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公平的骰子
2019/09/18
斯坦福大學的佩爾西·戴康尼斯 （Persi Diaconis） 教授是舉世著名的概率學家。他一生的經(jīng)歷頗為傳奇：15歲輟學離家 （并且再也沒有回去） ，跟隨現(xiàn)代近景魔術的開山鼻祖戴·福農(nóng) （Dai Vernon） 學習魔術。魔術師經(jīng)常要跟紙牌、骰子和硬幣打交道。而紙牌，骰子和硬幣的運行，往往是由統(tǒng)計學規(guī)律所決定的。在研究這些道具的過程中，戴康尼斯對概率統(tǒng)計產(chǎn)生了濃厚的興趣，于是在幾經(jīng)顛沛流離之后，重新回到學校學習，并從此走上概率論大家的道路。 成名之后的戴康尼斯可謂初心不改。他的研究往往還是以紙牌、骰子和硬幣的規(guī)律做為引子。比如他最著名的工作，就是研究一副紙牌要洗多少次才可以稱得上洗得均勻，證明過程相當復雜，大家只要記住結(jié)論就好了——如果用交錯洗牌法 （Riffle shuffle） ，一副撲克牌要洗七次才算得上均勻。 這樣一位文體兩開花的學術大牛，卻在某次給本科生上基礎數(shù)學課程的時候，在他最擅長的方向上栽了個小跟頭。當時他正手舞足蹈，繪聲繪色地給大家講解基礎幾何學領域的一個經(jīng)典結(jié)論：這個世界上，正多面體只有五種：正四面體、正六面體 （正方體） 、正八面體、正十二面體和正二十面體。直覺上，這些正多面體的每一個面都是一樣的，因此都可以用來做骰子：正多面體的骰子，任何一個面朝上的概率都會相等。 “所以” ，他得意地總結(jié)道， “這個世界上只有五種公平的骰子?！?這個時候，一個本科生舉起了小手，說道： “可是我有一個三十面體的骰子?！?教授瞪大了眼睛，說道： “不，你沒有?！?“我有?！?本科生堅持道。 他的確有一個三十面體的骰子。準確地說，叫做菱形三十面體。 這個骰子有三十個面，每個面都是一樣的菱形。每個面也都鄰接著其他四個面。因為每個面都是一樣的，每個面朝上的概率也均等。這個三十面體的骰子，的確是公平的。 不過，這個骰子并不是正多面體。正多面體，不僅每一個面是一樣的，每一條邊，每一個頂點都是一樣的。如果你認真觀察上圖的那個骰子，會發(fā)現(xiàn)并不是每一個頂點都是一樣：面26，27和面30共用的頂點，由三條邊交會組成，而面17，18，19，27，和面26共用的頂點，卻由五條邊交會組成。所以，這個骰子并沒有正多面體那么對稱。 這個小小的差錯，促使戴康尼斯開始思考一個 （看起來并沒有什么用的） 問題：那么，這個世界上到底有多少種公平的骰子呢？這個問題等于是問，這個世界上到底有多少種每一個面互相之間都是對稱的多面體？ 經(jīng)過一番不算太難的研究，他發(fā)現(xiàn)滿足面對稱的骰子一共有三十種 （或者說三十個族群） 。 故事到這里并沒有結(jié)束。這三十組骰子，有的比較容易通過技術操控——只要經(jīng)過訓練，把握好初始的投擲的力道和方向，就有可能得到想要的結(jié)果。例如拋硬幣就比擲六面的骰子容易控制得多。訓練好的人，可以做到每一次拋硬幣的結(jié)果都一樣；與之相比，六面的骰子運動規(guī)律則十分復雜，只要投擲的力道稍有偏差，最后的結(jié)果都會不一樣。 這個問題，等價于混沌系統(tǒng)里面的 “蝴蝶效應” 問題：如果初始條件稍有偏差，系統(tǒng)最終行為的偏差會有多大呢？對初始條件更敏感的骰子，更難以操控。 因此， “所有的骰子都是平等的，而有些骰子比別的骰子更平等。 ” 正是：一粒骰子見世界，道是無常卻有常。 誰在擲骰子的時候，會想到一顆骰子可以滾得這么遠呢？
[1]https://www.youtube.com/watch?v=G7zT9MljJ3Y [2]https://www.popularmechanics.com/technology/a22856/dice-mathematically-fair/ [3] Diaconis, Persi, and Joseph B. Keller."Fair dice." The American Mathematical Monthly 96.4 (1989): 337-339.
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