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?《數(shù)學簡史》封面，蔡天新著，中信出版社

撰文 | 蔡天新（浙江大學數(shù)學學院教授）

責編 | 呂浩然

20世紀以來，數(shù)學的抽象化不僅拉近了它與科學、藝術(shù)的關(guān)系，也使得它與哲學的有效合作再次變得可能，這是自古希臘和17世紀以來的第三次。巧合的是，數(shù)學自身的危機也恰好出現(xiàn)了三次，且二者在時間上幾乎一致。第一次是古希臘時期無理數(shù)或不可公度量的發(fā)現(xiàn)，這與所有數(shù)可由整數(shù)或整數(shù)之比來表示的論斷相矛盾；第二次是在17世紀，微積分在理論上出現(xiàn)了一些矛盾，焦點是：無窮小量究竟是零還是非零。如果是零，怎么能用它做除數(shù)？如果不是零，怎么能把包含無窮小量的那些項去掉？

畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數(shù)，也不能由整數(shù)之比表示，這引發(fā)了第一次數(shù)學危機。相傳有個叫希帕索斯（Hippasus）的門徒因為泄密而被扔進地中海淹死，他的出生地梅塔蓬圖姆恰巧是他的老師畢達哥拉斯被謀殺的地方。

兩個世紀以后，歐多克斯（Eudoxus，公元前408—前355）通過在幾何學中引進不可通約量的概念，將這一危機化解。兩條幾何線段，如果存在一條第三線段能同時量盡它們，就稱這兩條線段是可通約的，否則為不可通約的。正方形的邊與對角線，就不存在量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。只要承認不可通約量的存在，所謂的數(shù)學危機就不復(fù)存在了。

2000多年后，微積分的誕生使得數(shù)學再次出現(xiàn)危機，在數(shù)學基礎(chǔ)層面引發(fā)了矛盾。例如，無窮小量是微積分的基礎(chǔ)概念之一，牛頓在一些典型的推導(dǎo)過程中，先是用無窮小量做分母進行除法運算，然后把無窮小量看作零，消掉那些包含它的項，從而得到想要的公式。

盡管這些公式在力學和幾何學領(lǐng)域的應(yīng)用證明它們是正確的，但其數(shù)學推導(dǎo)過程卻在邏輯上自相矛盾。直到19世紀上半葉，柯西發(fā)展了極限理論，這個問題才得到解決?？挛髡J為無窮小量是要怎樣小就怎樣小的量，在本質(zhì)上它是以零為極限的變量。

隨著19世紀末分析嚴格化的最高成就——集合論的誕生，數(shù)學家們以為有希望一勞永逸地擺脫數(shù)學基礎(chǔ)所面對的危機。1900年，法國人龐加萊在巴黎國際數(shù)學家大會上宣稱：“現(xiàn)在我們可以說，完全的嚴格化已經(jīng)實現(xiàn)了！”但是他的話音未落，英國數(shù)學家兼哲學家羅素就在第二年給出了簡單明了的集合論的“悖論”，挑起了關(guān)于數(shù)學基礎(chǔ)的新的爭論，引發(fā)了第三次數(shù)學危機。為解決這場危機，人們對數(shù)學基礎(chǔ)進行了更深入的探討，促進了數(shù)理邏輯的發(fā)展，使之成為20世紀純粹數(shù)學的又一重要趨勢。

?多才多藝的伯特蘭·羅素

1872年，羅素出身于英格蘭的一個貴族家庭，其祖父曾兩度出任英國首相。羅素3歲時就失去了雙親，嚴格的清教徒式教育導(dǎo)致他在11歲時對宗教產(chǎn)生了懷疑。他以懷疑主義的目光來探究，“我們能知道多少，以及擁有何種程度的確定性和不確定性”。

隨著青春期的到來，孤獨和絕望徘徊在他心頭，讓他產(chǎn)生了自殺的念頭。最終，對數(shù)學的癡迷讓他逐漸擺脫了自殺的想法。18歲那年，羅素考入劍橋大學，此前他受的教育全部是在家中。他試圖在數(shù)學中尋找確定又完美的目標，但在大學的最后一年，他被德國哲學家黑格爾的觀點吸引并喜歡上了哲學。

?羅素的老師懷海特，他稱十七世紀為“天才的世紀”

顯而易見，最適合羅素的研究領(lǐng)域應(yīng)該是數(shù)理邏輯，正巧劍橋大學有最適宜的土壤和一流的志同道合者，包括和他亦師亦友的阿爾弗雷德·懷特海（Alfred Whitehead，1861—1947）、比他小一歲的摩爾（Moore，1873—1958）和他后來的學生維特根斯坦。

精通數(shù)學的羅素認為科學的世界觀大多是正確的，在此基礎(chǔ)上他確定了三大哲學目標。首先，把人類認識上的虛榮、矯飾減少到最低限度并使用最簡單的表達方式。其次，建立邏輯和數(shù)學之間的聯(lián)系。再次，從語言去推斷它所描述的世界。對于這些目標，羅素和他的同行后來或多或少地做到了，由此奠定了分析哲學的基礎(chǔ)。

羅素的影響之所以深遠，部分原因還在于他善于做普及工作。他的哲學著作語言優(yōu)美、通俗易懂，無論《西方哲學史》《西方的智慧》，還是《人類的知識》，許多當代哲學家便是被他的書吸引入行的。同時，羅素的一些著作超出了哲學的范疇，涉及社會、政治和道德的方方面面，并滿懷激情地把敏感問題指出來。

他因此兩次被監(jiān)禁、罰款，并被剝奪了在劍橋大學講課的資格。盡管如此，1950年，羅素仍意外地獲得了諾貝爾文學獎。之后，大學學習數(shù)學專業(yè)的俄羅斯作家索爾仁尼琴（Solzhenitsyn，1918—2008）和南非出生的澳大利亞作家?guī)烨?span style="color: rgb(136, 136, 136);">（Coetzee，1940—）也先后獲得了1970年和2003年的諾貝爾文學獎。

所謂“羅素悖論”是這樣的：有兩種集合，第一種集合不是它自己的元素，大多數(shù)集合都是這樣的；第二種集合是它自己的一個元素A∈A，例如由一切集合組成的集合。那么，對于任何一個集合B，它不是第一種集合就是第二種集合。假設(shè)第一種集合的全體構(gòu)成一個集合M，那么M屬于哪種集合？如果M屬于第一種集合，那么M應(yīng)該是M的一個元素，即M∈M，但是滿足M∈M關(guān)系的集合應(yīng)屬于第二種集合，由此出現(xiàn)矛盾。而如果M屬于第二種集合，那么M應(yīng)該滿足M∈M的關(guān)系，這樣一來M又屬于第一種集合，再次出現(xiàn)矛盾。

1919年，羅素又提出上述悖論的通俗形式，即所謂的“理發(fā)師悖論”：

某鄉(xiāng)村理發(fā)師宣布了一條規(guī)則：他決定給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且只給村里這樣的人刮臉。試問：理發(fā)師是否給自己刮臉呢？

無論如何，這都會得出矛盾的結(jié)論，從而明白無疑地揭示了集合論本身確實存在著矛盾。由于嚴格的極限理論的建立，數(shù)學的第二次危機已經(jīng)被化解，但極限理論是以實數(shù)理論為基礎(chǔ)的，而實數(shù)理論又是以集合論為基礎(chǔ)的，現(xiàn)在集合論遭遇了羅素悖論，因而引發(fā)了數(shù)學史上的第三次危機。

?挑戰(zhàn)數(shù)學家的鄉(xiāng)村理發(fā)師

為了消除悖論，人們開始對集合論進行公理化。最早進行這一嘗試的是德國數(shù)學家策梅羅（Zermelo，1871—1953），他提出了7條公理，建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論，后經(jīng)過德國數(shù)學家弗蘭克爾（Fraenkel，1891—1965）的改進，成為一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)，即所謂的“ZF公理系統(tǒng)”。

這場數(shù)學危機到此緩和下來，但ZF公理系統(tǒng)本身是否會出現(xiàn)矛盾呢？沒人能夠保證。美國數(shù)學家科恩（Choen，1934—2007）證明，在ZF公理系統(tǒng)下康托爾連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真?zhèn)螣o法判別，這在某種意義上否定了希爾伯特在1900年巴黎國際數(shù)學家代表大會上提出的第一個問題，科恩因此獲得1966年的菲爾茲獎?？梢灶A(yù)見，意想不到的事今后仍會不斷出現(xiàn)。

為了進一步解決集合論的悖論，人們應(yīng)該從邏輯上去尋找問題的癥結(jié)。由于數(shù)學家們的觀點不同，形成了數(shù)學基礎(chǔ)的三大學派，分別是：以羅素為代表的邏輯主義學派，以布勞威爾（Brouwer，1881—1966，荷蘭數(shù)學家）為代表的直覺主義學派，以希爾伯特為代表的形式主義學派。

這些學派的形成和活躍，將把人們對數(shù)學基礎(chǔ)的認識提高到一個空前的高度，雖然他們的努力最終未能取得滿意的結(jié)果，但卻對由萊布尼茨開啟的數(shù)理邏輯學的形成和發(fā)展起到了推動作用。限于篇幅，下面我們僅介紹這三大學派的部分論點。

?拓撲學的奠基人布勞威爾，他發(fā)現(xiàn)了不動點定理

首先我們來看邏輯主義學派，按照羅素的觀點，數(shù)學就是邏輯，全部數(shù)學都可以由邏輯推導(dǎo)得出，而不需要數(shù)學所特有的任何公理。數(shù)學概念可以通過邏輯概念來定義，數(shù)學定理可以由邏輯公理按邏輯規(guī)則推導(dǎo)得出。至于邏輯的展開，則是依靠公理化的方法進行。

為了重建數(shù)學，他們提出了命題函數(shù)和類型論之后，又定義了基數(shù)和自然數(shù)，并在此基礎(chǔ)上建立了實數(shù)系、復(fù)數(shù)系、函數(shù)以及全部分析，幾何也可以通過數(shù)來引進。這樣一來，數(shù)學就成了沒有內(nèi)容只有形式的哲學家的數(shù)學了。

與邏輯主義學派相反，直覺主義學派的基本思想是：數(shù)學獨立于邏輯。堅持數(shù)學對象的“構(gòu)造性”定義，是直覺主義的精粹。按照布勞威爾的觀點，要證明任何對象的存在，必須同時證明它可以用有限的步驟構(gòu)造出來。

在集合論中，直覺主義只承認可構(gòu)造的有窮集合，這就排除了像“所有集合的集合”那樣容易引發(fā)矛盾的集合?？墒牵邢薜目蓸?gòu)造性主張也導(dǎo)致“排中律”（非真即假）被否定，也就是說，無理數(shù)的一般概念，以及無限多個自然數(shù)中必存在一個最小者這個“最小數(shù)定理”也不得不犧牲掉。

希爾伯特指出，“禁止數(shù)學家使用排中律，就像禁止天文學家使用望遠鏡?！痹谂兄庇X主義的同時，他拋出了準備已久的“希爾伯特綱領(lǐng)”，后人稱之為“形式主義綱領(lǐng)”。希爾伯特主張，數(shù)學思維的基本對象是數(shù)學符號本身，而非它們表示的意義，如物理對象。

他還認為，所有數(shù)學都能歸結(jié)為處理公式的法則而不用考慮公式的意義。形式主義吸取了直覺主義的某些觀點，保留了排中律，引進了所謂的“超限公理”，也證明了施以若干限制的自然數(shù)理論的相容性?？墒?，正當人們滿懷希望時，哥德爾卻提出了他的不完備性定理。

在介紹哥德爾的不完備性定理之前，我想先談?wù)劻_素的一個學生和合作者——維特根斯坦，正是他把邏輯學提升到純粹哲學的高度。1889年，維特根斯坦出生在維也納的一個富有的猶太企業(yè)家家庭，是8個孩子中年齡最小的，14歲以前他一直在家里受教育。他在柏林讀完工程學以后，于1908年考入曼徹斯特大學，專攻航空學，他一生的大部分時光都在英國度過。

據(jù)說他曾為飛機設(shè)計了一種噴氣反沖推進器，并因此對應(yīng)用數(shù)學產(chǎn)生了興趣。之后他喜歡上純粹數(shù)學，為了進一步了解數(shù)學基礎(chǔ)，又轉(zhuǎn)向數(shù)理哲學。

?最有數(shù)學意味的哲學家維特根斯坦

1912年，23歲的工科大學生維特根斯坦來到劍橋大學，在三一學院度過了5個學期。他得到了哲學家羅素和摩爾的賞識，兩位大師都認為維特根斯坦的才智至少與他們并駕齊驅(qū)。

可是，第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)后，維特根斯坦自愿參加了奧地利軍隊，起初他在東部前線當一名炮兵，后來去了土耳其，于1918年冬天被意大利士兵俘虜。此后，維特根斯坦與劍橋失去了聯(lián)系，羅素在次年出版的《數(shù)理哲學導(dǎo)論》里在談及維特根斯坦的工作時提到，“也不知道他是否還活著”。

1919年，維特根斯坦在戰(zhàn)俘營里給羅素寫了一封信，原來他在獄中讀到老師的著作，并解答了書中提出的幾個問題。他獲釋以后，師生二人都希望能盡快相聚，以便當面討論哲學問題?？墒?，由于維特根斯坦受俄國大文豪托爾斯泰的影響，認為不應(yīng)該享受財富，就把相當可觀的私人財產(chǎn)分給了家庭的其他成員，此時的他身無分文。

不得已，羅素替維特根斯坦賣掉了他留在劍橋的部分家具，才湊足了他的旅費，兩個人終于在阿姆斯特丹會面了。

?《邏輯哲學論》

由這樣一位有毅力和責任感的天才經(jīng)過長期的努力，在不同的時期建立起兩種極具獨創(chuàng)性的思想體系，完全是有可能的。不僅如此，維特根斯坦的每一種思想體系都有一種精致而有力的風格，極大地影響了當代哲學。

他還留下了兩部經(jīng)典的哲學著作：第一本是《邏輯哲學論》（1921），第二本是《哲學研究》（1953）。除了一篇標題為“關(guān)于邏輯形式的一些看法”的短文以外，《邏輯哲學論》是維特根斯坦生前唯一出版的著作。

《邏輯哲學論》是一部哲學巨著，這部書的中心問題是：“語言是如何可能稱其為語言的？”讓維特根斯坦感到驚訝的是我們司空見慣的一個事實，即一個人居然能聽懂他以前從未聽到的句子。他對這個問題是這樣解釋的：一個描述事物的句子或命題必定是一幅圖像。命題顯示其意義，也顯示世界的狀態(tài)。維特根斯坦認為，所有的圖像和世界上所有可能的狀態(tài)一定具有某種相同的邏輯形式，它既是“表現(xiàn)形式”，也是“實在形式”。

?哲學家的硬幣，維特根斯坦之墓，作者攝于劍橋。

但是，這種邏輯形式本身卻得不到說明，或者說是無意義的。維特根斯坦打了一個比方，它就像梯子，當讀者爬上這架梯子后，就必須扔掉它，這樣一來才能正確地看世界。不能用語言說明的還有其他一些東西，如實在的簡單元素的必然存在，思想和意愿的自我的存在，以及絕對價值的存在。這些不能說明的東西也無法想象，因為語言的界限就是思想的界限。這本書的最后一句話是維特根斯坦留給我們的一句箴言，“對于我們不能言說的，必須保持緘默?！?/p>

維特根斯坦聲稱，“哲學不是一種理論體系，而是一種活動，一種澄清自然科學的命題和揭露形而上學的無為的活動?！笔聦嵣?，他也在身體力行地從事這項活動。由于維特根斯坦認為，《邏輯哲學論》已經(jīng)完成了他對哲學的貢獻，于是在接下來的幾年里他到奧地利南方的幾所山村任小學教師，此前他曾獨自在挪威的鄉(xiāng)間蓋了一間小木屋。回到英國后，維特根斯坦把《邏輯哲學論》提交給劍橋大學，理所當然地獲得了博士學位，并很快當選三一學院院士。

此后的6年里，維特根斯坦一直在劍橋大學教書，其間他對《邏輯哲學論》漸生不滿，于是開始向兩位學生口述（并非老得不能動筆）自己思想的新發(fā)展。在他訪問過蘇聯(lián)（原打算在那里定居）之后，又到挪威的小木屋住了一年。

回到劍橋大學后他接替了摩爾的講座教授職位，隨后爆發(fā)了第二次世界大戰(zhàn)，他去了倫敦的一家醫(yī)院做看護，后來又在紐卡斯爾的一家研究所做助理實驗員，其間他完成了《哲學研究》的主要部分?！岸?zhàn)”后，維特根斯坦回到劍橋大學做了兩年教授就辭職去了愛爾蘭，在那里待了兩年寫完了全書。

說起維特根斯坦的《哲學研究》，雖然它與邏輯學沒有必然的聯(lián)系，卻也沒有完全脫離數(shù)學。在這部力作里，他放棄了原先的想法，認為無窮無盡的語言背后并沒有統(tǒng)一的本性。他以游戲為例，指出一切游戲所共有的性質(zhì)不存在，它們僅具有“家族”的相似性。他還說，當我們仔細觀察作為游戲匯集在一起的各種不同的具體活動時，“便能發(fā)現(xiàn)一張由相互重疊、彼此交叉的相似點構(gòu)成的復(fù)雜的網(wǎng)，有時是總體相似，有時是細節(jié)相似”。

為此維特根斯坦引入了好幾個數(shù)列的例子，在他看來，數(shù)字也構(gòu)成了這樣一個“家族”。他所關(guān)心的事情是，領(lǐng)會并遵循一條數(shù)學規(guī)則的含義是什么？其中一個例子是：當一個人看見另一個人寫下

1，5，11，19，29，…

這些數(shù)字時聲稱，“現(xiàn)在我可以繼續(xù)寫下去了”。這可能會出現(xiàn)多種情況，其中一種情況是，這個人試圖用各種公式來續(xù)寫這個數(shù)列，直到他發(fā)現(xiàn)公式a_n=n²+n–1，19后面的29就驗證了這個假設(shè)。還有一種情況是，他可能沒有想到這個公式，而是注意到前后兩個數(shù)之差構(gòu)成了一個等差數(shù)列4、6、8、10，他由此知道接下來的那個數(shù)是29+12=41。無論哪種情況，他都可以不費力氣地繼續(xù)寫下去。

維特根斯坦試圖證明的觀點是，一個人對于數(shù)列的原則理解并不意味著他找到了什么公式，因為他可能根本不需要這個公式。同樣，你也可以想象他的理解僅僅源于公式，而不是因為靈光乍現(xiàn)或其他特殊的經(jīng)驗。由此得出的教訓是，接受一條規(guī)則并不等于穿上了一件緊身夾克。

在任何時候，對于規(guī)則是接受還是拒絕，都是我們的自由。維特根斯坦還認為，數(shù)學運算過程的結(jié)果不是事先確定的。盡管我們可以遵循在我們看來是清清楚楚的程序，但卻無法預(yù)知這個程序?qū)盐覀円蚝翁帯?/p>

20世紀末，美國《時代周刊》雜志評選出過去100年里最具影響力的100個人物，其中科技和學術(shù)精英占了1/5。在這20個人中，哲學家和數(shù)學家各有一位，前者是維特根斯坦，后者是我們接下來要介紹的哥德爾。他們兩人的共同點是，都橫跨數(shù)學和哲學兩大領(lǐng)域，都是奧地利人，都用非母語的英文寫作。不同的是，一個移居英國后死于劍橋大學，另一個移居美國后死于普林斯頓大學。當然，他們?nèi)ナ罆r都不是奧地利公民。

1906年，哥德爾出生在摩拉維亞的布呂恩城，今天這座城市的名字叫布爾諾，屬于捷克共和國。在歷史上布爾諾曾幾易其主，19世紀的奧地利遺傳學家孟德爾（Mendel，1822—1884）就是在此城的一座修道院里發(fā)現(xiàn)了遺傳學的基本原理，后來它又成為捷克作曲家亞納切克（Janacek，1854—1928）終生居住的地方。

說起摩拉維亞，在這個中歐著名的地理區(qū)域出生的還有精神分析學家弗洛伊德（Freud，1856—1939），以及有著“現(xiàn)象學之父”美譽的哲學家胡塞爾（Husserl，1859—1938），后者曾在維也納大學數(shù)學系獲得變分法方向的博士學位。哥德爾在故鄉(xiāng)長大，直到考入維也納大學攻讀理論物理，此前他對數(shù)學和哲學產(chǎn)生了濃厚的興趣，并自學了高等數(shù)學。

?最具哲學意味的數(shù)學家哥德爾

從大學三年級開始，哥德爾的第一愛好轉(zhuǎn)向了數(shù)學，他大學時期的借書卡表明他看了許多數(shù)論方面的書。同時，在數(shù)學老師的介紹下，他參加了著名的“維也納小組”的某些活動。這是一個由哲學家、數(shù)學家、科學家組成的學術(shù)團體，主要探討的語言和方法論，在20世紀哲學史上占有重要的地位，也被稱為“維也納學派”。

在這個學派的宣言書《科學的世界觀：維也納學派》所附名單中，23歲的哥德爾成為14個成員中最年輕的一個。1930年，他以《邏輯謂詞演算公理的完全性》獲得哲學博士學位，隨后建立了震驚世界的哥德爾第一和第二不完備性定理。

?哥德爾與愛因斯坦

1931年1月，維也納的《數(shù)學物理學月刊》發(fā)表了一篇題為“論《數(shù)學原理》及有關(guān)系統(tǒng)的形式之不可判定命題”的論文。幾年以后，它就被視為數(shù)學史上具有重大意義的里程碑，作者是不到25歲的哥德爾。這篇論文的結(jié)果首先是否定性的，既推翻了數(shù)學的所有領(lǐng)域都能被公理化的信念和努力，又摧毀了希爾伯特設(shè)想的證明數(shù)學的內(nèi)部相容性的全部希望。同時，這種否定最終促成了數(shù)學基礎(chǔ)的劃時代變革，既分清了數(shù)學中的“真”與“可證”的概念，又把分析的技巧引入數(shù)學基礎(chǔ)。

哥德爾第一不完備性定理：對于包含自然數(shù)系的形式體系F，如果是相容的，則F中一定存在一個不可判定命題S，使得S與S之否定在F中皆不可證。

也就是說，自然數(shù)系的任何公設(shè)集如果是相容的，就是不完備的。由此得出結(jié)論：任何形式系統(tǒng)都不能完全刻畫數(shù)學理論，總有些問題從形式系統(tǒng)的公理出發(fā)不能解答。更有甚者，幾年以后，美國數(shù)學家丘奇（Church，1903—1995）證明了，“對于包含自然數(shù)系的任何相容的形式體系，不存在有效的方法，判定該體系的哪些命題在其中是可證的”。在第一不完備性定理的基礎(chǔ)上，哥德爾進一步提出第二不完備性定理。

哥德爾第二不完備性定理：對于包含自然數(shù)系的形式系統(tǒng)F，如果是相容的，則F的相容性不能在F中被證明。也就是說，在真的但不能由公理來證明的命題中，包括了這些公理是相容的（無矛盾性的）這一論斷。這就使得希爾伯特的希望破滅了?，F(xiàn)在看來，經(jīng)典數(shù)學的內(nèi)部相容性不可證，除非我們采用那些復(fù)雜的推理原則，但這些原則的內(nèi)部相容性與經(jīng)典數(shù)學的內(nèi)部相容性一樣值得懷疑。

哥德爾的這兩條不完備性定理表明，沒有哪一部分數(shù)學能做到完全的公理推演，也沒有哪一部分數(shù)學能保證其內(nèi)部不存在矛盾。這些都是公理化方法的局限性，一方面，它們說明數(shù)學證明的程序無法確實不與形式公理的程序相符；另一方面，它們也旁證了人的智慧不能被完全的公式化所替代。對于形式系統(tǒng)來說，“可證”是可以機械地實現(xiàn)的，“真”則需要進一步的思想能動性。換句話說，可證的命題必然是真的，但真的命題卻未必是可證的。

哥德爾不完備性定理如今已成為數(shù)學史上最重要的定理，但它的證明專業(yè)性太強，我們在這里就不做介紹了。值得一提的是，證明中提出的“遞歸函數(shù)”的概念是哥德爾的一位朋友來信建議的，這個朋友三個月后意外死亡。哥德爾不完備性定理出名以后，遞歸函數(shù)也隨之譽滿天下。

遞歸函數(shù)后來成為算法理論的起點，還引導(dǎo)圖靈提出了理想計算機的概念，為電子計算機最初的研制提供了理論基礎(chǔ)。與此同時，有關(guān)悖論與數(shù)學基礎(chǔ)的論證也漸趨平靜，數(shù)學家們把更多的精力放在數(shù)理邏輯研究上，大大推動了這門學科的發(fā)展。

隨著社會分工的進一步細化，人們所受教育的時間不斷延長，所學內(nèi)容也越來越復(fù)雜和抽象，這在人類文明的各個領(lǐng)域皆如此。正如憑借王之渙（688—742）《登鸛雀樓》這類簡單明晰的詩歌留名史冊已不可能，像費馬小定理那樣既容易推導(dǎo)又能傳世的數(shù)學成果也很難再出現(xiàn)。與此同時，無論在數(shù)學、自然科學還是藝術(shù)、人文領(lǐng)域，人們的審美觀念均發(fā)生了很大的變化，復(fù)雜、抽象和深刻已成為評判的標準和尺度之一。

?勒·柯布西耶作品：法國朗鄉(xiāng)教堂（1953）

可喜的是，抽象化并沒有導(dǎo)致純粹數(shù)學理論被束之高閣，反而得到了更廣泛的應(yīng)用。這一點恰好說明，數(shù)學的抽象化是符合社會潮流的發(fā)展和變化的。自從微積分誕生以來，數(shù)學作為一種強有力的工具，在17、18世紀推動了以機械運動為主體的科學技術(shù)革命，在1860年以后又推動了以發(fā)電機、電動機和電氣通信為主體的技術(shù)革命。

19世紀40年代以來，無論是電子計算機、原子能技術(shù)、空間技術(shù)、生產(chǎn)自動化還是通信技術(shù)，都與數(shù)學緊密相關(guān)，相對論、量子力學、超弦理論、分子生物學、數(shù)理經(jīng)濟學和混沌理論等科學分支所需要的數(shù)學工具尤為深奧和抽象。

?萊特作品：紐約古根海姆博物館（1959）

隨著科學技術(shù)的進步和現(xiàn)實社會的發(fā)展，不斷催生出新的數(shù)學理論和分支，我們僅以突變理論和小波分析為例。突變理論誕生于1972年，當年法國拓撲學家、菲爾茲獎得主托姆（Thom，1923—2002）出版了《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與形態(tài)發(fā)生學》一書。

突變理論研究的是系統(tǒng)控制變量經(jīng)受突然的巨大變化的一系列行為及其分類，它是微分流形拓撲學的一個分支，系統(tǒng)變量最終的性質(zhì)、行為可繪制成曲線或曲面。以拱橋為例，最初只是比較均勻地變形，直到荷載達到某一臨界點時，橋形瞬間發(fā)生變化而坍塌。后來，突變理論的思想被社會學家應(yīng)用于諸如群氓斗毆等社會現(xiàn)象的研究。

再來看小波分析，它被譽為“數(shù)學的顯微鏡”，是調(diào)和分析領(lǐng)域的里程碑式進展。大約在1975年，從事石油信號處理工作的法國工程師莫利特（Morlet，1931—2007）提出并命名了“小波”。

小波分析或變換是指用有限長的、快速衰減的振蕩波形表示信號，與傅里葉變換一樣，可用正弦函數(shù)之和表示。二者的區(qū)別在于：小波在時域和頻域上都是局部的，而傅里葉變換通常只在頻域上是局部的；另外，小波計算的復(fù)雜度較小，只需O（N）時間，而快速傅里葉變換需要的時間是O（NlogN）。

除了信號分析，小波分析還被用于武器智能化、電腦分類識別、音樂語言合成、機械故障診斷、地震勘探數(shù)據(jù)處理，等等。在醫(yī)學成像方面，小波縮短了B超（超聲波檢查的一種）、CT和核磁共振成像的時間，提高了時空分辨率。

20世紀數(shù)學的主流可以說是結(jié)構(gòu)數(shù)學，這是法國布爾巴基學派的一大發(fā)明。數(shù)學的研究對象不再是傳統(tǒng)意義上的數(shù)與形，數(shù)學的分類不再是代數(shù)、幾何和分析，而是依據(jù)結(jié)構(gòu)相同與否。例如，線性代數(shù)和初等幾何“同構(gòu)”，故而可以一起處理。布爾巴基學派的主將韋伊（Weil，1906—1998）與文化人類學家列維—斯特勞斯（Levi-Strauss，1908—2009）有交往，后者用結(jié)構(gòu)分析的方法研究不同文化的神話，發(fā)現(xiàn)其中的“同構(gòu)性”，可以說這是語言學和數(shù)學相結(jié)合的產(chǎn)物。

列維—斯特勞斯引領(lǐng)的哲學潮流——結(jié)構(gòu)主義在20世紀60年代的法國盛極一時，拉康（Lacan，1901—1981）、巴爾特（Barthes，1915—1980）、阿爾杜塞（Althusser，1918—1990）和?？?span style="color: rgb(136, 136, 136);">（Foucault，1926—1984）分別將之應(yīng)用于精神分析學、文學、馬克思主義和社會歷史學研究，而德里達（Derrida，1930—2004）的解構(gòu)主義則是對結(jié)構(gòu)主義的批判。

展望未來，數(shù)學能否走向統(tǒng)一？這是人們關(guān)心的問題。早在1872年，德國數(shù)學家F.克萊因（Klein，1849—1925）就發(fā)表了著名的《埃爾朗根綱領(lǐng)》，基于他與挪威數(shù)學家、李群和李代數(shù)的發(fā)明人李（Lie，1842—1899）在群論方面的工作，試圖用群的觀點統(tǒng)一幾何學和數(shù)學。

按照布爾巴基學派的觀點，李群是群結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)的結(jié)合。隨后群的觀點便深入到數(shù)學的各個部分中去，可F.克萊因的目標仍遙不可及。將近一個世紀以后，加拿大數(shù)學家朗蘭茲（Langlands，1936—）又舉起了“朗蘭茲綱領(lǐng)”的大旗。1967年，他在給韋伊的信中，提出了一系列猜想，揭示了數(shù)論中的伽羅華理論與分析中的自守型理論之間的關(guān)系。

?庫哈斯和舍人作品：中央電視臺總部大樓（2007）

19世紀后期以來，數(shù)學的某些不同學科之間有相互滲透、結(jié)合的趨勢，這推動了一系列新的數(shù)學分支的誕生。即便在當前，數(shù)學的分化依然是主流，最鮮明的特征是抽象化、專業(yè)化和一般化。

相當一部分數(shù)學存在脫離現(xiàn)實世界和自然科學的傾向，這是十分令人擔憂的現(xiàn)象。那么，抽象化或結(jié)構(gòu)最終能否成為數(shù)學統(tǒng)一的標簽?zāi)?？這種可能性無疑是存在的，可是無論如何，數(shù)學的統(tǒng)一無法在不斷孤立自身的背景下實現(xiàn)。

?赫佐格和德梅隆作品：中國國家體育場“鳥巢”（2008）

與此同時，“拼貼”逐漸成為藝術(shù)的主要技巧和代名詞，拼貼也是哲學家努力找尋的現(xiàn)代神話。從前，我們理解的拼貼是把不相關(guān)的畫面、詞語、聲音等隨意組合起來，以創(chuàng)造出特殊效果的藝術(shù)手段。

現(xiàn)在看來，這個范圍還可以擴大，至少可以涵蓋觀念的組合。這樣一來，拼貼就會在數(shù)學甚至更多文明中發(fā)揮作用?？梢哉f，數(shù)學中許多新的交叉學科就是拼貼藝術(shù)在這些領(lǐng)域發(fā)揮作用的結(jié)果。拼貼和抽象化在某種意義上是同一件事，只不過拼貼這個詞來源于藝術(shù)，而抽象化則更多地讓人聯(lián)想到數(shù)學。

限于篇幅，我們沒有討論繪畫以外的其他藝術(shù)形式，它們同樣經(jīng)歷了抽象化的過程。比如建筑，從內(nèi)容、形式到裝飾都發(fā)生了重大變化。古羅馬建筑師維特魯威在《建筑十書》里提出了“適用、堅固、美觀”三個詞，成為判斷建筑物或建筑方案優(yōu)劣的準則。

即使文藝復(fù)興時期的阿爾貝蒂，也只是把“美觀”分為“美”和“裝飾”，他認為美在于和諧的比例，而裝飾只是“輔助的華彩”。20世紀以來，建筑師們終于意識到，裝飾不再是無足輕重的華彩，而是不可或缺的無處不在的藝術(shù)組成部分（就像繪畫中的拼貼那樣）。其中，幾何圖形（無論是古典的還是現(xiàn)代的）扮演了非常重要的角色。

與音樂、繪畫、建筑等藝術(shù)一樣，數(shù)學是無國界的，幾乎沒有語言障礙。它不僅是人類文明的重要組成部分，也可能是外星文明的重要組成部分。如果真的存在外星人，他們可能讀得懂甚或精通數(shù)學。也就是說，地球人與外星人可望基于數(shù)學形式的語言進行溝通。

早在1820年，數(shù)學家高斯就曾建議用畢達哥拉斯定理的圖形化示范方法顯示廣袤的西伯利亞森林，作為發(fā)往太空的人類文明信號。大約20年后，波西米亞出生的奧地利天文學家約瑟夫·馮·利特羅（Joseph von Littrow，1781—1840）提出用充滿石油的溝壑縱橫的撒哈拉沙漠的圖像作為文明信號。

他們都認為，這類數(shù)學圖片信號必定會引起富有智慧的外星生命的關(guān)注。遺憾的是，這兩個想法均未能付諸實踐。美國亞利桑那大學數(shù)學教授卡爾·德維托（Carl Devito）認為，兩個星球開展精確的交流取決于科學的信息交流，為此兩者必須首先學習對方的測量單位。

近年來，他和一位語言學家合作，提出了一種基于普遍科學概念的語言。他們認為，大氣中化學成分或者星球能量輸出的差異，可能能使不同星系的文明彼此交流。這一想法基于以下假設(shè)：兩個星球都會一些數(shù)學方法和計算，都認可化學元素和周期表，都對物質(zhì)狀態(tài)進行了定量研究，都知道應(yīng)用足夠的化學物質(zhì)進行計算。

盡管如此，要成功聯(lián)系到外星文明依然存在許多困難和障礙。例如，外星人可能從不同的數(shù)學方法出發(fā)總結(jié)出運動的定律，這些定律可能與我們熟悉的定律大不相同。我們描述運動的數(shù)學基礎(chǔ)是微積分，微積分是許多科學領(lǐng)域的基礎(chǔ)，外星文明是否也這樣呢？又如，外星人是否已建立起歐幾里得幾何學或非歐幾何學？外星人的物理學可能與我們的物理學存在差異，他們是否承認哥白尼提出的太陽系宇宙學說？這也值得懷疑。同樣棘手的問題是，如何從數(shù)學出發(fā)討論人類文明的其他方面？這正是本書探討的一個問題，需要我們做大量跨文化的研究工作。

制版編輯： 呂浩然