世界上到底有多少種每一個(gè)面互相之間都是對(duì)稱的多面體？

經(jīng)過(guò)一番不算太難的研究，他發(fā)現(xiàn)滿足面對(duì)稱的骰子一共有三十種（或者說(shuō)三十個(gè)族群）。

圖片來(lái)源：Numberphile

故事到這里并沒(méi)有結(jié)束。這三十組骰子，有的比較容易通過(guò)技術(shù)操控——只要經(jīng)過(guò)訓(xùn)練，把握好初始的投擲的力道和方向，就有可能得到想要的結(jié)果。例如拋硬幣就比擲六面的骰子容易控制得多。訓(xùn)練好的人，可以做到每一次拋硬幣的結(jié)果都一樣；與之相比，六面的骰子運(yùn)動(dòng)規(guī)律則十分復(fù)雜，只要投擲的力道稍有偏差，最后的結(jié)果都會(huì)不一樣。

這個(gè)問(wèn)題，等價(jià)于混沌系統(tǒng)里面的 “蝴蝶效應(yīng)” 問(wèn)題：如果初始條件稍有偏差，系統(tǒng)最終行為的偏差會(huì)有多大呢？對(duì)初始條件更敏感的骰子，更難以操控。

因此， “所有的骰子都是平等的，而有些骰子比別的骰子更平等。”

正是：一粒骰子見(jiàn)世界，道是無(wú)常卻有常。誰(shuí)在擲骰子的時(shí)候，會(huì)想到一顆骰子可以滾得這么遠(yuǎn)呢？ 


參考文獻(xiàn)：
[1]https://www.youtube.com/watch?v=G7zT9MljJ3Y
[2]https://www.popularmechanics.com/technology/a22856/dice-mathematically-fair/
[3] Diaconis, Persi, and Joseph B. Keller."Fair dice." The American Mathematical Monthly 96.4 (1989): 337-339.
 
制版編輯 | 皮皮魚(yú)
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